a«- 'f+m m-lla">-»6c+etc

-felc...

Pour donner «ri exemple de l'application de cette formule, faisons m=3, alors nous aurons

et par suite

;a+&+cj,=a'+3«'o+S<i6'+o> +3aV+0aoc+3ô'c +3oe,-+-5Ae'

On pourrait, en suivant la même marche, trouver le développement de la puissance d'un tèlranômc, et généralement celui d'un polynôme quelconque; mais cette marche entraînerait de longs calculs, et aurait en ouirc l'inconvénient de ne pas conduire a des expressions dont les termes puissent se déduire les uns des autres, re que l'on voit déjà pour le trinôme. Nous allons en conséquence aborder la question dans toute sa généralité, et exposer la loi générale du développement de la puissance quelconque m d'un polynôme quelconque.

Théobbmb. La puissance m d'un polynôme a+*-t-e-H»+»

+elc est égale i la somme des produits représcnlës par

toutes les combinaisons m à m des lettres a, 6, e, 4, etc., avec

ou plus généralement

a" b'.<».d'.t'T etc.

o"- .ô'.cVe/Vf etc.

av-'.b'.e'.d'.r' l*... etc.

a»-\b'.c> d' .e'.f. .. etc. etc., etc.

o•.6»-•.e•.^/,.«,./'... etc.

«•.6«- ' e'.d'.e' r ■■ etc.

n'.bm- ' c1 rf'V.r-.. etc.

a'.bm-'.c-.d.t' T - etc.

etc., etc.

Désignant donc par n, a, p, q, r, «, etc., une tels qu'on ait

«=n+o+p+a+r+«+etC. .

la forme générale de ces combinaisons sera

a».b».ei>.dl,<r,fi ... etc.

et comme le nombre des permutations d'un pareil groupe est

mm-1 m-3 (m— 3 m a' m— 51 t

n n-l)..lxOlO-i)..lxp p-lxoo— 1) ..ixelc.

on aura pour le terme général delà puissante a» d'un polynôme quelconque l'expression

a*. b°. cf. dl. etc.

n(w— I j . 1 XO.O- 1 . . 1 xp; p— • )• • I Xelc.

au moyen de ce terme général, en donnant successivement aux quantités », o. p, q, ele , les va'eurs dont elles sont susceptible*, on formera tous les termes qui composent cette puissance. Pour indiquer au moins par un exemple l'application de cette formule, supposons qu 11 s'agvse d'élever le trinôme «|»U a la quatrième puissance. Dans ce cas les quantités indéterminées n, o, p, q, etc., se réduisent i trois et le terme général devient

{m— l)(m— 2' (m— 3)...l ^ ...IX0(o- <)...! xp(p-l)...!' " ' *

n, o, p, pour

dans lequel m=n+o-+-p. — On chaque cas particulier de la

donnant

Ce tlipurvtoc est une conséquence de ce qui a été démontré pour la formation des puissances d'un binôme (F. Binôme).

— '.?«' 6' e>=6ahe 1.1. I*'0 C==W,0C

aux lettres n, o, p, on 3.9.1

ELEVATION

d'où l'on conclura

,o 4-6 -rf )>=a> + So't 4-5«6'-t-*'

résultai identique «toc celui (la numéro u. — On obtiendra l'expression générale île la puissance m «l'une série indéfinie

« qui e*t identique avec ce que o - et montre l'accord parfait

A.-f-A.x'-i-B,*' l-A,x ~A,x'+etc... i fi

en se senant des formules générales de développement données à l'article Différentiel, et notamment de celle (lui porte le nom de Maclauriu. Lorsque le premier terme de la série est l'unité, sa puissance a une expression très-simple que nous allons faire connaître. Suit

(l-HMr-r-éJC^axVelc. ""=1 -t-Ax4-Bx -r-Cx'+elc. le» coefficients A, B, C, etc.. seront

cA-t-aW

rB r — r — rfA

i ces formules à la série

1 +x-t-x>-Kr'+x' +x -t-x'+clc.

cl proposons- nous de l'élever à U quatrième puissance. Nous avons m= t, a—\ , 6—1 , c— 1 , etc. I.cs coefficients A, B, C, etc., deviendront

Ai 1=3i>

(1 +*+a:'-Kle. à l'infini)' -l + 1x+IOx-|-20*>-4-S&r'-i-elc. . .

h l'infini.

Eo remarquant que la série proposée n'est autre chose que le développement de la puissance —1 du binôme I — x>, car on trouve par le binôme de Newton

(I — x)— '=H-x+x*+x -»-*' v*i-Ktc.

On voit que la quatrième puissance de cette série est aussi In quatrième puissance de (I — x}— I . Mais

;(i*)-'i*=ti-*)-'.

et, par la formule dcNewion,