FAC-SIMILE

prunléc du

in.E, ». m. on prononce »i«uV), expression emu latm, qui .«-dit de la copie, rlr l imitation «acte, ou gravie, d'une pièce d'écriture , d'une signa-

FACTKIft, s. m., faiseur. Il ne se dit en ce sens que de ceux qui font, qui fabriquent des instruments de musique. — Il signifie aussi celui qui est chargé de quelque négoce, de quelque tralic, etc., pour quelqu'un. — Il se dit encore de celui qui est distribuer, de reniellrc à leurs adresse* les lettres eu-

i alg.), nombre ! par voie de multiplication, l'ar exemple : il étant considère comme le résultai de la multiplication de 3 par 4, 3 et 4

Z feieurTafï sH'onV2* *' *' *' *** """"

«,»,*,< ete.= M.

Les facteurs d'un nombre se nomment aussi ses divUmtr» , parce qu'il «t évident qu'on nombre est exactement divisible par chacun de ses facteurs. La recherche des facteurs d'un nombre, ou la décomposition d'un nombre en ses facteurs, est on objet 1res important dans l'arithmétique et dans l'algèbre. Lorsqu'il s'agit des nombres entiers, on sait que :

1° Tout nombre pair est divisible par 2;

2° Tout nombre dont le chiffre des unités est 0 ou 5 est divisible par 5, il est divisible en même temps par 2 et par 5 ou par 10 dans le premier cas;

deï STICKS SOnMnC *■ " UB

*£2$SSSï% la — ■ d« - - ^

5° Tout nombre dont la somme des chiffres des rangs im-

Sairs est égale a la somme des chiffres des rangs pairs, ou n'en iffcre que d'un multiple de 11, est divisihle par 11. Ces propriétés éminemment simples se trouvent démontrées nenlaires. Appliquons-les à la re- J70. D'abord ce nombre est divisible est pair et que son premier chiffre est

„ . 5 . «»" aurons 12870=1887 X 5X8.

Maintenant, en prenant la somme des chiffres de 1287 savoir • 1+2+8+7=18, nous voyons que cette somme est multiple de tf, et nous en concluons que 1287 est divisible par ». En «ici, 1287=143X», et par conséquent 12870=143X0X5X2. Le laclcur 143 n'étant divisible ni par 2, ni par 3 ni par 5 comparons la somme de ses chiffres de rangs impairs aveccellé de ses chiffres de rangs pairs, nous trouverons (3+1 —4=0

SÏrtfe'Ç!^3 ?l J,Tisible *"r 11 Nous ""o™ effective^ ment 14J=ijaii, et, par suite

12870=i3XxlX»X5Xâ,

sa Phllotophie in mathématiquei, au facteur idéal la puissance infiniment grande {i+u'J* donne la d'un nombre quelconque n. Si nou «a de la puissance a- croisse d'une titei,

dont

nous supposons que l'exposant une quantité indéfiniment pc-

o-+i=<rX.i

et la quantité a A sera le facteur élémentaire de <r», car ce n'est évidemment qu'à l'aide de ce facteur idéal que nous pouvons concevoir une continuité indéfinie dans la génération de la quantité «• ; continuité iudéiinie que réclame la raison pour que le

(V. ALGEME, 10)

toit universellement possible [Y. Philosophie desmatiiéua- TiQU£s).Mais, d'après la théorie des logarithmes ;voy. ce moty, avons, en désignant par lug. a le logarithme naturel de s.

par a et par 5, O. Opérant ces

à cause de»=3X3. Or, le plus grand facteur 13, étant un nombre premier, n'est plus décomposablc, et nous concluons que 1rs facteurs premiers de 12870 sont 2, 3. 5, 11 et 13. Lorsqu'il entre dans la composition d'un nombre des facteurs autres que . n ' 5' U' recherche présente alors des difficultés telles qu a I exception de quelques cas particuliers on est forcé d essayer successivement si parmi les nombres premiers plus petits que le proposé il s'en trouve qui puissent le diviser exactement. Les derniers sont alors ses facteurs. C'est ainsi , par exemple, que pour découvrir les facteurs de 180811, il faut successivement lous 'w "ombres premiers depuis 1 jusqu a 431, car ce nombre est formé par le produit des deux nombres premiers 181 et 1031. Quant aux règles particulières

2n.mniT8 P00r ,CS f^-eU" 7» 13' 17< e,c" 11 ««encore I>l<" prompt d essayer «mmedialement la division que de les em-

FACTEtm élémbutaub, nom donné par M. Wronski.dans

ce qui nous

log<r=«(«I— 1),

oI=l+logai.

Ainsi la quantité 1+ log ai est le facteur élémentaire de la puissance a". Nous verrons ailleurs l'extrême importance de ces facteurs (F. Facultés cl Somuatoihe).

Mt.ru n (v. loua.), créateur, auteur. Autrefois facteur s'est dibpour criminel.— Facteur (anc. juriipr.), fondé de pouvoirs. — Commis préposé à la vente de certaines marchandises et denrées. — Facteih (www. ) , celui qui , dons les marchés publics , vend les denrées aux enchères et en gros.

pacticb, adj. des 2 genres, qui est fait ou imité par arl. 11 se dit par opposition à naturel. Il se dit quelquefoi sfigurénicnt. Mol factice, terme factice, mot, terme qui n'est pas reçu dans une langue , mais que l'on fait selon les règles de l'analogie.

FACTICE fpAito/.). Idée factice, idée dans la formation de laquelle intervient le travail de l'intelligence, l'abstraction , le jugement. — Mot factice (gramm. ), selon Priscien, mot formé par imitation d'un son , par onomatopée : lintinnalmlum (clochette) en latin, glouglou en français sont des mots factices. FACTtCEMEST ( »A>f. ) , d'une manière factice. factieux, El SE {il se prononce ci dans ce mot et dans les deux suivants) , qui excite ou cherche à exciter des troubles dans un État, dans une ville, dans une société, ou qui est de quelque cabale, de quelque faction. Il est aussi substanliL faction (art nilil.). On appelle ainsi le poste occupé par une sentinelle chargée de faire exécuter une consigne. Le temps d'une faction est ordinairement de deux heures au plus, saut certaines exceptions, comme un trop grand froid, etc. Ce mot était inconnu il y a trois siècles, et on n'en sait pas l'origine; on n'employait dans le même sens que les expressions guet, guette ou eteoute. Etre en faction ou être en aentimlle ne se prennent dans le sens connu aujourd'hui que depuis Louis YIV , et n'ont été consacrés par les ordonnances que depuis le milieu du dernier siècle.

faction, dans son sens le plus général , dérivant de facere, signilic action. Dans son acception politique, c'est un acte de la volonté humaine, en opposition avec la loi morale qui veut que tons les membres d'une société puisent leur action publique . non dans leur volonté

propre

les lois fonda-

que

mentales de leur pays.

presque synonjme de c<i*fl/e; c'est une réunion d'efforts pour renverser un gouvernement légitime, c'est-à-dire intime à lu loi. — Le mot faction se prend donc toujours en mauvaise part : l'esprit de faction est uu esprit de désordre, de rébellion et d'usurpation. Comme le principe de cet esprit est dans la volonté humaine, les factions ont très souvent des noms d'hommes. Nous avons eu la faction des Bourguignons, celle des Armagnac, celle des Guise, celle du prince de Condé, la faction d'Orléans sous Louis Ml, Presque toujours aussi les factions ont pris le masque du bien public , elles se sont cachées sous des griefs vrais ou supposés; mais toujours le bon sens général a su découvrir l'intention perverse sous les |

FACTIOfT.

FACTORIEU.E.

qu'elles invoquaient , ce oui n'a pas empêché les peuples de se servir quelquefois des chefs de faction pour obtenir le redressement des abus dont ils avaient à se plaindre. Les factions deviennent très danpen'uses quand la situation des gouverne* inenls se trouve compliquée par des difficultés qu'ils ne peuvent vaincre. Ainsi, sous Henri III. l'héritier présomptif de la couronne étant prolestant , les catholiques étaient fondés à craindre qu'à la mort du roi la religion nationale fut détruite par le roi de Navarre, et qu'une minorité maltresse du pouvoir opprimât la majorité, comme cela s'était fait en Angleterre sous Henri VIII. Ij royauté et la religion avaient donc un intérêt opposé. Henri III ne pouvait, dans cette situation, donner satisfaction aux catholiques sans grandir le duc de Guise, sans compromettre la succession légitime d'Henri IV, et il ne pouvait fortifier l'héritier légitime sans accroître la puissance du duc de Guise, qui aspirait ouvertement au trône. Il ne se tira de celte complication que p^r le meurtre du chef de faction , cl ce meurtre amena sa mort V- C'est le propre des factions de créer dans un pays des intérêts opposés a l'ordre, qui se perpétuent par l'hérédité. Il y a eu trois générations de Guise poursuivant la même pensée d'usurpation, et le danger de la monarrliir n'a cessé que par la fermeté et la sagesse d'Henri IV. One faction des Guise a rempli la France de crimes et de ruines , et peu s'en est fallu que le royaume ne passât sous le sceptre de la maison d'Autriche.— Sous la Fronde, les factions ont aussi mis l'État en péril ; car le prince de Condé avait fini par entreprendre une guerre sérieuse contre le roi , et une pensée d'usurpation était aussi au fond de ses griefs. — Un Italie, les factions des Guelfes et des Gibelins troublèrent l'empire pendant trois siècles ; en Angleterre, les factions des York et des Lancastre ne produisirent pas moins de ravages. 31 faut lire dans Coinines comment naissent les factions et les désastreux effets qu'elles produisent, a Le duc de Bethford , dit cet historien, avoil été régent de France et se tenoit régent A Paris, ayant vingt mille écus par mois. Les Anglois perdirent Paris, et puis, petit à polit, le demeurant du royaume. Après qu'ils furent retournes en Angleterre , nul ne voulut diminuer son estât ; mais les biens n'estoient au dit royaume pour satisfaire à tous. Ainsi guerre s'émeut entre eux pour leurs autorités, qui a duré par longues années; et fut mis le roy Henry sixième en prison au château de Londres , et déclaré traître et crimineux, et là a usé la plupart de sa vie, et à la fin a été lué. Le duc d' Yorck, père du roy Edouard, dernier mort, s'intitula roy ; en peu de jours après, fut déconfit en bataille et mort; cl tous morts eurent les tètes tranchées, lui et le comte de .Warvic, dernier mort, qui tant a eu de crédit en Angleterre. Cestuy-là emmena le comte de la Marche (depuis appelé le roy ÏCdouard), parla mer à Calais, avec quelque peu de gens fu vans la bataille: le dit comte de Warvic sou tenoit la maison d'Yorck, et le duc (le Soinmersel la maison de Lancastre. Tant ont duré ces guerres , que tous ceux de la maison de Warvic et de Sommerset y ont eu les têtes tranchées, ou y sont morts en bataille. Le roy Ériouard fil mourir son frère le duc de Clapipe de malvoysie, pour ce qu'il se vouloit foi '

■ roy, comme l'on disoit. Après que Edouard fust mort, son frère second , duc de Glocester , fist mourir les deux fils d'Edouard, et déclara ses filles baslardcs. et se fist couronner roy. Incontinent après, passa en Angleterre le comte de Richemont, de présent roy, qui déconfisl et tua en bataille ce cruel roy Richard, qui, peu avant, avoit fait mourir ses neveux. El ainsi, de ma souvenance, sont morts, en ces divisions d'Angleterre, bien quatre-vingts hommes de la lignée royale d'Angleterre, dont une partie j'ay connu; des autres m'a été conté par les Anglois demeurans avec le duc de Bourgogne, tandis que j'y eslois. Ainsi ce n'est pas à Paris , ni en France seulement, qu'on s'enlrebat pour les biens cl honneurs de ce monde ; et doivent bien craindre les princes, ou ceux qui régnent aux grandes seigneuries, de laisser engendrer une partialité en leur maison. » — Dans les gouvernements despotiques, les factions naissent de la faiblesse des rois. C'est dans les commencements qu'ils peuvent prévenir ce mal, par la sagesse; ils doivent, pour ainsi dire, deviner une pensée factieuse dans l'âme de leurs parents, et bien se garder de les élever en dignités et en richesses. Les grandes charges de cour, les apanages des princes du sang royal, étaient de dangereux abus sous l'ancienne monarchie. Il a fallu, sous Louis XIII, que Richelieu employât les meurtres juridiques pour racheter Tau-

avait passé

torité royale, qui, sous la régence d une dans les mains des grands dignitaires. Souvent aussi des injusont priTipite dans la faction ries hommes considérables , - servi le troue si oo n'eut pas lésé leurs droits; la

défection du connétable de Bourbon fut le résultat d'un procès injuste que lui suscila la mère du roi. — Sous les régimes despotiques , les factions des princes prennent de l'importance par les mécontentements des peuples privés de leurs droits. Dans les monarchies représentatives, le meilleur moyen de triompher des factions, c'est de convoquer les assemblées générales ; car les rois puisent dans la manifestation de l'attachement rie la nation une force supérieure aux intrigues et aux cabales des grands. Ces assemblées d'ailleurs , en supprimant les abus , détruisent l'aliment dont se nourrit l'esprit de sédition, auxiliaire de l'esprit de faction. Mais, pour que les assemblées puissent avoir celte utilité, il faut qu'elles soient vraiment générales; car si elles étaient le produit d'une combinaison astucieuse , si elles n'étaient nommées que par un parti , elles exciteraient la réaction des partis exclus cl troubleraient l'État au lieu de le pacifier. —Nous avons dit que le mot faction se prenait toujours en mauvaise part Cependant le cardinal de Retx , dont le caractère, il est vrai , n'était pas assez grave pour que ses paroles aient de l'autorité, ne fait pas de difficulté de dire qu'il avait quitté le parti de la cour pour passer dont la fociian. Toutes les factions, dans notre vieille

monarchie, n'avaient pas .

but final l'usurpation du trône ; très souvent un prince s'en allait mécontent parce qu'il n'avait pas obtenu le droit d'assister au conseil ou une charge a laquelle il se croyait droit, et tous ses amis se retiraient avec lui et formaient quelquefois des armées pour soutenir sa cause; mais ce n'était là qu une bouderie momentanée qui ne menaçait que le ministre en faveur et qu'on faisait cesser avec des gouvernements de province. Richelieu mil un terme à ce jeu en le rendant plus sérieux que les joueurs ne l'eussent voulu. Il était presque passé en maxime , dans notre ancienne monarchie, qu'un gentilhomme pouvait entrer avec honneur dans une faction , pourvu qu'un prince du sang en fût le chef. Saulx-Tavannes, dans ses Mémoires, professe cette singulière morale , qu'on voit mise en pratique dans tout le cours de notre histoire jusque dans des temps assez prés de nous. C'est que, dans les idées de nos pères, la royauté était au-dessus des lois et de la morale, et que tout ce ut tenait à elle participait i son caractère sacré. Il résultait lté que , par respect pour la royauté , ils n'hé-

silaient pas i se révolter contre le roi, quand ils avaient pour chef un membre de la famille dans laquelle la royauté était placée. Peut-être était-ce un reste des idées qu'on avait sous la seconde race , où on se croyait lié à la dynastie plus qu'au roi. Le progrès de la raison publique a détruit ce préjugé et a fait consister l'honneur dans la fidélité i l'institution et aux principes qui en font la force. Toutefois, les mots faction, factieux, ont conservé leur valeur en ce sens qu'on n'a jamais appelé factieux le prince qui défendait son droit, et faction le parti du roi légitime. H. de Loi'itixxrEit.

factionnaire, adj. [t. de guerre) , qui est obligé à taire faction. Dans cette acception , il est maintenant peu usité. 11 s'emploie plus ordinairement comme substantif, et signifie une sentinelle ou une vedette. Le premier capitaine factionnaire, on simplement le premier factionnaire d'un régiment , se disait autrefois du capitaine d'infanterie qui devait passer à la place de capitaine des grenadiers, quand elle venait i vaquer.

facto kace teomm.}, droit conventionnel que perçoit le facteur sur la valeur des marchandises dont il procure la vente.

factorerie ou factorik , s. f . , le lieu, le bureau ou sont les facteurs ou agents d'une compagnie de commerce en pays étranger. On ne le dit guère qu'en parlant des établissements de ce genre formés dans les Indes orientales par des Européens.

factoriblle (a/9.), produit dont les facteurs sont en progression arithmétique. Yandemonde a considéré le premier (V. Mémoires »e 1/ Académie des sciences, 1772, première partie) les produits de la forme

««-!) lfi-2) (—3) d»

Il les a par la

conservée par Lacroix dane son tiel. Suivant celte notation , on a

etc., etc.

ardre, et les a désignés

Traité du calcul diférea-

VACrOMBI.lt.

A pn's avoir examiné les propriétés principales de ces nomelles. Vandermonde en a tir* plusieurs conséquences remarquables, et entre autres cette belle expression de la circonférence du cercle

dont nous avons donné ailleurs une déduction. ( V. Ckrclk, 33.)

Depuis, Krainp a généralisé l'usage de ces fonctions en les appliquant à toutes les fonctions circulaires et à la détermination des intégrales des ordres supérieurs f V. Analyse des Réfractions astronomiques). Il leur avait donné d'abord le nom de facultés numériques; mais ensuite Arbogasle, dans son Traité 4es dérivations , les ayant désignées sous celui de fattorielles, Kramp a cru devoir adopter celle dernière dénomination clans son Arithmétique universel!*. Nous désig lierons donc, d 'après —s, par le nom de faclerietle un produit de la forme

l'accroissement r étant positif ou négatif, et nous conserve rons la notation de Kranip, qui est

a<\>=o a\'=a[a \-r) «V=«(«ff) («r2r) •V«iH^> (•+-*) ï«+3r) etc. , etc.

a-\r=a[a+r) (a rir)...{a+[m-i}r).

Dernièrement cnGn , M. Wronski a donné un nouveau degré d'importance à ces (onctions en les considérant sous un point de vue entièrement nouveau et en substituant aux facteurs "t l" + f), « + 2r) , etc. , une fonction arbitraire de ces mêmes facteurs. Généralisées ainsi T ces nouvelles fonctions forment une des parties les plus importantes de la science des nombres ; elles seront traitées dans ce Dictionnaire au mot Facultés algorithmiques , nom adopté par le savant auteur de la PSUowphie its mathématiques. Nous ne nous occuperons ici

3ue des factoriclles simples ou élémentaires, dont nous avons onné ci-dessus la construction , et qui peuvent être envisagées comme un cas particulier des faculté* '