STRUCTURE RÉTICULAIRE DES CORPS CRISTALLISÉS
Lorsqu’une substance prend, d’une manière suffisamment lente, l’état solide, elle revêt en général une forme géométrique régulière et produit ce qu’on appelle un cristal. Ces formes géométriques, que prend ainsi la matière dans les circonstances particulières où elle est libre de céder aux actions internes les plus délicates, ont une importance considérable pour le chimiste auquel elles ont fourni de précieuses données pour le groupement des divers corps simples en familles, naturelles.
Il est clair que la forme extérieure des cristaux est une conséquence de leur structure interne, et il n’est pas difficile de connaître les principaux traits de cette structure en les déduisant des propriétés les plus générales et les plus simples de la matière.
Nécessité de la structure réticulaire pour un corps cristallisé homogène. —
On sait que les corps solides, cristallisés ou non, sont en général homogènes; nous ne considérons du moins que ceux auxquels on peut donner cette qualification. Un corps est homogène quand un fragment séparé de la masse du corps possède les mêmes propriétés physiques quelque petit que soit le fragment, et quelle que soit la région du corps de laquelle le fragment a été extrait. C’est ainsi que tous les fragments d’un corps homogène possèdent la même densité, les mêmes propriétés optiques, thermiques, etc.
Dans les corps non cristallisés, dont le verre fondu peut être pris comme type, le corps est non seulement homogène, mais encore il jouit des mêmes propriétés suivant toutes les directions. C’est ainsi, pour prendre un exemple, qu’un rayon lumineux qui traverse une masse de verre est affecté de la même manière, se propage avec la même vitesse, quelle que soit la direction suivie par le rayon.
On peut alors expliquer l’homogénéité de la masse, en comparant celle-ci à un tas de sable qui peut être composé d’éléments disparates, mais que l’on pourra dire néanmoins homogène, si le mélange des éléments est convenablement intime. Dans ce cas, en effet, une droite quelconque qui traverse le tas, rencontre sur une certaine longueur d, qu’il faudra supposer très grande par
rapport à la dimension des grains, un nombre n de grains de chaque espèce qui sera le même quelle que soit la région du corps et quelle que soit la position de la droite.
Mais ce genre d’homogénéité ne saurait convenir aux corps cristallisés. Dans ceux-ci, en effet, les propriétés physiques sont bien identiques suivant toutes les directions parallèles, car autrement il n’y aurait point d’homogénéité, et une portion du corps prise à droite ne se comporterait pas comme une autre portion prise à gauche. Mais, et e’est ce qui constitue le caractère essentiel de la cristallisation, les droites de directions différentes ont en général des propriétés différentes. Prenons, par exemple, un cristal de quarz formé par un prisme hexagonal régulier que surmonte une pyramide régulière à [six faces. Il est bien évident que la direction, suivant laquelle s’allonge le prisme, ne peut être confondue avec l’une des directions qui coupent le prisme transversalement. Si, suivant toutes les directions, la constitution interne du corps était la même, la forme constante qu’affectent les cristaux de quarz apparaîtrait comme un effet sans cause. D’ailleurs l’étude des phénomènes optiques montre nettement qu’un rayon qui traverse le cristal de quarz, suivant une direction parallèle à l’une des arêtes du prisme, n’est point affecté de la même façon e* ne se propage pas avec la même vitesse qu’un rayon qui le traverse dans une direction tranversale.
Ces remarques très simples suffisent à nous donner une idée précise de la constitution interne d’un cristal.
Soit dans l’intérieur du cristal, qu’on peut supposer indéfini, pour ne pas compliquer le problème par la considération de la surface qui limite le corps,
un point quelconque A0 (fig. 1). Autour de ce point, la matière est répartie d’une certaine façon que nous ignorons entièrement. Mais l’homogénéité du .corps nous force d’admettre qu’il y a dans le corps un nombre infini de points autour desquels la répartition se fait exactement de la même façon, sans què nous sachions d’ailleurs ni quel est le nombre de ces points, ni quelle est
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la distance mutuelle qui les sépare. Nous les appellerons des points analogues.
Soit Ai un point analogue de A et que nous choisirons de telle sorte qu’il n’y ait, sur la droite qui les joint, aucun autre point analogue. Nous prolongerons cette droite de part et d’autre dans les deux sens. Nous prenons sur cette droite un point A2 tel que
le point â2 est un autre point analogue de A0, car autrement la matière ne serait pas distribuée autour de A4, comme elle l’est autour de A0. En répétant la même opération indéfiniment, on voit sans peine que la droite considérée contient un nombre infini de points analogues, tous équidistants d’une longueur égale à a ; cette longueur a est ce qu’on appelle le paramètre de la droite.
Prenons encore au dehors de la droite A0 Ai un autre point analogue B0 choisi de telle sorte qu’en faisant, dans le plan déterminé par B0 et A0A4, mouvoir parallèlement à elle-même la ligne A^Aj, elle nerencontre aucun point analogue avant de venir passer par B0. Joignons B„ et A„ ; ces deux points sont séparés par une longueur b, et nous verrons, par un raisonnement entièrement analogue à celui qui vient d’être employé pour la droite A0A4,que la droite A0B0 rencontre un nombre indéfini de points analogues équidistants d’une longueur égale à b qui est le paramètre de la nouvelle direction.
Dans le plan des deux droites A0Ai et A0B0 menons par chaque point analogue des droites parallèles à l’autre. Toutes les droites AJBi, A2B2 parallèles à A0B0 doivent jouir des mêmes propriétés que cette droite, et chacune d’elles rencontrera un nombre infini de points analogues équidistants d’une longueur égale h b. Ces points seront précisément ceux qui seront déterminés par les intersections des droites parallèles à A0B0 avec les droites parallèles à A0Ai menées par les points analogues de A0B0, et dont chacune. aura le même paramètre a que A0A4.
Il résulte de là que les points analogues forment, dans le plan B0A0Ai, les nœuds d’un réseau dont la maille parallélogrammique est égale au parallélogramme ayant A0A4 et AoBo pour côtés. Ce plan est ce qu’on nomme un plan réticulaire.
En vertu de la construction même, il est clair qu’en dehors des nœuds du réseau, le plan ne contient aucun autre point analogue. En effet, s’il en existait un dans l’intérieur ou sur les côtés de l’une des mailles, il se répéterait dans l’intérieur ou sur les côtés de toutes les mailles, car sans cela tous les nœuds du réseau n’auraient point des propriétés identiques. Or, il ne peut point exister de point analogue entre les deux droites parallèles A0Ai et B0Bi, car la droite AoAj dans son mouvement de translation l’aurait rencontré avant B0, contrairement à la construction ; il ne peut pas en exister non plus entre B0 et Bj, car il y en aurait un autre semblablement placé entre A0 et A„ ce qui est encore contraire à la construction.
Faisons maintenant mouvoir, "parallèlement à lui-même, le plan réticulaire BoAoAi, jusqu’à ce qu’il vienne rencontrer un point analogue A'„, la
droite A0A</ deviendra une autre rangée dont le paramètre c sera égal à A0A0' et qui contiendra un nombre infini de points analogues équidistants de la longueur c. Il est évident que, dans le plan passant en A'0 et parallèle au plan réticulaire B0A0Ai, nous pouvons répéter en partant de A'0 la construction faite dans ce plan en partant de A0. Nous obtiendrons ainsi un nouveau plan réticulaire dans lequel les nœuds occuperont les positions que prendraient dans l’espace ceux du premier plan auxquels on aurait fait décrire une longueur rectiligne égale et parallèle et A0A'0.
La même construction pourrait se répéter pour tous les points analogues lie A0A'0.
Le corps que nous avons supposé indéfini contient donc un nombre infini <3e points analogues, c’est-à-dire de points autour desquels la répartition de la matière se répète périodiquement d’une façon identique, et tous ces points forment comme les nœuds d’un certain système réticulaire. Ce système peut être conçu lui-même comme engendré par la juxtaposition d’un nombre infini de parallélipipèdes tous égaux et parallèles, au parallélipipède construit sur les 3 arêtes A0At, A0B0, A0A'0. C’est ce que nous appellerons la maille parallélipipédique du système ; c’est encore ce que le créateur de la cristallographie, l’illustre abbé Haüy, appelait la molécule intégrante.
Nous sommes parti, pour définir la constitution du corps, d’un point A0, autour duquel la répartition de la matière est quelconque et nous avons cherché quelle est la position de tous les points analogues de A0. On peut se demander si l’on trouverait le même système réticulaire en cherchant la position de tous les points analogues d’un autre point a0 pris comme point de départ. Menons d’abord A 0a0, puis par chacun des points analogues de A0 des droites égales et parallèles à A 0a0. Il suit, de la définition même des points analogues, que les extrémités de toutes ces droites seront des analogues de a0; le système réticulaire des points analogues de a0 n’est donc que celui des points analogues de A0 auquel on a fait subir une translation égale et parallèle à A 0«0.
Il y a donc pour un même corps, un système réticulaire qui convient à tous les systèmes de points analogues, et qui est une des données physiques essentielles et constitutives de ce corps.
Il résulte de ces raisonnements très simples, et qu’on peut dire exempts de toute hypothèse, que la constitution d’un corps solide homogène dépend essentiellement de deux éléments entre lesquels on ne peut établir de relation qu’en faisant appel à d’autres considérations. . Ces éléments sont :
1° Le système réticulaire, dont les nœuds sont le lieu géométrique de tous les points autour desquels la répartition de la matière se répète périodiquement d’une façon identique ; ce système est connu lorsqu’on connaît la maille parallélipipédique du système,
2° La loi de répartition de la matière autour de chacun des nœuds du système réticulaire.
Ou peut donner le nom de molécule cristalline à cette portion de la matière
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du corps qui se répète toujours identique à elle-même autour de chacun des nœuds du système réticulaire. Il faut remarquer que cette molécule cristalline est nécessairement formée par une ou plusieurs molécules chimiques groupées ensemble, car il est évident que les proportions pondérales des corps constituants doivent être les mêmes clans cette molécule que dans le corps tout entier.
Il est très important d’ajouter que les données que nous venons d’acquérir sur la constitution interne des corps cristallisés sont entièrement indépendantes de la théorie atomique, qu’elles resteraient vraies si l’on niait l’existence des atomes, ou si on les remplaçait par des mouvements d’une certaine nature, excités dans un fluide universel. Elles ne sont fondées, en réalité, que sur la notion de l’homogénéité. Ces données rationnelles peuvent donc jouer, dans la science des corps cristallisés, le même rôle que jouent dans la physique celles que l’on emprunte à la théorie rationnelle de la mécanique.
Conséquences géométriques de la structure réticulaire des corps cristallisés.
— Le cadre dans lequel nous devons nous renfermer ne nous permet pas de montrer quelles sont toutes les conséquences géométriques qui se déduisent de la structure réticulaire des corps. Nous nous contenterons de quelques indications nécessaires.
Constance du volume de la maille. — Toute droite menée par deux nœuds est une rangée, c’est-à-dire passe par un nombre infini de points équidistants. Tout plan mené par trois nœuds est un plan réticulaire, c’est-à-dire contient un nombre infini de nœuds formant les sommets d’un réseau à maille parallélogrammique. Au lieu de partir, pour constituer le système réticulaire, des trois rangées k9ki, A0B0, A0A'0, nous aurions pu partir de trois autres dont le choix ne serait pas tout à fait arbitraire, mais qui seraient néanmoins en nombre infini. Il y a donc une infinité de mailles parallélipipédiques différentes, qui peuvent également bien former le système réticulaire du corps. Mais toutes ces mailles ont le même volume. En effet, dans tous les systèmes réticulaires que l’on peut imaginer comme remplissant l’espace occupé par le corps, le nombre de nœuds, qui est celui des points analogues, est le même ; le nombre des mailles parallélipipédiques est donc le même, et comme l’espace total qu’elles occupent est toujours le même, le volume de chacune d’elles est aussi le même. Le volume de la maille parallélipip édique est donc une donnée caractéristique du corps. Si l’on connaissait le poids n de la molécule cristalline, et le volume O de cette maille, la densité D du corps serait
On verrait de même que dans un plan réticulaire on peut donner au réseau qui relie tous les points analogues, une infinité de mailles différentes, mais que toutes ces mailles ont la même surface.
Si l’on imagine deux plans réticulaires contigus, c’est-à-dire entre lesquels
il n’y ait aucun nœud, on appellera strate l’espace compris entre ces plans. On peut imaginer le cristal comme formé par l’empilement d’un nombre infini de strates semblables à celle-là. La maille parallélipipédique du système est un certain parallélipipède qui a ses deux bases dans les deux plans qui limitent la strate ; son volume Q est donc égal à la surface de cette base, qui est la maille « du plan réticulaire, multipliée par l’épaisseur normale d de la strate. On a donc :
n = ad,
O étant une constante, on voit que l’épaisseur d de la strate correspondant à un certain plan réticulaire est en raison inverse de l’aire de la maille qui correspond à ce plan. Les plans réticulaires dont la maille est petite, c’est-à-dire ceux qui ont le plus grand nombre de nœuds dans l’unité de surface sont ceux qui sont les plus écartés les uns des autres, et réciproquement. Lorsque les plans réticulaires contigus sont très écartés, on conçoit que la force de cohésion qui les relie les uns aux autres est faible, et s’il y a une tendance au décollement des plans réticulaires empilés les uns sur les autres, cette tendance sè fera surtout sentir suivant les plans réticulaires dont la densité réticulaire est la plus forte. Telle est l’explication du curieux phénomène du clivage, si caractéristique pour les corps cristallisés, et sur lequel nous reviendrons.
Coordonnées numériques d’un nœud. — Soit, dans un certain milieu cristallisé, un quelconque des parallélipipèdes capables de former la maille d’un système réticulaire comprenant tous les nœuds ; on convient de prendre les trois arêtes de ce parallélipipède comme axes coordonnés. On convient, en outre, pour fixer les idées de prendre pour axe des z la hauteur du prisme et les arêtes de la base pour axes des x et des y.
Dans la figure 1, les droites A0A2, A0A"0, A0C0 sont les trois axes positifs des x, des y, des Z. On convient de les énoncer toujours dans l’ordre qui vient d’être suivi, en commençant par l’axe des x et finissant par l’axe des z ; la même règle s’applique à tous les nombres qui se rapportent respectivement à ces trois axes.
Si l’on mène par tous les nœuds du plan C0A0A"0 des parallèles à l’axe des x, on a un système de rangées qui comprend tous les nœuds du système. Un nœud quelconque, situé sur une des rangées, est séparé du plan des zy par une longueur égale à ma, m étant un certain nombre entier, et a le paramètre de la rangée des x. Le nombre m est positif ou négatif suivant que le nœud est situé à droite ou à gauche du plan des zy.
De même, si l’on mène par les nœuds du plan C0A0A2 des rangées parallèles à l’axe des y, la distance d’un nœud au plan des xy, évaluée sur la direction de la rangée qui le contient, est égale à nb, n étant un nombre entier, positif ou négatif, suivant que le point est situé en avant ou en arrière du plan des xz. 1 Enfin, en menant par tous les nœuds du plan A2A0A"0 des rangées parallèles à Taxe des z, on verrait que la distance d’un nœud au plan A2A0A"0 évaluée suivant une parallèle à Taxe de z, est égale à pc, p étant un nombre entier,
MALLARD, — CRISTALLOGRAPHIE
positif ou négatif suivant que le nœud est situé au-dessus ou au-dessous du plan des xy, c étant le paramètre des rangées parallèles à l’axe de z.
La position d’un nœud quelconque est définie lorsqu’on donne les trois quantités ma, nb, pc qui sont les trois coordonnées du point par rapport aux axes coordonnés des x, des y et des z. Les longueurs a, b, c sont des longueurs qui restent les mêmes pour les coordonnées de tous les nœuds ; si l’on convient une fois pour toutes que ces longueurs représentent les paramètres respectifs des axes coordonnés, on pourra représenter la position d’un nœud quelconque dans l’espace par les trois nombres entiers, m, n, p, qui peuvent être d’ailleurs positifs ou négatifs. Ces nombres sont les coordonnées numériques du nœud. C’est ainsi que, dans la figure 1 le nœud C'i a pour coordonnées numériques 1,1, 2, et toute amphibologie est évitée si l’on garde toujours la convention d’énumérer ces nombres dans l’ordre des axes respectifs x, y, z auxquels ils se rapportent.
Caractéristique d’une rangée. — Si l’on donne une rangée quelconque, il y en a toujours une qui lui est parallèle et qui passe par l’origine. Or, celle-là peut être définie en disant qu’elle passe par un nœud dont les coordonnées numériques sont données. Ces coordonnées sont appelées alors les caractéristiques de la rangée. Ainsi la rangée A0B'i passant par le point B'j dont les coordonnées numériques sont 1, 1,1, a pour caractéristiques 1, 1, 1 ; la rangée A0B'a a pour caractéristiques 2, 1, 1. On représente conventionnellement une rangée en plaçant les [caractéristiques entre deux crochets; le signe [2,1,1] désigne donc la rangée AB'2. Il est bien entendu que les caractéristiques sont toujours écrites dans l’ordre dont nous sommes convenus, en commençant par celle qui se rapporte à l’axe des x et finissant par celle qui se rapporte à l’axe des z.
Il est clair que le nœud qui suit B'0 sur la rangée, lorsqu’on le parcourt en s’éloignant de A0, a des coordonnées numériques doubles de celles de A0, et ainsi de suite ; le nœud le plus rapproché de l’origine est donc celui dont les caractéristiques sont des nombres premiers entre eux.
Longueurs numériques interceptées par les plans réticulaires. — Soit dans le plan des a?ÿ,par exemple, un système de rangées parallèles à st (fig. 2); les diverses rangées successives comprennent entre elles des bandes d’égale largeur, qui découpent sur l’axe des» des longueurs toutes égales à a, et sur l’axe
des y des longueurs toutes égales à (3. La longueur « est une partie aliquote - (p étant entier) du paramètre a de l’axe des x, puisque le système de rangées considéré contient tous les nœuds du plan et, par conséquent, tous ceux de la
rangée des x. On verrait de même que P est une partie aliquote - du paramètre b de l’axe des y. C’est ainsi que dans la figure, « ou 0« est le ^ de a ou
OA; p ou 0(3 est le ç de b ou OB.
Les longueurs interceptées sur les axes par une rangée dont le numéro
d’ordre est N, sont - a et — b: elles sont donc entre elles dans le rapport des f* V-
fractions - et -, ou des nombres v et y. Ces nombres sont appelés les longueurs,
numériques interceptées par le système des rangées considérées sur les axes, a et y. C’est ainsi que le système de rangées parallèles à st (fig. 2), intercepté sur les axes x et y des longueurs numériques respectivement égales à 2 et à 3 ; ce qui veut dire que les longueurs 0«i, 06i, interceptées sur les axes par la / 7 7
rangée d’ordre 7, par exemple, sont égales à g « et g b.
Fig. 2.
Un système de plans réticulaires parallèles entre eux comprend tous les nœuds du système réticulaire, et par conséquent, tous ceux d’un plan coordonné quelconque, celui des xy par exemple. Les intersections detousces plans parallèles avec leplan des xy sont des droites parallèles, et l’on démontrerait, par un procédé de démonstration identique à celui qui a été employé plus haut, que la droite correspondant au plan réticulaire d’ordre N, intercepte sur les axes
On verrait de même que l’intersection du plan réticulaire considéré avec le plan
MALLARD — CRISTALLOGRAPHIE
des zy, intercepte sur les axes des y et des z des longueurs égales à-^ b eL y. c; N N N
on appelle - ^ p les longueurs numériques interceptées sur les axes coordonnés par le plan réticulaire de rang N. Le système de plans réticulaires 1 1 1
parallèles est défini par les fractions - , , ou par leurs inverses g, h, le ;
ces inverses sont les caractéristiques du plan. Le signe (g h le) sert à indiquer le système de plans dont les caractéristiques sont g, h, le. Il n’est pas besoin d’ajouter que ces caractéristiques peuvent être positives ou négatives.
Symboles servant à représenter les faces d’un cristal. — Un ci'istal d’un sel quelconque, placé dans une dissolution saturée de ce sel, s’accroît en restant semblable à lui-même; la constitution intérieure d’un corps cristallisé n’éprouve donc pas de perturbation dans le voisinage de la surface, puisque, pendant l’accroissement du cristal, ce qui est à un certain moment la région superficielle devient plus tard une région interne. Un cristal est donc formé par un certain système de nœuds qui, au lieu d’être indéfini comme on l’a supposé ’usqu’ici, est limité par une certaine surface. L’expérience montre que cette surface est un polyèdre ; les faces de ce polyèdre passent nécessairement par les molécules superficielles du corps, ou, pour préciser davantage, par les centres de gravité de ces molécules superficielles, c’est-à-dire par les nœuds superficiels du système réticulaire. Ces faces sont donc des plans réticulaires. Dans un cristal il y a toujours trois droites auxquelles correspondent trois paramètres et telles que le parallélipipède construit sur ces trois paramètres est la maille du système réticulaire. Toute face cristalline intercepte sur ces trois droites qui prennent le nom d’axes cristallographiques, des longueurs numériques qui
sont entre elles comme trois fractions -, y ^ ayant pour numérateurs l’unité
et pour dénominateurs des nombres entiers g, h, le. Si l’on réduisait les fractions au même dénominateur, les numérateurs deviendraient les nombres entiers kh, gk, hg; et les longueurs numériques sont entre elles comme ces trois nombres entiers.
On déduit de là un moyen très simple de se représenter la forme d’un cristal possédant un nombre plus ou 'moins grand de faces. On imagine un parallélipipède fini, semblable au parallélipipède très petit qui est la maille du système réticulaire. Les arêtes de ce parallélipipède figurent les axes coordonnés et les grandeurs de ces arêtes en sont les paramètres, ou, ce qui revient au même, elles sont proportionnelles à ces paramètres. Un plan réticulaire ( ghk ) viendra couper les trois arêtes de ce parallélipipède en des points a, b, c, interceptant à partir du sommet A' (fig. 3), des longueurs «', A.' b, A'c, qui seront entre elles
dans les rapports ou, en posant:
m = hk n
dans les rapports ma, nb,pc.
— kg p = gh,
Si donc on divise l’arête A'A en petites parties égales à a, puis A'B en petites parties égales à b, et enfin A'G en parties égales à c; si l’on prend ensuite A 'a — ma, A'b — nb, et A ’c = pc, le plan mené par a, b, c est le plan réticulaire ( ghk ) ou un plan réticulaire parallèle. Le prisme ou parallélipipède fini et semblable au parallélipipède infiniment petit, qui forme la maille du système réticulaire, est ce que Haüy appelle la forme primitive du cristal. Cette forme primitive est limitée par des plans réticulaires; le plan AA'C qui est parallèle au plan des xî rencontre à l’infini l’axe des x et celui des y, tandis qu’il rencontre l’axe des z à une distance numérique m ( m étant indéterminé) de l’origine; on aura donc :
Le symbole du plan de xz est ainsi (OmO) ou (010), en supprimant le facteur commun.
, Si le plan réticulaire st s't' (fig. 4) intercepte sur A'B une longueur AT — mb, sur A'C une longueur h! s' — ne, et s’il est parallèle à A'A, c’est-à-dire s’il
intercepte sur. cette droite une longueur égale à oo = g, le symbole du plan
ou (Onm), en multipliant les trois caractéristiques par le pro¬
duit mn. Ce plan réticulaire, se produisant en même temps que le prisme primitif, supprimé l’arête AA' ; on dit qu’il est placé sur cette arête ou. qu’il la tronque.
Le cristal peut être limité à la fois par les plans du prisme primitif, et ceux des plans abc et st s't'-, il a alors la forme représentée par la figure 5. On
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peut définir cette forme en disant qu’elle est formée par l’assemblage des plans réticulaires suivants :
(100) et (Ï00), (010) et (OÏû), (OOl) et (OOÏ),
c’est-à-dire les six faces du prisme primitif:
(glik) et (Onm)
Fig. 5.
Il faut remarquer que nous laissons toujours indéterminée la position absolue des plans réticulaires dans l’espace, nous bornant à fixer Vorientation de ces plans. C’est qu’en effet, c’est cette orientation seule qui est en jeu. Supposons en effet un cristal en voie d’accroissement; au nombre de ces plans limités se trouve, à un certain moment, un plan réticulaire. Au moment suivant, il se sera dépose sur le cristal une nouvelle couche de substance, le système réticulaire se sera accru d’un certain nombre de mailles, et le premier plan réticulaire aura été remplacé comme plan limite par un plan réticulaire parallèle, sans que le cristal ait éprouvé dans sa forme aucune modification essentielle.
