SYMÉTRIE DES CRISTAUX

Définition des éléments de symétrie d’une figure. — Ce que 110US Venons de

dire serait à peu près tout ce qu’on pourrait dire de général sur les formes cristallines des corps, si l’observation ne montrait que la plus grandepartie des cristaux formés par la nature présentent une symétrie plus ou moins parfaite. Il est clair que cette symétrie ne saurait être l’effet du hasard, et qu’elle doit se rattacher aux lois les plus intimes de la constitution interne du cristal; elle présente donc un intérêt considérable et a fourni aux cristallographes un important sujet d’études. Avant d’aborder cette question capitale, il faut préciser ce qu’on entend en géométrie sous le nom de symétrie, et à’ éléments de symétrie.

Les éléments de symétrie sont les points, les droites et les plans.

Centre de symétrie. — Un point ou centre de symétrie est un point tel que si, dans un milieu qui possède cet élément de symétrie, on joint un point m

la

Fig. 6.

quelconque, au centre de symétrie O (fig. 6), on trouvera en prolongeant mO au delà du centre d’une quantité égale à Om, un autre point n qui jouit de toutes les propriétés de m, et ne peut être distingué de celui-ci que lorsqu’on a placé arbitrairement le milieu, de manière par exemple que m soit en haut lorsque n est en bas. Dans un corps ayant un centre, il n’y a, à proprement parler, ni haut ni bas, ni droite ni gauche, ou plutôt toutes ces désignations ne peuvent s’appliquer qu’à la position actuelle des diverses parties du corps.

MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE

Axe de symétrie. — On dit qu’un corps possède un axe de symétrie lorsqu’en faisant tourner le corps d’un certain angle autour de cet axe, le corps ne paraît pas avoir changé de position dans l’espace.

On voit, d’après cette définition, qu’il y a à indiquer, pour un axe de symétrie, non seulement la position de cet axe dans l’espace, mais encore l’angle de la rotation qu’il faut imprimer autour de l’axe pour ramener le corps en coïncidence avec lui-même, ou, comme on le dit souvent, pour le restituer.

Cet angle peut toujours être supposé égal à une fraction - de tour. Il est aisé Je démontrer que n est un nombre entier, ou que l’angle de rotation est néces-

sairement une fraction aliquote de la circonférence. En effet, supposons que soit la plus petite fraction de tour qui doit être accomplie par le corps pour

qu’il soit restitué. Après avoir fait décrire au corps une fraction - de tour,

celui-ci étant restitué, on peut encore lui faire décrire - de tour et la restitution 1 n

est opérée de nouveau, et ainsi de suite. Supposons qu’après avoir procédé ainsi successivement, on arrive à restituer le corps après lui avoir fait décrire

(1 \ 1 1 1 — —, J tour, — , étant plus petit que en

faisant décrire alors au corps —, tour, un tour entier aura été accompli et le

corps sera nécessairement restitué. La fraction - n’était donc pas, comme on l’avait supposé, la plus petite fraction de tour amenant la restitution du corps.

D’où l’on déduit qu’après un nombre entier de rotations égales à - de tour, on aura accompli un tour entier, c’est-à-dire que n est entier.

Le nombre entier n est l’ordre ou le degré de l’axe. L’axe de symétrie est

d’ordre 2 lorsque le corps est restitué par une rotation de g tour ou de 180 degrés autour de l’axe ; on donne à cet axe la qualification de binaire. L’axe

est d’ordre 3 lorsque le corps est restitué par une rotation de g tour ou de

120 degrés; c’est un axe ternaire. Il est d’ordre 4 ou quaternaire lorsque le \

corps est restitué par une rotation de g tour ou de 90 degrés. Un axe d’ordre

5 ou quinaire correspond à une restitution par une rotation de g tour ou 72 de-

grés ; un axe d’ordre 6 ou sénaire, à une restitution par une rotation de g tour eu 60 degrés.

On démontre que la cristallographie n’a jamais à s’occuper d’axes de symétrie de degré supérieur à 6, ni d’axes quinaires ou de degré 5.

Pour citer immédiatement des exemples des différents degrés de symétrie

autour des axes, nous dirons que dans un prisme la parallèle aux arêtes menées par le centre est : un axe sènaire si la section droite est un hexagone régulier; un axe quaternaire si la section droite est un carré ; un axe ternaire si la section droite est un triangle équilatéral ; un axe binaire si la section droite est un parallélogramme.

Plan de symétrie. — Il ne nous reste plus qu’à parler du plan de symétrie ‘ c’est, comme on le définit dans tous les traités de géométrie élémentaire, un

plan P tel que si l’on prend un point m du corps, sur la droite mp, menée perpendiculairement à P et prolongée de l’autre côté de ce plan d’une longueur vn égale à pin, se trouve un point n qui ne peut se distinguer du point m que par la position arbitraire donnée au corps.

Dépendance mutuelle des éléments de symétrie d’une figure. — Les éléments de symétrie d’un corps ou d’une figure peuvent être plus ou moins nombreux. Il est clair, par exemple, qu’un cube a trois axes de symétrie quaternaires, qui sont les perpendiculaires menées du centre sur chaque face, utt centre de symétrie qui est le centre du cube, et trois plans de symétrie qui sont parallèles aux faces et menés par le centre.

Les éléments de symétrie d’une même figure ne sont pas toujours indépendants les uns des autres, et il arrive que la présence d’un certain nombre d’entre eux entraîne, par une nécessité géométrique, la présence d’un ou de plusieurs autres.

Nous ne pouvons entrer ici dans l’examen détaillé de cette dépendance mutuelle, et nous sommes forcé de renvoyer le lecteur curieux de cette étude à notre traité de cristallographie géométrique et physique. Nous pouvons seulement faire remarquer que, de cette dépendance nécessaire, il résulte que la Symétrie du corps n’est point variée à l’infini, qu’elle ne résulte pas des combinaisons deux à deux, trois à trois, etc., de tous les éléments de symétrie possibles, mais qu’il existe certains groupes de symétrie caractérisés par la coexistence nécessaire d’un certain, nombre d’éléments.

Modes de symétrie compatibles avec là structure particulière des corps

cristallisés. — Le nombre de ces modes de symétrie est assez grand pour les corps

MALLAftî). — CRiSTAIXOCHAPHiË. 623

quelconques, mais il se réduit beaucoup lorsqu’on ne considère que les corps cristallisés. La recherche de tous les modes distincts de symétrie compatibles avec les données déjà acquises sur la structure cristalline, l’étude détaillée des particularités que chacun de ces modes impose à la forme des polyèdres qui limitent le cristal vont maintenant nous occuper.

Nous remarquerons d’abord que la constitution interne d’un cristal, ou, Comme nous conviendrons de l’appeler plus spécialement, l’édifice cristallin, dépend exclusivement de deux données indépendantes l’un de l’autre, ou du moins entre lesquelles les idées exposées jusqu’ici n’établissent aucun lien ; ce sont la structure réticulaire d’une part et la forme ou, pour parler plus correctement peut-être, la constitution interne de la molécule. Cette dernière donnée peut être définie par un certain polyèdre qui prend le nom de polyèdre moléculaire. En effet, la répartition de la matière dans l’espace qu’occupe la molécule peut se définir par les propriétés spéciales que cette répartition impose temporairement à certains points de cet espace. L’ensemble de ces points, quelque nombreux qu’on les suppose, forme le polyèdre moléculaire. Ce polyèdre n’est pas d’ailleurs suffisamment connu par ses seules propriétés géométriques ; il faut encore ajouter la connaissance de la nature particulière de la matière qui en occupe les sommets. En d’autres termes, le polyèdre moléculaire n’est complètement défini que lorsque l’on connaît à la fois sa forme géométrique et la nature physique de chacune de ses parties.

Ce polyèdre, défini comme il vient de l’être, peut admettre des éléments de symétrie, centre, axes ou plans, et peut même être doué de tous les modes de symétrie géométriquement possibles, car la forme en est la plus générale possible et n’est soumise à aucune restriction.

Le système réticulaire admet ainsi des éléments de symétrie ; mais ce système de points géométriques est un polyèdre dont la généralité est bien moindre que celle du polyèdre moléculaire. Il en résulte que tous les éléments de symétrie et tous les modes de symétrie imaginables ne lui conviennent pas.

Quoi qu’il en soit, la symétrie de V édifice cristallin est, en quelque sorte, là résultante de celles du polyèdre moléculaire d’une part et du système réticulaire de l’autre. Pour qu’un élément de symétrie appartienne à l’édifice cristallin il faudra qu’il appartienne à la fois au polyèdre moléculaire et au réseau. Supposons, par exemple, qu’en faisant tourner le réseau de 120 degrés autour d’une certaine droite, on restitue les nœuds du réseau, le cristal ne sera cependant pas restitué et la droite ne sera pas un axe ternaire de l’édu.'cè cristallin si, après cette rotation, les polyèdres moléculaires ne sont pas eux-mêmes restitués.

InUucnee îles éléments de symétrie de l’édifice cristallin sur la formation des cristaux. — Il est aiséde comprendre de quel intérêt est, pour l’observateur, la présence ou l’absence d’éléments de symétrie dans un édifice cristallin. Supposons, en effet, un cristal en voie de formation ; les molécules se groupent suivant un système réticulaire dont la forme est une des caractéristiques essentielles du corps ; mais ce réseau se limite suivant des plans réticulaires que déterminent des causes secondaires. Ces causes ne peuvent être cherchées que dans la

manière dont les circonstances extérieures influent sur la formation cristalline. Aussi remarque-t-on que lorsque les circonstances extérieures, au milieu desquelles se forme le cristal (telles que pression, température, composition du liquide cristallogène, etc.), viennent à changer, les plans réticulaires qui limitent le cristal changent en général, et la forme extérieure peut éprouver des modifications considérables.

Or, ces causes extérieures sont les mêmes en tous les points du milieu dans lequel le cristal prend naissance. Supposons qu’elles donnent naissance à un certain plan réticulaire limite, dont le symbole est, d’après les conventions faites plus haut, représenté par (ghk). Si dans le cristal il* y a un axe de symétrie ternaire par exemple, en faisant tourner le réseau de 120 degrés autour de cet axe le plan réticulaire (ghk) viendra en coïncidence avec un autre plan réticulaire ( g'h'k '). Tout ce qu’on dit de l’un de ces plans peut être dit de l’autre, puisqu’il ne peuvent être distingués l’un de l’autre, avons-nous dit, que par la position arbitraire donnée au cristal. Les mêmes causes, quelles qu’elles soient, qui ont déterminé le plan (ghk) à figurer comme plan limite, détermineront aussi le plan (g'h'k1) à figurer comme plan limite.

Nous n’avons aucune notion sur la manière dont les circonstances extérieures influent sur le choix de tel ou tel plan réticulaire pour former la surface limite du cristal, mais nous arrivons à cette conclusion que, s’il y a dans le cristal un élément de symétrie, tous les plans réticulaire^ qiii, en vertu de cette symétrie, doivent être considérés comme identiques entre eux et ne se distinguent les uns des autres que par la position actuelle du corps dans l’espace, devront en même temps faire partie de cette surface limite ou en être écartés en même temps. La présence de l’un d’entre eux entraînera forcément celle de tous les autres.

Cela revient à dire que le polyèdre qui limite extérieurement le cristal a les mêmes éléments de symétrie que l’édifice cristallin.

L’ensemble des plans dont la coexistence, dans un même cristal, est nécessaire, forme un certain polyèdre qu’ou appelle une forme simple.

Classification dos modes de symétrie distincts qui peuvent appartenir à un système réticulaire. — Systèmes cristallins. — Pour chercher tOUS les modes distincts de symétrie, dont peut jouir un édifice cristallin, nous commencerons par chercher tous les modes de symétrie qui peuvent appartenir à un système réticulaire. Il faut remarquer d’abord que ce système doit être supposé indéfini, en ce sens que nous ne nous occupons pas de la façon dont il peut être limité.

Il est clair aussi que toutes choses se répétant périodiquement et d’une manière identique en chaque nœud, il y a, en réalité, autant d’éléments de symétrie que de nœuds; mais on aura tous les éléments de symétrie réellement distincts en cherchant tous ceux qui existent autour d’un seul nœud. i

Sans entrer dans la discussion approfondie de ce problème, ce quinous mènerait trop loin, nous dirons qu’il résulte de cette discussion que les seuls modes de symétrie possibles pour un système réticulaire sont ceux qui. sont définis par les caractères suivants.

MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE

1. Système cubique ou ter quaternaire. — La maille du réseau peut être représentée par un cube (fig. 8). Il y a, passant par le centre :

1° Trois axes de symétrie quaternaires qui sont parallèles aux arêtes du

2° Quatre axes ternaires qui sont les diagonales du cube ;

3° Six axes- binaires qui sont les droites joignant deux à deux les milieux des arêtes opposées ;

4° Trois plans de symétrie perpendiculaires respectivement aux axes quaternaires, c’est-à-dire parallèles aux faces ;

5° Six plans de symétrie respectivement perpendiculaires aux six axes binaires, et qui sont les plans diagonaux.

Il est commode de représenter les modes de symétrie en désignant un axe d’ordre n par Ln, un centre de symétrie par G, un plan de symétrie perpendiculaire à un axe Ln par Pn. Le symbole qui représentera la symétrie du système cubique sera alors :

2. Système hexagonal ou sénaire. — La maille est un prisme dont la base est un rhombe de 120 degrés. Trois prismes semblables assemblés, suivant l’arête du prisme qui aboutit à un angle obtus de rhombe, forment un prisme hexagonal régulier dont l’axe est un axe de symétrie sénaire (fig. 9).

Il y a six autres axes de symétrie binaires qui sont parallèles aux rayons et aux apothèmes de la section droite du prisme ; ces axes ne sont pas identiques entre eux, nous désignerons ceux qui sont parallèles aux rayons par L et les autres par L'. Il y a, en outre, sept plans de symétrie ; l’un (qu’on appelle le plan principal) .est perpendiculaire à l’axe sénaire ou principal ; les six autres sont respectivement perpendiculaires aux six axes binaires. Le symbole de la symétrie est :

3. Système rhomboédrique ou ternaire. — La maille a toutes ses arêtes égales entre elles et tous ses angles dièdres égaux entre eux ou supplémen -

encïclop. cm a. 40

taires, c’est ce qu’on appelle un rhomboèdre, parce que toutes les faces en sont des rhombes et des rhombes égaux entre eux. Il y a, dans ce parallélipipède deux sommets A et A' (fig. 10), opposés par le centre, dont les angles sont égaux entre eux ; la droite AA' qui joint ces sommets est un axe ternaire ; il est clair, en effet, qu’après une rotation de 120 degrés autour de AA' les trois arêtes AE qui aboutissent au sommet A, seront restituées, ce qui entraîne la restitution du parallélipipède.

Les angles solides E, Ë', qui ne sont pas situés sur l’axe ternaire, et qu’on appelle les angles latéraux, figurent une sorte d’hexagone en zigzag qui, lorsqu’on place l’axe ternaire vertical a ses arêtes alternativement montantes et descendantes. Si l’on joint deux à deux les milieux de deux de ces arêtes opposées, on obtient trois droites «i«*, a3a-0, a3a6, qui font entre elles des angles égaux et dont les extrémités ai} «2, «3» etc., figurent un hexagone régulier plan. Ces droites sont des axes de symétrie binaire du rhomboèdre. En effet a ifl* est parallèle à EE, qui est perpendiculaire sur AE', situé dans le même plan ; il est

d’ailleurs perpendiculaire sur AA', donc il est .perpendiculaire sur le plan AA'E', et par conséquent sur EajE' qui est parallèle à ce plan. Donc une demirévolution amènera AenA',EenE', ce qui implique la restitution du rhomboèdre.

Les plans tels que EAA' qui passent par l’axe ternaire et les arêtes culminantes sont perpendiculaires aux axes binaires et sont des plans de symétrie. Le symbole de la symétrie du système est :

4° Système quaternaire ou quadratique. — La maille est un prisme droit à hase carrée. L’axe du prisme est un axe de symétrie quaternaire; c’est l’axe principal. Il y a quatre axes binaires qui sont les rayons et les apothèmes de la section droite. Il y a un plan de symétrie principal perpendiculaire à l’axe principal, et trois axes de symétrie passant par l’axe quaternaire, faisant entre eux des angles de 45 degrés et respectivement perpendiculaires sur les axes binaires. Les axes binaires dirigés suivant les apothèmes de la section droite

MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE

ne jouent pas le même rôle que ceux qui sont dirigés suivant les rayons; on désignera les premiers par L, les seconds parL', et le symlwledela symétrie du système est :

L4, 2 L2, fli'*, C, PS 2 P», 2P'2.

5° Système terbinaire ou orthorhombique. — La maille est un prisme droit à base rectangle ou à base rhombe. Si l’on admet que la maille est un prisme droit à base rectangle, l’axe du prisme et les deux droites parallèles aux côtés de la base sont des axes binaires ; les plans parallèles aux faces sont des plans de symétrie. Si la maille est un prisme droit à base rbombe, il y a encore trois axes binaires rectangulaires entre eux, mais ils sont dirigés, l’un suivant l’axe du prisme, les deux autres parallèlement aux diagonales de la base rhombe. Des plans de symétrie, toujours respectivement perpendiculaires aux axes binaires, l’un est parallèle à la base, les deux autres coïncident avec les plans diagonaux du prisme menés par l’axe. Chacun des trois axes de symétrie joue un rôle différent. Le symbole de la symétrie est donc :

6° Système binaire ou clinorhombique. — La maille est un prisme droit à base parallélogrammique, ou un prisme oblique à base rhombe dans lequel une des diagonales du rhombe est perpendiculaire sur les deux arêtes parallèles du prisme auxquelles elle aboutit.

Dans le premier cas, il y a un axe binaire qui est l’axe du pri§me, et un plan de symétrie parallèle à la base.

Dans le second cas, si on place les arêtes du prisme verticales, il y aura 'une arête du rhombe de la base, ee' (fig. 11), qui sera horizontale, et une autre ao qui sera inclinée. La parallèle à ee' menée par le centre est un axe binaire ;

le plan diagonal aoa' passant par la diagonale inclinée est un plan de symétrie. Le symbole de la symétrie est :

7° enfin. Système asymétrique ou anorthique, ou triclinique. — La maille est un parallélipipède oblique quelconque ; il n’y a plus d’autre élément de symétrie qu’un centre. Le symbole de la symétrie est :