I. — Système cubique

La maille est un cube. Pour étudier toutes les formes simples qui peuvent se présenter dans le mode holoédrique, il est commode de suivre la marche suivante qui a été celle d’Haüy, l’illustre inventeur des lois de la cristallographie.

Les faces cristallines des diverses formes simples interceptent, ainsi que nous l’avons dit, sur les diverses arêtes de la maille, ou ce qui revient au même, de la forme primitive finie semblable à la maille, des longueurs numériques représentées par des nombres entiers simples. Ces faces coupent trois arêtes de la forme primitive et elles se placent alors sur un des angles de cette forme qu’elles modifient ; ou bien elles ne coupent que deux arêtes et sont parallèles à la troisième, venant remplacer, ou, comme on dit, modifier cette dernière arête. Les faces de la forme primitive modifient donc les angles ou les arêtes de la forme primitive, c’est-à-dire les éléments de cette forme, pour employer l’expression consacrée.

Or la symétrie du réseau peut être représentée de la manière suivante. Il y a dans la forme primitive huit angles et douze arêtes. Parmi ces éléments divers, les uns sont identiques entre eux, c’est-à-dire qu’en vertu de la symétrie propre du réseau, ils ne peuvent être distingués les uns des autres que par la

MALLARD, — CRISTALLOGRAPHIE

position accidentelle du cristal; nous désignerons ces éléments identiques par des lettres identiques, et, inversement, les éléments non identiques recevront des lettres différentes. On convient d’attribuer des voyelles aux angles et des consonnes aux arêtes.

Cela posé, il est clair que les lois de la symétrie holoédrique peuvent se traduire ainsi, en supposant les faces des formes simples placées sur la forme primitive : Les faces cl’une même forme simple doivent être en tel nombre et tellement placées que les éléments identiques ou de même nom de la forme simple soient modifiés tous de la même façon.

Formes simples hoioédriqnes. — Dans le cube, tous les angles sont égaux, nous les appellerons a; toutes les arêtes sont égales, nous les appellerons b; toutes les faces sont égales, nous les appellerons p.

Soit un plan quelconque modifiant un angle a ; il intercepte sur les trois arêtes bx,by, bz, (fi g . 13) des longueurs représentées respectivement par gbx,

hbv, kbz. L’ensemble des plans qui composent la forme simple dont celui-ci fait partie doit atteindre de la même façon les trois arêtes bx, bv, bz, identiques entre elles. Un plan qui intercepte sur chacune d’elles une longueur numérique égale à l’un des trois nombres g, h, le, appartient donc à la forme simple. Il y a ainsi, sur l’angle a, autant de plans appartenant à la forme simple qu’il ÿ a de manières d’écrire, à la suite l’un de l’autre, les nombres g, h, le. Il y en a six, car on peut mettre successivement au premier rang l’un des trois nombres et, dans chaque combinaison ainsi obtenue, inverser l’ordre des deux derniers.

11 y a donc, dans le cas général, six faces sur chaque angle, et, comme il y a huit angles, la forme simple la plus générale a quarante-huit faces en tout; c’est Yhexoctaèdre représenté en combinaison avec le cube dans la figure 14, et isolé dans la figure 15.

Pour donner un nom à cette forme simple et la désigner par un symbole., on

peut, avec Haüy et Lévy, écrire les trois lettres b qui désignent les trois arêtes tronquées par une face, l’une à la suite de l’autre, et mettre en exposants respectifs les nombres g, h, k, qui indiqueront les longueurs numériques respectives interceptées par la face considérée sur chacune des arêtes. Le symbole est ainsi ba bh bk. Si l’on désigne par p, q, r les inverses des trois nombres g, h, k, on sait que p, q, r sont les caractéristiques de l’une des faces

Fig. 14. — Hexoctaèdre modifiant les angles (1). Fig. 15. — Hexoctaèdre 61 h1/3.

dont le symbole, dans la notation exposée plus haut, serait ( pqr ). On peut désigner la forme simple par le symbole d’une de ses faces ; seulement alors pour éviter la confusion on entourera les caractéristiques du signe j j. Dans la notation à caractéristiques, qu’on désigne souvent sous le nom du savant cristallographe Miller, l’hexoctaèdre aura donc pour symbole \ pqr\, Comme les caractéristiques figurent à chaque instant dans les calculs, et non pas

leurs inverses, 'on transforme souvent les notations Lévy en remplaçant res- 111 111

pectivement g , h, k par -, -, -, et écrivant ainsi bï‘bïbr ou b'lpb',t‘b'lr.

Lorsque deux des longueurs numériques sont égales, le nombre des permutations distinctes de g, h, k et par conséquent le nombre des faces de la forme

simple se réduit de moitié; onauntrioctaèdre (fig. 16 et 17) lorsque la longueur

(1) Cette figure, comme la plus grande partie de celles qui suivent, porte des chiffres que le lecteur pourra laisser de côté. Ils se rapportent au système de notation des faces qui est indiqué au chapitre I.

MAL1.ARD. — SRISTALLOGRAPHIE.

numérique qui se répète deux fois est plus petite que la troisième ; un trapêzoèdre ou icositétraèdre( fig. 1 8 et 1 9) dans le cas inverse. Pour désigner ces formes symétriques, onemploieunmodede notation qui s’applique à tous les autres systèmes : on écrit la lettre a, qui indique que les plans de la forme sont placés sur les angles a, et l’on écrit comme exposant le rapport des longueurs numériques, en mettant au numérateur celle de ces longueurs qui se répète deuxfois, ou, ce qui revient au

Fig. J 8. — Trapêzoèdre modifiant les angles du cube. Fig. 19. — Trapêzoèdre a'.

même, le dénominateur de la longueur numérique qui est seule de son espèce. C’est ainsi que a estuntrioctaèdre, a est un trapêzoèdre.

Si les trois longueurs numériques deviennent égales, la forme se réduit à l 'octaèdre a (fig. 20 et 21).

Les faces de la forme simple pourront être placées sur les arêtes. Dans le cas général, un plan parallèle à une arête intercepte sur les deux arêtes qui aboutissent à celle-là des longueurs numériques » et «; il faut inverser les deux nombres m et n pour modifier de la même façon ces deux arêtes, ce qui

Fig. 20. — Octaèdre a' modifiant les angles du cube. Fig. 21. — Octaèdre a1..

remplace l’arête par une sorte de biseau. Chacune des douze arêtes est remplacée par un biseau semblable ; ce qui donne un solide à vingt-quatre faces nommé hexatétraèdre (fig. 22 et 23). On peut se le représenter comme un cube dont chaque face serait remplacée parune pyramide quadrangulaire. On désigne cette forme en écrivant la lettre b qui indique que les faces sont placées sur les

arêtes b, et ajoutant comme exposant le rapport des longueurs numériques Il est indifférent de mettre m ou n au numérateur; on convient, pour fixer les

idées, d’y mettre toujours la plus grande longueur. La figure 23 représente l’hexatétraèdre b1.

Lorsque m = n, le nombre des faces se réduit à douze ; chacune des faces est placée symétriquement ou, suivant l’expression consacrée, tangentiellement sur uue arête. Chaque face est un rhombe perpendiculaire en son milieu sur un axe binaire. Il y a huit pointements à trois faces qui sont placés sur les axes

Fig. 22. — Hexatétraèrde b"- modifiant Fig. 23. — Hexatétraèdre is.

les arêtes du cube.

ternaires, six pointements à quatre faces placés sur les axes quaternaires. Si l’on place le polyèdre de manière qu’un axe ternaire soit vertical, il paraît formé de deux pointements ternaires en haut et en bas, et latéralement d’un prisme hexagonal régulier. Cette forme, qui est le dodécaèdre rhomboïdal, est représentée fig.24 et 25. Elle est notée b1.

Fig. 2t. — Dodécaèdre rhomboïdal Fig. 25. — Dodécaèdre rhomboïdal b1.

modifiant les arêtes du cube.

Formes licmiédriqucs. Cas distincts d’bémlédrie. — On démontre que tOUS les modes de mériédrie de système cubique conservent les quatre axes ternaires placés les uns par rapport aux autres comme les diagonales du cube. On en déduit qu’il y a quatre modes de mériédrie, le mode holoaxe dont nous ne nous occuperons pas parce qu’il n’a jamais été rencontré dans les cristaux; le mode parahémiédrique, le mode antihémiédrique et le mode tétartoédrique »

Dans la parahémiédrie, le symbole de la symétrie est ;

3 A3 4 L3 OL'2 C 3n OP,

en désignant par A les axes qui sont quaternaires dans les formes holoédriqües* et qui ne sont plus ici que binaires.

MALLARÎ). — CRISTALLOGRAPHIE.

L’hexoctaèdre devient un solide à douze faces représenté figure 26. Les trapézoèdres, les trioctaèdres, les octaèdres, le cube et le dodécaèdre rhomboïdal ne sont pas soumis à ce mode d’hémiédrie. En effet, toutes ces formes donnent des pointements à trois faces sur les axes ternaires, ou des faces perpendiculaires à ces axes. Les axes ternaires étant conservés, si une face se présente modifiant un angle du cube, les trois faces modifiantes de la forme holoédrique

Fie. 26. — Para-hémi-hexoctaèdre. Fig. 27. — Para-hémi-hexatétraèdre

ou dodécaèdre pentagonal.

doivent exister en même temps. Comme d’ailleurs le centre subsiste, il faut que les deux angles situés à l’extrémité de la même diagonale soient modifiés de la même façon. On en conclut aisément que les huit angles sont modifiés comme dans la forme holoédrique. Pour ces formes simples, on peut dire que les deux formes conjuguées sont identiques entre elles et se confondent ainsi avec la forme holoédrique.

Les hexoctaèdres et les hexatétraèdres bn sont ainsi seuls atteints par la parahémiédrie. Ces derniers donnent des formes à douze faces nommées

Fig. 28. — Anti-hémi-hexoctaèdre. Fig. 29. — Anti-hémi-trapézoèdre.

dodécaèdres pentagonaux , parce que les faces sont des pentagones non réguliers (fig. 27).

Pour rantihémiêdrie le symbole de la symétrie est :

3 A2 4L3 OL2 OC On 6 P.

Si l’on prend les quatre angles du cube disposés autour d’un même carré, ils sont modifiés de deux en deux; des deux angles opposés par le centre, un seul est modifié. L’hémiédrie ne s’applique pas aux modifications placées sur les arêtes, qui donnent les hexatétraèdres , le dodécaèdre rhomboïdal et le cube , car l’bémiédrie, dans ces formes, ne peut laisser subsister les modifications d’un angle sans laisser aussi subsister celles d’un angle adjacent.

Les hexoctaèdres prennent la forme représentée figure 28. Les trapézoèdres prennent la forme de la figure 29 ; on peut la définir en l’assimilant à celle de tétraèdres dans lesquels les faces seraient remplacées par des pyramides triangulaires. Les trioctaèdres donnent des formes dont la figure 30 donne une idée. Enfin l’octaèdre devient un tétraèdre régulier (fig. 31).

On arrive à la symétrie qui caractérise latétartoédrie, en supprimant le centre de la parahémiédrie ou les plans de symétrie de l’antihémiédrie. Le symbole est :

3 A- 4L1 OC On OP.

On peut regarder ce mode de symétrie comme une hémiêdrie holoaxe de la parahémiédrie ou de l’antihémiédrie. Les deux formes conjuguées de la tétartoédrie qui, par leur réunion, donneraient une forme parahémiédrique ou antihémiédrique ne sont donc pas superposables entre elles. Ces deux formes sont ainsi essentiellement distinctes l’une de l’autre, et dans les cristaux tétartoédriques du système cubique on peut distinguer des formes droites et des formes gauches.

Le cube et le dodécaèdre rhomboïdal ne sont pas plus atteints paf ce mode de mériédrie que par les autres. Certaines formes hémiédriques, telles que les tétraèdres, les hémitrapézoèdres et les hémitrioctaèdres seront aussi des formes tétartoédriques, car on ne saurait diminuer le nombre de leurs faces de moitié en conservant les axes ternaires et maintenant les axes quaternaires comme binaires. Les dodécaèdres pentagonaux sont dans le même cas. Les cristaux tétartoédriques seront donc les seuls dans lesquels on pourra rencontrer à la fois des formes holoédriques comme le cube, des formes parahémiédriques comme le dodécaèdre pentagonal, et des formes antihémiédriques comme le tétraèdre. C’est précisément le mélange de formes que Marbach a reconnu dans le chlorate de soude. Il en a conclu que les cristaux de ce sel peuvent donner deux formes non superposables, l’une gauche, l’autre droite.

MALLARD. — CRISTALLOGRAPHIE

Les figures 32 et 33 représentent deux cristaux de chlorate de soude, l'un gauche l’autre droit.

Fig. 32. — Cristal droit de chlorate de soude. Fig. 33. — Cristal gauche de chlorate de soude.

■ II. — Système sénaire ou hexagonal.

Formes simples boioétiriqnes. — On peut prendre pour forme primitive un prisme hexagonal régulier, qu’il est permis de considérer comme formé par la juxtaposition de trois prismes rhombiques de 120 degrés, c’est-à-dire de trois mailles du système réticulaire.

Les angles de cette forme primitive sont tous identiques entre eux et désignés par la lettre a (fig. 34) ; les arêtes horizontales de la base sont toutes

Fig. 34..

identiques entre elles et nommées 6; les autres, verticales, sont nommées h. Une face quelconque placée sur un angle intercepte sur les deux arêtes hori- 1 1

zontalesô qui y aboutissent, des longueurs numériques - et -, et sur l’arête 1 1 1

verticale une longueur numérique -. Il faudra inverser - et - entre les deux

autres arêtes b, ce qui donnera sur chaque angle une sorte de biseau incliné. La même chose se répétera pour les douze angles (fig. 35). Les 24 plans de la forme simple, qui porte le nonf de didodécaèdre, donnent lorsqu’ils, sont suffisamment prolongés, une sorte de double pyramide à douze faces représentée

figure 36. La forme est notée b^bHs . La notation à caractéristiques se complique un peu ici, pour arriver à rendre les symboles plus symétriques. Je renverrai sur ce point aux traités de cristallographie.

■ Si q = s, la forme n’est pas modifiée, mais la notation peut être simplifiée

ENCÏCLOP. ciini. 41

m ENCYCLOPÉDIE CHIMIQUE.

an récrit a,,, en plaçant le rapport en indice, et non plus en exposant; le numérateur du rapport est toujours la longueur numérique qui se répète deux fois.

Fig. 35. — Didodéeaèdre modifiant les angles Fig. 36. — Didodécaèdre.

du prisme hexagonal m.

Lorsque p = q, le biseau incliné placé sur chaque angle se réduit à un plan placé symétriquement sur cet angle. La forme se réduit à douze faces figurant une double pyramide à six faces (fig. 37 et 38) ; chaque face est un triangle isocèle;

de là le nom d’isoscéloèdre, donné à la forme qui est notée a’’, le numérateur de l’exposant de a étant toujours la longueur numérique qui se répète deux fois.

Si la face de la forme simple est placée sur une arête horizontale, il n’y a plus qu’un plan sur chaque arête; la forme qui a douze faces, est

notée bv ; la longueur numérique placée au numérateur se rapportant toujours à l’arête horizontale. La forme est encore un isoscéloèdre (fig. 39).

Mais dans les isoscéloèdres , les plans diagonaux sont perpendiculaires aux

faces du prisme, tandis que dans les isoscéloèdres bp ces plans diagonaux se 'confondent avec ceux du prisme primitif. Les premiers sont les isoscéloèdres de seconde espèce, les seconds sont les isoscéloèdres de première espèce.

Fig. 39. — Isosçèloèdre bp modifiant les arêtes du prisme hexagonal m.

Enfin les faces peuvent être placées sur les arêtes verticales. Une face placée sur une arête h et interceptant sur les arêtes horizontales qui aboutissent à celle-ci des longueurs numériques pet q, en appelle une autre dans laquelle ces longueurs sont inversées; de là production d’un biseau vertical remplaçant chaque, arête h\ ce qui donne lieu à un prisme dodécaèdre (fig. 40) dont le sym-

bole est liq . On convient arbitrairement de prendre toujours - > 1. Lorsque p—q, les deux plans du biseau se réduisent à un seul placé symétriquement, ou tansgentiellement sur l’arête h. Laforme qui est alors notée h est un prisme hexa-

Fig. 40. — Prisme dodécaèdre hq modifiant Fig. 41. — Prisme de deuxième espèce h 1 les arêtes verticales du prisme tangent sur les arêtes verticalës

hexagonal m. du prisme hexagonal m.

gonal régulier dont les plans diagonaux sont perpendiculaires aux faces du prisme primitif que l’on appelle prisme de première espèce et qu’on note m. Le prisme h (fig. 40) est le prisme de deuxième espèce. Il faut remarquer que les isoscéloèdres de deuxième espèce sont placés sur les prismes hexago-

naux de deuxième espèce, comme les isoscéloèdres de première espèce sur les prismes de première, et inversement.

Formes mériédriques. — Quant aux formes mériédriques, sans entrer dans la discussion de toutes celles qui sont possibles, je ne mentionnerai que celle qu’on a rencontrée dans la nature et dont l’apatite nous offre un exemple. Ce mode de mériédrie, qui est une hémiédrie, a pour symbole :

L’axe sénaire est conservé ainsi que le centre et le plan de symétrie principal perpendiculaire à cet axe; tous les autres éléments de symétrie sont supprimés.

Les biseaux inclinés du didodécaèdre se réduisent à un plan, puisque les plans diagonaux passant par une arête verticale du prisme hexagonal ne sont plus des plans de symétrie. Le didodécaèdre se réduit donc à un dodécaèdre formé par deux pyramides à six faces accolées par la base. La base commune de ces deux

Fig. 42. — Cristal d’apatite.

pyramides est un hexagone régulier, mais tournée dissymétriquement par rapport à l’hexagone régulier qui sert de base au prisme primitif. Les prismes dodécagonaux donnent des prismes hexagonaux dont la base présente les mêmes particularités. Les isoscéloèdres et les prismes li et m ne sont pas atteints par l’hémiédrie. Lafigure 42représente un cristal d’apatite hémiédrique possédant les formes simples suivantes : la base p, le prisme hexagonal de première espèce m, les isoscéloèdres de première espèce b et b ; l’isocéloèdre de deuxième espèce a et le didodécaèdre parahémiédrique i — ^ ^b' bTi h1 J — ~ a s.