RELATION ENTRE LES VIBRATIONS ET LES SENSATIONS SONORES

84. — Pour que des vibrations puissent être communiquées à l'oreille, il faut qu'il y ait quelque part un corps animé lui-même d'un mouvement vibratoire ; il faut que ces vibrations puissent être propagées jusqu'à l'oreille, ce qui exifje qu'il y ait entre celle-ci et le corps vibrant une série ininterrompue de milieux élastiques.

Les expériences de laboratoire, les obsertations de chaque jour même montrent que lorsqu'il y a perception d'un son, d'une sensation sonore, il y a toujours un corps vibrant ; c'est ce corps qui est, en réalité, la cause première de la sensation, et c'est pourquoi on le désigne sous le nom de corps sonore.

L'observation la pins banale montre que, dans tous les cas où nous percevons un son, il y a une successionininterrompuede milieux élastiques, quelquefois solides ou liquides, mais le plus souvent gazeux, puisque l'air, corps élastique, constitue le milieu dans lequel nous sommes plongés, dans lequel tous les corps sont plongés.

Mais cette vérification de l'existence d'une succession ininterrompue de milieux élastiques ne prouve pas que ce soit là une condition nécessaire. On peut montrer qu'il en est bien ainsi à l'aide de l'expérience suivante :

Sur la platine de la machine pneumatique et reposant sur une couche de ouate, on place une sonnerie électrique dont les fils passent à travers la platine ; la sonnerie est placée sous une cloche en verre qui repose sur la platine. lîlle peut être actionnée de l'extérieur.

Lorsque l'on fait marcher la sonnerie, les observateurs perçoivent le son : les vibrations du timbre sont transmises à l'air de la cloche, puis à la cloche ellemême, et enfin à l'air qui s'étend de celle-ci jusqu'à l'oreille, ce qui constitue bien une série ininterrompue de milieux élastiques.

On fait fonctionner la machine pneumalique, de manière à raréfier autant que possible l'air de la

cloche; si on l'ait alors marcher la sonnerie, on ne perçoit aucun son, quoique les vibrations existent comme précédemment, puisqu'on voit le marteau frapiier le timbre; l'air très rarélié n'a pu propager les vibi'ations du timbre à la. cloche, et, par suite, aucun mouvement vibratoire n'est parvenu à l'oreille.

On peut d'ailleurs faire la contre-épi'cuve eu laissant rentrer l'aii- dans la cloche; quand la pression a atteint une certaine valeur, on perçoit le son, qui augmente d'intensité jusqu'à ce que l'on soit revenu aux conditions primitives.

Le résultat est le même si, au lieu d'air, on fait rentrer dans la cloche un gaz quelconque, ceqni montre que le mouvement vibratoire se propage à travers tous les corps ga/.eux.

Il en est de même pour les liquides : c'est ainsi que, lorsqu'un observateur a la tète plongée dans l'eau de la mer ou d'une rivière, il perçoit un son si, même à une assez grande dislance, on frappe deux cailloux l'un contre l'autre.

Le mouvement vibratoire se propage également à travers les solides élastiques : c'est ainsi qu'un observateur plaçant l'oreille à l'extrémité d'une longue pièce de bois éprouve une siMisation sonore lorsqu'on gratte avec une épingle à l'autre extrémité.

La sensation lumineuse est duc à la mise en aclinn du nerf opiiquo qui, dans les conditions normales, est provoquée par l'arrivée à l'œil de vibrations de l'éther, substance tiypotliétiquc qui est répandue dans loutl'univers ;lou3 les faits connus s'expliquent si l'on admet qu'il en soit ainsi.

Il y a donc, au point de vue mécanique, ressemlilancc entre la cause de la sensation sonore etcelle de l,i sensation lumineuse. Aussi, certains faits observés dans l'étude de la lumière ont-ils leurs analogues dans celle du son et reçoivent des explications seml)lables.

Mais il y 'a des différences qui ne permettent pas d'idenlifier sans une discussion préalable les conditions de production des phénomènes lumineux et celles des phénomènes sonores.

11 y a d'abord une différence essentielle : les vibrations lumineuses sont parallèles aux surfaces d'onde, tandis que les vibrations sonores leur sont pcriwndiculaireB ou, ce qui revienl au même, les premières sont transversales par rapport aux rayon» lumineux, tandis que les secondes sont longitudinales. Aussi, ne peuton observer pour le son aucun phénomène analogue à la polarisation de la lumière.

Une autre différence qui, pour n'être que relalivo, n'en est pas moins capitale, provient de la différence de grandeur des longueurs d'onde.

Pour les vibrations aériennes qui sont susceptibles de donner naissance k la sensation sonore, cette largeur varie de 21 mètres à 0 mm. 009; ces longueurs sont de l'ordre de grandeur des objets matériels avec lesquels nous sommes constamment en rapport.

Mais pour les vibrations qui produisent les sensations lumineuses, les longueurs d'onde extrêmes sont 0 mm. OOOfi et 0 m. 000 i, c'est-à-dire qu'elles sont de beaucoup inférieures aux dimensions des objets que nous pouvons distinguer.

Aussi, no doit-on pas s'attendre il pouvoir observer au point de vue sonore tous les phénomènes qu'on étudie dans l'oplique physique, tels que la diffraction.

Une autre différence non moins importante est la suivante : pour qu'il y ait une sensation lumineuse définie, il faut que la surface de l'onde qui atteint l'œil soit perpendiculaire à l'axe de cet organe. Cette condition n'est pas nécessaire pour que, par l'intermédiaire de l'oreille, nous éprouvions une sensation sonore.

83. — Dans un grand nombre de cas, on connaît sans aucun doute l'origine d'une sensation sonore; c'est ainsi que la détonation d'une arme à feu, d'un pistolet, par exemple, donne naissance à celte sensation. On sait que, lorsque la détonation est produite à côté de l'observateur, celui-ci entend le brnit en même temps qu'il voit la lueur produite par la comlinslion de la poudre. 11 n'en est plus de même si l'observateur est à quelque distance de l'endroit où on fait partir le coup de pistolet, 30 métrés par exemple; dans ce cas, il entend le bruit un temps appréciable après l'instant où il a vu la lueur, et le

E.\CyCLOPEDJE DE LA MUSIQUE ET DICTION.SMRE DU CONSERVATOlliE

temps est d'anlant plus grand que la dislancf est plus considérable. Toul se passe donc connue s'il y avait quelque chose d'émis au moment où le pislolet part, elqui, se mouvant dans l'air, arrivait à l'oreille pour donner naissance.;'! la sensation sonore. Alors qu'on n'avait pas des idées piécises sur la cause de la sensation, on avait iniaf^iné un af^ent spécial, le son, qui, produit par le corps sonore, devait parvenir à l'oreille pour produire la sensation sonore. Le retard éprouvé par celle-ci, lorsqu'elle est à une certaine distance du corps sonore, était dû à ce que le son met un certain temps à se propager, à parcourir la dislance considérée'.

On conçoit qu'il est facile de déterminer les conditions de cette propagation ; à cause de la très grande vitesse de propagation de la lumièr.e, .300 000 km. par seconde, on peut admettre que l'on perçoit la lumit'Te au moment même où part le coup de pistolet, car pour une dislance de .300 m. le temps employé par la lumière pour parcourir cette distance est environ un cent-millionième de seconde : 0^000 000 01, quantité de beaucoup inférieure à ce que nous pouvons mesurer. Comme c'est à cet instant que le son est émis, le temps qui s'écoule entre l'instant où on voit la lueur et celui où on entend le bruit représente le temps employé par le son à parcourir l'espace considéré. En opérant successivement à diverses distances, on détermine ainsi les temps correspondant à des espaces connus, ce qui permet de préciser les conditions du mouvement.

A diverses époques, on a cherché à déterminer les conditions de propagation du son (en réalité à mesurer le retard apporté à la perception de la sensation sonore).

Toutes les expériences ont montré que cette propagation se fait suivant un mouvement uniforme, c'est-à-dire dans lequel il faut toujours des temps égau.x pour parcourir des espaces égaux. Dans ces conditions, il restait à déterminer la vitesse, c'est-àdire l'espace parcouru dans une seconde.

80. 'Vitesse de propagation du son. — Parmi les expériences faites à diverses reprises, et toujours dans des conditions analogues, nous décrirons seulement celles du Bureau des Longitudes en 1822. Deux pièces de canon furent placées à deux stations distantes de 18 613 m., l'une à Villejuif, l'autre à Mont- Ihéry : des observateurs munis de chronomètres permettant d'évaluer le dixième de seconde étaient placés à chacune de ces slations. On tirait un coup de canon à l'une des stations ; à l'instant où ils apercevaient la lueur, les observateurs placés à l'autre station mettaient leur chronomètre en marche; ils l'ariètaient au moment où ils percevaient le son; on avait donc ainsi le temps nécessaire à l'agent producteur du son pour pai'courir la distance qui séparait les deux stations. 15ien entendu, on répétait l'expérience un certain nombre de fois pour éliminer les erreurs accidentelles; on avait soin d'allerner les coups d'une station à l'autre, afin de faire disparaître l'inlluence du vent, si elle avait existé; en réalité, les expériences montrèrent que celte intluence n'existe pas; les vitesses prises dans les deux sens, avec ou contre le vent, étaient égales. Seule, l'intensité variait,

1. On comprend, irapros eu i[uo lums avons dit, que oc sont les vibrations ((ni se propas:ent: qu'il n'y a pas un agent spécial, mais simplement un piténoini'iu; in£i;ani(|iii; ; que le son, (|ut est une seusa. tion, ne prenil naissance en nous (]ne lorsque, les vibrations .lyant agi sur l'ot-eitle, le cerveau a Hli mis en action.

le vent contraire diminuant l'intensité du son perçu.

La moyenne des expériences donna pour la valeur du retard du la perception du son la valeur de 84'',6; connaissant la distance, par une division, on conclut que la vitesse de l'atreiil qui donne naissance à la sensation sonore, quel qu'il soit, est de 3+0 m. par seconde à la température de 10", d'où Ton déduit, en se hasant sur des lois physi(jues que nous n'avons pas à rappeler, que cette vitesse est de 333 m. par seconde à la température de 0°.

Si l'on se reporte aux expériences de Regnault que nous avons décrites [73], et dans lesquelles ce physicien étudiait directement la vitesse de propagation du mouvement vibratoire, indépendamment de toute considération de sensations sonores, on voit que les nombres obtenus sont égaux, ce qui constitue une preuve indirecte que la sensation sonore est bien due à l'action d'un mouvement vibratoire émis par le corps sonore et propagé dans l'air, car il est infiniment peu probable que deux phénomènes complètement indépendants se propagent d'une manière absolument identique. .Seule, celle preuve pourrait être consiLlérée comme insulllsante, mais elle prend une réelle valeur quand on la rapproche des preuves données précédemment.

87. Limites des sensations sonores. — Nous avons dit que toute sensation sonore normale est due à la transmission à l'oreille d'un mouvement vibratoire [83]; mais nous avons ajouté que cette condition nécessaire n'est pas suffisante, o'est-à-diie qu'un mouvement vibratoire peut être communiqué à l'oreille sans qu'il y ait production d'une sensation.

Cette question est, à proprement parler, du domaine de la physiologie, aussi nous passerons très rapidement.

L'n mouvement vibratoire transmis à l'oieille ne donne naissance à aucune sensation s'il est trop faible, c'est-à-dire si l'amplitude des vibrations est trop petite, sans qu'il soit possible de rii'ii préciser, car il y a à cet égard de grandes dilféreifces entre les divers individus, et la limite de perceptibilité dépend de ce qu'on appelle Vacuité auditive.

D'autre part, pour que la sensation prenne naissance, il faut que les vibrations ne soient ni trop lentes, ni trop rapides. D'après Savart, la sensation sonore cesse de se manifester lorsque le nombre de vibrations est moindre que IC par seconde, et Des- PRETZ a reconnu que la sensation fait également défaut si le nombre de vibrations par si'conde est supérieur à 36.300. Là encore, il y a des {lllférences individuelles qui peuvent être très notables.

Nous n'avons, bien eiiternlu, à nous occuper quel (les cas dans lesquels il y a production de la sensa-i lion sonore, c'est-à-dire dans lesquels les nombres de vibrations sont compris entre ces limites, .^joutons même que, pratiquement, si l'on observe des cas où la limite inférieure est atteinte, on est toujours fort loin de la limite supérieure.

88. — Nous avons dit que les sensations .sonores présentent entre elles des différences que nous avons caractérisées par le nom de ((ualités des sons; les vibrations, d'autre part, présonlent certaines différences entre elles; on doit présumer (ju'il y a uiie

Mais, ceri élanl bien entendu, il pourra nous arriver puur abn'ger, comme cela go fait souvent, d'employer le mot son dans un si'iis objectif au lieu de moui^emcnt viùratoire domiaitt naissance « la snisatioii sonore.

TE<:iiyii)rh\ esthétique et pÈnAOOCiE

ACOUSTIQUE Musicale 'iî'j

Relation entfe ces divers élémenls, el c'est en ellel ce qno iiioTitre l'expérience.

U'iiiii' manière i;éiièralc, on peut concevoir que ces expériences se l'hissent de la manière suivante :

Ktanl doimédes corps sonores différents, qui vihrent dans des conditions dill'ércntes, on se rend compte par l'ouïe des dilTéreiices de qualité des sons perçus; d'antre part, à cùté de l'oreille, on a placé un phonanloyraphe qui enregistre les vibrations dans les différents cas. On compare entre eux les tracés, chercliaiit les analogies qu'ils peuvent présenter lorsque les sons correspondants présentent une qualité commune, et inversement. On est arrivé ainsi aux conclusions que nous indiquons plus loin sans nous arr'éter davantaj;e à cette expéiience.

On peut opérer autrement en étudiant, d'une part, la sensation, d'autre part, les vilualions du corps sonore directement, et effectuant des comparaisons d'une façon analoiîiie; on pourra être ainsi rcnseiiiné sur l'intluence de la durée et de la foime des vibi-ations, puiscpie nous savons que ces éléments ne sont pas nioditiés par la propagation à distance: jusqu'à nouvel ordre, nous ne pouvons tenir compte des variations d'amplitude, puisque nous n'en connaissons pas encore la loi.

On peut comprendre par ces indications qu'il est possible d'arriver à déterminer les relations dont il s'agit; en réalité, cette détermination est la conséquence d'observations et d'expériences très diverses dont nous nous liornei'ons à citer les princip.ales lorsque l'occasion s'en présentera.

8i1. Hauteur. — La liauteur d'un son dépend de la dnrre dfs vibrations ou, ce (]ui revient au même, du nombre des vibrations effectuées dans un temps donné; c'est toujours à la Seconde que ce nombre est rapporté, aussi, ne répéterons-nous pas chaque fois l'énoncé de cette condition.

C'est aitisi que l'on reconnaît d'abord que toujouis, lorsque deuï sons ont la même hauteur, lorsqu'ils sont à l'unisson, les vibrations correspondantes ont la même durée, c'est-à-dire que les nombres correspondants de vibrations exécutées dans le même temps sont égaux.

Un son est d'autant plus aigu que la durée des vibrations correspondantes est moindre, ou que le nombre des vibrations est plus grand.

Pour le reconnaître, il suflil de faire vibrer, par exemple, une corde dont on peut faire varier la longueur à voloÉité. On reconnaît que le son devient plus aiguquaTid on raccourcit la corde que l'on fait vibrer; d'apiès les lois des vibrations des cordes, on sait que le nombre des vibrations a augmenté.

On peut même avoir des indications plus précises et déterminer le rapport entre les nombres de vibrations qui correspondent à deux sons donnés : il suffit de clierclier par tâtonnement sur une corde donnée les longueurs telles que, lorsque ces parties vibrent, elles pioduisent les sons que l'on veut étudier. Il suffit alors de mesurer ces longueurs et de prendre leur rapport; les nombres de vibrations sont dans le rapport inverse. C'est-à-dire que si, pour obtenir les sons cherchés, il a fallu prendre des longueurs de corde égales à 24 et à 36 centimètres, longueurs dont le rapport c-st celui de 2 à 3, les noml^res de vibrations correspondants sont dans le rapport de 3 à 2.

Enfin, en employant un des procédés que nous avons indiqués, on pourrait même obtenir le nombre absolu de vibrations exécutées en une seconde.

'.III. — Mais ce n'est pas géncratement ciîtte irf^tliode que l'on emploie lorsqu'on veutdétormi'ner lert'onlbre lie vibi'ations corrc^spondant à un son donné. On 'fait aloi'S usage de la sirène, instrument imaginé par

(^AC.NI.^RD-LATOUn.

Indiquons d'abord le principe de la sirène :

Considérons un disque circulaire tournant autour d'un axe perpendiculaire à son plan et passant par son centre. Des trous, régulièrement espacés, placés sur une circonférence concenlri(|ue, sont périmés dans ce disque. Enfin, nn tuyau porte-vent amenant l'air il'une soufflerie à son extré- Fn;. 23.

mité appliquée contre

le disque en face de là circonférence sut laquelle se trouvent les trous.

Quand le disque est au repos par rapport à l'e.xtrémité dé ce tuyau, deux cas peuvent se présenter: 1° l'extiémité est en face d'une partie pleine du disque, l'air ne peut pas s'écouler; 2° l'air est en face de l'une des ouveituies, l'air s'écoule librement..

Si, maintenant, le disque est mis en mouvement, et que la rotation soit uniforme, les deux effets précédents vont se produire altrrnativement et périodiquement; l'écoulement de l'air qui aura lieu d'une manière intermittente produira dans l'air situé au-dessus du disque des vibrations isochrones qui, propagées dans l'atmosphère et parvenant à l'oreille, donneront naissance à une sensation sonore, à un son, si la rotation est assez rapide.

L'oreille recevra d'ailleurs des vibrations de même forme et de même durée que celles fournies par la sirène, puisque nous savons que la propagation ne modifie pas ces éléments.

Si le disijiie présente un nombre d d'ouvertures, il se produiraavibrations fig. -zi.

pour un tour; si on

connaît le nombre b de tours exéctrtéS en une seconde, on saura qu'il y a Un nombre de vibrations par seconde égal à», x(f.

Cet appaieil simple constitue la sirène déSÊ«m:CT; il exige un dispositif séparé pour produire le ïnôuvement de rotation du disque.

La sirène de Cvgniaud-Latour est disposée de manière à être automotrice.

ENCYCLOPÉDIE DE LA MUSIQUE ET DICTIO.\NAIIiE DU CONSERVATOIRE

Dans cc^ appareil, le venl est amené de la sonftlerie dans une boite cylindrique dont la base supérieure, fixe, est un disque analogue au disque que nous venons de décrire. Il existe un second disque, présentant la même disposition et reposant sur le premier; mais ce disque est mobile, et peut tourner autour d'un axe vertical.

Comme précédemment, deux positions distinctes sont à considérer : s'il y a coïncidence entre les positions des ouvertures des deux disques, l'air arrivant de la soufflerie dans la caisse cylindrique passe librement et s'écoule dans l'atmosphère; si, au contraire, les parties pleines de l'un des disques sont en face des ouvertures de l'autre, l'écoulement de l'aircesse. Si le plateau mobile tourne, les deux effets se produisent alternativement et l'air extérieur est mis en viljralion. Il importe de remarquer que, comme toutes les ouvertures sont démasquées ensemble et masquées aussi ensemble, s'il y a a ouvertures dans les disques, il y aura également a vibrations pour un tour, et, de même que précédemment, il y aura axb vibrations en une seconde si le plateau mobile fait b tours par seconde; ces vibrations sont isochrones si le mouvement de rotation est uniforme. Seulement, la multiplicité des ouvertures du plateau fixe par lesquelles s'échappe l'air augmente la grandeur des

efTets (notamment de

H l'intensité, comme

r wM//M/mi^-w//i7i'///m I C' nous le dirons plus

loin).

L'axe du plateau mobile se termine à sa partie supérieure par une vis sans fin qui pénètre dans une boîte constituant un compteur qui, à l'aide d'aiguilles mobiles sur das cadrans, permet de lire attentivement le nombre de révolutions effectuées dans une expérience. Une disposition particulière permet d'embrayer ou de débrayer à volonté le compteur, de telle sorte qu'on peut limiter le temps pendant lequel le compteur enregistre le nombre des révolutions du plateau.

Afin d'obtenir automatiquement la rotation du plateau mobile, les ouvertures ne sont pas pratiquées peTpendiculairement aux bases des disques; chacune d'elles présente une certaine obliquité dans un plan perpendiculaire au rayon du disque qui aboutit au centre de l'ouverture; de plus, l'obliquité qui, pour un des disques, est de haut en bas et de droite à gauche, est au contraire de haut en bas et de gauche à droite pour l'autre disque.

n suit de là que le filet d'air qui tend à s'échapper par une ouverture du disque fixe n'est pas vertical, mais a une direction inclinée ; il pénètre dans l'ouverture correspondante du disque supérieur et, pour s'échapper, doit changer de diiection; mais ce changement ne peut s'effectuer sans que le filet d'air n'exerce sur les parois de l'ouverture une poussée qui entraîne le disque ; le même effet se produit au même instant pour toutes les ouvertures, ce qui augmente l'effet; et comme il se reproduit périodiquement chaque fois que les ouvertures sont en regard, il en résulte un mouvement conlinu du plateau supérieur.

Fici. 25.

Ce mouvement, lent d'abord, va en s'accélérant ; mais, comme en même temps, les résistances augmentant rapidement, — frottement de l'air, des supports — le mouvement di'vient uniforme.

On s'aperçoit aisément de cet effet, même sans regarder le mouvement du compteur, parce que le son, grave d'abord, devient de plus en plus aigu, monte suivant l'expression consacrée, et rapidement prend une hauteur qui resle invariable ; à ce moment, le mouvement est devenu uniforme.

11 est nécessaire de pouvoir obtenir des sons de hauteur différente pour pouvoir faire des comparaisons ; on y arrive aisément en modifiant la pression de l'air arrivant de la soufllerie, ce que l'on obtient, comme nous l'avons dit, en agissant sur le Tégulaleur. En augmentant la pression, le disque tourne plus vite, le son devient plus aigu; celui-ci devient plus grave, parce que le disque tourne plus lentement, si on diminue la pression.

Indiquons maintenant comment on fait une expérience pour déterminer le nombre de vibrations correspondant à un son donné.

Le compteur étant débrayé et l'aiguille ramenée au zéro, on fait marcher la soufflerie; bientôt, on entend un son invariable, différent, en général, du son que l'on étudie et qui est produit d'autre part; on agit alors sur la soufflerie, de manière à ce que les deux sons se confondent comme hauteur, jusqu'à ce qu'on ait la sensation de l'unisson; on attend quelques instants pour être assuré que l'unisson se maintient. Alors, simultanément, on agit sur un bouton qui embraye le compteur et sur la mise en marche d'un compteur à seconde; on laisse s'écouler alors dix secondes, par exemple, et à l'expiration de ce temps, on débraye le compteur, sur' lequel on lit le nombre de tours exécutés B, je suppose ; il résulte de là que le nombre de tours en une seconde h est égal

à Tfj; si donc a est le nombre des ouvertures des plateaux, nombre que l'on connaît une fois pour toutes, le nombre n de vibrations exécutées en une seconde

est deaXTTT- W

Bien entendu, si pendant la durée de l'expérience, on a observé des variations dans la liautein- des sons, il n'y a pas uniformité dans les mouvements, et la mesure doit être abandonnée et recommencée.

Comme nous l'avons indiqué dans une autre circonstance, il y a intérêt à prolonger l'expérience le plus longtemps possible; on fait toujours une erreur au commencement et à la fin de la mesure ; il est difficile de faire coïncider le départ et l'arrêt du compteur respectivement avec le début de la première seconde et la fin de la dixième. Cette erreur se répartit sur la totalité du temps et, par suite, pour chaque seconde (ce qui est ce que nous cherchons), elle est d'autant moindre que le nombre des secondes entre lesquelles elle se répartitest plus grand.

Si on place la sirène dans un vase rempli d'eau, et qu'on fasse arriver un courant d'eau par la partie inférieure, il se produira des efi'ets analogues à ceux que nous venons d'indiquer, et l'observateur éprouvera une sensation sonore. C'est pour celle raison que cet appareil a reçu le nom de sirène.

m. — L'emploi de la sirène permet d'obtenir les nombres de vibrations correspondant à deux sons donnés. Souvent, comme nous le dirons, il suffit de connaître le rapport de ces nombres : une simple

TECHNIQUE. ESTHÉTIQUE ET PÉDAGOGIE

ACOUSTIQUE MUSICALE V,l

division arilliméliquo permet alors de trouver ce résultat. Si, par exempli', on a pour deux sons liOO et

"■;0 vibrations, le rapport seia 300:730 = ^.

Dans le cas où l'on veut seulement connaître ce rapport, sans qu'il soit nécessaire de déterminer les nombres de vibrations eux-méiiies, ou peut se servir du sonomètre, par application îles lois des vibralions des cordes [43].

Le sonomètre est constitué par une longue caisse rectangulaire montée sur des pieds et présentant des ouvertures sur ses faces latérales ; nous verrons plus tard l'explicalion du rôle de cette caisse qui renforce

les sons produits par les cordes. Sur la l'ace supérieure et à sesextrémiL('s, se trouvent deux cbevalets fixes ou sillets, sortes de prisme à section Ir'ian^^ulair'e présentant une arête à leur partira supérieure. Derrière l'un de ces sillets, setrorrveirl irri[ilarUés des goujons Irxes, tandis qire derrière l'autre, se tr-ouvent des chevilles que l'on peut faire tourrrer'à frottement dur dans le cadre de la caisse, lirrlin, entre les deu.x sillets, se trouve une rèjjle graduée à côté de laquelle glisse un cirevalet mobile dorrt la distance à l'un des sillets se lit directement sur la règle graduée.

On peut employer, comme corps sonor'es, soit des cordes à boyau, soit des cordes métalliques. On les

Fia. 2G.

attache à une extrémité sur les goujons fixes et à l'autre e.xtrémité on les fait passer dans urre petite ouverture percée dans la cheville ; en tournant la cheville, on tend la corde et on fait varier à volorrté la tension de cette corde. On met ces cordes en vibration, soit en les pinçant , ce qui donne des sons de courte durée, soit en les frottant avec un archet enduit de colophane, ce qui permet d'obtenir des sons de longue durée dont la comparaison est plus facile.

Pour les mesures relatives à l'évaluation des intervalles, il peut suffire d'une seule corde : il y a des sonomètres qui présentent cette disposition et qu'on appelle des niowicordcs. Mais, en général, il y a plusieurs cordes, ce qui rend la comparaison plus facile ; l'appareil peut alors servir à la vérification des lois des cordes ; darrs ce cas, afin de pouvoir étudier l'influence de la tension, pour l'une des cordes, la che- . ville est remplacée par une poulie sur laquelle passe cette corde qui, à son extrémité, porte un poids qui mesure la tension et que l'on peut faire varier à volonté.

Voyons maintenant comment, à l'aide du sonomètre, on peut déterminer la valeur du rapport correspondant à un intervalle donné. On accorde à l'unisson du son le plus grave de cet intervalle deux cordes du sonomètre ; plaçant alors sous l'une des cordes le chevalet mobile, on cherche, par tâtorrnement, la position de ce cJievalel pour laquelle l'un des segments de cette corde vibre à l'unisson du son le plus aigu de l'intervalle que l'on étudie ; nous savons que les nombres des vibrations des cordes sont alors respectivement les nii^mes que ceux des sons considérés.

Soient net n' les nombres de vibrations par' seconde des sons considérés et des sons produits par les cordes ; soient l et /' les longueurs des cordes qui donnent naissance aux sons composés. Pour les cordes, puisqu'elles étaient à l'unisson quand elles avaient la même longueur, nous savons que l'on a :

donc, puisque les cordes étaient respectivement à l'urrissorr des sons considérés, le rapport cherché est

égala-.

Par exemple, si les cordes du sonomètre ont une longueur'de 1 m. 30, et si la longuer'r du segment qui est à l'unisson du son le plus aigu est de 1 ni. 2o, en appliquant la formule, on aura pour le rapport cherché :

En employant le monocorde, comme on ne dispose que d'une seule corde, les sons sont entendus séparément, puisqu'il faut ôter ou mettre en place le chevalet mobile, opér-ation qui demande un certain temps, tandis qu'en utilisant deux cordes on peut entendre les deux sons immédiatement à la suite l'urr de l'autre, ou même simultanément, ce qui donne une plus grande précision à la comparaisorr.

92. — Une méthode fort élégante due à Lis3.4J0us permet de comparer dans certaines conditions les nombres de vibrations de deux corps sonores, de deux diapasons principalement. .Nous devons nous borner à en indiquer le principe, l'étude complète exigeant des calculs qui ne seraient pas à lerrr place ici.

Considérons un diapason D sur l'une des branches duqrrel on a Irxé un petit miroir ; on envoie sur celui-ci un rayon lumineux de direction invariable qui renvoie le rayon sur un écran M. (Dans la figure l'écran est remplacé par un miroir tournant M qui est utilisé dans d'autres expériences que rrous décrirons plus loirr.) Si le diapason est fixe, le rayorr rélléchi conserve une direction invariable et il seprodnil une

E.VCrCLOPEniE DE LA MnSfOrE ET DICTIOWS.MIΠl)V CnysERVATOinE

petite taclie lumineuse à l'endioit où il renconti-e l'écran.

liais si l'on fait vibrerle diapason, le rayon rélléchi varie de direction, et la tache lumineuse se déplace sur l'écran. On pourraitobserver ces d('placernents s'ils étaient lents; mais, comme ils sont très rapides, il y a fusion des impressions sur la rétine, et l'observateur voit une petite droite lumineuse liorizontale dans l'exemple choisi, dont la longueur varie avec l'amplitude des vibrations.

Modifions l'expérience eu .prenant deux diapasons

D et D' placés perpendiculairement l'un à l'autie et portant chacun un petit miroir. On envoie sur D un rayon lumineux de direction invariable et choisi de telle façon que, après s'être réfléchi, il vienne rencontrer le miroir de D qui le renvoie sur un écran^ P. Si les diapasons sont immobiles l'un et l'autre, il se produit sur l'écran une petite tache lumineuse. Si un seul des diapasons vibre, on voit une petite droite lumineuse, horizontale si c'est le diapason D' qui est en mouvement, verticale si c'est le diapason D.

Mais si les deux diapasons vibrent en même temps, en' général, on ne voit plus une droite, mais une courbe dont la forme varie avec le rapport des nombres de vibrations des deux diapasons, c'est-à-dire

Fin. 2S.

avec l'intervalle des sons qu'ils rendent. Le calcul permet de préciser la forme correspondant à cet intervalle, de telle sorte que, inversement, la forme observée permet de conclure à la valeur de l'intervalle. Par exemple, si les diapasons sont à l'unisson la courbe est, en général, une ellipse qui peut être remplacée par une circonférence ou par une dioite. Si les diapasons exécutent cxaclemoit le même nombre de vibrations par seconde, la ligui-e reste absolument invariable; mais il suilit de la moindre difîérencc entre les nombres de vibrations pour que cette ligure subisse des déformations progressives, d'autant plus rapides que la dilférence est plus grande.

Pour d'autres intervalles, les ligures sont moins simples; mais elles présentent la même fixité si

l'intervalle est juste, et la même variabilité dans le cas contraire.

Cette méthode peut donc être employée pour faire des comparaisons. Disons que, pratiquement, elle est surtout commode pour la vérilicalion de l'unisson.

0:f. Intervalles. — Considérons ([ualre sons A-B, C-D (par ex. iol-rd, fa-ut) tels que les iniervalles de A à lî et de C i D nous paraissent égaitx ['12', et déterminons par l'un des movens précédemment indiqués les nombres de vibrations n, b, c el d correspondant à ces quatre sons (soit 216, 324, 384 et '.>'iG). Si l'on évalue sous leur l'orme la plus simple les rap-

^ 6/324 3\ ,d /o70 3\ P°''*â(2— 0 = 2) ''7 (384 = 2) '°" "•""^■'^ '"'" "' rapports sont égaux'.

11 en serait de même pour tout autre couple de sons qui présenteraient le même intervalle (la quinte, dans l'exemple précédent), et, réciproquement, tout couple de sons dont les nombres de vibrations sont dans le même rapport, correspondrait au même intervalle. C'est ainsi que les sons déterminés par 750 et 500 vibrations, par 1200 et 800, etc., donneraient la sensation de l'intervalle de quinte, parce que

, . 7oO,1200 , ... I ^

les rapports— — -3-—, etc., ont la même valeur-.

A chaque intervalle musical correspond un rapport

déterminé qui caractérise cet intervalle (ce rapport

est, par exemple, .-pour la quarte,- pour

majeure, etc.).

Si a et 6 sont les nombres de vibrations correspondant à un intervalle donné, celui-ci est défini

aussi bien par le rapport^ que par le rapport - . On

a pris l'habitude de mettre au numérateur du rapport le nombre qui correspond au son le plus aigu, le nombre le plus grand par conséquent. Il en résulte que les rapports qui servent à caraclériseï' les intervalles sont toujours plus grands que l'unité.

94. — La connaissance de ces rapports permet de déterminer le nombre de vibrations par seconde correspondant à l'un des sons limitant un intervalle déterminé, quand on connaît le nombre des vibrations correspondant à l'autre.

Soit un intervalle A-lî, A étant le plus grave des deux sons et Iaii le rapport caractéristique de cet intervalle, et soient a et b les nombres de vibrations correspondants.

De la relation

la sixte

on déduit :

6 = alAn.

Soit, par exemple, un son A {ut] correspondant à un nombre de vibrations a = ol2; on demande le nombre de vibrations du son qui est à une quinte audessus {sol), sachant que le rapport caractéristique

de la quinte est égal à ^ . En appliquant la formule on a immédiatement :

I . On pourrait cxpi-imer ce i-i^sullat en ilisiiiU que ces qnatri- nombres sont proportionnels, que Ton .i :

TECHNIQUE. ESTIIÉTKJVE ET PÉnAGOGIE

De la même relation fontlanienlale on tire :

Soit un son B («/) correspondant k b= 1024 vibrations par seconde; en demande le nombre de vibrations a oorrespondant au son A {soit qui serait une •quarte au-dessous ; sacliant que le rapport caracté-

rislique de laquarte est-. L application de la foimule

donne' :

1024 :-=1024xV:

9o. — Nous avons dit précédemment que tout le monde ne présente pas la même sensibilité an point de vue de la liaulour des sons, c'osl-à-dire i|uo certains observateurs sont capables de discerner des did'érences qui écba|ipenl à d"autres.

Nous avions ûù nous borner à cette simple indication, car il n'est pas possible de faire des compaiai- 8ons de'mesnre sur les sensations elles-mêmes ; mais nous pouvons préciser la question maintenant en nous occupant, non plus des sensations, mais des causes qui déterminent ces sensations. Nous pourrons évaluer les dillën-nces, qui sont des intervalles, en délinissant les rappoits correspondants, et la sensibilité sera caractérisée par la valeur limite des intervalles qui échappent à notre appréciation; cette valeur. n"a rien d'absolu et dépend des observateurs; elle est plus petite pour certaines personnes que pour d'autres et, en i,'énéial, diminue lorsque, par des exercices et des reclierches expérimentales, on exerce le sens de l'ouïe. On peut arriver ainsi à augmenter la sensibilité de l'oreille.

Parmi les nombreuses recherches qu'il a faites en acoustique, le P. Mersenne (lo8S-lûi8) a étudié cette question; il a trouvé qu'il pouvait distinguer les sons produits par deux cordes, identiquus d'ailleurs, dont les longueurs étaient dans le rapport de 11)00 à 1001 ; qui, par conséquent, exécutaient des vibrations dont les nombres, pour le même temps, étaient dans le rapport de 1001 à 1000.

Ces résultats ont été confirmés dans des recherches ultérieures comme pouvant représenter la moyenne de la sensibilité pour les oreilles exercées : nous admettrons donc que le plus petit intervalle dont nous puissions apprécier l'existence est caractérisé

par le rapport- on 1,001; que lorsque, entre

deux sons, il existe un intervalle représenté par un

rapport moindre que , ces deux sons nous

paraissent être à l'unisson.

C'est une valeur du même ordre de ^.'landeui' qui a été trouvée dans des expériences faites à l'instigation de M. GisTAVE L'voN.

On avait un diapason donnant uji la correspondant

à 43o vibrations, et on avait établi une série d'autres

diapasons dont l'un donnait le mi, quinte du la, de

6q2, 0 vibrations (433 X - = 6j2,o) et dont les autres

exécutaient respectivement 631, o — 050,5 — 649,3 — 048,') vibrations, donnant des sons un peu plus graves que la quinte juste ; d'autres exécutaient

1. R:tppelons que pour diviser par une fraction il fiiut nniltiplier ir la traction diviseur renversée.

033, o — 634,3 — 033,5 — 030,3, vibrations, donnant des sons plus aigns que la quinte juste.

(Nous dirons plus loin comment on peut arriver .à "une telle précision.)

On faisait résonner le la d'une manière continue, puis, sticcessiveiTient, les antres diapasons, et on notait celui qui, à l'oreille, donnait la plus nettement la sensation de quinte.

Les essais furent faits par plus de quatre-vingts musiciens connus pour leur finesse de l'ouïe musicale; ils trouvèrent que, presque toujours, trois diapasons donnaient la sensation de la quinte juste.

On peut admettre que, outre le diapason de 632, ii,

ces résultats étaient obtenus soit avec ceux de 631,3

et 030,3, c'est-à-dire avec -2 vibrations en plus ou en

moins : l'erreur était donc au maximum de . ~ .; .

Oo2,o

Cette valeur est un peu plus grande que celle indiquée par jMersenmi;; mais il est plus que probable qu'on serait arrivé à celle indiquée par celui-ci, si, comme lui, on avait opéré sur l'unisson au lieu d'opérer sur la quinte.

C'est là ce que nous appellerons la limite 'de la sensihilitii expérimentale ou acimUUine : c'est celle qui délinit la précision des déterminations sur laquelle on peut compter dans les recherches. Mais, au point de vue pratique, il y a à considérer une antre sensibilité, la sensibilité musicale: l'observation montre, en efl'et, que lorsque, sans les écouter utlentiven^enl en vue de l'étude de leur hauteur, nous entendons des sons, nous les acceptons comme identiques, comme étant à l'unisson, alors que, en réalité, ils sont séparés par un intervalle notablement plus grand

Les expériences et les observations montrent, en

effet, que, dans les conditions indiquées, on accepte

sans difficulté comme étant à l'unisson deux sons

qui font entre eux un intervalle i'eprésen1.é par le

rapport — . Nous dirons, en effet, plus tard qu'il n'y

aurait aucune musique possible entre instruments de nature différente si, inconsciemraeatt, nous en négligions tous les intervalles égaux ou inférieurs

L'intervalle représenté par — , le plus petit de ceux

que l'on considère en musique, a reçu le nom de

ainima: le calcul permet de reconnaître que lecomma

est environ 12 lois plus grand que l'intervalle qui est

caractérisé par le rapport ---^^; on peut donc dire

que la sensibilité acoustique est 12 fois plus grande que la sensibilité musicale.

Les nombres que nous venons de donner se rapportent à la possibilité d'apprécier l'égalité de hauteur de deux sons, l'unisson.

-Mais la question est tout autre lorsqu'il s'agit, non plus, de comparer des sons qui sont presque à l'unisson, mais d'apprécier des intervalles; il est très diflicile, même en écoutant attentivement, de faire une évaluation absolument précise, même pour des intér-

im. On trouve, en elTet, nue la l:i" nuiss.incc de est à i^eu prC-s

égale y — -: les logarithmes permettent d'arriver aisément a ce résultat,

(Voir ci-après {110}].

valles très caractérisés comme la quinte, comme nous venons de le nioritrei'. Aussi, ne faudrail-il pas chercher à appliquer à la pratique les conséquences des résultats théoriques que nous exposons ci-aprés, sans tenir un 1res large compte, tant de notre tolérance, que de riusut'fisance de notre sensibilité acoustique pour l'appréciation des intervalles.

96. — Nous avons dériiii ce qu'on appelle la somme de deux intervalles, leur dill'érejice; la premièi'C notion conduit à la notion d'un intervalle double, triple... d'un autre. Il existe entre les rapports caractérisliques d?.ns chacun de ces cas des relations simples dont nous aurons souvent à faire usage.

Soient trois sons A, B et C et soient a, b et c les nombres de vibrations correspondants : désignons par Iab, Irc bIIac les rapports qui cai'actérisent les trois intervalles A à B, B à C et A à C, qui sont tels que le dernier est, par définilion, la somme des deux autres.

D'après ce que nous venons de dire, on a :

izr:

IaII — - IflC — T

Ia

Il existe entre ces rapports une relation très simple. On a en effet, identiquement :

II

Iac = Iaii X Iiic.

D'où la règle générale suivante :

Quand un intervalle ett la somme de deii.v mutres, U rapport qui le caractérise est leproduit des deux autres rapports.

Soit par exemple à ajouter l'intervalle - (quarte)

et l'intervalle 7 (quinte); le rapport représentant la

4 3 somme de ces deux intervalles esl-x-^^i (rapport

qui, comme nous le verrons, caractérise l'octave). De la formule précédente on déduit :

Ibc = Iac : Iab. (H)

Par défmition, l'intervalle B à C est la différence

entre A à 0 et A à B. On a donc la règle : Quand un intervalle est la diférence de deux autres,

le rapport qui le caractérise est le quotient des deux

autres rapports.

Soit à retrancher de l'intervalle représenté par '-

(quinte) l'intervalle Ireprésenté par Ion); on trouve

pour le rapport caractérisant l'intervalle cherché

: = - V'-= — =- . (Nous verrons plus loin que

ce rapport caractérise, en ePTel, la quarte.)

Revenons à la règle de l'addition des iulervalles.

Si les intervalles A à B et B à G sont éiiaux, l'intervalle A à C est le double de chacun d'errx ; comme dans ce cas Iab ^= Ibc, il vient :

lAC = lABXlAn=T-AB. (Mil

Le rapport qui caractérise un intervalle double d'un autre est le carré du rapport qui caractérise le second Intcrealle.

Soit l'intervalle de quinte (A-B) ut-sol dont la valeur

est -; son rtdoublement sera représente pari - I =;-

dont l'intervalle i l'octave supérieure 2 de A est

: j ; le son C est donc le ré de cette octave.

Si l'intervalle Iac est, dans ce cas, le double de l'intervalle Iab, inversement ce dernier sera la moitié de l'intervalle Iac- Or, de la formule précédente, nous déduisons :

lAB = y/ÎI^ (IV)

Donc : Le rapport qui caractérise un intervalle qui est la moitié d'un autre intervalle est la racine carrée du' rapport qui caractérise ce second intervalle.

Pour avoir un intervalle A à C ji fois plus grand qu'un autre A à B, il suflit d'ajouter n intervalles égaux au premier. L'application de la première règle dorme évidemment :

Iac = IabXIabX Iab... le nombre des facteurs étant n.

On a donc :

lAC = (lAri)". (V)

L'intervalle AB qui est la n'^ partie de A à C est donné par la formule suivante qui se déduit de la

précédente :

Iab=v/Iac. (VI)

97. — Il est à remarquer que les déterrainalions expérimentales donnent le plus souvent les nombres de vibrations des sons étudiés. Si l'on a deux sons A et B, on aura immédiatement le rapport caractéristique de leur intervalle en écrivant une fraction dont les deux termes, numérateur et dénominateur, sei'orrt les nombres de vibrations correspondants; ces nombres sont toujorrrs assez grands, les fractions se présenteront sous une forme qui ne sera pas simple, et leur comparaison ou les opérations auxquelles elles pourront donner lieu seront peu aisées.

C'est ainsi que si l'on a deux sons ut et sol pour lesquels les nombres de vibrations trouvés aient été 312 et 768, le rapport caractéristique de l'intervalle

ut-sol (quinte) sera 77— j. Si l'on avait deux autres sons

sol et ut aigu dont les nombres de vibrations soient

768 et 1024, le rapport caractéristique de leur inter-

valle serait-—— . On peut ne pas voir immédiatement

laquelle de ces deux fractions est la plus grande d'une part et, si l'on voulait faire la somme de ces intervalles, le calcul serait relativement lorrg.

Mais, le plus souvent, les fractions ainsi obtenues peuventètre simplifiées; aussi, faut-il toujours, avant de les utiliser, les réduire à leur' plus simple expression. En effectuant le calcul, on trouve, f|ue les deus

termes de la fraction —— sont divisibles par 256: en ul2

effectuanl la division, cette fraction est ramenée à la forme'-. Ei\ opérant de même sur la fraction -—-r,

on la ramène à la forme-- On reconnail alors aisé-

TEC.IISIQiE. i:STin:TU)VE ET PÈnAGdOIE

nient ^1167^ est plus i;rand que-; donc, riiiteivalle ut-

soi est plus f;''âuil que l'intervalle sol-id ai^'u. D"antre

part, la somme des intervalles, itt-iit aigu, a un rap-

3 4 port qui estdonné (96,1) par^ x ;t = 2, nombre qui,

en effet, comme nous le verrons, caractérise l'octave.

98. — Les calculs à faire pour les éludes numériques sur les intervalles ne sont pas très compliqués et ne présentent pas de réelles difficultés ; lorsqu'on n'en a qu'un petit nombre, il n'y a qu'à exécuter sur les iraclioiis données les opérations indiquées ; mais il n'en est plus ainsi lorsqu'on doit faire de longues séries de déterminations numériques, et alors, on peut appliquer une métliodo qui permet d'opérer plus rapidement. Cette méthode consiste à ne pas caractériser les intervalles par un rapport immélique, mais à les iJvaUier en les mesurant avec uue unité d'intei'valle, c'est-à-dire à déterminer combien de fois cette unité est comprise dans chaque intervalle que l'on a à considérer; on peut y parvenir comme nous allons l'indiquer.

Mais auparavaiil, il faut faire choix de l'unité qu'on adoptera. 11 serait naturel de prendre le ton pour uniié.si la gamme de Pythagore était acceptée d'une manière absolument générale, puisque cette gamme ne contient qu'une espèce de ton. .Mais, comme il en est autrement dans la flamme d'ARisTO.\ÈNK,ce choix |iourrait pièter à confusion, puisque celte gamme présente deux espèces de tons.

Il y a un intervalle sur lequel les physiciens et les musiciens sont tombés d'accord pour lui donner la même valeur: c'est le coinina, intervalle représenté

par le rapport 5- ; c'est cet intervalle que nous adop-

terons comme unité, ainsi d'ailleurs que l'a fait Delezë.n'ne.

L'introduction de celte unité permet de faire sur les iiilervalles des déterminations et des comparaisons d'une manière plus simple que par l'application des règles données précédemment.

Consid^Tons par exemple deuxinlervalles A-B (soit une quinte ut-tioh, et B-C (une quarte sol-vl aigu), qui comprennent respectivement n et n commas (:i2,64 et 23,16;) l'intervalle A-C, qui est la somme des deux premiers (octave), conipi'endra n^n' commas (dans ce cas 32,64-h23,t6 = :;o'',80).

Inversement, si deux intervalles A-B isoit une quinte tit-sot] el C-B (une quarte ré-sol) comprennent respectivement n (32,64) et n' (23, I61 commas, l'inlervalle A-C (!U-)-é),qui est la dilférence des deux premiers, comprendra n-n' commas (ici 32,64 — 23,16

On voit donc que pour l'évaluation numérique des intervalles, en employant les mesures en commas au lieu des rapports caractéristique.? pour les calculs, la difficulté des opérations numériques est abaissée d'un degré, là oij il fallait faire une multiplication de rapports, il suffit de faire une addition; de même, une soustraclion remplace une division de rapports. On recomiailrait aisément qu'une multiplication et une division remplaceront une élévation à une puissance ou une extiaction de racine.

Au poinl de vue des applications, il suffit de connaître l'évaluation en commas des intervalles usités en musique : nous donnerons plus loin un tableau contenant ces valeurs.

'•'•'• Logarithmes acoustiques. — Il poul iHve inléiossiuit 'le s^ivoir t-onimunl on fail celle ùvalualion; c'est ce nue nous ■Ulnns indiqiiei':

^«it I Ml le rapport caractérisant rinlorvallc cmipris entre les sons .\ et B pour lesquels les nombres île vihralions sont respeciveinent n et «, et soil « le nombre de eoiiunas compris dans 1 micrvalle A-B, c'est-à-dire que cet intervalle vaut n commas

U après la formule donnée plus liant ( V, 96], introduisons là valeur — du oomma, on a :

'^"^(rô )''^

ce qui revient au même •

De l'une ou de l'autre de ces équations on peut tirer n. En général on ne pourra déterminer 11 directement et lé calcul devra être fait par logarithmes'.

100. — La question serait fort simple si on n'avait ;"i opérer que sur un nombre limité d'intervalles: on calculerait combien chacun d'cu.i contient de commas, et on dresserait un tableau contenant dans une colonne le nom des intervalles (ou le rapport caractéristique qui le représente également) et dans une autre colonne en regard, les nombres de comm'as correspondant à chacun d'eux.

Kn réalité, il n'en peut élrc ainsi, car rien ne limite le nombre des nitervalles que l'on peut avoir îi considérer et l'on ne peut songer à déterminera l'avance et à réunir dans un tableau les valeurs en commas de tous les intervalles (|u'on peut concevoir.

Une remarque, basée sur la relation mathématique qui existé cnire le rapport caractéristique d'un intervalle et le nombre de eommas que contient cet intervalle, a permis de donner une solution simple de cette difficulté.

.■^oit I le rapport caractéristique d'un intervalle et n le nombre de commas compris- dans cet intervalle; nous avons dit que ce nombre est défini par l'équation':

\8Ô/ '°"™ lJ»sa"'^ = ('' ! = €'•.

Lorsque, en malhématiques, entre des nombres A,B et C on a la relation :