De l'équation précédente on tire
log. I,-B = log.- = „|og. I^l\
ou log. b —log. a — >i (log. 81 —log. 80). La quantité dog. Sl — log. SOI est une constante qu'on peut calculer une fois pour toutes. On trouve dans. les tables: lug. SI = :, 0084830 log. 80=1,903 0900,
et par suite
log. SI — log.S0 = 0,003 393u log. b — log, a
Soit par exemple à détcrniîncrcombieii il y a de commas dins l'intcrv.alle -. On aurn :
loî. i— log. 3
log.3=0, 477 1213.
-Mais les tables doiiaeiit:
Iog.i = 0,60ÎOCOO Donc :
0,0oi3'.lj0 0,0053930 -•'>'"■
L'intervalle considéré vaut donc 23,10 commas ; nous représenterons le comma par la lettre c et nous écrirons: 23C,|6.
Le résultat eût été le ménic si on avait donne les nombres de \iljra-
tiens i40 et SiOdes sons dont l'intervalle est -, p.arce que les rapports
77^ '.t - étant égaux ont les mêmes logaiitlimes.
EXCY-CLOPÈlJlE DE LA MUSTQUE ET DJCTWlVNAtfiE DU COSSEliVATOlRE
sons, on a h^^^a et, par rli'finition, on a I=- ; et c'est parce que
/' et« peuvent être quelconques que le nombre des intervalles que l'on peut avoir éi considérer est ti'ès grand.
On peut calculer log.Q en s'appuyant sur la propriétt' suivante des logarithmes ;
Le lo'fiirîtlitiie d'un i/iiotieJif est i}f/nl ii tu tli/fiTence fiilir le tmtn- Tilhme du diridende et eeliii du diviseur.
On aura donc, en appliquant celte règle :
log.,. I = log.c''-log.J', et, par suite :
H = l0g.(.'' — log.j.".
Si donc on a une table qui contienne les logarithmes des nombres entiers dans Iç systiîme dont la base est//, on y ttouvera log.(.'' et log.p", et une simple soustraction donnera «, c'est-àdire Ifc nombre de commas compris dans l'intervalle de A à B. *
Il peut arriver quele rapport- soitirreductible, c estpar exem*-
pie le cas du rapport r-n;", mais il se peut, au contraire, que ce
rapport puisse se remplacer par un autre équivalent, mais de forme
360' plus simple; par exemple, le rapport — peut se reraplacec par le
rapport équiivalent.- dont les termes, sont plus simples. Ces deux
rapports délinissenl le même intervalle, puisqu'ils ont la même valeur; aussi toutes les fois qu'il sera possible on emploiera le second.
// Supposons donc que le rapport -puisse être remplace par le
rapport — plus simple.- Comme un a - = — , il viendra necessaire-
ment I ^ — .
L'application dé larégleindiquée précédemment donnera donc :
log.c;' = log.c?-log.c°', et par suite ;
« = log-c' = log'.cf — los-n"- Donc, on aura encore le nooi'bre dfe Gommas par une simple soustraction de logarithmes.
101. — PouT résoudre toutes les questions qui peuvent se in-ésenter, il suffit d'avoir les logarithmes de tous les nombres qu'on peut rencontrer. La suite de ces nombres n'est pas très considérable, car, au point de vue musical, on n'emploie que dés sons dont les nombres de vibrations ne sont pas très grands, ou des rappoils dont les termes sont en général assez simples.
Delezrnnr a calculé et puibllé une table de logarithmes dans le
SI
système dont la base est C =
SO
, tablequ'ilaélendue jusqu'à 1200
ce qui parait très suffisant dans la pratique. A cause de l'usage spécial pour lequel ils ont été déterminés, on les désigne sous le nom de lofiarillwir.s ncousliques.
liELEZENNE a d'ailleurs, donné ces loganlhmes avec trop de détails, car il les a évalués avec 8 décimales. Nous ne voyons pas de cas où cette extrême précision soit nécessaire, et nous pensons qu'il suffit toujours de se borner k 4 décimales, même 3, et le plus souvent 2.
Les logarithmes acoustiques peuventd'ailleurs être utilisés pour tous les calculs pour lesquels on emploie les logarithmes vulgaires en mathématiques. Mais, pour des raisons qu'il est inutile de développer ici, ils sont alors moins commodes quêtes logarithmes vulgaires dontla base est 10.
Nous reproduisons ci-après les logarithmes acoustiques jusqu'à 30.
Donnons quelques exemples pour montrer commenl on se sert de cette table.
