PYTHAGORICIENNE

ABI.STdXÉNIENNE

II

ré mi

fa

r.ol

la

si

ul

o-,oo

Les nombres affectés du signe — sont ceux qui correspondent aux cas où la note lempérée est la plus aiguë.

On voit que les différences sont faibles; ell 'S sont moindres avec la gamme pytbagoricienne. ce que l'on pouvait prévoir, puisque cel e-ci a tous ses tons

•) égaux; la plus grande différence est environ de ^de comma.

INous avons dit que l'intervalle de ciuinle esl après l'octave celui que l'on apprécie le plus exactement; aussi, esl-il inléressant de remarcpier que le.\o/de la gamine tempérée dill'ére excessivement peu du soi vrai. La différence est à peu près à la limite de ce que l'on peul apprécier en écoutant atlenlivement ; en effet, nous avons dil que cet intervalle limile est représenté par 1001. La lable des lo^iantlmies acoustiques permet de calculer la valeur de cel iniervalle en commas. En faisant le calcul, on trouve que l'intervalle----—vaut 0,08, à peine inlérienr à 0,00, différence enfre le ,<o/ des gammes de l'YTnAi;oiiK et d'A- RisTiixÈNE et celui de la gamme tempérée. Aussi, même en écoutant attentivement, l'oreille n'est pas choquée par la substitution d'un S'/ à l'iinlre.

La même remarque doit être (aite pour le fa; il était nécessaire que cette condition lYil réalisée, car le /■(( est la quinte grave de Vul.

Pour les autres intervalles, les différences sont plus grandes; mais poui' eux l'oreiMe présente une moindre si'iisibilité, comme nous l'avons dil (Ho).

H2. Sons partiels. Harmoniques. — .Nous avons dit (46) qu'une corde peut vibrer de diverses façons, sans moiliiication de longueur : soit (|u'elle vibre dans sa totalité, soit qu'elle se divise en concamérations; nous savons que, dans ce dernier cas, les loii-

TECHMQVU, ESTHÉTIQUE ET PÉDAGOGIE

gneiirs des coiicaiiii'ialions sont dos parties aliquoles de la loiifiiieiir totale. Si la longueur totale est /, les coiicaniéialions pouiront être la moitié, le liers, le

quarl, etc. I - , - ,7, etc.) et, coin me conséquence, si n

est le nombre de viluations exécutées en une seconde par la corde vibrant dans sa totalité, les nombres de vibrations exi'cutées lorsque la corde se divisera en concaniéraiioiis seront respectivement 2ii, 3)i,4n, etc.

A cbacuii de ces modes de vibrations coirespond un son déterminé; on dési^ine ceux-ci sous le nom de sons piirlieh, l'ordre de chacun d'eux étant donné par le nombre de concamérations dans lesquelles s'est subdivisi'e la coide, le I"'' son partiel étant celui qui correspond à la vibration de la corde entière, le 2«, le S'., ceux qui correspondent aux modes de vibrations de la corde se divisant en 2, 3..., concamérations.

D'autre pari, le son rendu par la corde entière est souvent désigné sous le nom de son fondamental, et les antres, pour des raisons que nous verrons plus

loin, sont dils des /tdinioiu'qi/e.s- de celui-ci, les i*'', 2°, 3'..., barmonii]uescor[espondant aux 2°, 3% 4"... sons partiels. On déduit de là <|ue, si le son fondamental (ou premier son pari ici) correspond à n vibrations, les sons partiels successifs correspondront respectivement à 2n, 3n, 4»,... vibrai ions.

.Nous avons dit, d'autre part, que des faits du même genre se produisent pour les tuyaux qui, en vibrant, peuvent ou non se diviser en concaniéralions; il y a donc également à considérer des sons partiels ou bien un son fondamental et des harmoniques.

Dans lis tuyaux ouverts (38), si le son fondamental correspond à n vibrations, les autres sons partiels correspondront à 2n, 3n, in..., vibrations, c'est-à-dire qu'ils constitueront la série complète des harmoniques, comme pour les cordes.

Dans les tuyaux fermés, si le son l'ondamenlal correspond à 11 vibrations, les divers sons partiels correspondent à 3n, 5«, ~n. La série est donc moins complète que précédemment, mais elle n'introduit pas de sons nouveaux.

1 2 .^ 4 5 6 7 8 9 tO N'î^ des sniia partiels.

- bo * * -

"^ s 2345 6 7 89 N»» des harmoniques

Il'est utile, comme nous le verrons, de connaître les intervalles qui existent entre le son fondamental et les divers harmoniques, en se rapportant aux sons de la gamme qui aurait pour tonique ce son fondamenlal. Il résulte de ce que nous venons de dire que les nombres caraclérisliques de ces intervalles sont précisément la suite naturelle des nombres, 1, 2, 3, 4, o.

Le premier harmonique ou deuxième son partiel étant caractérisé par le rapport 2 est, par conséquent, à l'octave du son fondamental, iiti.

Pour les autres sons partiels, les rapports étant plus grands que 2, les diverses notes ne sont pas comprises dans l'octave commençant à la note fondamentale, mais dans des octaves plus aiguës.

Considérons les 4", 8*^... sons partiels (3°, 7=... sons harmoniques}. Les rapports qui les caractérisent sont i, 8, 16..., dont le premier est double de 2 et dont chacun des autres est double du précédent. Ces sons sont donc tous à l'octave les uns des autres, et le premier est à l'octave du son 2. Ces sons représentent donc la double, la triple... octave du son fondamental, «(3, uti...

Soit maintenant le deuxième harmonique ou troisième son partiel caractérisé par le rapport 3, nombre compris entre 2 et 4 : le son est compris dans l'octave commençant à 2. L'intervalle qui existe entre le son 3 et le son fondamental 2 de son octave

est donc -, rapport caractéristique de la quinte; ce

son est donc la quinte de l'octave ou la douzième du

son fondamental; celui-ci étant ut, cet harmonique est un sol, le sol.^.

Les sons partiels 6, 12, 2i... sont caractérisés par ces mêmes nombres; ils sont les oclaves successives du son 3; ce sont donc les sol des diverses oclaves commençant respectivement aux sons 4, 8, 16..., soit S0/3, soh, S0/5...

Comme nous avons déjà examiné le quatrième son partiel, nous arrivons maintenant au cinquième (quatrième harmonique) caractérisé parce nombre 5; il appartient à la gamme comprise entre les sons 4 et 8; l'intervalle qui le sépare du son 4 est caracté-

rise par le rapport -, valeur qui correspond au mi

de la gamme aristoxénienne. Cet harmonique est donc la tierce du son 4 dans cette gamme, tierce de la double octave du son fondamental, le mi^.

Sans insister, on voit immédiatement que les 10% 20% 40%.. harmoniques sont les octaves successives du mi que nous venons de déterminer.

Le septième son partiel caractérisé par le nombre 7 appartient à la même gamme comprise entre 4 et 8; l'intervalle qui le sépare du son fondamental 4 est

caractérisé par le rapport j, rapport que nous ne

trouvons ni dans la gamme d'AaisTOxÈ.^E, ni dans celle de Pythagobe.

Le huitième son partiel a été déjà signalé.

Le neuvième son partiel, rapport correspondant 9, appartient à la gamme comprise entre les sons 8 et 16 ;

o il est à un intervallede la tonique 8 représenté par-;

c'est donc un ré, aussi bien de la gamme pythagoricienne que de celle d'ARisToxitNE, c'est le ré;.

Les 18% 36=... sons partiels sont les oclaves successives de ce ré.

En raisonnant d'une façon analogue, on verrait

ENCYCLOPÉDIE DE LA MUSIQUE ET DICTIONNAIf(.E DU CONSERVATOlItE

que les sons partiels 11, 13, 14 ne correspondent pas à des notes de la f,'.ininiR, mais que le quinzième son partiel, appartenant à la mf'me octave que le ré que nous venons de trouver, est distant du son S d'un

intervalle caractérisé par le rapport — qui correspond

à la septième; ce son est donc un s/.

En continuant l'étude des sons partiels suivants, on reconnaît aisément que ces sons sont les octaves des sons déjà déierminés ou n'appartiennent ni à la gamme pythagoricienne, ni à la gamme aristoxénienne.

Kn résumé, nous voyons que les harmoniques fournissent un certain nombre de sons de la gamme d'Ap.isTosiiN'E, à savoir, pour la tonique ul, les notes ré, mi, sol et si; mais seulement le ré et le sol de la gamme de Pythagobe.

Nous avons dit [47] que, dans le cas des cordes, plusieurs mouvements vibratoires peuvent coexister; on peut penser que, lorsque cette condition se produit, on entend simullanément les sons correspondant à chacun des modes vibratoires existants; c'est ce qui existe, en effet, comme nous le dirons plus loin. Pour les cordes, on peut donc entendre un ou plusieurs des harmoniques quelconques en même temps que le son londatnental.

Une remarque semblable peut être faite pour les tuyaux, et cela pour les mêmes raisons [61 1; mais, tandis que, pour les tuyaux ouverts, on peut entendre en même temps que le son fondamental un quelconque ou plusieurs des harmoniques, pour les tuyaux fermés, les sons simultanés ne peuvent être que des sons parliels d'ordre impair.

113. — Nous avons considéré la gamme comme une donnée expérimentale, empirique; nous avons étudié les sons de cette mélodie particulière tels qu'ils nous sonl donnés nctiirUemcnt par les chanteurs, par les instruments dont on se sert en musique.

La gamme, c'est-à-dire la série des sons compris dans Kinfcervalle d'une octave qui sont effectivement utilisés, pouirait être constituée tout autrement que celle que nous avons étudiée, soit, comme nous l'avons dit [105], qu'elle ail pour tonique une note autre que Vut, soit qu'elle comprenne le même nombre de notes, mais présentant des intervalles difïérents, soit qu'elle- comprenne un nombre de notes plus grand ou plus petit, sans qu'il y ait rien à changer aux considérations que nous avons exposées ^précédemment; seules, les valeurs numériques que nous avons indiquées devraient être modifiées, mais elles seraient obtenues en s'appuyant sur les mêmes prij'icipes, en appliquant les mêmes règles.

Il est naturel de se demander quelle est l'origine de In gamme, o'est-à-direde rechercher poui' quelles raisons on a fait choix des notes qui sont actuellement usitées, pour quelles raisons on a limité à 7 le noAibre de ces notes. Cette question, très controversée, n'est pas du domaine de l'acoustique, et nous n'avons pas à nous y arrêter.

Toutefois, il importe de montrer que le choix des sou? utilisés en musique n'est pas absolument arbitraire, et que ce choix est basé sur des phénomènes acoustiques; la question ne sera d'ailleurs résolue qu'en partie, car, s'il existe des raisons pour avoir fait choix des notes adoptées, il n'y en a pas d'absolumcntdéterminnntes qui aient limité ce nombre et il y a d'autres sons qui auraient [lu èlie admis au même titre que ceux dont on se sert actuellement.

lîemarquons que, en réalité, la question est double, puisque, comme nous l'avons dit, il y a deux gam^ mes : celle de Pvthago;-,i; et celle d'AïusToxiixi;.

114. — Un premier ordre de pbénonienes qui est susceptible de donner des notes de la gamme est déduit de la considération des vibrations des cordes et des tuyaux qui donnent les harmoniques du son fondamental qui, cora-me nous l'avons dit, correspondent aux notes ut. r<j, mi, sol et si de la gajnnie d'Ail isïoxiiNE. Le fa ne s'y trouve pas, mais on comprend qu'il ait pu s'introduire comme étant l'octave aiguë de la quinte inférieure de l'ut, deux intervalles faciles à reconnaître.

Il n'est pas aussi aisé de comprendre l'inti-oductiou du la, qui n'est apparenté a aucun des sous parliels de l'ut; peut-êlre, résulte-t-il de ce que, la gamme élanl divisée en deux tétrachordes, vt-fa, l'a-iil, on a voula donner au second une composition identique à celle du premier.

D'autre part, pourquoi a-t-on fait usage du quinzième son partiel (donnant le si), fort éloigné dans la série, alors qu'on a éliminé le septième son partiel, beaucoup plus rapproché? Nous ne connaissons pas d'explication à cette remarque.

llo. — Les indications qui précèdent ont montré que des phénomènes simples conduisent à l'obtention de notes comprises dans la gamme d'AniSTOxicNE. Mais c'est dans un autre ordre de faits qu'il faut chercher l'origine des notes de la gamme de Pv-

THAGORE.

Nous avons signalé le cai'actère de consonance que présentent certains sons entendus simultanément; sans insister sur ce point que nous reprendrons plus loin, nous dirons que, en dehors de l'octave pour laquelle il y a plus que de la consonance, l'intervalle consonant par excellence est la quinte.

On peut donc comprendre que, un son élant donné, l'idée de la qujnte se présente, si les deux sons doivent être perçus ensemble; et que, de même, on puisse prendre la quinte de ce second son, et ainsi de suite. Nous pouvons former ainsi la série de quintes :

fa do sol ré la mi si

qui comprend tous les sons de la gamme de Pvtua-