MODERNE

OU

A. ( Antiquités. ) Cette lettre, la première des alphabets hébreu, grec et romain, était chez les Grecs une lettre numérale qui valait 1 : de là alpha signifie le premier, comme oméga le dernier. Isidore de Séville prétend que les Romains ne faisaient point usage de ces lettres numérales : Ixitini, dit-il, numéros ad Hueras non commutant. Mais il était évidemment dans Terreur, puisque les chiffres romains I,V, X,L,C,D,M, sont les lettres I, qui vaut un , parce qu'il figure un doigt ; V, qui vaut cinq , parce qu'il figure les cinq doigts de la main ; X , qui vaut dix , parce qu'il représente deux mains unies; L , qui vaut cinquante , parce qu'il est la moitié du G , qui est l'initiale de centum , et qui se figurait ainsi C dans l'origine ; D, qui vaut cinq cents , parce qu'il est la moitié de M , qui est l'initiale de mille, et qu'on figurait CI3.

Dueange , dans son glossaire , explique au commencement de chaque lettre sa valeur en nombre. On la trouve aussi dans Calepin et dans Valérius Probus, qui lait partie du recueil des Grammatici vcteres de Pulschius, et des Autores iatini de Godefroi , in-4°.

Les Grecs regardaient la leltre À comme de mauvais augure dans les sacrifices, et les prêtres commençaient par elle les imprécations qu'ils faisaient au nom des dieux : ce qui vient sans u*outc de ce qu'elle est l'initiale du mot grec àpà , execratio.

C'est ainsi que chez les Romains A était un signe d'absolution , parce que cette lettre est l'initiale A'absolvo, j'absous. Lorsqu'on devait prononcer sur une cause ou sur un crime , on distribuait à chaque opinant trois tessères ou bulletins, sur l'une desquelles était gravé un A , absolvo , j'absous; sur l'autre un C , condemno , je condamne; et sur la troisième une N suivie d'une L , non liquet, le fait n'est pas clair. C'est à cet usage que Cicéron fait allusion lorsqu'il appelle l'A littera saluiaris , la lettre qui sauve.

A servait encore à rejeter une loi proposée dans les comices. Ceux qui s'opposaient à la nouvelle loi se servaient d'une tessère marquée d'un A, qui signifiait antiquo, je tiens, je vote pour l'ancienne loi , je refuse; ou anliqua sequor, nova non placent, je tiens à l'ancienne loi, et je rejette la nouvelle. Les acceptants donnaient une tessère, sur laquelle on lisait V. R. , uti rogas , comme vous le demandez.

A, dans le calendrier Julien, est la première des sept lettres dominicales; c'était chez les Romains la première des lettres nundinales.

On prétend que celte lettre était chez les Égyptiens un hiéroglyphe qui représentait l'ibis ; mais tout ce qu'on a dit à ce sujet, tant pour cette lettre que pour la lettre B, est de pure imagination. Une lettre alphabétique étant la figirre d'un son ou d'un mot , et un hiéroglyphe celle d'une personne ou d'une chose sacrée , comme l'indique ce mot

A 5 lui-même, qui signifie sculpture sacrée, lettre alphabétique et hiéroglyphe impliquent contradiction. E. J.

A , a, a. (Grammaire. ) A, lettre voyelle , est un substantif masculin invariable ayant plusieurs acceptions.

A , troisième personne du présent de l'indicatif du verbe avoir, exprime l'idée principale de possession : il a du bien , des connaissances. On dit par extension : il a des chagrins, des douleurs, des soupçons. A verbe n'est jamais marqué de l'accent grave par lequel nous distinguons la préposition à.

Dans ces locutions, il y a des hommes, il y a des jours qui , etc. , a est le même verbe avec une extension plus grande encore. Voici comme l'analyse le démontre : y ou là, ou dans ce point, il ou cette chose, cet être à imaginer, a des hommes , des jours qui. Les autres langues disent simplement des hommes , des jours sont qui, etc.

A préposition est toujours marqué de l'accent grave. Cette préposition, comme toutes les autres , indique le second terme d'un rapport que quelquefois elle exprime. Sa place est entre deux termes qu'elle lie , et le terme qui la suit se nomme son complément.

Mais la préposition à n'est jamais un adverbe , comme l'ont soutenu quelques grammairiens. L'adverbe renferme par sa nature une préposition avec son complément, et par suite présente un sens complet. La préposition à , comme toute autre, appelle un complément pour offrir un sens.

Elle concourt à former des expressions adverbiales , à reculons, à tâtons; elle prend des adverbes pour complément, à toujours, à jamais.

Si elle s'unit sans intermédiaire à la préposition de , elle fait partie d'une expression elliptique où son complément est sous-entendu , parce qu'on l'entend sans qu'il soit exprimé. Ainsi, à de si bonnes raisons est pour à un nombre de si bonnes raisons. Elle figure encore dans les ellipses suivantes , il a à manger , donnez-lui à boire , où Ton découvre aisément le premier terme du rapport qu'elle in-

clique, et qui est, des mets, une liqueur , que ses compléments manger , boire, font suffisamment concevoir.

Elle forme les composés au pour à le , aux pour à tes. Elle s'unit a certains adverbes composés, qui ajoutent ainsi a leur signification une nouvelle vue de l'esprit , dérivée toujours de la destination de cette préposition : s adonner à, pour se donner à; amener, pour mener à; apporter, pour porter à.

Enfin elle se substitue à une multitude d'autres prépositions. On s'en convaincra aisément. Elle remplace ainsi dans, sur9vers, avec, après, etc. , vivre à Paris, monter à cheval, venez à moi, aimer à la folie, pas à pas, etc.

A, lettre première de presque tous les alphabets, semble devoir ce rang aux causes indiquées dans cet article. Lettre numismatique , elle désigne les monnaies grecques d'Argos et quelquefois d'Athènes; celles de Rome, so*us les consuls; celles d'Antioche , d'Aquilée, d'Arles, durant le Bas-Empire; notre hôtel des monnaies de Paris, dans nos espèces d'or et d'argent. Lettre lapidaire , elle exprime , au gré du sens total d'une inscription , augustus , ager, aiunt ; double, elle désigne plusieurs augustes; triple, œre, argento , auro ; simple, devant miles, soldat jeune ; suivie du D , antè diem.

Le son dont elle est le signe est consacré dans le dialecte dorien à exprimer l'énergie; chez les Latins , la douceur ; chez les Italiens , une sorte de mollesse ; les Espagnols semblent l'avoir adopté pour l'emphase et l'ostentation. ( Voyez Alphabet.) G.

A. (Musique. ) Cettre lettre désigne la, qui est la première note du tétracorde hyperboléen ; elle répond maintenant à la sixième note de notre gamme , depuis que Gui d'Arezzo trouva dans l'hymne Saint-Jean, ut queant Iaxis , etc. , le nom des six premières notes de notre échelle, qu'il commença par ut. Mais l'usage de donner des noms de lettres aux notes a prévalu; et, pour mieux désigner le ton , on en nomme la dominante immédiatement après

la lettre. Ainsi, dans cette manière de désigner le ton, pour celui de la, on dit A-mi la; pour celui de si, B-fa-si; pour celui de ut, C sol-ut , etc. Quand ou veut prendre l'accord dans un orchestre, on s'accorde sur le la.

A et AB. ( Antiquités. ) Ces prépositions étant suivies d'un nom substantif exprimaient les charges de la maison des Augustes ou des riches Romains, en sous-en tendant servus ou minister. On trouvera dans Gruter , dans Muralori, et dans les grands dictionnaires d'antiquités , les inscriptions et les passages qui font connaître ces différents offices : nous nous bornerons à les expliquer brièvement.

A balncis, était l'intendant des baias. — A bibliotkecd et à bibliothtcîs , était le bibliothécaire. — A calidd , était celui qui donnait à Loire de 1 eau chaude : on sous-cntendait aquâ. — A cancellis , était le chancelier. — A codicillis, était celui qui gardait les tablettes. — A cognitionibus , était le contrôleur : on le nommait encore recognitor. — A commentariis , était le greffier , celui qui tenait les registres ( commentaria ). — A commentariis equorum , était celui qui tenait les registres des cochers ou des chevaux destinés à courir dans le cirque. — A commentariis fisci asiatici , était celui qui avait la garde des revenus de l'Asie. — A commentariis XV virorum S. F. ( saeris faciundis) , était celui qui tenait les registres des quindéccmvirs commis aux choses sacrées. — A commentariis vehiculorum, étaient ceux qui exigeaient les charrois ( les corvées) pour l'entretien des chemins. — A copiis , était l'inspecteur des vivres ou des convois. — A corintkiis , ou corinthiarius , était préposé à la garde des vases de cuivre de Corinthe. — A cubiculo et prœpositus cubiculo , était chargé de veiller à la garde de son maître et à celle de sa chambre. — A cura amicorum principis , étaient des affranchis du palais impérial qui prenaient soin des amis du prince. — A custodid armorum, était un officier du palais qui gardait les armes de l'empereur. — A diplon\ali-

bus , étaient ceux qui tenaient les registres des chevaux , des voitures accordées par le prince , ou destinées à ses voyages. — A frumento, était l'affranchi ou PescIaVe qui distribuait le blé à ses compagnons. — A jano, était celui qui aidait le portier à garder la porte. — A jumentis, était l'officier préposé à l'inspection des écuries du prince. — A kalendario , était celui qui plaçait à intérêt l'argent de son maître , et qui le retirait des mains des débiteurs aux calendes de chaque mois. — A lagenâ, était l'échanson ; cet officier était le même que celui àpotione, ou en différait bien peu : on Ht dans une inscription, a potions, item a laguna , où laguna pour lagena mérite d'être remarqué ; c'est ainsi qu'on lit dans deux endroits de Phèdre lagona pour lagena. — A libellis , était l'officier chargé des requêtes présentées à son maître. — A libris pontificalibus, était l'écrivain chargé de transcrire les livres pontificaux. — A manu , et servus à manu , était le secrétaire qui écrivait les lettres ou les commandements de son maître. — A marmoribus, ou à métallisé était le contrôleur des marbres ou des métaux employés à quelque ouvrage. — A memoriâ , et ad memoriam , ou magister ad memoriam , était l'officier qui recevait les mémoires présentés à son maître. — A mundo muliebri , était la femme chargée du soin de la parure des impératrices , ou de la toilette d'une dame riche. — A pedibus , était le valet de pied : il suivait son maître. On l'appelait aussi ad pedes , pedisequus , et au féminin pedisequa. — A pendice cedri , était un officier de la maison d'Auguste qui veillait à la garde des cassettes et autres meubles de bois de cèdre. Pendice ne se trouve que dans une inscription ; je crois que c'est une corruption, par métathèse, du mot grec et latin pyxide , boîte , cassette, s'il n'a pas été mal lu par Pignorius , qui cite cette inscription , et qui dit avec raison que c'est une sottise de le faire venir tfappendix : on aura dit picide, puis par métalhèse pidice , p indice 9 pendice. — A pugione , désignait l'officier commis à la garde du poi-

AB 7 gnard ( pugio ) ou du parazonium, — A rationibus , ou ratîocinator , était l'officier chargé des compte» de la maison des Augustes : Zonare l'appelle prœfeclus fisci. Ce serait chez nous le maître des comptes. — A sandalio # était la femme chargée du soin des chaussures de l'impératrice ou des princesses. — Asecretis, était le secrétaire, qui est appelé notarius secretorum , par Vopiscus. — A studiis , était celui qui dirigeait le prince dans ses études. — A suppellectili, était préposé au soin des meubles et delà vaisselle. — A veste , était chargé du soin de la garderobe. — A voluptatibus , était l'intendant des plaisirs du prince , des menus plaisirs. Tibère créa cet office , et le voluptueux auteur du Festin de Trimalcion en fut revêtu sous Néron. — Abactis fort, était le greffier qui rédigeait les actes du barreau, les sentences des juges, et qui appelait les causes. — Ab actis senatûs , était le greffier ou l'archiviste du sénat, t— Ab admissions bus, ou admissionales, étaient les huissiers qui introduisaient auprès du prince, les introducteurs. — Abœgris cubiculariorum , avait soin des valets de chambre malades. — Ab atrio curando , ou atrii curandi , était peut-être l'officier appelé atriensis , l'huissier de salle, le majordome : ce mot est dérivé d'a^ lrium} vestibule. — Ab ephemeride , est un affranchi qui , sans doute , tenait Y agenda journalier du prince, » ou note de ce qu'il faisait tous les jours. — Ab epistolis , était le titre du secrétaire. Narcisse avait cet emploi à la cour dt; Claude. — Ab hortulo, était le jardinier. — Ab januâ, était le portier. — Ab oniamentis , était une charge de la maison d'Auguste qui consistait à contrôler ou inspecter tout ce qui était susceptible d'embellissement.

AB , mot hébreu qui signifie père. C'est de là que les Chaldéens et les Syriens ont tiré leur abba , et les Grecs leur abbas , que les Latins ont adopté pour exprimer la même idée. La langue française a puisé dans cette source les mots abbé et abbesse , noms des supérieurs ou supé-»

Heures d'une réunion d'individus de l'un ou de l'autre sexe, formant un chapitre , un monastère, ou un couvent.

Ab , nom du onzième mois de Tannée ordinaire des Hébreux ; il correspond au cinquième de leur année sainte ou ecclésiastique, et à la lune de juillet. L'histoire de ce peuple raconte que c'est dans ce mois que furent détruits les deux temples de Jérusalem : le premier par les Chaidéens , 584 ans avant Jésus-Christ, et le second , l'an 69 de l'ère chrétienne, parles Romains sous les ordres de Titus , et que leur grande synagogue d'Alexandrie fut dispersée. On a observé aussi que c'est dans le mois de juillet que les Juifs ont été chassés de France , d'Angleterre et d'Espagne. Les Hébreux font pendant la durée de cette époque des jeûnes destinés à leur rappeler plusieurs événements mémorables.

Ab , nom syriaque du dernier mois d'été pour les chrétiens d'Orient , qui commencent avec ce mois un jeûne de quinze jours en l'honneur de la sainte Vierge. G.

ABAISSEMENT DU DEGRÉ DES ÉQUATIONS. {At gèbre. ) A proprement parler , on ne résout les équations des degrés supérieurs qu'en les ramenant à d'autres dont le degré est moins élevé. ( Voyez l'art. Équations , où on a traité la résolution de celles du 2* , 3e et 4' degrés et de quelques autres. ) Nous nous occuperons ici des procédés applicables à des cas particuliers pour en abaisser le degré.

I. Lorsqu'on connaît une racine x=a d'une équation xm-+-pxm-'-hqxm~:È+."'—o, le premier membre est nécessairement divisible sans reste par x — a; et le quotient a3m,4-pIaîra 2-f- -~o est 4u degré m — 1 ; ce quotient s'obtient très aisément {voyez Division et Composition des équations), et on trouve les autres racines en résolvant une équation d'un degré moindre d'une unité que celui de la proposée.

Si, par exemple, on sait que cc=i est racine de l'équa tiop ce3 — 7cc-f-6=o , en divisant par x — 1 , on trouve

ABÀ 9 l'équation du 2e degré x*+x — 6=0, d'où ou tire a?=2 et cc= — 3 : les trois racines de la proposée sont donc connues.

IL S'il suit de la nature d'un problème que plusieurs des racines inconnues soient liées enlre elles par une relation donnée, on peut toujours abaisser le degré de l'équation proposée : l'exemple suivant montre comment on doit gouverner le calcul. # ,

Je suppose qu'on sache , par un moyen quelconque , que deux des racines x et a de l'équation x* — 37a? — 84=o sont soumises à cette condition a-f- 2sc= 1 ; outre ces deux équations, on a encore cette relation a3 — 07a — 84=0, qui exprime que a désigne une racine. Eliminons a de cette dernière équation , en substituant pour a sa valeur 1 — zx , tirée delà précédente, nous aurons

sas3— 3a3a— i7£C-r»3o=o, x* — Z^x — 84=0.

Ces équations ne peuvent coexister sans avoir une racine commune; elles ont donc un facteur commun que le calcul apprend à trouver, et, en effet, on reconnaît que x+o les divise l'une et l'autre. En posant #4-3=0, on a x— — 3, et par suite «=7 ; ce sont les deux racines de la proposée, qui sont liées par la relation donnée: quant à la 5e, on la trouve bientôt; il suffit de recourir au premier cas traité ci-dessus. Elle est cc= — 4»

En général, si, entre les racines x, a, 6... de l'équation X =0 , il existe une relation connue , exprimée par l'équation M=zo, en fonction de x 9 a , />... , on remplacera x, dans la proposée, par a, 6..., et on aura des équations A=o, 2?=o...,qui exprimeront que a, 6... sont des racines. A l'aide de ces équations , on éliminera ( voyez Élimination) de M=o toutes ces racines a, b... , en sorte qu'il ne reste plus que x dans cette équation. Il devra exister un facteur commun entre celte équation finale en x et la proposée X=o , car, sans cela, la relation donnée Af=o serait absurde. La méthode du divi-

io . ABA

seur commun (voyez ce mot ) fera connaître quel est ce facteur, que nous représenterons par f (x) =o. Cette équation étant résolue , on obtiendra celle de nos racines qui a été désignée dans M par la lettre x , et par suite ou aura a, b...; en sorte que le problème se trouvera ainsi ramené à la résolution d'équations de moindres degrés que X=o.

III. Les équations réciproques sont celles dont tous les termes étant transposés dans un membre et ordonnés suivant les puissances de l'inconnue , ont des coefficients égaux et de même signe pour les termes également distants des extrêmes. La forme générale des équations réciproques est

kx* + pas1*-1 -f- qx*-*.... + qx* px-f-fc = o (1).

Il est d'abord évident que x = — 1 est racine de cette équation, quand le degré n est impair, puisqu'en substituant— 1 pour a;, on a — k+p — q...+q—p+k9 quantité dont les termes s'entre-détruisent deux à deux , et qui se réduit par conséquent à zéro. Eu divisant la proposée par x-hi , il n'y aura point de reste , et le quotient sera un polynôme de degré pair; il suit du fait même de la division {voyez Composition) que ce quotient forme une équation réciproque : il ne reste donc plus qu'à traiter les équations réciproques de degré pair , sous la forme

kx2a-hpx7m-x + qx7m-2....+ qx3 +px+k=o (2).

Une propriété de ces équations c'est que , si / est une racine , f en est une autre. II suffit pour s'en convaincre de substituer pour x ces deux quantités , et de remarquer que les deux résultats sont

Or, ce dernier étant multiplié par l2m reproduit tous les termes de l'autre en ordre rétrograde ; si donc le premier polynôme est =0, le deuxième l'est aussi.

ABA 11 Accouplons deux à deux les termes de l'équation (2) qui ont même coefficient , et divisons tout par ce01 (ce qui revient à multiplier par x~m ) , il viendra

k (xn4- x~m) -f- p (xm-< + a?-!--1') -h q (a3œ-a +x-{a->]) h t as o.

Comme l'équation (2) a un nombre impair de termes, celui du milieu , de la forme txm , est le seul dont le coefficient ne se répète pas, et la dernière équation est terminée par le terme constant t.

Soitposécc -4- x ~ 1 = z.

D'où. . . xa -h x - * = s* — 2.

ce3 -f- x ~3 = z3 — 3 (x -h x~ 1 ).

#5-f a? ~5 =s s5— 5 (x3-f-aj-3) — io(x+x-').

Ces équations s'obtiennent en élevant la première aux puissances 2,5,4» 5...; il est clair qu'elles sont toutes comprises sous la forme

X1 -+- X~'x = — i(x'1-* CD -(**-») )

Les coefficients sont ceux de la puissance i d'un binôme {voyez ce mot) , pris avec le signe — : les exposants de x descendent de deux unités dans les divers facteurs binômes successifs ; le coefficient Q du terme moyen est le nombre constant qui termine le développement quand i est pair; et lorsque i est impair, ce dernier terme est — Q(x+x-')=— Qz.

Il est bien facile maintenant de mettre dans l'équation ci- dessus, pour les binômes qui sont entre parenthèses, leurs valeurs , en commençant par les plus hautes puissances; et on voit qu'en définitive la transformée sera, en z du degré m , moitié moindre que celui de la pro~~ posée»

Une fois z connu, la première équation (5), ou x-f-i =c, donne x2 — zx 4- 1 =0 , d'où

x = iz±V (iz*—i) (4).

Ainsi , les diverses valeurs de x seront obtenues» Par exemple, soit proposée l'équation réciproque