II. — LA DYNAMIQUE * AUTOUR DE LA POSITION D’ÉQUILIBRE

7) La suile du problème du pendule. — $i l’état d’équilibre ne souffre qu’une expérience instantanée, il n’est pas défendu aux physiciens de se poser un autre problème : celui du mouvement autour de la position d'équilibre.

Une telle idée ne serait pas venue de la pratique de la pesée, car la pesée ne comporte absolument aucune suite : le déséquilibre de la balance n’est pas susceptible de plus ou de moins, et les mouvements des plateaux ne changent pas l’action des poids (1). Forces et déplacements sont donc indépendants l’un de l’autre.

Dans le cas général il peut y avoir une suite à l’équilibre. Cependant l'équilibre de D'ALEMBERT est posé en termes trop généraux pour pouvoir avoir une réponse suffisamment précise. Il faut donc, pour que le problème ait un sens, que le mouvement soit défini autour de cette position d’équilibre ; ceci revient à dire qu’en chaque point voisin de cette position doit être définie la force qui engendre le mouvement, et dont la nullité permet précisément l’état d'équilibre.

C’est entre autres le cas du pendule qui est soumis à une force de rappel bien définie en chaque point, ou celui d’une bille roulant sur une surface ; en chaque point de la surface la force de déplacement est proportionnelle à l’inclinaison de la surface : le mouvement est donc bien déterminé et on peut l’étudier.

(1) Il est vrai que, dans une balance de précision, l’inclinaison du fléau permet par sa considération, de pousser plus loin la précision. Mais il s’agit d’un phénomène secondaire dû à ce que les distances des verticales des centres de gravité des poids à l’axe sont légèrement changées par les mouvements du fléau. Rien de tel ne serait possible si les verticales des centres de gravité restaient inchangées.

ié ÉQUILIBRE PHYSIQUE, BIOLOGIQUE, ÉCONOMIQUE

8) La notion de stabilité. — Comme âu commencement de toute science, les premières considérations relatives au mouvement autour de la position d'équilibre ont été qualitatives ; elles ont abouti à un simple classement des mouvements en question en trois catégories :

Si la position voisine de la pôsitioti d'équilibre engendre une force qui à comme conséquetice de ramener le système vers cette position d'équilibre, cette dernière est appeléé position d'équilibre stable. C’ést le cas du pendule à la verticale au-dessous de son axe, et d’une bille âu fond d’une cuvette ;

Si la position voisine de la position d'équilibre engendré une force qui a comme conséquericé d’écarter plus éncore le système de sa position d'équilibre, cette dernière est appelée position d'équilibre instable : c’est ce qui arrivé quand un pendule est en équilibré au-dessus de son axe où quand une bille est Sur un sommet d’une surface :

Si enfin la position voisine de la position d équilibré n'engendre aucuné force et n’a donc pour conséquence aucun déplacement, l’une et l’autre position sont dites d'équilibre indifférent.

Par suite de phénomènes complexes de frottements dynamiques (complètement différents des frottements statiques dont il à été parlé plus haut), une erreur $’ést fréquemment introduite dans là considération de la stabilité de l’équilibre ; une telle considération est toujours relative à un mouvement qui se produit et non pas à l’état d’éqüilibre. Celui-ci est toujours rompu par un déplacement de la bille et du pendule.

Mais dans un cas, le mouvement éloigne définitivemént le système de là position d'équilibre ; dans l’autre, le mouvement est toujours un déséquilibre mais consiste en oscillations plus ou moins régulières autour dé là position

d'équilibre. Cette dernière n’est plus pour le système en mouvement une véritable position d'équilibre, mais une position privilégiée qui joue un rôle particulier dans le mouvement.

9) Les oscillations. — Les oscillations d’un pendule sont des mouvements réguliers, mais la régularité n’ajoute rien aux phénomènes oscillatoires. Des oscillations parfaitement dissymétriques comme celles d’une bille dans une cuvette à forme irrégulière, mais toujours concave, ont les mêmes propriétés.

Le mouvement oscillatoire général est un cas particulier du mouvement autour de la position d’équilibre ; mais en pratique il conserve le voisinage de la position d'équilibre ; il prolonge donc indéfiniment le problème du mouvement autour de cette position. En outre il permet d’autres phénomènes {accumulation des effets des frottements dynamiques qui seront étudiés plus loin) qui ramènent ou peuvent ramener le système à l’équilibre. À tous ces titres, il mérite une étude spéciale.

Dans le cas général d’un équilibre stable les oscillations peuvent être quelconques, mais ont un caractère commun : plus grand est l’écart de la position privilégiée (position qui était d'équilibre quand il n’y avait pas mouvement), plus fort est le rappel exercé sur le corps qui s’écarte de cette position.

Si la force qui écarte le corps de la position d'équilibre n’est pas trop violente, celle qui l’y rappelle devient prépondérante, et le corps, soumis à ces deux forces revient avec une vitesse croissante vers la position privilégiée. Quand il est revenu à cette position, il n’y a plus aucune force de rappel, mais comme le corps s’y trouve avec une certaine vitesse il dépasse la position et va de l’autre côté. Cette vitesse produit le même effet que le déplacement

initial, c’est-à-dire qu’elle déplace le corps hors de la position d'équilibre. Le phénomène continue indéfiniment. d’une manière analogue.

On peut donner une explication mécanique très suggestive de ce phénomène basée sur le principe de la conservation de l’énergie. Le système composé d’une bille sur une surface, ou celui constitué par un pendule, sont susceptibles d'acquérir deux sortes d'énergie : une énergie potentielle qui.est mesurée par la possibilité pour la bille de tomber plus bas, et une énergie cinétique qui provient de la vitesse de la bille.

Le principe de la conservation de l'énergie, «valable pour n'importe quel système. physique isolé établit que l’énergie totale est toujours la même:

Dans l’état d’équihbre, l'énergie cinétique représentée par la masse en mouvement dont l’arrêt brusque donnerait du travail, est évidemment nulle: L'énergie potentielle a une valeur déterminée, mais que l’on peut supposer également nulle puisque ni la bille ni le pendule ne peuvent. pratiquement descendre plus dans les conditions de l’expérience.

Si l’on élève la bille ou le pendule, on fournit pour cela une énergie supplémentaire. Or, le pendule est précisément construit de telle sorte qu'il ne peut pas garder cette énergie supplémentaire sous forme potentielle. (Il le pourrait, s’il avait un cran d'arrêt.) Il va donc descendre jusqu’à l’ancienne position d’équilibre.

Arrivé à cette position, il a entièrement transformé l’énergie potentielle supplémentaire qu’on lui avait fournie en énergie cinétique. Sous une autre forme, il a également une énergie supplémentaire qui ne lui permet pas de rester au repos.

La construction du, pendule à encore ceci de particulier qu’elle ne peut: garder l’énergie cinétique sous cette: forme, mais la transforme aussitôt en énergie potentielle.

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(Une bille roulante sur un plan horizontal pourrait au contraire garder l’énergie supplémentaire sous forme cinétique.) Cette nouvelle transformation ramène le pendule à une position analogue à la précédente.

La cause des oscillations est donc un échange entre les deux formes d’énergie d’une énergie supplémentaire que le système ne peut «digérer » à l’état d'équilibre. Cet échange est réciproque et successif, c’est-à-dire que l'échange de cinétique en potentiel et de potentiel en cinétique se fait dans deux phases successives. Il faut pour cela que le système contienne em lui-même un certain facteur qui retarde l'échange dans un sens tant que l’échange inverse n’est pas fini. Ce facteur c’est la masse du corps en mouvement.

Le système a donc trop d'énergie pour rester à la position d'équilibre. Pour qu'il y revienne d’une manière définitive il faudrait que l’énergie supplémentaire en soit éliminée. C’est à quoi s’emploient les frottements dynamiques (ne pas les confondre avec les frottements statiques) en grignotant l’énergie pour la transformer en chaleur. Mais ceci est une autre histoire qui déborde l'étude de la mécanique.