F.PP'=V' — V

Il s'ensuit que la direction de la force totale est perpendiculaire à la surface pour laquelle V est constante, car si P' est pris sur cette surface, la valeur de la résultante F suivant PP' s'annule.

(j). Les exemples les plus simples d'une distribution d'électricité nous sont présentés par des couches conductrices de forme sphérique et concentriques (sans influence de corps extérieurs ou intérieurs); car chaque surface de chacune de ces couches doit avoir sa distribution uniforme d'électricité qui peut être positive, négative ou zéro. Gomme il est alors facile d'obtenir des résultats importants par des procédés très-simples d'analyse mathématique., nous commencerons par rappeler deux théorèmes de Newton sur lesquels ces recherches reposent.

(i .] L'attraction d'une couche sphérique uniforme sur des points extérieurs est la même que si toute la masse de la couche était condensée dans son centre.

(±) L'attraction de cette même couche sur des points in- 4érieurs est nulle.

De là, si y est le potentiel d'une semblable couche pour un point extérieur à la distance r du centre, V la même quantité pour une distance r' peu différente de r, et si M est la masse de la couche, l'équation du §. (t ) devient

?*(r'-r) = Y'-V, qui est satisfaite si Ton pose

r A la surface de la couche^ nous avons r = R, et

L'accroissement du potentiel en passant de la surface à la distance r est donc

{k.) Le potentiel d'une charge Q d'électricité uniformément distribuée sur une sphère de rayon R est donc

et représente le travail nécessaire pour écarter l'unité négative de la surface de la sphère à une distance infinie.

Ceci montre que le potentieF d'un conducteur chargé quelconque peut être mesuré par la quantité d'électricité qui doit être donnée à tne sphère conductrice, de rayon

égal à l'unité et reliée à ce conducteur par un fil long et fin, pour que l'équilibre électrique se produise.

La puissance d'une machine peut donc être mesurée par la quantité d'électricité qu'elle serait capable de céder à une sphère dont le rayon serait égal à l'unité.

(/.) Supposons deux couches conductrices minces et concentriques de rayons R et r séparées par une' couche d'air, que la couche extérieure est en communication avec la terre, que, par conséquent, son potentiel soit nul, et que la couche intérieure soit chargée d'une quantité Q d'électricité, celle-ci sera distribuée uniformément sur sa surface extérieure y car une distribution sur la surface intérieure devrait exercer une force électrique résultante sur des points situés dans l'épaisseur de la couche; or, d'après le second des théorèmes de Newton que nous venons de citer, cet effet ne pourrait être contrebalancé par l'action de couches extérieures uniformément électrisées.

Cela posé, il ne doit exister aucune force électrique rév sultante en un point quelconque de la substance de l'enveloppe extérieure. Pour qu'il en soit ainsi, nous devons avoir une quantité Q' uniformément dist]:ibuée sur sa surface interne, de telle sorte que

Q + Q' = 0, ou

Il s'ensuit qu'il n'y a point d'électricité sur la surface extérieure de l'enveloppe extérieure. Car une couche q sur la surface extérieure produirait le potentiel

dans l'enveloppe extérieure qui est en communication avec la terre.

Le potentiel en un point quelconque au dedans de la couche extérieure est donc

en tant qu'il dépend de — Q. On en conclut que

est la valeur du potentiel dans l'épaisseur de la couche intérieure.

(m.) Si cette disposition de couche, qui représente virtuellement une bouteille de Leyde sphérique, est coihplétement chargée en reliant son armature intérieure avec une machhie qui produit un potentiel V, tandis que son armature extérieure est en communication avec la terre, nous devrons avoir

Si, comme cela a lieu habituellement, R et r sont sensiblement égaux, nous pouvons poser r= R4- r, t étant l'épais^ seur de la couche d'air ; alors

V = gr approximativement.

ou

Si S est la surface d'une des couches, nous avons

d'où

(n.) Supposons qu'un certain nombre découches conductrices sphériques et concentriques, isolées les unes des autres et non chargées, soient interposées entre les deux couches dont nous venons de parler, la condition pour que la force s'annule dans leur épaisseur exige que la surface intérieure de chacune d'elles soit chargée par induction d'une quantité — Q, et la surface extérieure d'une quantité +Q. Donc, s'il n'y a qu'une seule couche additionnelle, dont p soit le rayon de courbure et t l'épaisseur, l'équation qui donne le potentiel de Is^ dernière couche intérieure devient

v^Q Q Q , Q ou approximativement

La même formule pourra s'appliquer, par conséquent, à un nombre quelconque de semblables couches, pourvu que T représente la somme de leurs épaisseurs. Il en résulte que la substitution de ces couches conductric'es en remplacement de la couche d'air a pour résultat de diminuer virtuellement la distance entre les deux armatures de la jarre. Un efTet semblable, mais dans un degré moindre, aura lieu si chacune de ces couches était réduite en fragments détachés isolés les uns des autres. Ces considérations pourront aider l'étudiant à comprendre comment, par la polarisation de ses particules, un diélectrique peut différer d'un autre en capacité spécifique inductive.

(o.) Il est ainsi établi que, quelle que soit le diélectrique^ nous avons pour une bouteille de Leyde sphérique la for^ mule :

dans laquelle, i est directement proportionnel à l'épaisseur de la couche diélectrique, et en raison inverse de sa capstcité spécifique inductive.

(p.) L'énergie potentielle de la charge se trouvera en laissant les électricités séparées se recombiner sur les armatures, et en calculant le travail produit.

 un instant quelconque, lorsque les charges sur les armatures sont réduites à ; et à — ^^ le potentiel est

qt

Mais si une quantité d'électricité dq passe de l'armature intérieure à l'armature extérieure, le travail produit est

* vdq,

et alors la totalité du travail ou l'énergie potentielle de la charge est

ou

Le principe dont on fait usage ici est aisément applicable à la démonstration de la proposition générale de Helmholtz (§111], mais cela exigerait une analyse quelque peu plus élevée que celle que nous avons employée dans cet ouvrage.

(q.) Ces simples formules vont nous permettre de résoudre plusieurs questions importantes relatives à cette matière.

Par exemple, puisque

— 482 ^ nous avons

équation qui montre ébmment l'énergie potentielle dépend •de rétendue des armatures, de l'épaisseur virtuelle de la substance diélectrique^ et de l'intensité de la machine employée.

(r.) De même, supposons qu'une charge ait été répartie entre deux jarres égales, en reliant entre elles les armatures intérieures et aussi les armatures extérieures d'une jarre chargée et d'une qui ne le soit pas.

Au commencement nous avons, comme précédemment,

Après la partition, nous avons -^ dans chaque jarre, de

sorte que le potentiel perd la moitié de sa valeur. L» travail accumulé varie de

^-y- a zxg I 4*

et il est aussi réduit de moitié. Comme la conservation de l'énergie l'exige, la demi-moitié, en apparence perdue, de l'énergie potentielle primitive se dépense soit principale-* ment dans l'étincelle qui jaillit entre les armatures intérieures des jarres, soit en production de chaleur, si l'on s'est servi d'un conducteur de grande résistance pour établir la communication. Ces considérations nous montrent quelle large proportion de l'énergie habituellement contenue dans une jarre se trouve gaspillée sous forme d'étincelle quand on se sert pour la décharger de conducteurs de faible résistance.