La quantité de chaleur qu'il faut communiquer à un

(*) Pogg. Ànn» 1858. Ueber einen Satz der mecbanischea Warmetheorie, und eiuigc Andwendungexi desselben •

corps, dont la température est maintenue constante^ pour que^son volume augmente devkv + dvj est (§ 174),

dq = Mdv,

et si le corps se dilate de v' à i;, toujours à température constante, la chaleur totale sera

Udv.

Si Ton substitue pour M, d'après l'équation (5), sa valeur exprimée en termes de la fonction de Carnot^ elle devient :

t C'dp , td C'

Soit w le travail extéi^eur produit pendant la dilatation, à température constante, de v à t;, on aura

w d'où

t dw

Si la nature de la substance est telle que la totalité de la chaleur communiquée soit dépensée en travail extérieur pendant que le corps se dilate, de manière à rester à qne température constante, ou que la chaleur émise soit équivalente au travail dépensé à comprimer le corps maintenu à une température constante , ce qui revient à admettre l'hypothèse de Seguin et de Mayer; nous devrons avoir

Donc, pour une semblable substance,

ffw w . .

-77 = -7- = constante,

ou ;

-T = 4- = constante.

at t

494. Quand un gaz est contraint à traverser un diaphragme poreux, nous pouvons supposer qu'il descend d'une pression à une autre, de telle sorle que le travail produit pendant ce changement soit entièrement converti en chaleur par le frottement du gaz. La quantité de chaleur développée par cette opération doit donc être l'excès de la chaleur due au travail dépensé à faire passer le gaz sur celle qui serait nécessaire pour l'amener à se dilater de la pression plus élevée à la pression plus basse^ sans variation con-

w sidérable de température. La première est y, la seconde est,

comme nous venons de le dire, -r^r* Donc, la totalité de

s 4 dt

la chaleur développée est

qui se réduit à zéro, comme cela doit ètre^ dans le cas idéal d'un gaz parfait, pour lequel nous avons

w dw

T'^'ât'

Dans l'expérience de Thomson (§ 63), le frottement du gaz n'absorbe point tout le travail dépensé, de sorte que les équations qui la représentent doivent contenir des termes additionnels dépendants des valeurs initiales et fmales de pv.

195. On peut se rendre très-clairement compte de la signification des formules fondamentales (§ 174-) en cherchant, comme Ta fait d*abord Thomson (*), une expression de l'énergie que contient une substance, en vertu de son état, quant au volume et à la température. [Ces deux quantités sont suffisantes pour définir complètement; à tous les instants, l'état d'une substance donnée; car on en peut déduire la pression, etc., au moyen de tables ou de lois empiriques fondées sur l'expérience.] Le travail fait peut consister totalement ou partiellement en une expansion actuelle contre une résistance, ou bien en une communication de chalçur aux corps environnants, par conduction, convection ou radiation. Et la totalité de l'énergie du corps doit être diminuée de la quantité ainsi cédée. Nous voyons donc que si l'on donne l'état initial et l'état final, la quantité d'é< nergie perdue ou gagnée est parfaitement déterminée. En général, ce sont les changements seuls dans l'énergie' intrinsèque d'un corps qu'il soit en notre pouvoir de mesurer; la quantité totale d'énergie présente est inconnue ; mais elle ne pourrait être infinie dans une quantité finie de matière aux températures et aux pressions ordinaires. C'est pourquoi nous supposerons que E a été mesuré à partir d'un état particulier, et il ne sera pas nécessaire d'ajouter une constante inconnue pour qu'il devienne l'expression de la totalité de l'énergie présente.

196. Lorsque, par une application de chaleur, une substance se dilate ^t vh.v-^dv eX s'échauffe de ^ à ^ + (/^, la quantité de chaleur absorbée est (§ 174)

Mrfy + Mt,

{*) Trans. R. S. £., 1851 : On the quantities of MeohaQical Energy contained in a Fluid in différent states.

et le travail extérieur produit est

pdv»

Donc, la quantité dont l'énergie présente dans le corps a été augmentée est

(28) rfE = J (Mrfu + Mt] — pdv.

Nous avons déjà vu (§ 174) que cette expression est la dif- ' férentielle exacte d'une fonction de deux variables indépendantes, par suite de la première loi de la thermodynamique. Nous pouvons donc écrire :

V at

En éliminant E par différentiation^ nous retombons sur les résultats du § 174.

197. Nous pouvons mettre l'équation (28) sous beaucoup d'autres formes, dont quelques-unes sont d'une utilité extrême. Ainsi, en vertu de la formule (5), nous avons

puis, en posant et; = 1 pdo , comme au § 193, et nous

arrangeant de telle sorte que le premier terme soit une différentielle exacte,

(30) dE = d(.^-.)4-(iN-.5)d..

Le dernier terme est évidemment aussi une dififérentielle

exacte, d'où nou8 concluons que

OÙ T est une certaine fonction de t seul. Différentiant par rapport à v, nous reproduisons la formule du § 184^ c'està-dire

dv dt

198. En intégrant la première des équations (29) ou l'équation [30]; il vient

^ = t§-^ + f^dt,

de sorte que l'énergie d'un gaz parfait, pour lequel on a

*dw -

dépend seulement de la température.

199* Clausius a suivi une méthode extrêmement différente quand il a voulu attaquer les questions relatives à Feffet produit sur les corps par la chaleur. Les sections suivantes donneront au lecteur une idée de la nature de ses recherches; mais, pour leur développement complet, nous renverrons à ses ouvrages (*).

Lorsqu'une quantité de chaleur dq est communiquée à un corps, une partie de cette chaleur, que nous désignerons par dûy est employée à accroître la quantité de chaleur thermométrique présente dans le corps, le reste est dépensé en travail extérieur ou en ce que Clausius appelle travail in-

(0 AbliandluDgen ûber di& mechaaisohe Warmetheorie. Leipzig , 1564-67. .

térieur. De là, si W exprime la totalité du travail produit tant intérieur qu'extérieur j nous aurons

200. Gela posé, Clausius appelle désagrégation la quantité Zy définie par l'équation

en admettant que le travail que la chaleur peut produire est proportionnel à la température' absolue, et que Taccroissement de désagrégation est l'action par laquelle la chaleur produit le travail, de sorte que la somme des éléments du travail développé extérieurement et intérieurement est proportionnel à rélément correspondant de la désagrégation multiplié par la température absolue.

D'après les équations précédentes, on a

dg = rf H + tdZ, ou

Mais, par la formule (9) du § 177, nous voyons que, pour un cycle réversible, le premier membre de cette dernière

équation s'évanouit. Le terme / dZ doit aussi disparaître,

puisque la substance a été rétablie dans son premier état ; nous devons donc avoir

De cette équation, Clausius conclut que H est une fonction de t, et, par conséquent, que la température d'un corps dépend seulement de la quantité actuelle de chaleur qu*il contient et non de ^arrangement de ses molécules.

Soufi cette forme, le résultat de Clausius ne nous parait nullement évident, car on peut émettre un doute sérieux sur la proposition qui lui sert de base, c'est-à-dire que Télément de la désagrégation doive être multiplié par t pour représenter la quantité de chaleur dépensée.

201 . En admettant néanmoins l'exactitude de cette expression, il peut être intéressant de chercher comment on peut déterminer ce qu'il appelle le travail intérieur. Soient w le travail extérieur et w le travail intérieur, nous aurons

et comme

dw = pdc,

, , dw' ,, , dw' ,

dw = "jT dt-^rr- dv, dt dv

l'expression (§ 200) de la désagrégation devient

d'où

dt'^ dt' -, dZ dw'

dv dv Éliminant w' par différentiation^ il vient

dp dt

" ldt\ av) dt? V dw J"" dv*

d'où

, ,„ \ dw' ,. , dp , t al at

202. Rankine obtient un résultat qui ne diffère du précédent qu'en ce que le premier terme du second membre est nul ; ce terme, d'ailleurs, ne peut exister, comme Clausius en convient, que dans le cas d'une substance incapable à certaines températures de passer à l'état de gaz parfait. Rankine rappelle les odeurs bien connues du fer, du cuivre, de rétain, du zinc et du plomb, comme montrant que, même à de basses températures, ces métaux passent à l'état de vapeur ou de gaz. Pourquoi pas, alors, à l'état de gaz parfait?

203. Nous plaçant au point de vue de Rankine, nous pouvons écrire

dq^Mt-htdF,

où N a la même valeur qu'aux §§ 174, 185; et F est ce que Rankine appelle fonction métamorphique, tandis que la fonction thermodynamique est

204. Nous pouvons mettre en relief, comme il suit, la nature des recherches de Rankine. L'état de Tunifé de masse d'une substance est, en général, défmi par les valeurs de deux variables. Sur le diagramme de l'énergie, on a choisi p et v. Dans la plus grande partie des explications précédentes, on a fait usage de t; et de ^ ; mais il suffît de deux fonctions indépendantes de deux quelconques de ces variables, c'est-à-die de deux quantités ayant chacune une valeur définie, lorque p eX v sont donnés, qui ne

sont liées par aucune équation qui les contienne seules.

Cela posé; soit :

t, une fonction de cette nature de p et de t; ; • ^j une autre fonction que Ton définira ainsi :

Un corps, sous un état donné, est renfermé dans un récipient non-conducteur;

Opération A. ^onfaitvarier-sa pression et son volume jusqu'à ce que la température ait atteint la valeur ^.

Maintenant, en laissant constante la température ^,, on comprime* le corps jusqu'à ce qu'il occupe le volume v^, et soit q le

Opération B. { nombre d'unités de chaleur dégagées pendant la compression ; alors, si ^ est la valeur de ^ pour l'état initial et ^o pour l'état

Donc, si «0 68t donnée pour un état particulier de la substance, ^ aura une valeur parfaitement définie pour tout autre état«

On a aussi

dW =^pdv.

Mais, pour tout cycle complet,

fdW^ J Cdq zn 0,

On a donc, en vertu du § 496,

— pdv ■+• J/d* = dE.

Soit E« l'énergie du corps correspondante à t;., /« ; si le corps développe W unités de travail dans les deux opérations A et B, et cède q unités de chaleur dans l'opération B, alors E étant l'énergie initiale, on aura

E = E. + W-f-Jg.

Nous avons ainsi deux nouvelles fonctions dà l'état du corps, ou, en tout, cinq :

Ces fonctions sont liées entre elles par les équations

P = — ^ (* étant constant),

* = y gj (v étant constant), etc.

205. Ces aperçus faciliteront à l'étudiant la lecture des œuvres de Rankine et de Clausius. Nous avons cru, d'ailleurs, que des éclaircissements de cette nature étaient trèsnécessaires, parce que ces deux auteurs, dans les parties plus particulièrement théoriques et spéculatives de leurs recherches, sont quelque peu diffus et difficiles à comprendre.

^06. Concluons ce chapitre par quelques résultats empruntés au mémoire de Thomson ('"] sur les propriétés thermo-élastiques de la matière considérées en général. Ils se rapportent à un solide quelconque homogène et supportant une tension uniformément répartie dans toute sa masse.

207. Nous voyons d'abord, par le § 176, que, de quelque manière que cette tension ait été produite, et quelles que

(*) Qnarterly McUh. Journal, Avril 1855.

soient les phases par lesquelles le corps passe en revenant à son premier état, il n'y aura, en définitive, aucune chaleur absorbée ou dégagée, pourvu que la température ait été maintenue constante pendant toute l'opération ; il en résulte que la quantité de chaleur absorbée pour une déformation donnée ne dépend pas de la manière dont cette déformation a été produite. Car, dans ce cas, la formule (7) devient

208. Donc, si x, y, z, S, )3, C sont les six quantités qui définissent Tétat du corps relativement à l'effort qu'il supporte (*), et si H est la chaleur absorbée pendant que le corps passe, à température constante, de x», y«, z», Ç», io«, (» à x^ y^ Zf Çj n, ç, nous devons avoir

H = Y (a?, y, z, ç, y\, ?, «) - ^ (a?., y., x„ 5„ io., C, t).

Et l'accroissement correspondant de Ténergie totale du corps (§ 196) sera exprimé par

E — E. = 6 = * (a?, y, jb, 5, -n, î, — * (a?„ y., z., ç., tj., ç., t),

équation dans laquelle nous avons, si W désigne le travail développé par les forces appliquées,

Ainsi, le travail requis pour contraindre le corps à subii* une déformation donnée, à température constante, est indépendant de la succession des efforts au moyen desquelis cette déformation s'est opérée.

209. Pour introduire la considération du changement de température que nous pouvons supposer (comme au § i 58)

' {*) Thomson and TtàVt NcUwrcd FhUoiophy. § $99.

infiniment petit, prenons le cycle suivant d'opérations réversibles.

(I.) Élevons la température de ^ à t + dt pendant Tétat constant xq, y 9, zt, ^0, vo, (o«

La quantité de ehaleur nécessairef est

(IL) Faisons passer la tension de x^f y^j etc., kx, y^ etc., à la température t + dt.

La chaleur nécessaire est

(IIL) Abaissons la température à t pendant Tétat constant Xy y, etc.

La chaleur nécessaire est

(IV.) Rétablissons Tétat initial jto, yo^-etc., en maintenant la température constante t.

La chaleur nécessaire est

d*où nous concluons (§ 176) (en négligeant les termes en [dty]

Élimiaant f , au moyen de la fonnule (31 ), il vient

comme au § 193, en nous souvenant que w est maintenant affecté du signe négatif , parce qu'il représente le travail exercé de l'extérieur contre le corps.

En substituant cette valeur de H, dans la formule (3i), on a de même

qui est l'équation généralisée du résultat du § 198.

210. On peut faire de ces équations des applications variées et extrêmement importantes^ comme on le verra en se reportant au mémoire de Thomson; mais^nous nous borne* rons au cas très-simple qui suit :

Si la déformation est très -petite, le travail nécessaire pour la produire peut être exprimé par

(35) w = ^dx -^Qdy -f- Rdz -f- SdÇ + Tdn + Udç,

où Xj y, z (*) sont des coordonnées rectangulaires parallèles aux arêtes du cube, unité de volume du solide. P,Q,R sont les pressions normales aux faces de ce cube. S, T, (J sont les composantes tangentielles de l'effort.

Substituant dans Féquation (33), nous avons

Donc, comme au § 192, si P (ou tout autre coefficient de l'équation (35) ) diminue à mesure que la température s'é-

(*) Thomson et Tait, §.671

lère (de sorte que -^ soit négatif), il se produira du froid

(c'est-à-dire qu'il faudra fournir de la chaleur pour maintenir la température constante], pendant que le corps cédera à l'effort exprimé par P ; il se produira, au contraire, de la chaleur si le corps est déformé en sens inverse. Ce serait le contraire, si P, etc., augmentait avec t, comme cela a lieu, par exemple, pour les corps gazeux, où P représente la pression.

NOTF A (§ 96).

(a). Les équations du mouvement i'iine particule de masse m sous l'action d'un système quelconque de forces sont

où X^ Y, Z sont les composantes de la force totale, obtenues en projetant celle-ci sur les axes des coordonnées Xj y, z.

De ces équations nous déduisons immédiatement l'équation de l'énergie :

( dx d^x dy^ ^ i. ^ .^\ y — j-Y^^ -i-7 — dt W^dt dF'^ât dl')^^ dt ^^It'^dt'

En appelant v la vitesse de la particule m, Tintégrale première de cette équation peut s'écrire :

^mv^'» fiXdx-hYdy-hZdz).

ou, si V9 est la vitesse de m lorsque ses coordonnées sont X», yo, z«,

|w(t;^— v;)= / {tdx-i'Ydy'hZdz).

Mais le principe de la conservation Je l'énergie exige que

la valeur de v soit toujours la même pour les mêmes valeurs de X, y, z, c'est-à-dire que la variation de l'énergie cinétique ne dépend point du chemin particulier que suit le mobile en passant d'une position à une autre* Analytiquement, cela équivaut à dire que l'intégration du second membre doit pouvoir s'effectuer sans qu'on ait à établir une ou plusieurs relations entre ar, y et z. ♦•

Ainsi, l'expression

Xdx-hYdy-i-Zdz

doit être la différentielle exacte d'une fonction de trois variables indépendantes. Nous pouvons donc écrire :

— dV = Xdx + Ydy ■+• Z dz,

le signe négatif étant introduit pour plus de simplicité ou de symétrie.

Nous avons donc

dx* dy^ dz'

X, Y, Z sont les dérivées partielles de V, et l'on aftira, par conséquent, d'après les principes fondamentaux du calcul différentiel,

dy dx ~^ ^ dz dy ^ dx dz '

conditions analytique connues de l'existence^ d'une différentielle exacte de trois variables indépendant^

L'un ou l'autre des deux derniers grc' donne les relations entre X, Y, Z, qui sob^* la conservation de l'énergie. ^^ -

(6). Si toutes les forces tendent vers f\ <6toilcres */

dépendent seulement de la distance à ces centres, les conditions précédentes sont remplies.

Car soient a, b, c les coordonnées de Tun de ces centres, R la force qu'il exerce sur m lorsque leur distance mutuelle est r, nous avons

r = V(a? — ay 4- (y — 6j'4- (^ — c)\

mais '

de sorte que

X = -R^, Y = -R^, Z=-rJ:

dx dy dz

Xia? 4- Xdy 4- Idz = Rdr ;

le trinôme est, par conséquent, une différentielle exacte, puisque R est par hypothèse une fonction de r seulement, (c). S*il y a plus d'un centre fixe, il es* évident que l'on aura

Xrfo? 4- Yrfy + Zdif = — s (Rdr).

chaque terme de la somme étant une différentielle exacte.

(rf). Lorsque quelques-uns des centres sont en mouve-

ott la ir.dére imment de la masse m, la conservation de

données r- ' '^ lieu nécessairement, car il est possible au

L'équatv. ^xes en mouvement d'assujettir la matse m

tment avec ime vitesse toujours croissante s.m i' - v---^ st^pnée.

(<?). Mais si les centres en mouvement sont eux-mêmes des masses du système et sont soumis à Faction de m et des centres fixes, la conservation de Ténergie a lieu pour tout le système en mouvement. Sous cette forme le problème des masses devient celui de plusieurs masses mi,^,... sou* mises à leurs actions mutuelles et à Faction de centres fixes.

Soient â?], yi, Zx les coordonnées de m^, x^^ y^, z^ celles de f??2, etc. Nous avons alors pour le mouvement de m^

avec deux équations de même forme pour t/x et Z|. Dans ces équations r,a est la distance de m, au centre fixe a, 6, c et Jl,a la force exercée par ce centre sur mi, force qui est fonction de r,a seul. De même, r^,, est la distance entre m^ et TWn, une des autres particules; S.n^leur action mutuelle, fonction de r^^ seul.

Les expressions correspondantes du mouvement de m» sont •

"^ di^ -

avec deux autres

équations semblables.

Or, dans la valeur de ^

nous avons le terme

ç, X, — Xn

et dans celle de

•le terme correspandant

Il s'ensuit qu'en formant l'expression

/dg, cPXj dy, d^yi dzi d^z\ ' \dt dt^ "^ dt di*"^ dt il' )

l dr^ d^x. . \ . .

nous trouverons dans le second membre les termes

; » dx, , X dy, , , dz.

(*» - '"'^ "dT -*- (î'" - »'^ -i- + (*• - ^') dF

•^ Snl ■ -Z •

Ici, ryr, et Tni sont les mêmes, puisqu'ils représentent la longueur de la droite qui joint m, à mn . Mais

parce que l'action et la réaction sont égales et opposées. Les termes précédents se réduiront donc à

— " Sjn

dt '

où la différentiation est effectuée en supposant que les coordonnées m, et TTZn varient toutes deux.

L'équation résultante pourra donc s'écrire

-•'^ [dt W'^diW^diW) - - - \«« If) V dij'

où Rà est la force exercée par le centre fixe a, 6, e sur la particule qui en est éloignée de Ta , et S la force mutuelle entre les deux particules dont la distance est r. Chaque terme de chacune des sommes du second membre est séparément une différentielle exacte. L'intégrale peut s'écrire :

iimv«=— Y— W/

le premier membre est l'énergie cinétique totale des particules en mouvement; le second se compose de deux parties, l'une due aux centres fixes, l'autre à l'action mutuelle des particules.

(/•). On peut aisément démontrer la réciproque, c'est-àdire qtte si une force agissant sur une particule isolée est dirigée vers un centre fixe, et si la conservation de l'énergie a lieu, la force dépend seulement de la distance au centre. Car on doit avoir

i mv^ = - J

et nous allons voir que R est une fonction de r seulement. Nous avons à la fois

dv -.dr dv ^dr dv , dr

mi;-7-=— R-7-, mî;7- = -R:7-, mr:j-- — R-r-, dx dx tiy dy dz dz'

d'où

tdy\ dx) dx\ dyjj \dy\ dx) dx\ dy) Ji

dR é/t (IH. dr dx 'dy dy 'dx'

avec deux autres équations de même forme, qui sont pré-

Gisement les conditions analytiques que R doit remplir pour être fonction de r seulement.

I [g,] Ce théorème ne peut pas être étendu à un nombre indé-

! fini de centres : comme il est en général possible, au moyen i de centres dont Tattraction? est différente dans différentes directions, de concevoir un arrangement qui exerce seulement sur la matière extérieure un ensemble de forces con* servatrices, •

[h.) Lorsqu'il n'y a qu'un centre fixe de force, la conservation de l'énergie pour une simple particule actionnée par ! ce centre exige que la force s'exerce suivant la ligne qui joint la particule au centime et ne dépende que de sa fon-

gueur.

Tl est évident, en effet, que la position relative de la particule et du centre dépend simplement de leur distance; I c'est-à-dire que v est une fonction de r seulement, d'où

-mu' ==: — ¥,

où V est une fonction de i\ et par conséquent

, dV {dr j dr , dr ,\

Mais on a toujours

mvdv =■ Xdx + Yrfy -i- Zdz;

de sorte que

//■»» ri f ri f un ^

dr dx dr r

avec des expressions semblables pour Y et Z, d'où nous déduisons immédiatement

et ces équations montrent que la ligne qui joint la particule au centre représente la direction de la force.

NOTE B (§§ lil.il3).

(»)• Soit V la valeur du potentiel en un point quelconque, P, et y cette valeur pour un point voisin P'. Alors si F est la valeur moyenne de P à P' de la force projetée sur PP', nous avons évidemment