ABD = ABE

ce qui est impossible [ax. 9] . Par conséquent, BE ne peut être en ligne droite avecBC, et le même raisonnement s'appliquera pareillement à toute autre droite différente de BD. Donc BC et BD sont le prolongement Tune de l'autre (<>).

Si deux droites AB, CD (fig. i5) se coupent mutuellement, elles forment des angles opposés par le sommet égaux deux à deux, savoir CEA = DEB, et CEB = AED.

Fig. 15.

On a, en effet [pr. i3],

CEA-HAED=2dr.,

et AED4-DEB=2dr.

Donc fax. i et 10]

CEA-4-AED=:AED+DEB;

par suite, en ôtant de part et d'autre AED [ax. 3],

CEA = DEB.

On démontrerait de même que CEB = AED.

(a) On peut UWe sur celle proposition la même remarque que sur la précédente.

DES ÉLÉMENTS d'EUGLIDE. 25

Si Von prolonge un côté BC d'un triangle ABC (fig. 16), l'angle extérieur ACD est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents CBA^ BAC.

Fig. 16.

Partageons AC en deux parties égales au point E [pr. 10]; joignons BE, et prolongeons cette droite d'une quantité EF=:'EB [pr. 3, note]. Joignons CF.

Puisque Ton a

AE=EC, BE=EF, et AEB=FEC[pr. iS],

il en résulte [pr. 4]

BAE=ECF.

Mais on a [ax. 9] ACD> ECF.

Par conséquent, ACD > BAE.

De même, en partageant BC en deux parties égales, et prolongeant AC vers G, on démontrera que BCG, c'est-à-dire ACD [pr. i5], est plus grand queCBA.

Dans tout triangle ABC (âg. 17), la somme de deux angles quelconques ABC, ACB est moindre que deux angles droits. Prolongeons BC vers D. On a [pr. 16]