D'UNE EXPOSITION RATIONNELLE DES PRINCIPES

DE LA

La Géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de la solidité ou de Vinvariabilité des figures (*).

Elle emprunte, en outre, à Vexpérieme un certain nombre de données que Ton appelle axiomes. — Nous verrons que les axiomes de la géométrie peuvent se réduire à quatre.

On appelle surface la limite de deux portions de l'espace.

Nous nous élevons à l'idée abstraite de surface par la considération d'une enveloppe ou cloison matérielle, dont nous réduisons indéfiniment l'épaisseur.

La limite de deux portions de surface s'appelle ligne.

Deux surfaces qui se rencontrent se limitent réciproquement.

L'intersection de deux surfaces est donc une ligne.

On s'est élevé à l'idée abstraite de ligne soit par la considération d'une tige très-mince, soit par celle de' la rencontre de deux cloisons, ou de la trace laissée sur la superficie d'un corpp par le contact d'une autre surface.

La limite de deux portions de ligne s'appelle point.

Une ligne peut être limitée par sa rencontre avec une surface ou'^vec une autre ligne.

Ainsi Vintersection de deux lignes ou d'une surface et d'une ligne est un point.

(♦) Voy. Nolel

38 EXPOSITION DKS PRINCIPES

L'intersection de trois surfaces est aussi un point. L'idée de point est Tenue de la considération d'un corps^ dont les dimensions étaient indéfiniment réduites.

Nous avons défini les mots surface, ligne, point, en partant de ridée de surface pour arriver jusqu'au point.

On peut suivre Tordre inverse, en introduisant plus explicitement ridée de mouvement (*).

On dira alors, en partant de l'idée de point, comme idée primitive^ qu'une ligne est l'ensemble des positions occupées successivement dans l'espace par un point qui se meut.

De même^' on peut considérer une surface comme l'ensemble des positions occupées successivement par mie ligne qui se déplace^ et qui en même temps peut changer de forme.

Toutes ces idées peuvent être rappelées par les représentations matérielles qui leur ont primitivement donné naissance.

L'étude des lignes et des surfaces constitue l'objet de la géométrie.

On donne le nom de figure à un ensemble quelconque de points, de lignes ou de surfaces, considéré comme invariable de forme.

Axiome I.-7 Trots points suffisent, en général^ pour fixer dans l* espace la position d'une figure,

L'expérience nous apprend cependant que, lorsqu'une fgure se meut en tournant autour de deux de ses points, supposés fixes, il y a un ensemble de points, situés sur une Certaine ligne, qui restent immobiles pendant que les autres se déplacent.

(♦) Voy.Notell.

DE LA GièOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE, 39

Ces points éont disposés istir la route que suivrait tfn rayon 5 himinettx pôtir passer de l'un des points fixes à Tautre (en supposant ces deux points ôitués dans uil Hîême milieu homogène).

La ligne qui contient tous ces points, et qui nous apparaît comme la trajectoire habituelle des rayons lumineux, s'appelle . la ligne droite. Donc ^

Axiome II. — Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans Vespace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne peut s'appliquer exactement sur une autre portion quelconque, dès que ces deux portions ont deux points communs {*) .

Ainsi, d'un poiftt àlilaJlull^i oiï Aé p<^^ ligne droite r). •. \,^

Deux lignes droites qui ont deux points commuHfX^ofeicîd€fttt dans toute leur élendûci quelqiie loin qu'on leis prolonges au-delà de ces deux points.

En d'autres termes, oii admet qu'urfé ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens, et qu'elle ne peut l'être que d'une iseule manière.

Si, en joignant deux points d'une surface par une ligne droite, la partie de la droite comprise entre ces deux points se trouve d'un certain côté de la surtece, on dit que la surface est concave de ce côté,, ou convexe du côté opposé.

L'expérience nous montre certaines surfaces, comme celle des eaux tranquilles, qui ne sont concaves d'aucun côté, et sur lesquelles une ligne droite, menée entre deux de leurs points, s'applique dans toute son étendue.

Une telle surface s'appelle une surface plûne ou un plan.

Soient A, B, C^{fig. 33) trois points d'uile surface plane. Sî Ton joint le point C à un point quelconque A de la droite AB; la droite CA sera, ainsi que la droite AB, comprise tout entière

C) Voy. Noie m.

(**) C'est, sous une autre forme, raxiônic \2 ilLucliilc.

dans la surface. Si Ton fait mouvoir le point A tout le long de la droite AB, la ligne CA prendra une infinité de positions^ qui par leur ensemble engendreront la surface.

Fis. 33.

Ainsi la surface plane peut être considérée comme engendrée par le mou^wçefii d'une droite tournant autour d'un point fixe, et glissant le long d^une droite fixe qui fie pusse pas

. jÉ Ton fait tourner un plan autour de deux de ses points A et B, ou, ce qui revient au même, autour de la droite AB comme charnière, jusqu'à ce qu'un point C du plan, non situé sur la droite AB, vienne rencontrer Tancienne position du plan en un point O, situé de Tautre côté de AB par rapport àC; Tancienne position pouvant être considérée comme engendrée par le mouvement de C'A le long de AB, et la nouvelle par le mouvement de CA le long de la même droite AB, il est clair que ces deux positions ne formeront qu'une seule et même surface, puisque leurs lignes génératrices coïncident dans chaque position ; en sorte que la surface retournée coïncidera avec son ancienne position.

En général, si Ton donne à deux plans trois points communs, non en ligne droite, le même raisonnement fait voir que les deux plans coïncideront dans toute leur étendue. Donc

Axiome 111. — Il existe une surface telle quune ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu'une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu'on Va retournée, en lui faisant faire une demi-révolution autour de deux de ses points. Cette surface est le plan.

Par trois points non en ligne droite, ou par une droite et un

point situé hors de cette droite, ou encore^ par deux droites qui se coupent^ on peut toujours faire passer un plan^ et Ton n'en peut faire passer qu'un.

Lorsque deux droites se rencontrent^ on dit qu'elles forment un angle.

On peut se représenter un angle comme la quantité plus ou moins grande dont il faut faire tourner une droite autour d'un de ses points pour la faire passer d'une position à une autre, en supposant que le mouvement s'accomplisse dans le plan mené par les deux positions.

On peut passer de la position AB {fig. 34) à la position AC^

,' "^ Ffg.34. \.y-

fc

en tournant dans un sens ou dans l'autre : l'angle décrit n'est pas le même dans les deux cas.

Pour aller d'un point A à un autre point B^ en suivant une ligne droite, il faut connaître 1° la direction de celte droite, 2** la longueur de la portion de cette droite comprise entre les deux points.

Pour déterminer la direction d'une droite, on commence par imaginer un plan passant par les deux points A, B, et dans ce plan une droite fixe AC, menée par le point A. La direction de la droite AB sera connue, si l'on donne Vangle CAB qu'elle fait avec la droite fixe AC, c'est-à-dire la quantité dont il faut tourner, dans le plan ABC, suivant un sens convenu, pour passer de la position AG à la position AB.

Si l'on donne ensuite la distance AB, c'est-à-dire la quantité dont on doit s'avancer sur la droite AB, on aura enfin la position du point B.

BXPO8ITI0II DBS mmciPBs

Il est facile de s'expliquer pourquoi Ton a pris la ligne droite pour mesurer les distances^ le plan pour mesurer les angles.

i"* C'est que d'abord, par deux points donnés^ on peut toujours knener une ligne droite^ de même que^ par deux di'oîtes données^ on peut toujours faire passer un plan. — Il pourrait n'en plus éi^e de méme^ si Ton prenait une ligne courbe ou une surface conique de forme donnée.

2» En siecond lieu, toute portion de ligne droite ou de plan peut être superposée à une ligne droite ou à un plaii^ de sorte que l'on peut constater immédiatement l'égalité ou llnégalité de deux distances ou de deux angles.

Lôrsqu^une droite, aprèsavoir tourné toujours dans le mênne ^ensy revient à son ancienne position^ on dit qu'elle a accompli un tour entier.

Lorsque la droite vient se placer sur son prolongement^ on dit qu'elle a fait un demi-tour.

Lorsqu'elle s'arrête de manière à former avec sa première position et le prolongement de celle-ci deux angles égaux^ elle a décrit un quart de tour ou angle droit, et sa nouvelle position est diie perpendiculaire à la première.

Le prolongement de la perpendiculaire est aussi une perpendiculaire.

La première droite est aussi perpendiculaire à la seconde.

Tous les angles droits sont égaux.

On a pris pour unité de mesure angulaire le quart de tour ou angle droit (*).

On appelle cercle une ligne courbé tracée sur un plan, et dont lous les points sont à la même distance d'un point fixe, appelé centre.

(*) Voy. Noie V.

Si Ton fait tourner une droite dans un plan autour d'un de ses points^ chacun des autres points de la droite décrira dans ce mouyement un cercle.

La distance constante d'un point du cercle au centre s'appelle rayon.

Si Ton fait tourner un cercle dans son plan autour de son centre, le cercle ne cessera pas de coïncider avec lui-même.

Un dmmèfre est une droite passant par le centre^ et terminée de part et d'autre au cercle*

Si Ton fait faire à un cercle un demi-tour autour de son centre et dans son plan^ de telle sorte qu'un diamètre donné revienne coïncider avec son ancienne position, on voit que Tune des deux parties du cercle viendra coïncider avecTautre. Donc un diamètpe 4î^is6 l6 cerclent la portion de plan qu'il entoujre^ j^iMiMn, en deux parties égales.

yShfon fait faire à un cercle un demi-tour autôor-d'un de ges diamètres, jusqu'à ce que son plan revienne coïncider, par retournement, avec son ancienne position, le cercle coïncidera encore avec lui-même, ce qui montre que les deux moitiés du cercle peuvent se superposer de deux manières différentes.

Deux cercles de même rayon coïncident nécessairemeht, dès que Ton fait coïncider leurs plans et leurs centres.

Tandis qu'une droite tourne autour d'un de ses points, supposé fixe, considérons le cercle décrit par un quelconque des points mobiles de la droite.

Pendant que la droite accomplit un tour entier, elle parcourt le cercle entier.

Lorsqu'elle fait un demi-tour, elle parcourt le demi-cercle.

Si on la fait tourner d'angles égaux à partir de deux positions AB, AB^ (fig. 35), les arcs décrits BC, WC seront égaux. — Car, si Ton fait tourner le cercle autour de son centre jusqu'à ce que AB' vienne se placer sur AB, l'égalité des angles fait voir que AG tombera sur AC, et par suite les arcsBG,B^C/ devront coïncider.

Si un angle est égal à la somme ou à la différence de deux autres, l'arc correspondant au premier angle sera égal à la

somme ou à la différence des arcs correspondants aux deux autres angles.

FiG. 35.

De là résulte que

i** Un angle droit comprend entre ses côtés un quart de cercle ou quadrant.

2o Si un angle est rnuKiplié par tm nombre entier quelconque, Tare correspondant est multiplié par feAiH^e nombre entier»

3* Si un angle est divisé par un nombre entier quelconque^ Tare correspondant est divisé par le même nombre entier.

4o Si deux angles ont entre eux un rapport quelconque^ les arcs correspondants ont entre eux le même rapport.

Donc l'arc compris entre les côtés d'un angle varie proportionnellement à cet angle (*).

Si Ton veut donc comparer un angle à son unité, pour arriver à sa représentation numérique, il revient au même de comparer Tare correspondant à cet angle avec l'arc correspondant à l'unité d'angle, et que Ton prend naturellement pour unité d'arc.

L'unité d'angle étant l'angle droit, Tunité d'arc sera le quadrant.

On exprime cette correspondance en disant qu'un angle au centfe a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

L'avantage de la substitution des arcs de cercle aux angles consiste à offrir une représentation plus facile à saisir, et à

(*) En d'autres ternies, si l'on prend pour unité d'arc Tare correspondant à Tunité d^angle, en exécutant les opérations nécessaires pour Tévaluation numérique de l'angle, on se trouvera exécuter en niême temps les opérations qui conduisent à révaluation numérique de Tare, et Ton arrivera de pari et d*autre au même résultat.

faciliter les opérations graphiques que l'on doit exécuter sur les angles.

Une droite AD {fig. 36), qui en rencontre une autre, fait avec les deux parties AB, AC de celle-ci deux angles dont la

Fig. 36.

somme est Jt'g^lgle CAB^= un demi-tow-ou deux angles droits.

Qe6 d^x angles sont dits supplémentaires, et chacun d'eux est le supplément de l'autre.

Si Ton ajoute deux angles supplémentaires, il est clair qtie leurs côtés non communs seront en ligne droite.

Si deux droites se traversent mutuellement, les angles opposés par le sommet sont égaux, comme ayant même supplément. — On pourrait encore démontrer cette égalité, en retournant la figure de manière que chacun des côtés de Tangle supplémentaire commun vint coïncider avec Tancienne position de l'autre côté^ auquel cas les deux angles en question seraient amenés à coïncider (*).

On peut encore énoncer la même proposition, en disant que les deux arcs de cercle compris entre deux rayons et entre lesprolongements de ces rayons sont égaux entre eux.

Deux droites quelconques, rencontrées par une troisième^

f) Nous ferons un coniinuel usage de ce procédé de retournement ionie» les fois qu'il s*agira de démontrer Tégalité de deux parties d'une même figure. On peut présenter ce procédé autrement, en concevant que Ton plie en deux la figure autour de son axe de symétrie, qui est ici la bissectrice de Tangle supplémentaire.

46 EXPOSITION DBS PMRCIPBS

forment avec oelle-ci huit angles égaux deux à deux, et sopplémentaires deux à deux, et auxquels, pour les désigner plus facilement, on a donné les noms decorrespondanU^d^cUtemesinternes, d'internes dun même côté, etc.

Si l'on suppose qu'une quelconque des cinq relations suivantes ait lieu :

i* Angles correspondants \

^ alternes-internes | égaux,

30 alternes-externes )

40 Angle» internes d'un même côté j ,„ ^émentaires.

5® externes I

les quatre autres relations ont nécessairement lieu.

Lorsque ces cinq relations ont lieu, les droites CD, EF ne peuvent avoir aucun point commun {fig. 37).— Concevons, en

Fig. 37.

• Si-

effet, que la moitié de gauche de la figure soit rendue mobile, et qu'on lui fasse faire un demi-tour, dans son plan, autour du milieu I de la droite AB. Lorsque le point A sera arrivé en B et le point B en A, on voit aisément que les deux moitiés de la figure coïncideront dans tous leurs points, quelque loin que Ton suppose les droites prolongées. 11 ne saurait donc y avoir un point de concours des droites dans une des moitiés de la figure, sans quMl en existât un autre dans Tautre moitié ; et comme Texistence simultanée de deux points de rencontre est contraire à la nature de la ligne droite, il s'ensuit que les deux droites n'ont aucun point commun.

Donc, si l'on fait glisser un angle, de grandeur invariable, le long d'un de ses côtés, supposé fixe, le côté mobile se détache entièrement de son ancienne position, et ne conserve plus avec elle aucun point commun.

Deux droites situées dans le même plan, et ne pouvant se

DS U aÉOKÉTftH: ÉiEMENTAUŒ. 47

rencontrer^ si loin qu'on les prolonge Tune et Tautre^ son^ dites pamllèys.

Ainsi deux droites qui forment avec une troisième des angles satisfaisant à Tune des cinq conditions ci-dessus^ sont parallèles.

En particulier, deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles entre elles.

En d'autres termes, par un point donné hors d'une droite, on ne peut pas mener plue d'une perpendiculaire à cette droite.

Il résulte de ce que nous venons de dire que, par un point pris hors d'une droite, on peut toujours mener une parallèle à cette droite (*).

La parallèle étant menée, si on la fait tourner tant soît peu autour de Tun de ses points, elle finira par atteindre la pre- . mière ligne, lorsqu'on les protongera sufâsamn^ent Tune et l'autre ; de sorte que la position de parallélisme est unique., C'est Ifà un nouveau principe, qui n'est pas renfermé dans les axiomes précédents, et que nous énoncerons ainsi :

Axiome IV. — Par un point donné, on ne peut mener qu*une seule parallèle à une droite donnée.

Il résulte de là que

1'' Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles i

entre elles.

2o Deux droites parallèles étant rencontrées par une sécante, i

les angles formés satisfont aux cinq relations du paragraphe l

précédent.

En particulier, toute perpendiculaire à Fune des parallèles est perpendiculaire à l'autre*

Donc, par un point donné hors d'une droite, on peut toujours mener une perpendiculaire à cette droite. — Carsi AB (fig. 38) est une perpendiculaire menée à la droite donnée en un quelconque de ses points, la parallèle à ÂB, menée par le

C) Voy. Noie VII. t

point donné C, sera la perpendiculaire demandée. — Nous a^ons d'ailleurs vu^ dans le paragraphe précédent^ que cette

Fiç. 38.

perpendiculaire est la seule qui puisse être abaissée du point C sur la droite donnée.

Deux angles qui ont les côtés parallèles et dirigés dans le même sens sont égaux. — On le voit en les comparant à Tangle formé par rintersection de leurs côtés prolongés.

Réciproquement, deux angles étant égaux et dirigés dans le même sens^ si leurs premiers côtés sont parallèles^ leurs seconds côtés seront aussi parallèles.

Il résulte de là que^ étant donné un système quelconque de droites, si Ton transporte ce système dans son plan, de manière qu'une des droites du système reste constamment parallèle à son ancienne position, chacune des autres droites restera également parallèle à son ancienne position.

On dit, dans ce cas, que le système a subi un mouvement de translation parallèlement à lui-même.

Plus généralement, si les deux côtés d^un angle tournent, dans le même sens, chacun d'une même quantité angulaire, autour de deux quelconques de leurs points, la grandeur de l'angle n'aura pas changé. — Et réciproquement, si Ton transporte un angle dans son plan, sans le retourner^ chacun des côtés de Tangle fera le même angle avec son ancienne position.

En particulier, deux angles qui ont les côtés perpendiculaires, chacun à chacun, sont égaux ou supplémentaires.

Si Ton fait tourner un système de droites dans son plan, autour d'un point quelconque qui lui soit invariablement lié, toutes les droites feront avec leurs anciennes positions respec-

tives des angles égaux^ dont la valeur commune est dite l'angle de rotation du système.

Deux droites concourantes forment avec une troisième des angles alternes* internes inégaux^ dont le plus petit est celui qui est dirigé vers le point de concours.

En d'autres termes, si Ton prolonge un côté d'un triangle, Tangle extérieur ainsi formé est plus grand que chacun des angles intérieurs non adjacents.

Cette proposition est presque évidente, si Ton s'appuie sur raxiôme lY. En effet, si, de la position de parallélisme, on fait passer la droite ÂB (fig, 3g) à la position Â^B^ , en la faisant

Fit;. 3f.

Px D

tourner autour du point C , de manière qu'elle rencontre la droite DE en G; il est clair que , dans ce mouvement, l'angle BGF aura augmenté , tandis que son alterne-interne CFD sera resté constant. Donc, puisqu'on avait , avant le mouvement, BCF = CFD, on anra , après le mouvement, B'CF > CFD. — De même, A'CF < CFE. "

On voit en même temps que la valeur commune des différences B'CF — CFD, CFE — A'CF est égale à l'angle G que font entre elles les droites A'B' et DE. Donc l'angle extérieur, formé par le prolongement d'un côté d'un triangle, est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents , et la somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Si la manière précédente d'établir le théorème sur l'inégalité des angles alternes-internes formés par des droites concourantes est la plus directe et la plus simple, on ne peut nier cependant qu'elle ne s'appuie sur un axiome dont ce théorème ne

dépend pas nécessairement^ et il semble alors plus logique de l'établir sans le secours de cet axiome. C'est ce qu'a fait Euclide [prop.i6], et sa démonstration peut être présentée comme il suit :

Soit ABC (fig. 4o) le triangle donné. Je dis que l'angle ACD est plus grand que son alterne -interne BAC. — En effets joi-

gnons B au milieu E de la droite AC , et faisons tourner le triangle EBA autour du point E, jusqu'à ce queEA vienne s'appliquer sur son prolongement EC , et par cuite le point A sur le point C. Vautre côté EB de Tapgle Q(^A viendra aussi s'appliquer sur $on prolongement. La ligne BA partira donc du poipt Cpoup aller rencontrer BEF (|ans l'intérieur deTangle ACD, Donc l'angle ECF ouBAE sera contenu dans l'angle ACD. Donc enfin l'angle A est moindre que son alterne-interne ACD.

Par la même raison^ les deux droites AB^ AC étant coupées pairBC, l'angle ABC sera moindre que son alterpe r interne BCG, ou que son correspondant ACD = BCG.

Donc l'angle extérieur ACD est plus grand que chacun des angles extérieurs non adjacents.

En d'autres termes ^ djans un triangle ^ chaque angle pst moindre que le supplément de l'nn quelconque des deux autres.

Donc la somme de deux quelconques des angles d'un triangle est moindre que deux angles droits.

Tout triangle a au moins deux angles aigiis.

Deux droites partant d'un même point ne peqvjent avoir une perpendiculaire commune.

Si Ton mène , d'un même point , à une droUe donnée , une perpendiculaire et une oblique , l'oblique fera un angle aigu avec la partie de la droite qui Ta du pied de l'oblique au pied de la perpendiculaire.

Après avoir établi ces inégalités indépendamment du quatrième axiome, on démontrera, comme Euclide [prop. 3^1, les théorèmes d^égalité fondés sur cet axiome.

Si l'on prolonge un côté d'un triangle, l'angle extérieur est égal à la somme des deux intérieurs non adjacents.

La somme des trois angles du triangle est égale à deux angles droits.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.

Deux angles d'un triangle^ étant donnés, déterminent le troisième.

Du TRIANGLE isoscÈLE (*). — Soit ABC (fig. 4i) un triangle isoscèle,dans lequel AB=AC. Retournons le plan de ce triangle, en lui faisant faire une demi-révolution autour de la bissectrice AD de Tangle A ; ou, ce qui revient au même^ plions la figure en deux, en faisant tourner une des moitiés autour de AD comme charnière. On voit alors que les deux moitiés de la figure se recouvrent parfaitement.

Si Ton ne veut pas d'abord introduire la bissectrice, on commencera par faire voir que le triangle retourné A'B'G'

(*) Cest h iQfi que plusieurs a^uteurs fraotjais se permettant d'écrire, aa mépris de T^tymologie, isocèle pour isoscèle. C'est la même négligence quf si l'on écrivait cène pour scène. Nous dirons en passant que plusieurs autres mots du langage mathématique sont généralement défigurés par un usage qui, malheureusement, tend de plus en plus à prévaloir. Cependant, malgré toutes les autorités qu'on pourrait nous citer, nous persisterons toujours à dire que hypothénuse^ parallélipipède ^ etc., mis pour hypoté nuse, parallélépipède, etc.^ constituent de véritables fautes d'orthographe.

EXPOSITION DBS PRINCIPES

'peat se placer sur sa première position ABC. Alors la bissectrice de Fangle C^B^A' coïncide avec celle de l'aogle BAC, le

milieu de 0*B' avec le milieu de BÇ, etc. Donc

TAéoï'èfwc.nçDan§.unv triangle isoséète, 4» les angles opposés aux côtés égautX s(lnt égaux ; ^"^ \sl bissectrice de Tangle au so49met ^^l perpendiculaire à4a basév; 3<^eile partage cette base en^ux parties"égales^ *

^ A'tàre énoncé, rr Si d!^«a point |»rif( hors ^une -droitç^ on '^. mène^ette ditoite une perpendiculàireet demc oblif ues égales

èfelre elles, l^tfes obliques s'écartent^galement du pied de

la (jerper^iculaii^; ^''^ elles sont également Inclinées sur la

perp ^iculair^ '9f> eIRs sont également inclinées sur la base

donn \, ^ Donc tout j[)oint à égale distance des extrémités d'une droite

appartient-à fa poppendicidaire élevée sur le milieu de cette

droite.

Si donc chacun des deux points A et B de la droite AB

{fig. 42) est équidislant des extrémités C et C de la droite CC,

AB sera perpendiculaire sur le milieu de GC.

Autre énoncé.r-Si l'on joint, dans un cercle, le centre aux deux extrémités d'une corde, 1^ les deux rayons feront avec la corde des angles égaux ; 2^ la bissectrice de Tangle des deux rayons (laquelle est aussi la bissectrice de Tare) est perpen*

diculaire à la corde ; 3° elle partage cette corde en deux parties égales.

Donc, si deux cercles ont deux points communs, la ligne des centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde commune.

Remarque. — La bissectrice de l'angle A {fig. 40> satisfait à quatre conditions :

i^ Elle passe au point A,

2^ Elle partage Tangle Aen deux parties égales.

3^ Elle passe au milieu D de BC.

4° Elle est perpendiculaire à BC.

Or deux de ces quatre conditions, combinées convenablement, déterminent complètement la droite AD. De là résultent autant de réciproques du théorème précédent. Ainsi^ dans un triangle isoscèle,

La droite qui joint le sommet au milieu de la base est perpendiculaire à cette base, et bissectrice de Tangle au sommet;

La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base partage cette base et l'angle au sommet, chacun en deux parties égales ;

La perpendiculaire élevée sur le milieu de la base passe au sommet, et partage Tangle au sommet en deux parties égales.

— On peut énoncer encore ces réciproques comme il suit :

Dans un cercle, la droite qui joint le centre au milieu d'une corde est perpendiculaire à la corde et bissectrice de Tare ;

La perpendiculaire abaissée du centre sur une corde est bissectrice de la corde et de Tare ;

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre et par le milieu de l'arc.

Considérons maintenant un triangle qui a deux angles égaux, ces deux angles étant nécessairement aigus.

En retournant le triangle et rappliquant sur son ancienne position ; ou encore, en pliant la figure autour de la perpendi-

culaire éleyée sur le milieu de la base (*), on voit que les deux 'moitiés de la figure coïncident Tune avec l'autre ; par conséquent, le triangle est isoscèle.

Autre énoncé. — Deux obliques également inclinées sur la base sont égales, et par suite s'écartent également du pied de la perpendiculaire.

Autre énoncé, — Si deux droites, coupées par une troisième, forment avec celle-ci des angles | . ! d'un même côté >

I correspondants ] alternes- internes v supplémeiltai^es, alternes-externes ] les trois droites forment un triangle isoscèle.

Soit etifltl un triangle, dans lequel le sommet se trouve sur la t)et*petidiculaire élevée au milieu de la base.

En retournant la figure , ou en la pliant autour de la perpendiculaire, on voit que le triangle est isoscèle.

Ainsi uii triatigle^ dans lequel la perpendiculaire élevée au milieu de la bieise passe par le sommet, est isoscèle.

Autre énoncé. — Tout point de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est équidistant des deux extrémités de cette droite.

Autre énoncé. — Deux obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales.

— De cette proposition , jointe à sa réciproque du § 20 , il résulte que la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu géométrique des points équidistants des deux extrémités de cette droite.

En d'autres termes, c'est le lieu géométrique des centres des cercles qui passent par les extrémités de la droite.

(*) Cei^e perpendiculaire reuconlre les deux côlés au-dessus de la base (axiome IV et. corollaires).

Inégalités dans un triangle quelconque.— Si deux côtés AB, AC (fig. 42) d'un triangle sont inégaux, au plus grand côté AB e«t opposé un plm grand angle C.

Voir Éuclideyl, i8.

Autrement^ en retournant le triangle , et le plaçant sur son ancienne position (ou , ce qui revient au même , en pliant le triangle autour de la bissectrice Àt) de l'ançle au sommet)^ on forme le triangle BDC, dans lequel l'angle AC'b , extérieur au triangle , est plus girand que l'angle intérieur non adjacent B.

— Réciproquement y si deux angles d'un triangle soni inégaux y ail plus grand angle est opposé un plus grand côté [Euclidey\y 19).

bans lin triangle , un côté quelconque est môitidre que la somme des deux autres [Èuclidéy I, 20).

Il s'ensuit que y dans un triangle y un côté quelconque est plus grand que la différence des dlsux auires.

Corollaires. — bans un polygôiie , un côté quelconque est moindre que la somme de tous les autres.

En d'autres termes, une ligne droite est plus courte qu'une ligne polygonale ayant les mêmes extrémités.

Un contour polygonal convexe est plus court qu'un contour polygonal quelconque qui Tenveloppe en aboutissant aux mêmes extrémités.

56 EXPOSniON DES PRINCIPES

Un contour polygonal fermé et convexe est moindre qu'un contour polygonal quelconque qui Tenveloppe de toutes parts (*).

Si d'un point on mène à une droite une perpendiculaire et diverses obliques^

i® La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ;

2^ Si deux obliques s'écartent inégalement du pied de la perpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus est la plus longue.

Autre énoncé. — Si la hauteur d'un triangle ne tombe pas au milieu de la base^ au plus grand segment est adjacent un plus grand côté.

Pour démontrer cette proposition^ si les obliques sont de côtés différents de la perpendiculaire, on compare Tune d'elles à une oblique égale à l'autre^ et menée du même côté de la perpendiculaire que la première. Le triangle formé par les deux obliques a alors un angle obtus, opposé à l'oblique la plus éloignée ; donc celle-ci est la plus longue.

On peut encore énoncer cette proposition ainsi :

Tout point hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est plus rapproché de celle des deux extrémités de la droite qui est située du même côté que lui par rapport à la perpendiculaire.

Réciproquement, dans un triangle non isoscèle^ la hauteur est plus rapprochée du plus petit côté.

Autre énoncé. — De deux obliques inégales^ la plus longue s'écarte le plus du pied de la perpendiculaire.

Autre énoncé. — Tout point inégalement distant des deux extrémités d'une droite est hors de la perpendiculaire élevée

(*) Pour la comparaison des longueurs curvilignes aux longueurs rectilignes, vov. Note VI IL

sur le milieu de cette droite, et il est du même côté de cette perpendiculaire que celle des extrémités de la droite dont il est le plus rapproché.

Cas d'égalité des triangles. — i"" Deux triangles sont égaux, lorsqu^ils ont un angle égal compris entre deux côtés égauxji chacun à chacun (Euclide, l, 4)*

2^ Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont ud côté égal adjacent à deux angles égaux, chacun à chacun. — La démonstration donnée par Legendre (liv. 1, pr. VII) est plus simple que celle d'Euclide (I, 26).

3® Deux triangles sont égaux, lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun. •— • Adossons les deux triangles (fig. 43) de manière que leurs sommets C, C se trouvent de

côtés différents de la base commune ÂB. Chacun des points A, B étant équidistant des points C et C, la ligne AB est perpendiculaire sur le milieu de CC^ Si donc on replie la figure autour de AB, le point C^ tombera en C.

— Autrement, la perpendiculaire AB sur la base du triangle isoscèle ACC^ étant bissectrice de l'angle au sommet, on a, CAB = BAC^, ce qui ramène au premier cas d'égalité.

— On peut dire encore que, les triangles CAC, CBC' étant isoscèles, on a l'angle ACC' = AC'C, l'angle BCC'= BC'C, d'où ACC db BCC = AC'C ±: BC'C, c'est-à-dire ACB = AC'B, etc.

Deux triangles rectangles sont égaux^ lorsqu'ils ont deux côtés de même nom égaux chacun à chacun.

1® Si ce sont les deux côtés de l'angle droite on est dans le premier cas du paragraphe précédent.

2^ Si ce sont Thypolénuse et un autre côté> on adosse les deux triangles rectarigles^ de manière à former un triangle îsoscèle, que sa hauteur partage en deux triâtigles égaux.

— Cette dernière proposition est un cas particulier de la suiYHhte :

Deux triahgles sont égaux, lorsquils ont deux côtés égaux chacun à chacun, et Tangle opposé au plus grand de ces deux côtés égal.

Si deux triangles ont un angle inégal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, au plus grand angle est opposé un plus grand côté (Euclide, 1, 24).

— Réciproquement^ si deux triangles ont deux côtés égaux chacun à chacun et le troisième inégal, au plus grand côté est opposé un plus grand angle (Euclide, 1, 25).

nrotè I.

Sur riavariabilité des figUreg.

Toute la Géométrie est fondée sur |l'idée de l'invariabilité des formes. On commence par admettre qu'il existe dans les figures une certaine propriété^ 4^^^^^^^^^^ lorsque ces ligures se trouvent transportées dans une autre région de l'espace.

Cette propriété ne saurait être définie en termes géométriques, sans pétition de princit)e. L'idée d'invariabilité de forme nous vient de l'expérience. Après avoir acquis l'idée de grandeur ou d'étendue par la considération du mouvement (voy. la Note suivante), nous constatons que certains corps, ceux surtout qui offrent au toucher le plus de résistance, nous présentent toujours, de quelque manière qu'on les déplace, des dimensions et des configurations que nous jugeons être les mêmes, c'est-à-dire qui, appréciées d'après le mouvement de l'œil, en tenant compte de l'éloignement plus ou moins grand, nous causent des impressions toujours identiques. Nous donnons à ces corps le nom de corps solides.

Nous dépouillons ensuite, par abstraction, ces corps de toutes les paHies dont la considération ne nous intéresse pas; ou, si Ton veut, nous supposons ces parties parfaitement translucides et pénétrables; et l'ensemble des parties conservées ou restées visibles constitue ce qu on appelle une figure géométrique.

Note II.

Sur le mouvement géomélrique.

C'est par suite d'une confusion d'idées que plusieurs géomètres veulent bannir des éléments de géométrie la considération du mouvement.

1/idëe du .mouvement, abstraction faite du temps employé à Taccomplir, c'est-à-dire Tidée du mouvement géométrique^ n'est pas une idée plus complexe que celle de grandeur ou d'é^ndue. On peut même dire, en toute rigueur, que c ette idée esU den tique av gc celle de gran deur, puisque c'est précisément par le mouvement que nous parvenons à l'idée de grandeur.

Ce mouvement géométrique, qu'une équivoque de langage a fait confondre avec le mouvement dans le tempSy objet de la cinématique, ne peut pas dépendre d^une autre science que de la géométrie pure.

11 est avantageux d'introduire cette idée de mouvement géométrique le plus tôt et le plus explicitement possible. On y gagne beaucoup sous le rapport de la clarté et de la précision du langage, et l'on se trouve mieux préparé à introduire plus tard dans le mouvement les notions nouvelles de temps et de vitesse.

C'est d'ailleurs ce que tous les auteurs font à leur insu et malgré eux; et il serait difûcile de trouver une seule démonstration d'une proposition fondamentale de géométrie, dans laquelle n'entre pas l'idée de mouvement géométrique, plus ou moins déguisée.

Note un.

Sur les axiomes relatifs à rexistence du plan ei de la ligne droite.

Nous avons admis, pour plus de simplicité, comme deux axiomes indépendants, l'existence de la ligne droite et celle du plan. Les deux géomètres dans les ouvrages desquels nous trouvons la vraie théorie des parallèles, W. Bolyai et Lobatschewsky, ont poussé plus loin leurs recherches, et ont fondé les définitions du plan et de la ligne droite sur d'autres axiomes plus simples et d'une évidence plus frappante. Voici à peu près comment Bolyai établit ces notions {*).

On peut d'abord définir ['égalité de deux distances indépendamment de la ligne qui sert à les mesurer, et sans laquelle on ne pourrait définir, ce que c'est qu'une distance plus grande qu'une autre. Si A et B, X' et B' sont deux systèmes de points, on peut imaginer (fue chacun de ces systèmes fasse partie d'un système solide quel-

(*) Tenlamen in elementa matheseos^ elc. T. I, p. 468 et suiv. Maros Vâsârhely, 4833.— A'wr^er Gru7\driss eines Versuchs u. s. to.,§33 et suiv. Maros Vàsàrhely, 4 854 .

APPENDICE. 6i

conque (*). Si Von peut transporter Tune de ces figures sur l'autre de manière que, A étant placé sur A'^ B puisse se placer sur B^, on dira que les distances kB, A'B' sont égales.

Le point A étant considéré comme fixe, l'ensemble de tous les points B de Tespace également distants de A forme une surface continue et fermée, appelée sphère, et dont le point A est le centre.

Une sphère partage Tespace en deux parties^ Tune intérieure^ Tautre extérieure. Un point ne peut passer de Tune de ces parties dans l'autre sans avoir rencontré la sphère.

Une sphère ne fait que glisser sur elle-même, lorsqu'on la fait tourner d'une manière quelconque autour de son centre.

Deux sphères de centres di£férents ne peuvent coïncider.

D'un centre donnée on peut toujours décrire une sphère passant par un point donné.

On peut aussi, d'uïi centre donné, décrire une sphère qui renferme dans son intérieur une figure donnée quelconque de dimensions finies.

Soient S, S^ deux sphères de centres 0, O'', et telles que chacune d'elles passe par le centre de l'autre. Puisque chacune de ces sphères a une partie intérieure à l'autre sphère^ il faudra nécessairement qu'elles aient des points communs. Si A est un de ces points^ et qu'on fasse tourner l'ensemble des deux sphères autour des deux centres, supposés fixes^ A décrira le lieu des points communs aux deux sphères. Ce lieu sera une courbe fermée C, pouvant glisser sur elle-même^ et à laquelle nous donnerons le nom de cercle.

Si l'on retourne la figure, de manière que vienne en CV et 0' en 0, S coïncidera avec S'' et S' avec S. Par suite le cercle C retombera sur son ancienne position. Donc le cercle est superposable à lui-même par retournement.

Des centres et 0' décrivons deux autres sphères S^, S^j, égales entre elles, et enveloppant respectivement les sphères S et S'. Chacun des centres 0^ 0' sera à la fois intérieur aux deux sphères, d'où l'on condlut aisément que les deux sphères, ayant une partie intérieure commune^ doivent nécessairement se rencontrer. On verrait de même que leur intersection est un nouveau cercle. C^, pouvant glisser sur lui-même, et superposable à lui-même par retournement.

(') Voy. la Note I,

Si Ton construit ainsi deux séries de sphères égales, s'étendant d'une manière continue jusqu'à Tinfini^ le lieu des cercles suivant lesquels elles se coupent deux à deux s'étendra indéfininient, et formera une surface pouvant glisser sur elle-même, lorsqu'on la fait tourner autour des points 0, 0', et superposable à elle-même par retournement. Nous appellerons cette surface un plan.

Lorsqu'on retourne la figure en plaçant en CK et CK en O, on peut faire en sorte qu'un point A du cercle C revienne sur son ancienne position. De part et d'autre de A, les points du cercle se placeront deux à deux les uns sur les autres, et se distribueront ainsi symétriquement par rapport à A. Si l'on désigne par M, M^ deux quelconques de ces points symétriques, ils pourront être considérés comme les positions simultanées de deux mobiles parlant de A et parcourant le cercle en sens contraire. Ces mobiles se rencontreront nécessairement en un point B, qui, avec A, partagera le cercle en deux moitiés superposables AMB, AM'B.

Le retournement de la figure pourra être considéré comme produit par une demi-révolution autour des points A et B, que le retournement laisse immobiles.

Dans la demi-révolution de la figure autour de A et de B, chaque point m du plan, appartenant au cercle c, décrit un demi-cercie, en venant se placer sur un point w' du même cercle c, et tant que ce cercle ne S3 réduira pas à un point unique, il ne pourra revenir à sa première position qu'après avoir achevé la révolution entière.

Or, dans chaque cercle c, il y a deux points qui se trouvent dans leur position primitive après la demi-révolution. Donc ses points ont dû décrire des cercles nuls, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas changé de place pendant la révolution.

L'ensemble de tous ces points forme une ligne qui reste immobile lorsqu'on la fait tourner autour de deux de ces points. Cette ligne s'appelle la ligne droite.

Transportons maintenant la droite le long d'elle-même, de manière que deux de ses points a, 6 tombent sur deux autres points a^, 6^ de la première position. La nouvelle position restera immobile, lorsqu'on la fera tourner autour de a' et de ô', et l'on en conclut qu'elle coïncidera nécessairement dans toute son étendue avec l'ancienne position, les points de ctlle-ci étant les seuls qui décrivent des cercles nuls. Donc on peut faire glisser une droite le long d'ellemême sans qu'elle cesse de coïncider avec sa première position.

Si d^un poiiit a comme centre on décrit une sphère qui enveloppe les points A et B, et rencontre la droite en h et 6^, la portion de droite ab pourra être placée de manière que « tombe en 6' et b en a. Alors se trouvera comblée la lacune qui existait encore entre A et B.

En élisant maintenant tourner la figure autour de 00', la portion de droite AB engendrera une portion de plan qui comblera la lactine laissée dans l'intérieur du cercle C. /

Si Ton fait tourner la droite a6>autour de a de manière que b reste dans le plan, la droite restera tout entière dans le plan. Car si elle en sortait d'un côté, elle ne serait plus superposable à elle-même, lorsqu'on ferait faire ^u plan une demi-révolution autour des points du cercle qui sont les milieux des deux arcs ab.

On peut donc joindre par une droite le point (i à un point quelconque m du plan.

Si Ton fait mouvoir la droite am le long d'une autre droite quelconque brriy tracée sur le plan, la droite mobile décrira le plan.

Si Ton fait tourner le plan autour du point a de manière que hm rencontre toujours deux positions de am, le plan ne cessera pas de coïncider avec lui-même.

Il en sera de même si l'on fait glisser de la même manière la droite am le long d'elle-même.

Donc le plan est une surface superposable à elle-même lorsqu'on la fait glisser sur elle-même d'une . manière quelconque, et de plus superposable à elle-même .par retournement.

De là résulte que par trois points non en ligne droite on peut toujours faire passer un plan et un seul.

Wote lY.

Sur la définition de la ligne droite.

Supposons un observateur placé au milieu d'une vaste plaine. Il aperçoit de loin un point, et veut se transporter en ce point.

Vinstinct le porte à marcher dans la direction suivant laquelle ce point lui envoie ses impressions lumineuses. La preuve que ce procédé est instinctifs c'est qu'il est suivi par tous les animaux.

Ueocpériencey aidée de la réflexion, lui appren.l plus tard qu'en suivant cette route, il accomplit le trajet en moins de temps que s'il se fût écarté de la direction des rayons lumineux.

64 APPBNDIGB.

De là teiie vérité vulgaire, mais assez complexe au point de vue géométrique : La ligne droite est le plus court chemin d*un point à un autre. C'est cet énoncé que les auteurs de la plupart des traités de géométrie ont cru pouvoir prendre pour définition de la ligne droite.

En discutant Torigine et la véritable signification de cette notion du sens commun, nous verrons sans peine que l'inscription d'une telle proposition en tête des éléments de géométrie indique que Ton n'a pas suffisamment analjsé les idées très-simples qui se rapportent à cet objet.

Certains philosophes de l'antiquité, au dire de Proclus^ voulant railler agréablement la 20* proposition à'Euclide, prétendaient que les ânes eux-mêmes l'admettaient sans démonstration. On peut répondre à cela que les ânes, en suivant telle route plutôt que telle autre pour atteindre leur but^ ne se préoccupent en aucune façon de la longueur du chemin. Leur instinct les porte à marcher dans la ligne suivant laquelle l'objet impressionne leurs sens, et cette ligne sera la ligne droite, parce que c'est la route que suivent la lumière, le son, etc. Il n'est pas impossible, d'ailleurs, que les animaux fassent quelquefois acte d'intelligence, en adoptant le chemin que Pexpérience leur a montré être le plus court.

C'est donc l'expérience, aidée de la mémoire et de la réfiexion. qui nous apprend que le chemin rectiligne est, toutes choses égales d'ailleurs, le plus tôt parcouru.

Le jugement concordant, que l'on forAie en appréciant au coup à^œil la longueur du chemin, doit être rapporté à la même origine, puisque l'idée de grandeur, que nous transmet immédiatement le sens de la vue (abstraction faite des notions fournies par les autres sens, ainsi que par la mémoire et la réflexion), n'a pas d^autre source que le mouvement plus ou moins considérable que doit exécuter l'axe de l'œil pour parcourir tel ou tel contour.

11 nous paraît donc établi que l'adoption du chemin rectiligne a une origine primitivement instinctive et irréfléchie, et que sa pioipriété de minimum^ qui en a fait conserver l'usage, nous a été révélée par l'expérience.

Examinons maintenant de plus près quelle est la signification de ce jugeihent, quelle en est l'exacte interprétation géométrique, après qu'on l'a, pour ainsi dire, épuré par la faculté d'abstraction, et dépouillé de toutes les circonstances physiques qui avaient accompagoé sa formation.

Le chemin de direction constante (*), que nous parcourons, en suivant le rayon lumineux, nous conduit à Tidée d'une ligne de direction constante, en remplaçant, par la pensée, notre corps par un point, c'est-à-dire en réduisant indéfiniment les dimensions de notre corps par rapport à ce qui l'environne ; ce qui donne à l'idée de chemin une précision de plus en plus grande.

En appliquant le même procédé d'abstraction aux autres chemins possibles, on a dû continuer d'abord, sans s'en rendre compte, à mesurer la longueur du chemin par le nombre des pas, le temps du parcours par le temps employé à faire un pas; l'idée de temps n'étant ici, du reste, qu'une idée auxiliaire, qui doit être éliminée à la fin de l'opération intellectuelle. Dans le langage abstrait, cela revient à supposer le mobile décrivant un polygone, et à admettre^ comme un fait d'expérience, qu'un côté d'un polygone est moindre que la somme de tous les autres.

Pour aller plus loin, pour acquérir des notions relatives à la longueur de slignes courbes, on est forcé de recourir à un nouveau procédé, au procédé du passage à la limite, qui remplace la comparaison directe, devenue impossible.

Il ne sufSt pas, en effet, de faire appel ici à Pidée vague que chacun a ou croit avoir de la longueur d'une courbe. On peut bien, il est vrai, définir nettement ce qu'on entend par un arc plus grand ou plus petit qu'un autre^ lorsque ces deux arcs sont comptés à partir d'une origine commune. Mais déjà, dès qu'il ne s'agit plus du cercle ou de rhélice, il n'est4)lus possible de comparer directement deux arcs de la même courbe, lorsqu'ils ne sont pas comptés à partir de la même origine. A plus forte raison celte comparaison est-elle impossible, lorsque l'on considère des arcs pris sur des courbes diffërentcs.

11 faut bien, cependant, que l'on trouve un moyen de suppléer à cette comparaison directe, sans quoi, en disant que telle ligne est plus ou moins longue que telle autre, on ne ferait que prononce i une phrase absolument vide de sens. Voyons donc quels moyens peuvent proposer ceux qui se refusent à invoquer le principe des limites.

lo Le temps employé par le mobile pour parcourir un certain chemin. — Mais il faut alors supposer tacitement que la vit^se est

(*) Nous jugeons que la direction est constante, parce que nous n'avons fait aucun eiïort pour imprimer à notre corps un mouvement de rotation.

66 APP^lVBICE.

la même dans las deux chemins que l'on veut comparer. Qu'est-ce maintenant que la vitesse? Ou, si l'on renonce à déGnir la vitesse, en l'admettant au nombre des quantités primitives, qu'est-ce que deux vitesses égales? — De quelque manière que Ton essaye de répondre à cette question, on se trouvera toujours obligé, tôt ou tard, de passer par les notions de limites, et l'on n'aura fait que reculer inutilement la (difficulté, en introduisant des auxiliaires inutiles, pour faire une comparaison qu'on aurait aussi bien pu faire directement.

3^ On applique un fil flexible sur la courbe, puis on le redresse. — On suppose ici le fil inextensible. Qu'est-ce donc qu'un fil inextensible, dès qu'il cesse d'être en ligne droite ou d'être appliqué sur la même courbe ? Toutes les définitions que l'on peut tenter de donner du phénomène physique de rallongement d'un fil curviligne reviennent^ en définitive, à ôter à ce fil (supposé infiniment mince) son caractère de courbe continue, pour en faire un polygone à côtés très-^ petits, et ce n'est que dans le passage à la limite que l'on arrive à supposer ces côtés infiniment petits. On voit donc que, là encore^ on n'a fait qu'obscurcir la question en la compliquant de notions physiques étrangères.

Telles sont les difQcultés insurmontables que l'on rencontre, lorsqu'on veut définir la plus simple des figures de géométrie au moyen d'une de ses propriétés secondaires, qui n'est, au fond, qu'un théorème d'une nature assez compliquée, et exigeant, pour être compris, la connaissance préalable d'un grand nombre d'autres propositions.

Nous disons que la propriété de minimum de la ligne droite est une propriété secondaire. En cfiet, aucune des propositions fondamentales de la géométrie ne repose sur cette propriété, du moins quand on prend, pour arriver à leur démonstration, la voie la plus directe et la plus naturelle.

I^ propriété dont il s'agit a son analogue dans toutes les figures syïjiétriques, sans que cependant on ait jamais songé à la prendre comme définition pour une autre figure que pour la ligne droite. Que dirait-on, en effet, d'un auteur qui définirait le cercle compae la courbe d'aire maximum parmi celles d'un périmètre donné? 11 serait difficile de déduire simplement, de cette définition, les propriétés fondamentales du cercle. Et cependant c'est ce même procédé que la plupart des auteurs suivent pour la ligne droite, et la force de l'habitude nous empêche seule d'en sentir l'étrangeté.

APPENPICF. 67

L'origine de cette prétendue définition de la ligne droite remonte à une fausse interprétation d'un passage d'Archimède, Lorsque ce grand géomètre voulut, le premier, aborder les problèmes de la rectitcation du cercle et de la quadrature de la sphère, il lui fallut bien définir ce qu'il entendait par longueur d'une ligne courbe ou par aire d'une surface courbe. Pour y parvenir, il posa comme des principes (OTToÔEdetç) certaines propositions, sur lesquelles il s'appuya comme sur de nouveaux axiomes :

l" La ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités.

2° Un contour convexe est moindre qu'un contour qui l'enveloppe en s'appuyant sur les mêmes extrémités.

3° La surface plane est la plus petite de toutes celles qui sont terminées au même contour.

Etc.

On peut aisément montrer, comme ch^icun sait, que la méthode d'exhaustion, employée par les Anciens dans leurs démonstrations, est identique, pour le fond, avec la méthode des limites, par laquelle les Modernes l'ont remplacée. La limite d'une qyantité variable n'e^t déterminée, en effet, que par Texclusion de toutes les valeurs de la variable, autres que celle que Ton ne peut définir directement, et que la variable ne peut en général jamais atteindre ; et ce procédé est précisément celui de la méthode d'exhaustion.

En suivant le même ordre d'idées, on reconnaîtra &cilement que les principes que nous venons de rapporter, étant interprétés d'après les idées modernes, ne sont autre chose que des définitions de la longueur d'une ligne courbe, ou de l'aire d'une surface courbe. Ainsi Archimède, ne pouvant définir directement la ligne droite qui représente une longueur curviligne, a défini celle-ci comme quelque chose plus grand que tous les contours rectilignes inscrits, et plus petit que tous les contours rectilignes circonscrits. Comme on peut faire en sorte que deux contours rectilignes, pris dans chacune de ces deux séries, soient rendus aussi peu différents que .l'on voudra l'un de l'autre, il en résulte que ces deux séries tendent vers une limite commune, qui est la longueur de la courbe. On voit donc que nous sommes arrivés à la définition moderné^e la longueur de l'arc de courbe, sans faire autre chose que de traduire et de développer l'idée à^Archimède^ et que les principes que nous avons cités, loin de contenir une définition de la ligne droite, servent au contraire

68 APFKIDICK.

à déiîDir, au moyen de la ligne droite, la longueur de la ligne courbe. On peut remaïquer en même temps que les auteurs qui ont fait cette confusion au sujet de la ligne droite auraient dû, pour rester conséquents avec eux-mêmes^ prendre le troisième principe pour définition du plan, les propriétés exprimées par les principes I et 3 étant complètement analogues.

Sar ruoité angulaire.

Les diverses fonctions trigonométriques^ le sinus^ la tangente^ etc., sont définies d'abord pour le premier quadrant^ dans Fintervalle duquel elles parcourent entièrement la série de leurs Taleurs numériques. C'est par l'introduction des signes + et — que l'on parvient

à donner, aux angles non compris entre les limites et ^9 des

fonctions trigonométriqizes^ qui ne sont autres que celles de certains angles du premier quadrant^ prises avec des signes convenables. On sait^ en effet, que, pour obtenir les fonctions trigonométôques d'un

angle <0 ou>^9 on commence par ajouter ou retrancher le

nombre de quadrants nécessaire pour ramener l'angle donné à être compris dans le premier quadrant, de sorte qu'il suffit d'avoir une table des fonctions trigonométriques dressée seulement pour le premier quadrant.

Si l'on exprime maintenant un angle en prenant le quadrant pour unité, et le soumettant à 1^ division décimale, l'angle se composera d'une partie entière, positive ou négative, et d'une partie >décimale, que l'on pourra toujours supposer positive. L'opération de l'addition ou de la soustraction des quadrants sera alors complètement analogue à celle du changement de caractéristique dans les logarithmes décimaux. C'est déjà là im premier avantage du choix de la véritable unité angulaire.

Si, comme quelques auteurs l'ont proposé, on prenait le cercle entier pour unité, le quadrant serait représenté par la fraction 0,25, et, pour opérer la réduction d'un angle au premier quadrant, on

serait obligé d'altérer les deux premières décimales^ ce qui serait beaucoup moins simple dans la pratique.

L'adoption^ comme unité angulaire^ du centième de quadrant ou grade a^a d'autre raison d'être que le désir de se rapprocher du degré sexagésimal. Il n'en peut résulter aucun avantage sérieux^ mais seulement une complication dans récriture, et une perpétuelle confusion des degrés nouveaux, des minutes nouvelles y etc.^ avec les degrés anciens ^ les minutes anciennes , etc.

Nous avons signalé une première analogie entre la division décimale du quadrant et les logarithmes décimaux du système de Briggs. La raison de cette analogie est facile à saisir. Si Ton considère une exponentielle à exposant complexe^

la partie réelle de l'exposant est un logarithme réel, le coeliicient

de V — * un arc de cercle ; de sorte qu'on peut regarder les arcs de cercle comme des logarithmes imaginaires. D'après cela^ si Pou rapporte les logarithmes au système décimal, les déplacements de la virgule dans la valeur numérique de l'exponentielle répondront à des changements de la seule caractéristique; et, d'après la nature des exponentielles réelles, qui ne sont pas des fonctions à période réelle, la caractéristique pourra prendre toutes les valeurs entières, de — 00 à+oo.

De même, si Ton adopte la division décimale pour les logarithmes imaginaires^ les changements de quadrant, qui reviennent à la multiplication de Texponentielle par une puissance de ^ — i , correspondront à des changements de la caractéristique du logarithme imaginaire; et, d'après le caractère périodique de l'exponentielle imaginaire, cette exponentielle parcourra le cycle entier de ses valeurs, lorsqu'on fera varier la caractéristique de à 4, ou encore, ce qui revient au même, de — 2 à + 2, l'addition d'une unité à la ca^ ractéristique équivalant à la multiplication par yj — i.

Ainsi, de même que \0 est la base des logarithmes réels déci-

maux, e"^^ sera celle des logarithmes imaginaires décimaux.

Les autres unités angulaires dont on fait usage ont aussi leurs analogues dans les logarithmes, et il est aisé de s'en rendre compte au moyen des considérations précédentes.

Dans le calcul httéral, on emploie constamment les logarithmes

naturels, relatifs à la base e, et Ton prend pour unité angulaire Tare égal au rayon. Dans ce cas, Tanalogue de la caractéristique des logarithmes décimaux réels n'est plus un nombre entier; c'est le logarithme naturel de 10^ ou le nombre 2,302585 L'analogue de

la caractéristique des logarithmes décimaux imaginaires est, de

même, le nombre irrationnel ^- Pour calculer numériquement

dans ce système naturel, on serait donc obligé de se servir de caractéristiques fractionnaires j ce qui serait peu commode dans la pratique.

11 reste à chercher l'analogue de la division sexagésimale du cercle . Il faut^ pour cela, remonter dans Tantiqaité au temps où les astronomes faisaient usage de la division sexagésimale du rayon^ et où le calcul proprement dit était trop méprisé des hommes de science pour qu'ils songeassent à en perfectionner les méthodes. Les inventeurs des logarîthmes se sont bien gardés de reprendre, ces traditions^ en choisissant 60 ou 90 pour bases de leurs systèmes^ et la numération sexagésimale des logarithmes imaginaires n'a plus aujourd'hui rien qui lui corresponde dans la numération des nombres réels, du moins dans les pays qui^ comme la France^ ont soumis leur système métrique à la division décimale.

On se demande souvent pourquoi les astronomes français, après avoir proposé les premiers la division décimale du quadrant (*), que les étrangers appellent encore la division française, ont été euxmêmes les premiers à Tabandonner. Il y a, pour expliquer ce fait, une raison très-grave dans la nécessité où sont les astronomes de puiser sans cesse dans des registres d'observations, qui, à toutes les époques, ont été construits d'après le système sexagésimal. On conçoit quel immense travail entraînerait la conversion de tant de nombres d'un système dans l'autre, et quelle source d'erreurs et de confusion résulterait d'un tel remaniement, sans parler des inconvénients qu'éprouveraient les observateurs actuels, forcés de changer leurs habitudes et leurs instruments. L'astronomie, enchaînée par son passé, a donc sagement fait de renoncer à un perfectionnement qui, en somme, aurait présenté plus de dangers que d'avantages réels.

(*) Voyez, pour plus de délails, VInLroduotion des Tables décimales de Hobert et Ideler. Berlin, 1799.

Mais les astronomes observateurs ne sont pas seuls à se servir des tables trigonométriques. Or, pour tout autre usage que le calcul immédiat des observations faites avec des instruments portant la division sexagésimale, il est incontestable que la division décimale présenterait des avatitages immenses^ et nous ne jpouvons comprendre la persistance avec laquelle la plupart des calculateurs la rejettent. Il n'est pas besoin d^iine bien grande expérience du calcul pour voir combien on gagnerait à l'adopter dans les calculs de mécanique céleste^ de géodésie, de topographie, en un mot^ dans tous les cas où Fon n^a pas à lire ses notabres dans un registre d'observations astronomiques.

La seule bonne raison que Ton pourrait iious opposer, c'est le manque de bonnes tables trigonométriques décimales. Les seules tables à sept figures construites dans ce système, celles de Hobert et Ideler, de 6orda et de Callet, sont mal disposées pour les Usages pratiques^ Tintervalle des divisions étant trop considérable. Lés tables de Plauzoles, à six ligures, sont beaucoup plus commodes, et cependant elles sont peu répandues. Pour que les calculateurs pussent jouir des avantages de la division décimale, il faudrait que Pon tirât des grandes Tables manuscrites du Cadastre (*) une série de tables répondant aux divers degrés de précision dont on a besoin dans les calculs, c'est-à-dire des tables à sept, à six, h cinq et à quatre figures (**). Si cette publication était faite avec les mêmes soins et une disposition aussi convenable que celle des bonnes tables sexagésimales publiées récemment en Allemagne, nous sommes convaincu que le seul système vraiment rationnel reprendrait bientôt faveur, et que les tables sexagésimales ne trouveraient plus place que dans les observatoires, oîi elles devront longtemps encore être exclusivement en usage.

(*) 11 existe deux exemplaires de ces Tables, déposés 1 un à la biblioihèque de TObservatoire de Paris, Tauire à celle de Tlnsiitut. Voy. Nouvelles Annales de Mathématiques y Bulletin de Bibliographie, \ 855, p. H ; Comptes rendus de l'Académie des sciences, 24 mai \ 858, et Annales de V Observatoire, t. IV.

(**) Voy. notre Recueil de Formules et de Tables numériques, qui contient des Tables trigonométriques déclifiales à quatre figures. Paris, GaulLier- Villars, 4866.

?i AmHDlCB.

M»to¥I.

Sar raxitoe 1 1 (dit poitviatwm) d*Eoelide.

Des recherches déjà anciennes^ mais cjUi ont passe inaperçues jusque ces derniers temps, ont mis hors de donte que la démonstratioD de l'axiome II dTadide (notre axiome I\^ ne peut pas se déduire des axiomes précédents. Ces recherches ont été faites vers l'année i S^, par deux géomètres^ Lobatschewskj et J. Bolyai (*), qui par des méthodes différentes et indépendanmient l'un de l'autre, sont parvenus presqu'en même temps à retrouver les résultats que (jauss possédait déjà depuis près de quarante ans. Malheureusement ce grand mathématicien n'a jamais publié ses travaux sur ce sujet, et sans la publication récente de sa correspondance avec Schumacher, nous ignorerions encore l'existence des nouvelles théories qu'il a appuyées de son imposante autorité.

Je n'entrerai pas ici dans l'exposition complète de ces théories, que l'on trouvera développées avec détails dans la brochure de Lobatschewsky dont j'ai donné une traduction f*). Je me contenterai d'en faire connaître les points principaux^ et d'indiquer sommairement ce que la géométrie abstraite^ fondée sur la négation de l'axiome 1 1 , a de commun avec la géométrie euclidienne ou expérimentale^ et en quoi elle s'en écarte.

La théorie des parallèles ne fait qu'un avec la proposition 32 d'Euclide sur la somme des angles d'un triangle rectiligne. Aussi plusieurs géomètres^ au lieu d'essayer la démonstration directe del'axii^me i 1, ont fait porter leurs efforts sur la détermination de la somme des angles d'un triangle.

On peut d'abord établir^ comme Legendre l'a fait (***), quelques propositions complémentaires des 28 premières propositions d'Euclide^ et indépendantes comme elles de l'axiome il.

(*) Fils de W. B')lyai, dont nous avons cilé les ouvrages, p. 60.

('*) Etudes géométriques sur la théorie des parallèles^ par N. I, Lobaischewsky, suivi d'un extrait de la Correspondance de Gau^s et de Schumacher, Paris, G aulhier-Villars, 1866.

(•••) Mémoires de V Académie des Sciences, t. XII, p. M9,-^ Eléments de géométrie, 3® à 8« édition. — Voyez encore Lobatschewskt, Eludes sur les parallèlesy n©» 19 et 20.

I . La somme des trois angles d'un triangle rectiligne ne fieut pas surpasser deux angles droits.

Désignons, pour abréger, par /ABC {fig. 44) 1* somme des trois angles du triangle ABC, et soit, s^il est possible, /ABC > 2 dr. Sur

AC prolongé portons les longueurs CE=EG = ...=AC, et sur ces bases construisons les triangles DCE, FEG, ..., tous égaux à ABC.

L'angle BCD, supplément de la somme des angles ACB et DCE= BAC, sera, d'après rhypothèse admise, <ABC. Donc[J?Mc/., I, «24] BD < AC.

On voit d'ailleurs [EucL, 1, 4-] que tous les triangles BCD, DEF,... sont égaux entre eux . Donc BD = DF == FH = . . . .

Soit maintenant ^ la différence AC — BD. Si Ton construit n triangles consécutifs égaux à ABC, la différence entre la droite totale AP=n.AC et la somme des droites BD + DF-|-... = n.BD sera n8 ; et, en prenant n assez grand, on pourra faire en sorte que n8 surpasse la longueur finie AB -}- PQ = 2AB.

Maison aurait alors AP — (BDF...Q)> AB+PQ, d'où il résulterait que le côté AP du polygone ABD ...QPA serait plus grand que la somme de tous les autres, ce qui est contraire aux corollaires de la proposition 20 du premier livre d'Euclide [§ 24, p. 57].

Il est donc impossible qu^il existe un triangle rectiligne dont les angles aient une somme plus grande que deux angles droits.

II. S'il existe un seul triangle rectiligne dans lequel la somme des angles soit égale à deux angles droits, cette somme sera égale aussi à deux angles droits pour tous les triangles rectilignes possibles,

lo Soit ABC {fig, 45) un triangle rectiligne tel que /ABC = 2dr. Faisons le triangle BCD = ABC, en prenant Tangle BCD =CBA et CD = AB, d'où BDC = A, CBD=BCA, BD=:AC.

Prolongeons AB, AC de longueurs BE=AB, CF= AC; joignons DE, DF. Des égalités précédentes et de /ABC=:2dr.. il résulte

DbE=:BAC=:DCF; d'oii l'on conclut que chacun des iHangles DDE, DGB est égnl à ABC. On en déduit ensuile aisément que la

Fic45.

somme des angles en D est =i2(li\^ cl par suite EDF est une ligne droite. Donc on peut construire un triangle AEF, ayant ses côtés doubles respectivement de ceux du triangle proposé ABC ; de plus, équiangle avec ABC^ et ayant par suite la somme de ses angles .=2dr.

On pourra répéter cette construction autant de fois que Ton voudm, et obtenir ainsj un triangle dont les côtés seront aussi grands que Ton voudra, et la somme des angles égale encore à 2dr.

2° Si un triangle AMN (fig. 46) a un angle A commun avec le triangle ABC dont la somme des angles ^2dr.^ on aura aussi

J'AMN=2dr. Construisons, en effet, d'après ce qu'on vient de voir, un triangle AGH, dont les côtés AG, AH soient respectivement plus grands que AM, AN, et tel que l'on ait JAGH=JABC = 2 dr.; menons GN. La somme totale jAMN-i-/MNG-i-/NGH=la somme des angles en M -h la somme des angles en N-|- J*AGH, et, par suite, = 6dr. ; et comnie aucune des trois sommes partielle^ ne peut

At»fÈI<DlCfc. 78

surpasser 2 dr. [prop. 1], il faut que chacune déciles soit ==:2c[r. Donc /AMN==2df.

3® Soît maintenant abc (fig. 4^) un triangle quelconque. Si ses angles ne sont pas égaux à ceux du triangle ABC poiir le(|tièl

Fig. 47.

J'ABC=2dr., il faudra que Tun au moins d'entre eux soit moindre que l'angle correspondant de ABC, sans quoi Ton aurait J'<i6c>2dr. Supposons donc bac < BAC ; faisons bafz=z BAC et menons bf k volonté. D'après â°,a6/"et ABC ayant un angle commun, Ja6/*==: 2 dr.; abd et abf ayant un angle commun^ Jabd ±=2 dr. ; abd et abo ayant un angle cotnmun^ Jahcz^i^àt.

Outre ces théorèmes et les 28 premières propositions d'Euclide, voici un aperçu des propositions de la Géométrie qui s'établissent indépendamiHeht de l'axiome 41 (*).

Une droite peut avoir avec un cercle un ou deux points communs, et pas davantage. Trois points étant donnés sur un cercle, trouver le centre de ce cercle* Possibilité des polygones réguliers; construction effective de ceux de 4, 8, 16,... côtés seulement. Deux cercles peuvent avoir, sans coïncider, un ou deux points communs, et pas davantage.

Propriétés des figures sphériques, en partie analogues aux 28 premières propositions d^Ëuclide. Egalité des triangles sphériques. Triangles sphériques isoscèles, etc. Trouver le centre d'un cercle passant par trois points donnés sur la sphère (**) .Déterminer le rayon d'une

C) BoLVAi, Kurzer Grundriss eincs Versuchs u. s, w, (*"*) Ce problème n^est résoluble pour irois points donnés sur un plan que lorsqu'ou admet i'axiôme 4 1 . Si trois points quelconques, non eu ligne

Sphère par une construction plane. Tracer un grand cercle passant par deux points donnés, ou perpendiculaire sur le milieu d'un arc de cercle donne, ou partageant un angle donné en deux parties égales^ etc. Petits cercles et arcs de grands cercles tangents. Construction des polygones sphériques réguliers de 4, 8, i6,... côtés. Aire du triangle sphérique et de la sphère totale. La somme des angles d'un triangle sphérique dont les côtés sdnt infiniment petits par rapport au rayon de la sphère a pour limite deux angles droits.

Si donc on construit la surface qui est la limite d'une sphère passant par un point donné, et dont le rayon croît jusqu'à l'infini, les triangles tracés sur cette surface auront la somme de leurs angles égale à deux angles droits, et par conséquent toutes les conséquences qui découlent de l'axiome il en géométrie plane sont vraies, dans l'hypothèse contraire, pour ces triangles tracés sur la sphère-limite. En particulier, on peut appliquer à ces triangles les formules de la trigonométrie rectiligne ordinaire, et en déduire ensuite les formules de la trigonométrie sphérique, qui se trouvent ainsi étahlies indépendamment de la théorie des parallèles (*).

Mais cette sphère-limite coïncide-t-elle avec un plan? Tout ce qu'oo peut dire, c'est qu'elle n'en diffère pas sensiblement dans l'étendue accessible à nos mesures, les triangles rectilignes que nous connaissons ayant une somme d'angles que nous ne pouvons pas distinguer de 2 angles droits (**). Rien ne nous démontre cependant qu'il en soit de même pour des triangles rectilignes plus grands, et que la somme des angles de ces triangles ne finisse pas par être sensiblement moindre que 2 droits.

Il n'y a, en effet, aucune incompatibilité entre les preniiers axiomes (nos axiomes I, Il et III) et la supposition que la somme

droite, pouvaient toujours être placés sur une sphère, Taxiôme 4 1 serait démontré.

(*) Lagrange avait reconnu rindépendance entre les formules^ de la trigonométrie sphérique et Taxiôme 4 4 , et il croyait pouvoir tirer de là une démonstration de cet axiome. 11 considérait d'ailleurs toutes les autres tentatives de démonstration comme insuffisantes. C'est ainsi qu'il s'exprimait dalis ses conversations avec M. Biot. (Communiqué par M. Lefort,)

(**) D'après les calculs de Lobatschewsky, les observations astronomiques indiquent que, pour un triangle dont les côtés seraient à peu près égaux à la distance de la Terre au Soleil, la somme des angles ne diffère pas de 2 dr. de 3 dix-millièmes de seconde.

des angles d'un triangle soit moindre que 2 angles droits. J. Bolyai

et Lobatschewsky ont tiré les conséquetices de cette supposition, sans

jamais se trouver en contradiction avec la logique, mais seulement

avec Texpérience^ telle que nous la permettent nos moyens limités.

Si la somme des angles d^m triangle rectiligne est moindre que

^ droits^ on peut alors mener^ par un point donnée une infinité de

droites différentes, qui ne rencontrent pas une droite donnée. Celle de

ces droites qui s'approche le plus de la droite donnée est dite parallèle

à cette droite. Deux droites parallèles sont asymptotes FunedeTautre.

11 n'y a plus, dans cette hypothèse, de figures planes semblables.

On ne peut plus partager par les procédés élémentaires une droite en

trois parties égales, ni circonscrire un cercle à un triangle rectiligne

quelconque. La somme des angles d'un triangle varie entre 2 angles

droits et zéro, et peut diminuer indéfiniment, lorsqu'on fait croître

les côtés à l'infini. L'angle d'un polygone régulier n'est plus constant,

et diminue indéfiniment, lorsqu'on fait croître le côté du polygone

jusqu'à l'infini.

Au contraire, la somme des angles d'un triangle rectiligne infiniment petit tend vers 2 angles droits, comme celle des angles d'un triangle sphérique infiniment petit.

Les formules de la trigonométrie rectiligne relatives à Thypothèse où l'on rejette l'axiome \ 1 présentent une grande analogie avec celles de la trigonométrie sphérique; elles s'en déduiraient en attribuant aux côtés du triangle sphérique des valeurs imaginaires.

Lobatschewsky a fait voir (*) que l'on pourrait construire sur cette hypothèse un système complet de géométrie, à laquelle il a donné le nom de Géométrie imaginaire, nom qu'il serait plus convenable de remplacer par celui de Géométrie abstraite. Les expressions des éléments différentiels des lignes courbes, des surfaces et des volumes sont les mêmes que dans la Géométrie réelle ou expérimentale.

En résumé, l'expérience ne nous ayant montré aucun triangle rectiligne, si grand qu'il soit, dont la somme des angles soit moindre que deux angles droits, la géométrie d'Ëuclide est certainement vraie, au moins dans les limites de nos observations. Aussi suffira-t-elle

(*) Géométrie imaginaire {Journal de Crelle, l. XVH, 4 837). —Pangéométrie (Kazan, 4855). — Voir aussi J. Bolyai, Appendix scienliam spalii ahsolute veram exhibens, etc., inséré dans le 1. 1 du TentameUf etc., de VV. Bolyai.

toujours dans la pratique, et l'étude de la Géométrie abstraite n'offrira jamais d'intérêt qu'au point de vue philosophique^ où elle acquiert^ au contraire, une importance capitale.

Note ¥11.

Sur la théorie des parallèles.

Si l'on juge de la direction d*une droite par l'angle dont elle s'écarte d'une direction donnée, deux droites qui forment avec une troisième des angles correspondants égaux seront de même direction, et le théorème démontré au § 44 pourra s'énoncer ainsi :

Deux droites de même direction ne peuvent se rencontrer^ et sorU parallèles .

Cette proposition pourrait être prise pour axiome^ en considérant l'idée de direction comme une donnée fondamentale de l'expérience. Dès lors, il serait évident que deux droites qui se rencontrent ont des directions différentes, et par suite celles qui ont la même direction ne peuvent se rencontrer.

Dans cet ordre d'idées^ Taxiôme réciproque, c'est-à-dire l'axiome IV du § 15, pourrait s'énoncer comme il suit :

Dans un plan, une droite quelconque rencontre toutes celles qui n^ont pas la même direction.

Cet énoncé devient encore plus évident^ lorsqu'on le rapproche de ce que nous avons dit (§ 6) de la génération rectiligne du plan.

Cette manière de présenter la théorie des parallèles est plus simple et plus symétrique que la méthode ordinaire, et nous semble avantageuse pour un premier enseignement de la géométrie (*). En revenant plus tard sur cet objet, on montrerait^ comme nous l'avons fait au § iAy que le parallélisme des droites de même dii^ction est une conséquence des axiomes précédents.

]Vote TIII.

Sur la longueur d*|inc ligpe courbe.

On démontre, dans la plupart des traités de Calcul intégral, en théorème, qu'il existe une limite commune^ finie et d^erminée^ pour

(•) Voy. Note IX.

les périmètres des polygones infinitésimaux inscrits et circonscrits à un arc de courbe donné. On peut présenter cette démonstration spu^ une forme tout à fait élémentaire, sans empjoyer T^Igorithme de Tapalyse transcendante.

La démonstration repose sur le principe fondamental du calcyil intégral {')j savoir que, dans une somme d'éléments infiniment petits, on peut, sans changer la limite de cette somme, altérer chacun de ces éléments d'uqe fraction de lui-i^ême infiniment petite. — En effet, en remplaçant toutes ces fractions par la plus grande d'entre elles, qui est encore infinipaent petife, on voit que Taltération de la somme est moindre que c^tte fraction maximum de la somme ellemême, c'est-à-dire que si e^, t,,..,. sont tous moindres que e, on a

«i<*i + ^««i+'-"< ^("1+^8 + ••••)• ^ son^me étant supposée fiiiiç, l'altération sera donc moindre qp'un^ fraction infiniment petite d'une quantité finie, et par suite elle sera infiniment petite. Dpnp Taltération de la limite sera la limite d'un infiniment petit, p'est-Àdire zéro.

Cette démonstration ne repose, comme on voit, sur aucune ppnsidération qui dépasse les principes que l'on a souvent occasion d'in» voquer en géométrie élémentaire.

Disons en passant que ce principe fournit immédiatement les démonstrations les plus simples des théorèmes sur l'équivalence de deux prismes ou de deux pyramides de même base et de même ' hauteur.

Supposons maintenant que Ton ait un triangle dont un seul angle soit infiniment petit, [je côté opposé à cet angle sera infiniment petit par rapport à chacun des deux autres (**), et il en sera de même, à plus forte raison, de la différence de ces deux côtés par rapport à chacun d'eux. Nous énoncerons ce résultat d'une manière abrégée, en disant que les deux côtés qui comprennent l'angle infiniment petit différent infiniment peu l'un de l'autre.

Il résulte de là que, si l'on projette, par des parallèles de direction quelconque, orttiogonale ou non, une droite de longueur donnée sur un ^e faisant avec cette droite un angle infiniment petit, la

(*) Duhamel, Eléments de calcul infinitésimal, 1. 1, p. 35. (**) Le rapport de cette différence à cbacnn des côtés serait même infiniment petit du second ordre^ si le triangle était rectangle.

différence entre la droite et sa projection sera infiniment petite par rapport à chacune d'elles ; en d'autres termes, la droite et sa projection différeront infiniment peu.

Donc, si la droite qui ferme un contour polygonal fait avec chacun des côtés de ce contour des angles infmiment petits, la longueur de cette droite ne différera qu'infiniment peu de celle du contour polygonal.

Cela posé, considérons un arc de courbe, que nous supposerons plane^ pour plus de simplicité^ et admettons que cet arc soit entièrement convexe (*). D'après les corollaires de la proposition 20 du premier livre à'Euclide (§ 24), on voit : 1° Que le contour d'un polygone inscrit dans Tare convexe croît à mesure que Ton établit de nouveaux sommets intermédiaires, en subdivisant les arcs; 2^ que le contour d'un polygone circonscrit au même arc diminue à mesure que l'on trace de nouveaux côtés, dont les points de contact subdivisent les arcs; 3° qu'un quelconque des contours inscrits est toujoui-s moindre qu'un quelconque des contours circonscrits.

On en conclut d'abord: 1** Que les contours inscrits, dont on augmente le nombre des côtés suivant une certaine loi, allant d'une part toujours en croissant, mais restant d'autre part toujours moindres qu'un polygone circonscrit quelconque, tendront nécessairement vers une certaine limite finie, dépendante ou non de la loi de sul>division ;

2° Que les contours circonscrits, allant toujours en diminuant par la subdivision des arcs, et restant toujours supérieurs à un polygone inscrit quelconque, tendront aussi vers une certaine limite fmie, dépendante ou non de la loi de subdivision. *

Il reste à prouver que tous ces contours, tant inscrits que circonscrits, tendent vers une seule et même limite, indépendante de la loi de subdivision.

Considérons un côté d'un contour inscrit, et un polygone inscrit dans l'arc sous-tendu par ce côté. Si ce côté est assez petit, sa direction, ainsi que la direction d'un côté quelconque du polygone en question, fera un angle aussi petit qu'on voudra avec la tangente en un quelconque des points de l'arc. Donc, d'après la proposition démontrée ci-dessus, le côté et le polygone diffèrent l'un de l'autre infiniment peu.

{") S'il ne rélait pas, on le décomposerait en portions convexes.

Soient maintenant deux polygones inscrits quelconques, à côtés suffisamment petits. Si nous les comparons Tun et Tautre au polygone formé par la réunion de tous leurs sommets, et correspondant par conséquent à une subdivision de chacun des deux systèmes d'arcs, chaque côté de Vun quelconque des deux contours primitifs différera infiniment peu de la portion correspondante du troisième contour. Donc chacun des deux premiers contours différera infiniment peu du troisième^ et par suite les deux premiers contours différeront infiniment peu Tun de Tautre. Donc ils ne peuvent tendre que vers une seule et même limite.

On étendrait de même ce résultat à deux polygones circonscrits, ou à un polygone inscrit comparé avec un polygone circonscrit.

Ainsi se trouve établie Texistence de la longueur d'une courbe plane.

Il en résulte en même temps :

i^ Que cette longueur est plus grande que celle d'une ligne droite ayant les mêmes extrémités ;

â*» Qu'une courbe convexe est plus courte qu'une courbe quelconque qui l'enveloppe de toutes parts sans la couper^ ou qui l'enveloppe en s'appuyanl sur les mêmes extrémités ;

3° Que la limite du rapport d'un arc infiniment petit à sa corde est égale à l'unité.

Le même mode de démonstration servirait à établir l'existence de la longueur d'une courbe non plane^ et celle de l'aire d'une surface courbe.

IVote IX.

Réflexions sur renseignement de la géométrie élémentaire.

Tout le monde s'accorde à répéter que l'un des buts de l'enseignement des mathématiques doit être de donner plus de rectitude à l'esprit, en lui offrant un modèle d'une logique inflexible, appliquée à des principes certains. Pour que ce but soit atteint, il faut évidemment que l'enseignement ne se départe jamais de cette rigueur qui distingue les mathématiques de toutes les autres sciences, et c'est là une condition essentielle pour que cette étude soit fructueuse, aussi bien comme gymnastique intellectuelle que comme source d'applications pratiques.

Mais la rigueur, telle que nous la concevons^ n'est nullement compromise par l'omission volontaire de la démonstration d'une proposition, tandis qu'elle Test par l'introduction d'une démonstration fausse ou incomplète. La logique n'a rien à souffrir d'^ne lacune laissée provisoirement dans la suite des raisonnements^ pourvu que cette lacune soit clairement indiquée, et qu'on ne cherche pas à la dissimuler.

C'est d'après cette manière de voir que nous concevons la possibilité d'un enseignement gradué de la géométrie élémentaire, conduit, à tous ses degrés, d'après un plan unique et invariable^ toujours soumis aux règles de la plus sévère logique, et où les difficultés ne se montreraient qu'à mesure que les esprits seraient préparés à les aborder.

Pour cela, l'étude de la géométrie devrait être reprise successivement à divers points de vue, correspondants aux divers degrés d'initiation des élèves. Pour les commençants, il s'agit avant tout de se familiariser avec les figures et leurs dénominations, d'apprendre des faits, d'entrevoir leurs applications les plus simples et les plus immédiates, celles siurtout qui se rapportent aux usages de la vie ordinaire. On devra donc, au début, multiplier les axiomes, employer, au lieu de démonstrations, les vérifications expérimentales^ l'analogie, l'induction, en ne laissant jamais oublier que ce mode d'exposition est essentiellement provisoire. On exercera Télève aux tracés graphiques, au maniement des instruments, à la solution de divers problèmes de levé des plans et d'arpentage, à la construction des figures en relief au moyen de fils ou d'argile plastique, à la représentation de ces figures à Taide de leurs projections, etc., etc. Le maître saura proportionner au degré de développement intellectuel de l'élève la part plus ou moins grande qu'il devra faire au raisonnement, dans cette première ébauche des études géométriques; et la grande variété d'applications qu'offrent la géographie, l'astronomie, l'arpentage, la stéréotomie, etc., suffira pour donner à cet enseignement un intérêt soutenu.

On pourra mêler à la géométrie pure et appliquée l'étude des propriétés les plus simples des nombres entiers , que l'on représentera par des points régulièrement distribués sur des droites ou sur des plans, ou encore par des longueurs de droites, des aires de rectangles ou des volumes de parallélépipèdes. Cette manière de traiter l'aritbmétique conduit aussi promptement que la méthode abstraite aux

règles du calcul^ et chaque raisonnement acquiert une plus grande clarté par cette représentation qui parle aux yeux.

On exposera ensuite le système des poids et mesures^ tandis que^ d'un autre côté , on étudiera les propriétés des proportions entre nombres rationnels.

Remarquons que les diverses théories que nous venons d-énumérer^ et qui devront servir de préliminaires à Tétude rigoureuse de la géométrie^ ne sont pas destinées ^ selon nous ^ à faire l'objet d'une suite unique de leçons. On ne doit pas craindre de se répéter , dans un enseignement scientifique, et les élèves devront suivre successivement plusieurs cours gradués, dont chacun comprendra les matières du cours précédent, plus les nouveaux développements qu'on y ajoutera^ en faisant au raisonnement une plus large part.

Mais les programmes de ces cours successifs ne devront pas être tracés au hasard , indépendamment les uns des autres. Il faudra se garder, avant tout, d'altérer l'ordre des propositions pour substituer à une démonstration difficile un raisonnement plus simple en appa* rence et moins rigoureux. Si une démonstration présente quelques difGcultés pour l'intelligence de l'élève, .qu'on la supprime , sans la remplacer autrement que par des explications, des analogies, des vé* rifications expérimentales. Mais que la subordination des vérités géométriques, telle que l'exigera plus tard une élude scientifique et approfondie, soit conservée sans altération à tous les degrés de l'enseignement. Qu'il y ait unité de plan, et que les cours les plus élémentaii-es ne diffèrent des cours les plus élevés que par des suppressions, de telle sorte que la place de chaque démonstration soit toujours réservée, et qu'on n'ait plus qu'à l'y intercaler^ lorsque l'esprit de l'élève sera suffisamment préparé.

Le premier enseignement sera donc exclusivement expérimental^ et peu à peu on fera voir à l'élève comment toutes les vérités n'ont pas besoin d'être séparément constatées par l'expérience, et comment elles sont les conséquences d'un certain nombre d'entre elles, nombre que l'on restreindra de plus en plus^ à mesure que Ton avancera dans l'étude de la science, jusqu'à ce qu'on soit arrivé aux axiomes fondamentaux, dont le nombre ne peut plus être réduit.

Telle doit être, à notre avis , la première période de l'enseignement géométrique , et le programme que nous venons d'esquisser comprend toutes les notions mathématiques nécessaires aux commençants. Parallèlement à cet enseignement , l'élève pourra suivre

84 APPKCDICB.

Utilement des cours élémenUires de cosmographie , de mécanique, de physique, de chimie , où il rencontrera à chaque instant des applications de ses connaissances en géométrie et en arithmétique.

Le second degré d'enseignement se rapprocherait^ d'après nos idées, du système actuellement suivi dans les classes de science des lycées français. En géométrie , on adopterait la méthode euclidienne dans toute sa rigueur , et le cadre des études embrasserait à peu près les Éléments A*EucUde et les premières notions sur les sections coniques.

On joindrait à cette étude celle des premières notions d*algèbre, en rattachant les règles du calcul algébrique aux propriétés des figures par des raisonnements analogues à ceux du second livre à'Euclide. On établirait ainsi par la géométrie, en même temps que par l'analyse abstraite , les principales règles de la multiplication algébrique, la résolution des équations du second degré , les principaux théorèmes sur les maxima et les minima, etc.

L'étude rigoureuse de la géométrie conduisant tout naturellement au principe des limites et à la considération de l'incommensurabilité, on serait alors amené à introduire les symboles appelés nombres incommensurables y et à revenir sur la théorie des proportions, en l'étendant à des grandeurs continues, généralement incommensurables.

On pourrait passer de là à F étude des logarithmes et de la trigonométrie.

Mais cette étude de la géométrie scientifique et rigoureuse doit elle-même être graduée, comme celle de la géométrie expérimentale. S'il peut être avantageux , dans une première exposition , de s'attacher autant que possible à la méthode des anciens , afin d'établir d'abord avec brièveté et précision les faits fondamentaux de la science ; il nous semble, au contraire , que dans les révisions successives du cours de géométrie , on devra s'étudier de préférence à faire comprendre, par des applications aux vérités simples et désormais bien connues de la géométrie élémentaire , les grandes méthodes et les puissants procédés de l'analyse moderne. On pourra , de cette manière, sans sortir du cadre d'Euclide , initier l'élève à tous les procédés qu'il aura plus tard à appliquer dans les parties les plus élevées de la science.

Ainsi, on sait quelles sont, en géométrie et en arithmétique , les nombreuses applications du principe des limites.

L'étude des lieux géométriques, employés comme moyens généraux de résolution des problèmes déterminés, conduira naturellement

à la notion de fonction d'une ou de deux variables indépendantes. En y joignant même le mouvement, on aura une représentation sensible des fonctions de trois et même de quatre variables.

Le cercle et les sections coniques donneront lieu d'appliquer la méthode des tangentes^ et de présenter la méthode des limites sous la forme plus commode de la méthode intinitésimale.

On reviendra alors avec plus de détails sur les questions de maasima et de minima^eX on les ramènera à la méthode des tangentes^ dans le cas d'une seule variable indépendante.

Les quadratures et les cubatures des lignes et des surfaces pourront s'effectuer non-seulement par les méthodes détournées des anciens^ mais encore par les méthodes directes sur lesquelles est fondé le calcul intégral. Ainj^i l'équivalence de deux prismes de même base et de même hauteur pourra s'établir par la division en tranches infiniment minces, comme nous Tavons déjà indiqué dans la Note précédente.

C'est alors qu'il conviendra d'introduire les notions de long\Aeur d'une ligne courbe quelconque et d'aire d'une surface courbe quelconque^ en justifiant et généralisant les définitions restreintes et incomplètes qu'on en avait données, au moyen des polygones réguliers, en traitant du cercle et des trois corps ronds.

On peut enfin, sans sortir du même cadre, donner des exemples de courbes enveloppes, d'applications de la méthode inverse des tangentes, etc.

En un mot, la géométrie àiEwilide peut servir de texte à une exposition de tous les principes fondamentaux de l'analyse moderne, et l'on conçoit quel fruit un esprit intelligent pourrait retirer d'une telle préparation à l'étude de la géométrie analytique et du calcul infinitésimal.

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