PREFACE. Y II

recherches jettent sur la nature intime des vérités géométriques, elles conduisent encore à des applications analytiques remarquables. G*est aux indications du Dr. Baltzer, Tauteur du seul Traité de Géométrie élémentaire vraiment scientifique qui ait paru de nos jours, que je' dois la connaissance de ces importants travaux, qui, à peine tirés de Toubli, ont déjà attiré Fattention d'éminents géomètres, et sur lesquels je me propose de revenir dans une autre occasion.

Le manuscrit de cet opuscule était prêt pour l'impression, lorsqu'à paru le second volume du livre de M. Duhamel sur les Méthodes dans les sciences de raisonnement» J'ai été heureux d'y trouver la confirmation des résultats dont j'avais puisé le germe aux leçons du Maître qui a été le réformateur de l'enseignement mathématique dans notre pays, et auquel les nouvelles générations de professeurs doivent tant de reconnaissance ! C'a été pour moi un encouragement à pubUer ma brochure, dont le cadre plus restreint m'a permis de traiter d'une manière plus développée et plus élémentaire les sujets qui lui sont communs avec l'ouvrage de M. Duhamel. Puissé-je contribuer pour ma faible part à la destruction des préjugés et des idées fausses qui régnent encore sur le point de la science qui semblerait devoir être le mieux connu !

Bordeaux, juillet 1867. i

DE LA

COMMENTAIRE SUR LES ÎIXII PREHIÈRES PROPOSITIOP

DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE

Depuis longtemps les recherches scientifiques des mathématiciens sur les principes fondamentaux de la Géométrie élémentaire se sont concentrées presque exclusivement sur la théorie des parallèles ; et si, jusqu'ici, les efforts de tant d'esprits éminents n'ont abouti à aucun résultat satisfaisant, il est peut-être permis d'en conclure qu'en poursuivant ces recherches, on a fait fausse route, et qu'on s'est attaqué à un problème insoluble (*), dont on s'est exagéré l'importance, par suite d'idées inexactes sur la nature et l'origine des vérités primordiales de la science de l'étendue.

La source de cette erreur est, croyons-nous, dans le faux point de vue métaphysique où l'on s'est placé, en considérant la Géométrie comme une science de raisonnement pur, et ne voulant admettre parmi ses axiomes que des vérités nécessaires et du domaine de la pure raison. On a été conduit ainsi à attribuer aux axiomes une nature toute différente de celle des autres vérités géométriques que l'expérience nous révèle en dehors de toute étude scientifique, et que le géomètre rattache à ces axiomes comme conséquences.

Cependant la Géométrie; comme la Mécanique et la Phy-

(o) Voy. Note VI.

^ sique^ a pour objet Vétude d'urtejrandeur concrète, retendue^ \ affectant nos sens d'une certâfne manière; et c'est seulement par les réyélations des sens que nous avons pu connaître les propriétés fondamentales de cette espèce particulière de . grandeur. Ces propriétés, indéfinissables et indémontrables^ sont les teritieft de cditiparaison obligés auxquels nous ne pouvons que rapporter les autres propriétés, à Taide du raisonnement abstrait.

Ainsi les sens seuls peuvent nous mettre en relation avec rétendue, et ils nous en font connaître déjà un grand nombre de propriétés, sans emprunter le secours de la logique déduclive. Parmi ces propriétés, les unes sont tellement simples^ tellement faciles à constater, que la force de l'habitude, jointe à la tradition constante de l'École, a bien pu faire oublier leur véritable origine, et le rôle essentiel qu'ont joué les sens dans leur découverte. On a confondu, soûs le nom d'axiomes, ces vérités avec les vérités abstraites, qui se rapportent à la science des grandeurs' en général ou à l^Arilhmétique universelle 0*

D*autre8 propriétés, enseignées également par rexpérience, et jouissant de la même certitude immédiate que les précédentes, se déduisent néanmoins de celles-ci comme conséquences, et on les a classées, sous le nom de théorèmes, à côté des vérités plus cachées, que le raisonnement ^eul pouvait faire apercevoir.

Le partage de ces vérités fondamentales en axiomes et théorèmes est, jusqu'à un certain point, arbitraire. Ainsi, lorsque deux de ces vérités sont des conséquences réciproques Tùne de l'autre, on peut prendre celle des deux que Ton voudra pour axiome, Tautre devenant alors un théorème.

Le nombre des axiomes peut varier, suivant l'ordre que l'on adopte dans la subordination des propositions. Il y a cependant un minimum, du-^dessous duquel ce nombre ne Saurait être réduit, comme te prouvent les tentatives inf^iclueuses auxquelles nous faisions tout à l'heure allusion.

(a) Ainsi, parmi les douze proposiiions qu'Fuclide désigne du nom de xoival è'vvo'.ai, les trois dernières seules appartiennent spécialement à la géométrie. Les sept premières s'appliquent h toule espèce de grandeur.

Nous nous proposons, dans ce travail, de présenter quelques considérations sur le nombre et la nature des axiomes nécessaires de la Géométrie rationnelle. Nous avons dû examiner, à cette occasion, les idées qui ont servi de base s.ux Éléments de Legendre, et qui dominent encore dans la plupart des traités modernes, auxquels celui de Legendre a servi de type. Pour y reconnaître de nombreuses inexactitudes, il nous a suffi d'en faire la comparaison avec les principes d'JÇtic/tde et les discussions des géomètres qui ont su se pénétrer de l'esprit de Timmortel auteur des anciens Éléments.

L'ouvrage d'Eitclide lui-même, quelque supériorité que l'on doive lui reconnaître sur ses successeurs, ne nous a pas paru à Tabri de toute critique, et nous avons cru pouvoir y signaler de légères imperfections, qu'il serait d'ailleurs aisé de faire disparaître, sans altérer au fond l'admirable enchaînement des vérités que renferme ce chef-d'œuvre de logique.

L'immense succès qu'ont eu les Éléments de Legendre , à leur apparition, n'est pas dû seulement à la renommée scientifique de cet illustre analyste. Il tient aussi aux éminentes qualités de précision et de clarté qui distinguent la rédaction de ce livre, où l'auteur a si bien su reproduire la forme et le style des géomètres de Tantiquité. Malheureiisement, Legendre, entraîné par l'exemple de ses contemporains, n'a pas su conserver dans toute leur pureté les méthodes vraiment géométriques des anciens, et il les a profondément altérées, en y mêlant les procédés arithmétiques de l'Analyse moderne.

Chez Euclide^ la Géométrie forme une science complète, qui se suffit à elle-même, et n'invoque nulle part, dans ses démonstrations, le secours de la science des nombres. C'est plutôt celle-ci qui empruntera à la géométrie ses dénominations, et qui, rendue sensible aux yeux par le moyen des figures, pourra fonder ses premiers principes sur une évidence tout intuitive.

Legendre^ ait contraire, introduit à chaque instant dans ses raisonnements des considérations qui supposent les grandeurs géométriques remplacées par des nombres. C'est ainsi qu'il parle de produits de lignes multipliées par des lignes ou par

des surfaces. Dans les démonstrations où il fait usage des proportions, il applique immédiatement aux proportions entre lignes des théorèmes d'arithmétique établis seulement pour les proportions entre nombres rationnels, et l'extension au cas des incommensurables^ qu'il croit démontrer par un artifice imité des géomètres anciens ^ ne peut être justifiée^ tant que Ton n'a pas défini avec plus de précision l'égalité de deux rapports entre quantités incommensurables. Nous n'insisterons pas davantage sur les défauts de ces méthodes^ qui aujourd'hui sont en partie abandonnées.

Nous nous occuperons plus particulièrement des propositions fondamentales du premier livre^ qui se rattachent immédiatement aux axiomes. Comme nous l'avons déjà fait entendre, si l'on n'avait d'autre but que- de mettre hors de doute chacune des vérités géométriques, on pourrait faire un bien plus large appel à l'expérience, en supprimant la plupart des démonstrations dans cette partie de la géométrie, et prenant pour axiomes le plus grand nombre des propositions énoncées. Nul homme de bon sens aujourd'hui ne se donnerait la peine de réfuter un sophiste niant que, pour aller d'un point à une droite, la perpendiculaire soit plus courte que l'oblique; et ce n'est pas l'évidence qui manquerait à cette proposition pour être rangée parmi les axiomes de la géométrie.

Mais l'auteur d'un traité de géométrie ne doit pas seulement chercher à convaincre l'esprit du lecteur, il doit chercher à l'éclairer; et, s'il ne s'attache pas à établir avec soin l'enchaînement et la subordination des propositions, il arrivera à rassembler des vérités qui resteront isolées et stériles. Faute de connaître le lien qui les unit, le lecteur ne sera nullement préparé à passer des vérités connues à d'autres plus cachées, et il aura perdu Toccasion de se familiariser, sur des exemples simples, avec les' procédés de recherche de la géométrie.

Il importe donc de bien préciser d'abord quelle est la nature des axiomes, et de les réduire au plus petit nombre possible. Pour nous guider dans cette recherche, nous ne perdrons jamais de vue cette maxime, trop souvent méconnue, que les vériié$ simples doivent pouvoir se démontrer simplement, et que ce que l'on gagne en rigueur dans les raisonnements, on

doit pouvoir aussi le gagner en simplicité. Si quelqu'un des premiers principes de la science ne peut se déduire d'une manière courte et facile des principes précédemment posés, on aura lieu de croire qu'il n'en est pas une conséquence, et qu'il est lui-même un axiome indémontrable. Il faut donc se défier des démonstrations longues et compliquées, par lesquelles on a souvent prétendu établir des propositions que Ton ne voulait pas admettre parmi les axiomes. Par un examen approfondi, on finit généralement par constater qu'il en est de ces démonstrations comme des appareils ingénieux au moyen, desquels on espère quelquefois réaliser le mouvement perpétuel. Il s'en faut de bien peu que l'appareil ne marche ; mais il ne marche pas. — D'autres fois, on s'aperçoit que la proposition à démontrer n'avait pas été rattachée à celles dont elle est naturellement la conséquence.

Si nous appliquons ces considérations à l'examen des Traités de géométrie qui ont paru jusqu'à ce jour, nous verrons sans peine qu'ils laissent tous à désirer sous ces divers rapports.

Au point de vue de la rigueur des déductions et du choix des axiomes, aucun traité, jusqu'à présent, n'a surpassé les Eléments d'Euclide, malgré quelques points défectueux, qu'il serait facile de corriger. Si les démonstrations d'Euclide n'ont pas toujours la simplicité qui semble régner dans les ouvrages modernes, cela tient bien moins au fond même de ces démonstrations qu'à la forme dogmatique adoptée par l'auteur, qui se préoccupait avant tout de fermer la bouche à des sophistes que la Grèce avait le tort de prendre au sérieux. De là son habitude de démontrer toujours qu'une chose ne peut pas ne pas être, au lieu d'établir qu'elle est, et de faire voir en même temps pourquoi elle est, et comment on a été conduit à reconnaître son existence. Il suffirait souvent de quelques légères modifications pour transformer les raisonnements indirects d'Euclide en raisonnements directs. On ne peut d'ailleurs lui faire un reproche de n'avoir pas usé dans certains cas des procédés beaucoup plus courts de l'analyse moderne.

On est forcé de convenir aussi que l'ordre des propositions du premier livre d'Euclide n'est pas complètement satis-

faisant. Il semble quelquefois que Fauteur ait rangé ses propositions^ sans avoir égard à leur simplicité ou à leur importance^ et en sMmposant pour seule condition que la démonstration de chaque proposition ne s'appuyât que sur les propositions qui la précèdent (").

Si Ton joint à cela l'absence d'une bonne traduction française^ faite en dehors de toute préoccupation archéologique, et reproduisant les idées de Tauteur dans le langage plus clair et plus précis de la géométrie moderne^ on comprend que la lecture d'Euclide puisse offrir quelque difficulté aux commençants^ et ainsi s'explique^ jusqu'à un certain points l'oubli où il est tombé dans nos écoles.

Et cependant^ pour un géomètre intimement pénétré de Tesprit de rigueur qui règne dans cet admirable ouvrage, et joignant à cela la connaissance des ressources de la science actuelle, rien ne serait plus aisé que de tirer du livre des Éléments un traité aussi correct pour le fond des idées, et débarrassé de ce que la forme offre d'aride et de rebutant. Il lui suffirait de subordonner les propositions à un ordre plus rationnel ; de remplacer autant que possible les démonstrations par Fabsurde par des démonstrations directes, plus simples et plus lumineuses; et enfin d'invoquer, quand il y a lieu, le grand principe des h'mt7e5, que les anciens n'avaient osé formuler dans toute sa généralité.

Sans vouloir entreprendre une tâche aussi longue, je me bornerai ici à soumettre aux auteurs, qui seraient disposés à concourir à cette œuvre si utile, le résultat de mes recherches sur les premières propositions à'Eticlide.

J'ai commencé par donner la traduction des trente-deux propositions du premier livre, qui font l'objet de mon travail. En abandonnant le système littéral suivi parR.Simson et par Peyrard, j'ai pris pour modèle l'édition allemande des Élémenls d'EucUde par Lorenz , où le langage ordinaire est remplacé autant que possible par les signes algébriques, plus concis et plus clairs (*).

(a) Voy. les notes relatives aux propositions 5 et 43 du premier livre d'Euclide, pages 47 et 23.

(6) Voir aussi l'édition d'Eudide publiée par Barrow, Londres, 1683.

J'indique^, dans les notes placées au bas des pages, les endroits où le iexted'Eiiclide m'a semblé défectueux ou incomplet, tout en pensant, avec R. Simson^ qu'une grande partje des défauts signalés peut être attribuée à la maladresse des commentateurs par les mains desquels les Éléments nous Qpt été transmis, et qui ne se sont pas fait faufe de substituer leurs idées à celles de Tauteur, quand ils n'en comprenaient pas la portée.

Je me suis efforcé de délimiter avec plus de précision les axiomes purement géométriques, en les rattachant à leur origine expérimentale. Parmi les vérités qu' Euclide a. rdissen\blées sous le nom de Notions communes, j'ai déjà fait remarquer que les sept premières appartiennent à la science des grandeurs en général. Les deux suivantes (les axiomes 8 et 9) ne sont pas, à proprement parler, des axiomes, mais des définitions. Enfin on n'y trouve pas l'énoncé de certains principes foridameutaux, qui se rattachent à l'origine expérimentale dé la science géométrique.

Les demandes sont au nombre de trois. Nous proposons d'en ajouter une quatrième, dont Euclide fait souvent un usaçé tacite^ quoiqu'il semble avoir voulii d'abord Téviter à l'aidé des propositions 2 et 3. Nous demanderons qu'une figure in- / variable de forme puisse être transportée d'une manière quel- ' conque dans son plan ou dans l'espace ('>).

J'expose ensuite, sous forme de commentaire sur les 32 premières propositions d'Euclidey Tesquisse d'un plan suivant lequel on pourrait reconstruire plus régulièrement cette partie du premier livre. J'ai essayé de montrer comment, en ne perdant jamais de vue l'origine des idées géométriques, et rapportant toujours chaque proposition à sa véritable source^ on introduit dans la théorie plus de clarté et de généralité., tout en restant plus près des applications pratiques, et l'on est tout préparé, par l'analogie des procédés^ à i étude des méthodes de la nouvelle géométrie.

Les premières propositions du premier livre pourront se classer d'après les divisions suivantes :

(a) Voy. Note 1.

1"* Propriétés des angles ayant même sommet.

^0 Propriétés des angles ayant des sommets différents (théo^ rie des parallèles).

3° Propriétés d'un triangle. — Égalités et inégalités dans un triangle.

4<> Comparaison de deux triangles. — Cas d'égalité. — Cas d'inégalité.

Viendraient ensuite les propriétés des quadrilatères et des polygones en général.

Mon but n'étant nullement de rédiger le commencement d'un traité classique^ je me suis attaché à la discussion des principes et à la comparaison des méthodes^ sans chercher à proportionner les développements suivant la régularité didactique.

L'Appendice^ composé de plusieurs notes trop longues pour trouver place dans le texte, est terminé par quelques réflexions sur l'importance de l'enseignement de la géométrie élémentaire, sur les moyens de rendre cet enseignement plus fructueux au double point de vue de la théorie et des applications, et sur les avantages que la géométrie présente sur l'analyse abstraite, comme première préparation à l'étude des parties plus élevées des mathématiques.