PAR
J. B OS se HA.
1. Les conditions d'équilibre d'un liquide soumis à l'action de forces moléculaires, émanant soit des parties du liquide luimême, soit d'autres corps avec lesquels il est en contact, peuvent dans l'a plupart des cas être trouvées d'une manière très simple, en faisant usage de la proposition physique que l'agrandissement de la sui'Iace d'un liquide exige un certain travail, proportionnel à cet agi-andissement. Cette proposition se laisse déduire du résultat final auquel Gauss a été conduit, par une étude analytique longue et difficile, dans ses Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii (p. 65). Mais on peut aussi la faire dériver directement et sans calcul de la nature des forces moléculaires, qui, n'agissant qu'à des distances imperceptibles, ne peuvent fournir qu'au voisinage immédiat de la surface une résultante de valeur appréciable, et toujours dirigée suivant la normale à la surface.
Pour l'application du principe des vitesses virtuelles à l'équilibre des forces moléculaires, la proposition susdite permet d'exprimer le moment virtuel des forces moléculaires par le produit d'une grandeur constante et de l'agrandissement de la surlace, déterminé par un dérangement infiniment petit du système dont on veut
J. BOSSCIIA. SUR L'ÉQUILFBRE d'uNR GOUTTE
connaître les conditions d'équilibre. Dans mon Traité élémenlairP de physique {Leerboek der Natuurkunde) , au chapitre d^s forces moléculaires, j'ai montré avec quelle simplicité on peut résoudre a l'aide de cette proposition, plusieurs problèmes concernant les actions capillaires.
Le cas suivant d'équihbre en fournit un nouvel exemple remarquable.
2. On demande de trouver la condition d'équilibre d'une goutte liquide, qui repose sur une plaque horizontale et est couverte par une seconde plaque horizontale, chargée d'un poids La goutte est supposée assez grande pour que la surface du liquide, restée à découvert entre les deux plaques, puisse être regardée comme d'une étendue insensible, en comparaison de la surface qui est commune au liquide et aux plaques; en d'autres termes, pour que la hauteur de la goutte soit très petite par rapport au rayon de ses bases supérieure et inférieure. Il suit de là, que les surfaces par lesquelles la ' goutte touche les deux plaques peuvent être regardées comme égales entre elles.
Désignons le liquide, la plaque supérieure et la plaque inférieure, dans l'ordre où nous venons de les nommer, par les indices 'l, 2, et 3; conformément à la notation usuelle. K, est alors le travail nécessaire pour agrandir de l'unité carrée la surfac hbre du liquide, A,2 le travail nécessaire pour détacher de la plaque supérieure une colonne liquide ayant l'unité de section, et A.^ le travail nécessaire pour détacher cette colonne de la plaque inférieure. Entre ces grandeurs et les angles constants cp^ et cp^ , sous lesquels la surface du liquide se raccorde à la plaque supérieure et à la plaque inférieure, existent les relations connues: K, co5g>2 =:K, — A,, , K, coscp^—\i^ —A,.,. Soient, en outre, h la hauteur de la goutte, 0 sa base supérieure et inféi-ieure, 5 son poids spécifique et par conséquent shO son poids, enfin Q=qshO la somme du poids de la plaque supérieure et de la charge qu'elle supporte. Si nous imaginons maintenant que la hauteur varie de la quantité dh, le moment virtuel de Q sera: —Qdh ou —qsh Odh, le moment virtuel
ENTRE DEUX PLAQUES HORIZONTALES
du Doids de la .onlie:-\^hOdh. Les. bases supérieure et infé- Ire de la goutte subissent des agrandissements détermines par la relation:
0 dh=^ — hdO.
Si la surlace du liquide était entièrement libre, le moment virtuel des forces moléculaires, tant à la base supérieure qua a b e inférieure, serait, d'après la proposition rappelée au debu , !r dO sur les deux bases-2R.rfO. Mais comme le liquide en s'étendant, vient en contact avec les plaques, le momen virtuel est à la base supérieure: - (K, - A,,)rfO, et a la base inférieure : — (Ki— Ai3)c«0.
En cas d'équilibre, on a alors:
(| + g).s/,,Orf/^-(K,-Â,,)rfO-(K, -A. 3)^^0 = 0, ou , en l emplaçant Odh^&r-hdO,
équation à laquelle on peut substituer celle-ci:
K,cos(p^+y^iCOS(p, — shm- + q) C^)
3 La valeur de h devient imaginaire lorsque les deux angles de raccordement cf. et <p. sont obtus. Elle le devient également lorsqu'on a: 2K,=A.. ouSK.^A,^, c'est-a-dire lorsque le liquide s'étend soit sur la plaque supérieure soit sur la plaque inférieure.
Pour le mercure, entre deux plaques de verre, on a:
2K, cos(p=zsh'' {\^q) (•^)
représentant l'angle de raccordement du mercure avec le verre.
Si la plaque supérieure est supprimée, ce qui fait disparaître A, 2 on obtient:
+ K, co6-<^ = l A^/i'f
A l'aide de ces deux dernières équations, on peut calculer la valeur de la constante moléculaire K, du mercure et l'angle , lorsque h h, ont été mesurés. Elles offrent l'avantage qu'on peut multiplier les observations, en modifiant la charge.
«0 1. DOSSCIiA. SUn L'ÉQUILIDnE D'UNE GOUTTE
4 Comme exemple de celte déterminaiion . je citerai l'expé.ience suivante. U„ pè.ds de «W5 milligrammes de mercure' disU daus le V, e fut versé sur une plaque de verre horizontale, de «e a former une goutte à contour à peu prés circulaire. La hauteur de cette goutte, mesurée au moyen du sphérométre, fut trouvée égale à 3»m,343.
La goutte étant couverte d'une plaque de verre pesant 23« milligrammes, la hauteur de la surface supérieure de la plaque au-dessus du plan horizontal sur lequel reposait la goutte était
tXT r™''™' ''^P"^^™'' P'^î"^ de verre, savon- ^mm /y(j g donc:
et par suite:
2 K, = 13,59 (2,790)2 0,517 = 54,59 lit+K,cosq>= 1 13,59 (3,343)2 =7580
d'où :
En employant des plaques de verre très minces, de sorte que leur poids soit négligeable auprès de celui de la goutte l'aplatissement de la goutte, qui résulte de la superposition de la plaque, est encore très sensible. On trouve en effet pour ^ = 0, avec les constantes que nous venons de déterminer, A = 2nim, 837 La dépression brusque d'environ un demi-millimètre qu'éprouve une large goutte de mercure au moment où elle vient en contact avec une mince lame de verre, libre de suivre le mouvement du mercure, est bien propre à illustrer l'attraction moléculaire de ces deux corps.
Dans sa Nouvelle théorie de V action capillaire {\\ 210), Poisson, traitant le problème par la voie de l'analyse, obtient pour là
ENTRE DEUX PLiQUES HORIZONTALES. «1
hauteur k d'une gouUe entre deu. pbq«es horiz-ontales égales
l' expression :
^^^^ gjv^.
Dans la notation de Poisson, „■ , . est = H , et cette dernière Jndeur correspond au double de la constante molecula.re que Cs avons appelée R.. En outre. » est l'angle de raccordenren que nous avons désigné par <p.v\e volume du hqmde » poids de la plaque supérieure. Ecrite avec les notations employées par nous, l'équation de Poisson devient
h — V Q ^ sq
tandis que nous avons trouvé:
Mais, si l'on examine le calcul de Poisson, on voit que, dans sa formule finale, il n'a pas tenu compte du poids du liquide. Poisson obtient en effet la relation:
. = ngor[ -^k^r- sin <■.]
dans laquelle il néglige ensuite les deux derniers termes du second membre. Le premier de ces deux termes à savoir i^Q-r^ /c, est le demi-poids de la goutte. Le second représente l'influence qu exerce sur la condilion d'équilibre la surface libre du liquide entre les plaques. Il n'entre pas dans notre calcul, parce que nous avons supposé que le quotient de la hauteur par le rayon de la base supérieure avait une valeur insensible. Il serait facile d ailleurs d'en tenir compte dans notre calcul.
Imaginons, en effet, que la plaque supérieure s'élève; la surlare libre du liquide, entre les plaques, deviendra afors plus grande Le point a, où le méridien de cette surface se raccorde à la plaque supérieure sous l'angle cp, s'élève de la quantité dh. Une normale abaissée de a sur le méridien dans sa position nou-
m ,. nosSCHA. SUR L'ÉQUILIBI,,.; 1,'uNE GOUTTE
voile fait avec dU i'angie ^, el ia iong^eu,- cornp.ise enu-e I.
e la no^ale ei le nouveau point de .accorden,enf est éks^!^ Tel es agrandissement qu'éprouve le méridien. La surface entié». grandtt donc ie i„r.nn<p4k. Le moment virtuel des forcesmd culan-es a la surface l.bre du liquide est par suite: -2„«„yK,7/, -^Q- dO, de sorte que, en le comprenant dans notre calcul, nous obtiendrons, au lieu de l'éq. (3):
ou:
En^aisant ici 2 K, = H = qshO = ..,h = k, cp = .
et s^gQ, on obtient l'équation complète de Poisson Dans la notation. adoptée par nous, la relation (3), savoir:
2K, cos<p=zsh^ (J + q)^ devrait être remplacée par celle-ci:
2 K, ^coscp—i^sin (p^ =sh-' {-^ -I- g) ,
qui ne diffère de la précédente que par le très petit second terme du premier membre.
^ 4. Représentons-nous la goutte coupée par un plan horizontal a une distance x de la base supérieure. Soit ù l'analp que le méiidien de la surface libre du liquide fait avec le plan coupant. La partie de la goutte située au-dessus du plan a alors évidemment la même forme qu'aurait une goutte de la même grandeur couverte par la même plaque de dessus, mais qui reposerait sur une plaque horizontale avec laquelle le hquide ferait l'angle de raccordement 6. Entre 0 et x il doit donc exister, d'après (2), la relation:
K, cas cosd=zsx' + q)
Cette équation, qui fait connaiti-e la relation entre l'angle 0, qu'un élément du méridien forme avec un plan horizontal, et la
ENTRE DEUX PLAQUES HORIZONTALES. 4-73
dislance œ de cet élément à la base supérieure de la goutte, est l'équation différentielle de la surface.
Combinée avec l'équation (2), elle donne:
cos^+^osd__ (6)
cosq)^ + coscp^ h"^ 7. Lorsque la plaque supérieure est supprimée, on a Â,2=0 et ç), = 0. L'équation de la surface devient alors:
{\ + cosd) ^ (7)
(ï 4- cos çps)
Sur le parallèle de la plus grande largeur , l'élément du méridien est vertical et, par conséquent, cos 6 = 0. En nommant a la distance de ce paraUèle à la face supérieure, on a:
1 __a^ i -h cos qPg h"^ ' de sorte que, au lieu de (7), on peut aussi écrire:
x = al^ \ + cosd (8)
On trouve cette équation dans un Mémoire de M. Quincke > ) , où elle est déduite de la condition que la courbure moyenne, en un point quelconque, soit proportionnelle à la profondeur de ce point au-dessous de la face supérieure.
La valeur de a se déduit de la formule (4) , savoir ,
K, +K, cos(p = ^sh,\ En y faisant (p = 90, /i, sera la distance à la face supérieure de l'élément vertical du méridien. On a donc:
1 = cr.
Pour le mercure, d'après l'expérience de la page 470, «serait 2n"n,67.
8. Concevons un tube de verre vertical d'une grande largeur plongé dans la goutte. Le tube découpera dans la goutte une portion circulaire, qui formera avec les parois du tube l'angle
') Pogg. ylnu., CXXXIX, p. G.
474 j. BOssciiA. SUR l'équilibre d'une goutte
de raccordement cp. Le mercure intérieur présentera la forme de la partie supérieure d'une large goutte de ce métal, depuis son sommet jusqu'au parallèle où l'élément du méridien forme un angle égal à cp avec la verticale, ou un angle 90 + ^ avec l'horizon. En substituant cette dernière valeur "^à o dans la formule (8), ou à (p dans la formule (4), on obtient pour la distance d de ce parallèle au sommet de la goutte:
d = a v^'ï^^tr^= \J !i. (4 __ sincp).
Cette formule donne la hauteur du ménisque dans des tubes très larges, ou la dépression d'une surface mercurielle en contact avec une paroi de verre.
9. Si le liquide n'éprouve aucune espèce d'attraction de la part des deux plaques, c'est-à-dire, si l'on a à la fois A, j et A, 3 = 0, on trouve:
^i=\sa^ (10)
d'où il suit:
hzzza l^T.
Ce cas est réalisé dans l'expérience de Leidenfrost, où une goutte à l'état sphéroïdal repose sur un coussin de vapeur et où les bases supérieure et inférieure sont toutes les deux horizontales. On obtient une goutte d'air renversée de la même forme, en laissant monter une bulle d'aii" dans un liquide jusqu'à la rencontre d'une plaque horizontale que le liquide humecte parfaitement. C'est à peu près dans ce cas que se trouve la bulle d'air d'un niveau dit à boîte. La surface commune du liquide et de l'air se raccorde alors par un angle = 0 à la plaque horizontale mouillée. Les deux relations simples (9) et (iO) fournissent un moyen de déterminer la constante K , par la mesure de a ou de h. M. Quincke s'est servi de ce moyen, mais en faisant usage seulement de la relation entre a et Kj. Cependant les mesures de la hauteur totale de la bulle d'air oiïrent plus de garanties d'exactitude que les mesures de la distance verticale entre le parallèle
ENTRE DEUX PLAQUES HORIZONTALES
de plus grande largeur et le point le plus bas de la bulle. Effectivement, en prenant la première de ces deux grandeurs pour base du calcul, on trouve un accord plus grand avec la valeur de la constante moléculaire, telle qu'elle a été déduite par M. Quincke de la hauteur d'ascension dans les tubes capillaires; c'est ce que montrent les chiffres suivants calculés d'après les
Hjposulfite de soude . .
Eau
Suffure de carbone . . .
Huile d'olive
Essence de térébenthine
Pétrole . . . '
Alcool
Constante moléculaire déduite:
la hauteur d'ascension. de h.
de a.
