Essai d'une restitution de travaux perdus d'Apollonius sur les quantités irrationnelles, d'aprés des indications tirées d'un manuscrit arabe
DES TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITES IRRATIONNELLES, ET DU COMMENTAIRE GREC DU DIXIEME LIVRE D'EUCLIDE QUI EN CONTIENT LA NOTCIE.
Ce que les mathématiques grecques ont produit de plus élevé est représenté par trois noms, ceux d'Archimède, d'Apollonius et de Diophante.
Mais tandis qu'Archimède brille par l'universalité de son génie, Diophante et Apollonius sont admirés surtout pour avoir amené à un haut degré de perfection des branches spéciales des mathématiques, celui-là l'algèbre indéterminée, celui-ci la géométrie.
C'était, d'ailleurs, relativement à Apollonius, le jugement des anciens eux-mêmes, qui l'appelaient le géomètre par excellence, le Grand Géomètre ^ Aussi les ouvrages de cet illustre mathématicien, soit ceux qui nous ont été conservés, soit ceux dont nous ne
' Voir le Commentaire du premier livre des Coniques par Eutocius, p. 9 de l'édition d'Oxford des Coniques d'Apollonius.
connaissons l'existence que par des citations, montrent, en effet,
que c'est la géométrie qu'il a cultivée de préférence.
Le plus important de ces ouvrages est son grand Traité des Coniques. Les quatre premiers livres seuls de ce traité ont été conservés dans l'original grec. Le cinquième, sixième et septième livre, qui contiennent les découvertes les plus précieuses que nous ait laissées la géométrie grecque , furent traduits en latin d'après des traductions et des extraits arabes. Enfin, le huitième et dernier livre fut restitué par Halley, dans sa magnifique édition des Coniques, publiée à Oxford, en 1710, d'après les indications données par Pappus^
Les ouvrages d'Apollonius intitulés : De la Section de raison ^, De la Section de l'espace. De la Section déterminée. Des Contacts, Des Inclinaisons^, Des Lieux plans, sur lesquels nous trouvons des no-
* Il paraît que le huitième livre avait péri de bonne heure, mais que cependant les mathématiciens arabes, qui allèrent en Grèce rechercher les monuments de la science grecque qui se perdaient dans la décadence du Bas-Empire, en trouvèrent encore quelques propositions qu'ils eurent soin de joindre à leurs traductions des sept premiers livres. C'est ce qui résulte du passage suivant du Qilâh Alfihnst, ms. n° 4i36, ancien fonds arabe de la Bibliothèque impériale, t. II, fol. 1 1 1 v.
JLiCût ^^1 iOuUJt isiUil (j^ oUij t^jJl^ ^\jJl iji ^JJ os>bjÀ.^j^t
«Et les Banoû Moûçâ ont dit que le traité (des Coniques) consistait en huit livre», dont il n'existe que sept et une partie du huitième. Les qualre premiers livres furent traduits sous la direction de Ahmed Éen Moûçâ par Helâl Ben Abî Helâl Al- . himçî , et les trois derniers par Thâbit Ben Korrah Alharrânî ; et ce qui s'y trouve
^ ^ "^ "T* . • . joi"t du huitième livre, ce sont quatre propositions. »
^ */ ,^ r r*'/^ ' Cet ouvrage d'Apollonius fut également traduit en latin par Halley, d'après une
**^ . traduction arabe découverte dans un manuscrit de la bibliothèque Bodléienne par
\ *^' N^ 'tl^^ C Ed. Bernard. (Voir Apollonii PergaRi De Sectione rationis libri duo, etc. opéra et studio
^ Edmundi Halley , Oxonii , 1 706 , in-S" , préface. ) > ■ n v >
Le traité des Inclinaisons est aussi cité par Marinus dans son Introduction aulxs \ r Données d'Euclide. (Voir l'édition d'Oxford des Œuvres d'Euclide, p. 453.) Au même
TV S — \ -^ /-V> endroit, Marinus cite encore un autre ouvrage d'Apollonius, intitulé Traité um-
"■ l \7 verset.
-ÉÊk
tices assez étendues chez Pappus\ traitent tous de sujets purement géométriques^. C'est aussi par la géométrie qu'Apollonius résolut le problème des stations et des rétrogradations des planètes, solution rapportée par Ptolémée^, et qui constitue, comme on sait, une belle question de maxinmm. Les sujets de deux autres ouvrages, l'un siu* le Dodécaèdre et l'Icosaèdre inscrits à une même sphère mentionné par Hypsiclès'^, et l'autre sur la Vis d'Archimède (Uept Tov KoyXiov) cité par Proclus^, ne furent traités sans doute par Apollonius que géométriquement.
Cependant, si Apollonius était avant tout géomètre , il ne l'était pourtant pas exclusivement. Un fragment du second livre des collections mathématiques de Pappus, découvert et publié par Wallis*^, contient des extraits d'un ouvrage d'Apollonius, qui avait pour but de faciliter le calcul de très-grands nombres; et les principes établis dans cet ouvrage paraissent avoir été mis en pratique par Apollonius dans un autre ouvrage , cité par Eutocius '', et dans lequel il détermina le rapport de la circonférence au rayon du cercle avec une plus grande précision que cela n'avait été fait par Archimède. Ce sont donc là des travaux et des découvertes arithmétiques qui ajoutent à la gloire du grand géomètre.
' Voir la préface du VIP livre des Collections mathématiques de Pappus, p. 2^0 et suiv. de l'édition de Bologne, 1660, in-folio ; et p. i à XLiv de l'édition ci-dessus citée de l'ouvrage De sectione rationis faite par Hallcy.
* Ces ouvrages d'Apollonius, les Coniques, et quelques autres traités d'Euclide, d'Aristée et d'Ératosthènes , formaient, d'après Pappus, hc. cit., le Lieu résola ou l'analyse géométrique des anciens. Cependant , il paraît qu'Apollonius avait écrit, en outre, un traité spécial du Lieu résolu, qui est cité par Eutocius. (Voir l'édition d'Oxford des Coniques d'Apollonius, p. 1 1, et comparer Wallis, Opéra, t. II, p, 274.)
' Voir Almaqeste, liv. XII, chap. i.
* Voir la prélace du XIV* livre des Eléments d'Euclide, édition d'Oxford, p. 43i. ^ Voir le II" livre du Commentaire du l" livre des Eléments d'Euclide, p. 29, 1. 20,
de l'édition de Bâle, i533, iu-fol.
*^ Pappi Alexandrini Fragmentum secundi libri malhematicœ collectionis , edidit Joh. Wallis, Oxoniae, 1688, in-8''; et Johannis Wallis Opéra, Oxoniae, 1699, in-folio, vol. III, p, 596-614.
' VoirArchimède, édit. d'Oxford, p. 216. Wallis {Opéra, t. III, p. 699, note e) et après lui Halley (préface de son édition des Coniques, dernière page) paraissent avoir été disposés à considérer ces deux ouvrages comme un seul et même ouvrage.
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Mais ce qui sans doute paraîtra digne d'attention, c'est que dans la traduction arabe d'un commentaire grec sur le dixième livre d'Euclide, commentaire dont le texte grec ne nous est pas parvenu, je viens de trouver la preuve qu'Apollonius s'est occupé aussi des quantités irrationnelles, et qu'il a apporté dans ses recherches sur cette matière la puissance de génie qui caractérise cet esprit éminent.
Euclide avait considéré trois espèces d'irrationnelles, produites respectivement au moyen de la proportion, de l'addition et de la soustraction. Il avait démontré que le premier de ces trois modes de génération donne lieu à une infinité d'irrationnelles; mais, en réalité, il ne s'était occupé que d'une seule irrationnelle produite par ce moyen, et de douze autres, dont six étaient formées par addition, et six par soustraction. On peut caractériser, en général, ce nombre très-restreint d'irrationnelles, qui avait été l'objet des travaux d'Euclide, comme irrationnelles binômes et du second degré.
Apollonius dépassa des limites aussi étroites et ouvrit à la théorie des irrationnelles un nouvel et vaste horizon. Aux douze irrationnelles formées au moyen de l'addition et de la soustraction, il ajouta les innombrables espèces des irrationnelles polynômes, et pour les irrationnelles formées au moyen de la proportion, il s'éleva à la conception des médiates supérieures, qui sont représentées par la racine d'un degré quelconque d'un produit de certaines puissances de deux rationnelles ou irrationnelles quelconques.
Ces nouvelles irrationnelles, dont le nombre était infiniment de fois infini, furent appelées inordonnées, par opposition aux treize irrationnelles d'Euclide, dont le nombre et la génération étaient parfaitement définis, et que, pour cette raison, on désignait par le nom d'irrationnelles ordonnées.
Les mots grecs qui correspondent à ces deux termes sont évidemment ôltolxtos et TBTCcyfxévos. Ce qui m'en donne la certitude , ce sont plusieurs passages de l'Introduction aux Données d'Eu-
-le
S.ii
clide par Marinus\ et principalement celui que je transcris ici. Sa conformité avec les renseignements nouveaux que je tire du manuscrit arabe est une preuve précieuse de leur authenticité.
OvTCt) Se è)(si xolÏ zspos t6 prj'vov xolI cikoyov t6 TeTCLyfxévov Te holI ccTCiKTOv ' xoivcûvoxjvTai yoLp dXXïiXols 'csoXkcL'/ri ^ kolI Stevvvoye Tov eiprjlJ'évov rpéirov. Oùok yàp tolvtol è^icroL^et aXXyjXa, ovS' hepov Tou érépov èc/ll TjgepiXrjT^i^ov, rj yap en. Svo ôvofjiOLTWVy xai OLi oijTos xaTeiXvfJ-^évai akoyot TezaLy\kévon [lév ehiv, ovKéii Se xai pVTCci, Kcci ô Trjs SictpiéTpov TSpos rrjv 'usXevpoLv toO tst pcty^jvov.
« Voici quelle est la relation entre le rationnel et l'irrationnel d'une part, et l'ordonné et l'inordonné de l'autre. Ils ont des points communs sous beaucoup de rapports, tandis qu'ils diffèrent entre eux de la manière qu'on vient de dire. Ils ne sont ni les équivalents les uns des autres, ni compris les uns dans les autres, car la droite de deux noms et les irrationnelles ainsi conçues sont ordonnées, mais non pas rationnelles, de même que le rapport de la diagonale au côté du carré , etc. »
La source à laquelle j'ai puisé la connaissance de ces travaux d'Apollonius, dont jusqu'à présent la trace même avait été perdue, est, comme je viens de le dire, la traduction arabe d'un commentaire grec sur le dixième livre d'Euclide.
Cette traduction, dont l'auteur est Aboù Othmân le Damascène^, se trouve dans le ms. n" 962. 2 (supplément arabe de la Bibliothèque impériale), dont elle occupe vingt feuillets depuis fol. 2 3 v'' jusqu'à fol. 4 2 v°. La copie en a été faite par Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl Alsidjzî, excellent géomètre lui-même, et dont j'ai fait connaître un ouvrage dans les extraits ajoutés à la
' Voir Euclide, édit. d'Oxford, p. 453 à ASg. Comparer Proclus, IIl' livre du Commentaire du I" livre des Eléments d'Euclide, p. 60, 1. 7 en rem. et suiv. de l'édition de Bàle.
* Voir VVenrich , De Aactorum grœcorum versionibus et commentariis syriacis, arabicisj armeniacis, persicis(jue , Lipsiae, 18A2, p. xxviii et p. 34; et Garlz, De Interpretibus et explanatoribus Euclidis arabicis, Halse, i823, p. 17,
fin de la traduction de l'algèbre d'Omar Alkhayyâmî^ Cette copie fut terminée à Chîrâz, au mois de Djoumâdâ premier de l'an 358 de l'hégire (mars-avril 969 de notre ère)^.
^ L'Algèbre d'Omar Alkhay y âmî, publiée, traduite et accompagnée d'extraits de manuscrits inédits; par F.Wœpcke; Paris, i85i, p. 1 17 et suiv.
* Une description de ce manuscrit, qui se trouve dans le catalogue manuscrit du supplément arabe rédigé par M. Reinaud, était de nature à fixer l'attention des personnes qui s'occupent de recherches sur l'histoire des mathématiques. Dans cette note, M. Reinaud fait connaître les litres de six traités, occupant les quarante-deux premiers feuillets du volume. Je crois faire une chose utile en donnant ci -après une énumération détaillée de tous les traités et fragments de traités contenus dans ce manuscrit. Cette énumération peut, je crois, offrir un véritable intérêt pour l'histoire des mathématiques , tant à cause du nombre et de l'importance de ces traités, qu'à cause de l'époque très - ancienne ejt bien constatée où les copies renfermées dans ce volume ont été faites.
Voici, dans l'ordre du manuscrit, la liste exacte des titres de ces pièces :
1° (Verso du premier feuillet non numéroté et fol. 1 r° à 18 v°.)
Traité d'Ibrâhîm Ben Sinân sur la méthode de l'analyse et de la synthèse dans les problèmes géométriques.
Copié par Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl, à Chîrâz, au mois de rabîa second de l'an 358 (février-mars 969 de notre ère).
2° (Fol. 19 r' à ai t\)
Traité sur les centres de cercles qui se touchent, situés sur des lignes (données) , d'après la méthode de l'analyse, parWîdjan Ben Wastam, connu sous le nom d'Aboû Sahl Alkoûhî *.
(Collationné avec le manuscrit autographe J^»©^l .)
* 3" (Fol. 21 v°à 22 vM. 11.)
Traité d'Euclide sur le levier **.
' Une analyse succincte de ce traité a été donnée dans r^ij^fcre rf'Omar ^ifc/fayjâmf, p. 55, 1. 22 et suiv. de la traduction française.
** Ce traité a été publié dans le Journal asiatiqut, ctkiçrde aeptembrfr-octobre 1 85 1 , p. a ao et suiv.
^ p+lî,p-\>3
DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. f I
>il est ici de la plus giande importance de connaître le nom et l'époque de la vie de l'auteur de ce commentaire grec. Pour cette
4" (Fol. 33 \\ 1. 13 â»3 rM. G.)
Traité d'Arcliimède sur la pesanteur et la légèreté*.
5* (Fol. 23v'à3ir\) "^"'^
Premier liv,re du traité de B.los sur les quantités rationnelles et sourdes dont il est fait mention dans le dixième livre de l'ouvrage d'Euclide sur les Eléments, traduit par Aboù Olhmân, le Damascène.
i l i^^i 45UI /d-wtltj iOlajii! -UàftiJI ^ jjjb c->ly^> (j^ J^iij AiUil
6" (Fol. 3i v"à Aav'.)
Second livre du Gimmen taire du dixième livre des Éléments d'Euclide.
(Date de la copie : Chîrâz, au mois de djoumâdà premier de l'an 358, — "' mars-avril 969.) *'^ '■'-'
7» ^Fol. A3 r" à 47 V.)
Sur la signification du dixième livre (d'Euclide).
8° (Fol. 48 r-à 5ov».)
Traité sur la manière de mener deux lignes issues d'un point et renfermant un angle donné, d'après la méthode de l'analyse, par Wîdjan Ben Waslam, connu sous le nom d'Aboû Salil Alkoûhî".
,.K-A-A â^Jt ^'^jla^ iL^ySx^ ^-J^j (J"^ ^lâAJ (j^ (^jv^âl ^K*^^ <->U^b
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
9* (Fol. 5i r°à 52 r'.) gb
Sur l'objet et le contenu des Éléments d'Euclide. "^
10° (Fol. 52 v-à 53 v', 1. 10.)
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl sur la solution d'un
Ce sont tes énoncés des propositions du I" livre et de la 1" proposition du II* livre du traité d'Archimède , De lis quœ in humido vehuntur. (Voir Archimède , ddit. d'Oxford , p. 333 et suiv. ) ,
** Une analyse succinte de ce traité a été donnée dans l'Algèbre d'Omar Alkhayyâmi, p. 55, i. 7 en rem. et suiv. de la traduction française. '*{^
raison, j'ai rassemblé plusieurs passages relatifs à cet auteur, extraits de divers manuscrits arabes, et au moyen desquels je crois
problème, tiré de l'ouvrage de Yoûhanna Ben Yoûçouf , et relatif à la division d'une ligne droite en deux parties égales, et révélation de l'erreur de Yoûhanna à ce sujet,
11° (Fol. 53 V, 1. iià55v\)
Traité d'Euclidesur la division (des figures planes)'.
12" (Fol. 56 r'.)
Fragment relatif à un sujet astronomique.
i3°. (Fol. 56 v'àôgrM. 17.)
.oJij Traité deThâbît (Ben Korrah) sur la retardation du mouvement dans la jj : sphère des signes et sur son accélération suivant les points de l'excentrique où se trouve le (corps en) mouvement.
ySjX\ ^j^ iiUiil (:^. l^ yy3 CS^I
i4° (Fol. ^grM. i8à6orM. 8.)
Fragment relatif à la théorie du mouvement de la lune. (Date de la copie : Chîrâz, le dernier jeudi du mois de rabia second de l'an 359 de l'hégire, 10 mars 970.)
15" (Fol. 6Qv"à 75 v".)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah, le Sabéen, sur la composition des rapports.
Ce traité est divisé en trois chapitres , qui occupent respectivement une page et demie, treize pages et demie, et seize pages,
(Date de la copie : Chîrâz , à la fin du mois de djoumâdâ second de l'an Sôg , mai 970.)
16" (Fol. 76 r"à78 r".)
Lettre sur le calcul des racines sourdes , adressée par Mohammed Ben Abd Alazîz Alhâchimî (^y^cil^l j-^î «X-** ^^ «X:^ ) à l'émir Aboùl Fadhl ' Djafar Ben Almoqtafî ( JJcXXl ç^ jJlxs»- J^miâ}] y3\).
* Une traduction de ce traité a été publiée dans le Journal osioti^ue , cahier de septembre-octobre 1 85 1 , p. 233 et suiv.
pouvoir résoudre ces deux questions d'une manière assez satisfaisante, quelque difTicile qu'il soit de restituer avec exactitude
17' (FoLySv-àSovM. 5.).
Lettre d'Alfadhl Ben Hâtim Alnaîrîzî sur l'azimut de ia Kiblah.
18" (Fol.SovM. Getsuiv.)
Additions à quelques propositions du dixième livre (d'Euclide) , existant en langue grecque, et traduites par Nazhîf Ben Yaman , le médecin*.
jj iibj^l (J-* ju^j-Jl i «X^^ Itf <,.».Ala.m QdÇ fjj v-àaLîj A}sJij U I«Xjû
19» (Fol, 81 r" à 86 r».)
Fragment, manquant de commencement, relatif à la formation des triangles rectangles en nombres rationnels ou entiers.
2o' (Fol. 86 v' à 92 V'.)
Lettre du chaïkh Aboû Djafar Mohammed Ben Alhoçaïn à Aboû Mohammed Abdallah Ben Ali, le calculateur, sur la formation des triangles rectangles ayant des côtés rationnels , et sur l'utilité qu'offre leur connaissance.
i ïLxjUDj ^iL-«iJ| kJx±ùX\ lljj^l iùiUJ! c^UaÂil >Uô) i ^*»é\Â
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
21' (Fol. 93 v\)
Fragment relatif à un sujet astronomique.
aa' (Fol. 93 v" à 96 t\ 1. 8.)
Recelte d'une médecine universelle avec manière de s'en servir. — Au milieu de ce morceau, on trouve intercalées (fol. 9/4 v") les observations de quelques conjonctions qui ont été citées et traduites par M. Caussin, dans son Mémoire sur les tables d'ibn Yoûnis {Notices et extraits des manuscrits de la Bibliothèque du Roi, t VII, p. 238).
aS" (Fol. 95 rM. 9 et suiv.)
Sur la manière de prendre les heures égales sur le dos de l'astrolabe.
* Ce sont deux démonstrations, l'une de la i" et l'autre de la 6* proposition du dixième livre d'Eudide. La première est la première des deux démonstrations de la \" proposition qui se trouvent dans l'édition d'Oxford. La seconde n'est pas essentiellement différente de la i " des deux démonstrations de la 6* proposition qu'on trouve dans la même édition. (Comparer ci-après au n" 3i , et un passage dji Tdrtkh Alhoqamâ rapporté par Casiri , 1. 1 , p. 3/io , col. a, 1. i i et suiv. et p. 34i ,1. aa et suiv.)
des noms grecs, autrement inconnus, d'après la transcription si
imparfaite des manuscrits arabes, et au milieu des leçons souvent
iW (Fol. 95 v" à 122 r'.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur la mesure des corps paraboliques.
A-Ajlsm c:>L<U(kasî RoAm^ «j ijA yj <i:i«oUl (aJUU) ^^
(Date de la copie : Chîrâz, samedi 22 de rabîa premier de l'afi 358, i3 février 969.)
25° (Fol. 122 v°à i3Av°, 1. i3.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur la mesure de la parabole.
,a.6° (Fol. i34 v», 1. a à i36 v», 1. A.)
Traité d'ibrâhîm Ben Sinân sur la mesure de la parabole.
(Date de la copie: Chîrâz, au mois d'ardabehicht de l'an 338 d'Yezdedjird, avril-mai 969 de notre ère.)
2f (Fol. i36 v", 1. 5 à 137 T\) ,
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl à Aboû AU Nazhîf Ben Yaman, le médecin, sur la construction d'un triangle acutangle au moyen de deux lignes droites inégales.
(Date de la copie : le jeudi, dî-bâder du mois d'abân de l'an 339 d'Yezdedjird, 27 octobre 970.)
28° (Fol. 137 v" à 139 r°.)
Lettre d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Àldjalil au chaïkh Aboùl Hoçaïn Mohammed Ben Abd Aldjalil sur les sections produites dans les paraboloïdes et hyperboloïdes de révolution.
(Date de la copie : le lundi, râm-rôz du mois de bahmen de l'an 34o d' Yezdedj ird, 12 février 972.)
29" (Fol. 139 v°à i4ov°.)
Mémoire d'Alalâ Ben Sahl sur les propriétés des trois sections (coniques).
J.4-*M 0j ^:i\j»ll ^!j.isJVwwt iCÂXxil t^Jlîî (jo'^jJ*- é
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
fautives et contradictoires produites par la négligence des copistes.
30" (Fol. i4i r'à i5ov*.)
Traité sur la construction de l'astrolabe appelé Almobthakh, d'après Aboû Djafar Ahmed Ben Abdallah.
- 3r (Fol. i5i v" à i56vM. ii.)
Traité d'Ahmed Ben Mohammed Ben Abd Aldjalîl sur les solutions de divers problèmes que lui avaient proposés plusieurs géomètres de Chîrâz.
32» (Fol. i56 vM. 12, à i6o t\ 1. 4.)
Traité de Thâbit Ben Korrah sur (le théorème) que deux droites menées de manière à renfermer (avec une troisième) moins de deux angles droits se rencontrent.
[(Collationné avec le manuscrit autographe. Date de la copie : le mercredi, 37 du mois de rabîa second de l'an SBg, 9 mars 970.)
33° (Fol. 160 r", 1. 5 et suiv.)
Une construction de la trisectiop de l'angle.
34° (Fol. 161 r».) f.
Fragment relatif à la théorie des quantités irrationnelles, reproduisant, A quelques légères modifications près, les propositions 7 et 8, et une partie du corollaire de la proposition 9 du X* livre d'Euciide, telles qu'elles se trouvent dans l'édition d'Oxford. Ce fragment paraît être la suite du n" 18.
35» (Fol. 161 v°.)
Problèmes intéressants et beaux sur les nombres.
36° (Fol. 16a r'à i64r°, 1. 12.)
Le traité d'Hypsiclès sur les ascensions , traduit par Ishàk Ben Honaïn et revu par Thâbit Ben Konah.
i*' Ms. n° 9Ô2. 2, suppl. arabe, fol. 28 v°.
Titre du premier livre de ce commentaire :
37» (Fol. i64rM. i3à 170 vM. 11.)
Lettre d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah sur la figure de la section [alkatha).
38° (Fol. 170 v°, 1. 12 à 180 v°, 1. 7.)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah sur la manière de trouver des nombres amiables d'après une méthode facile**.
'ây^M*^ AjlâKJLî :>t<X£^| ^j.^^\ «j éj^i 0j 0<^b (jM*^ ^\ 1^1 ^lliU
(Date de la copie : Chîrâz, à la fin du mois de khordâd de l'an 338 d'Yezdedjird, juin 969.)
39"" (Fol. 180 vM 8 à 181V', 1. 3.)
Fragment d'un commentaire d'Almâhâni sur le dixième livre d'Euclide.
4o» (Fol. 181 v°, l.kkib.)
Démonstration d'une proposition de géométrie.
Al" (Fol. 181 v°, 1. 16 à 187 v\ 1. 12.)
Exposé du calcul des apotomes et çl,es droites de deux noms. (Date de la copie : Chîrâz, à la fin du mois de chabân de l'an 358 de l'hégire, juillet 969.)
Aa" (Fol. 187 rM. i3 à 188 t\)
Discussion de la proposition que toute quantité continue est divisible à l'infini.
43° (Fol. 188 v"ài9ir°.)
Traité d'Aboûl Haçan Thâbit Ben Korrah adressé à Ibn Wahab sur la
* Ce titre se trouve répété de la même manière dans la table placée à la fin du volume ; mais il serait plus correct d'écrire ijSjSi , sans article.
** Une analyse de ce traité a été publiée dans le Journal asiatique, cahier d'octobre -novembre 1862 , p. ^30 et suiv.
manière de parvenir à trouver la construclion des problèmes géométriques.
(Collationné avec le manuscrit autographe.)
M' (Fol. 191 v°.)
Fragment du Commentaire d'Eutocius sur la 2* proposition du second livre de la sphère et du cylindre d'Archimède, traduit par Thâbit Ben Korrah *.
45° (Fol. 192 v» à 195 r'.)
Trisection de l'angle rectiligne , par Thâbit Ben Korrah Alharrânî.
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