phobi^mes

points P, P', P", P”', ainsi déterminés, pn pourra mener autant de droites, qui satisferont également à la condition analytique énoncée par l’équation

Or, pour ces quatre droites, 9oit que l’on supposé X positif ou négatif, la fonction {x — a) 4 représentera toujours le carré de la distance CP, laquelle devient CP' pour la seconde solution, et CP", CP" pour les

deu* autres j de même, le terme -— représen¬

tera toujours le carré de CQ ou de C<Y, ou de CQ", ou de CQ"', comme il Cst facile de le vérifier immédiatement par la similitude des triangles CFQ' et APM; CP"Q" et AP"M -, GP'Q* et AP"M ; en ayant soin d’assigner aux-lignes AP', AP", des signes négatifs, pour indiquer leur situation opposée aux AP, AP', que nous avons considérées comme positives. D’apres cela , l’équation précédente exprimera toujours que, pour ces quatre droites sans distinction, le carré de la partie interceptée dans l’àùglè droit, est égal au carré de c; et comme cllés'passént d’ailleurs toutes par le point donné M, il s’ensuit qu elles offriront autant de solutions effectives du problème géométrique proposé.

Il y aura toutefois cette différence entre elles, que l’inscription des deux droites PQ, P'Q', dans les angles extérieurs au point M, sera toujours possible, quelle que soit la longueur donnée c, aulieu que l’inscription des deux autres droites P"Q", F"Q", situées dans l’angle YCX', où le point M se trouve, ne pourra pas toujours se réaliser. En effet, pour les deux premières, le diamètre MZ'du cercle qui les donne, étant exprimé par a -f- v/a a + p*, sa moitié, qui est le rayon de ce cercle, surpassera toujours a ou MÀ. Ainsi, l a

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINES. 4g

circonférence de ce cercle sera toujours réellement coupée par la droite XX', quelle que puisse être la ongueur^ de la ligne PQ ou C qu’il s’agit d’inscrire. Mais il n’en est pas ainsi des deux solutions AP", AP" données par l’autre cercle. Car le diamètre de celui-ci étant exprimé par - a + t/V + c*, peut, à cause de 1 opposition de signe des parties qui le composent être ou netre pas plus grand que aa. S’il surpasse L le iajon surpassera a, et le cercle sera réellement coupé par la ligne XX', en deux points P"P", différons l’un j C autre > qui donneront des valeurs réelles et distinctes

v ent’STuf " Pa - AP " Ct AP " Si ce dia -ètre detnt égal a aa, ce qui arrivera quand on aura c a — Sa*

po^ ;^ tt t r :r ulc,ùent ,a *■*»**! * Lit

tetSr* t M la<,ucl,e ,es Swïwî;

J j ’ ™ndront se confondre; enfin si la i;™’ cCtTd- eUCOrC tnoim,rc < i ue cette limite,

«u"‘"e , ci er,eUre î 16 “™le construit

«leurs corresZr ra , P !,“ , lis . n<! XX '> <* ,es deux de sorte <fue la licueC np 6 * dev,CI “ lront imaginaires- Fannie Ycx' „Tï P °“ rra pluS êlrc inscrite dans continue toujours 1 ^ ^ M “ t,0 “ TO qnadrans “ P ° UTO,r l ’ ètre ‘‘ans les deux autres

de c !Z:ZZ\ 8^ m dMquement P our< l u °i 1 « «leur ’ nnee par la condition

, = Sa%

OuFG Ici llïïïît** !>•

il n’y a qu’à U ““T*? 10 ® possible dans l’angle YCX', gonale d’un carrT^ lT’ ello ; est évidemment la diasur la figure dv lî” 6 CÔté est 2a ” ^ renons donc longueur cherché! ^ BL — a '> LL ' sera la

se trouve ainsi 2 * * dr ° ite LL '’ telle <l n ’ elle

y* P Cee ’ P» 58 ® évidemment par le point M ;

4 o.nc, à U condition 4 ’ inscription demau déej.et.pav conséquent, cll<r tfffre cette dernière solution, dans laqneHe les lignas P"Q;j ■ P'"Q'", Unissent par ae confondre. Aussi est-elle unique de son -espèce, puisqu’elle est peppendiculaire au rayon GM, mené du point donné M au sommet de l’angle YÇX j et c’qst en vertu de cette condition qu'une/dj-oite plu? petite qu’elle, ne peut pas être inscrite djuis oel angle, çn passant par le même point.

11 iiou? reste à expliquer pourquoi cette question , qui sq trouve ainsi comporter quatre solutions difle rentes et qui en cflèt conduit à une équatiop du quatrième.degré, se trouve pourtant résoluble jw; des formules du second. Celte particularité tient a ce qu< la disposition du point M étant symétrique par rapport aux quadrans YCX, Y'CX', s’il existe une solution possible dans le premier de ces quadrans, il en existe néçessai rendent, pour le second, une absolument pareille ; dé sorte que ces deux solutions se trouvent liées l’une à l’autre par cette relation ; et de même, dans le quadrans YCX', où le point M se trouve, s’il y a tine solution possible, pour laquelle la droite insçrite forme un certain angle avec l’axe CY, il en existera nécessairement une seconde, pour laquelle la droite fera un angle exactement pareil avec l'axe CX'*, en vertu de la position symétrique du point M relativement à ces deux axes. Cette relation de symétrie propre à ces deux solutions, les a pareillement réunies dans le calcul en un seul groupe ; et, comme la condition relative a cltyque groupe était différente ,, l’équation générale , qui exprimait à la fois l’une et laqtye, sgst. laissée décomposer en deux facteurs dp secqiul degré, ayant le coefficient de leur second terme rationnel, lesquels nops ont donpç chaque groqpe séparénaqqt;, P^F solution d une seule équation du Sjppqflfj tlegre.

de géométrie DÉTERMINÉS. 5l

18. On peut donc inférer de cette considération, que sr Ion choisissait pour inconnue quelque quantité qui e*t, pour les deux solutions de chaque groupe, une valeur unique, la détermination de cette inconnue ne conduirait qu’à une équation du second degré, dont la résolution ferait connaître les deux valeurs inégales qu e le doit avoir dans les deux groupes. Cela arrive en eiiet ainsi, et nous allons en donner des exemples. Or cette remarque est très importante à faire dans tous es problèmes. Car les inconnues qui ont le plus petit nombre de valeurs, sont généralement les plus avantageuses a choisir, comme étant celles qui conduisent

oZTTr 165 mOÎnS é,evérS ' Vr qu’elle offrent réellement cette utilité, il faut encore qu’ellS

P”* appartenir aussi à quelque autre

Eel 0i P s r “y* h,C<mnUC - <|ue A»

par eiemnle 1 P C °” n,e cela nous <“ st arrivé, reciatr I que T ,s aTOns 'oulu construire un

*«S JT T, ' lirerenCC de ses ««* •»

nous „ri. • qt’e fùt celui des dfettx côtés que

"Z J, n " WnnnU ° - * "««■ 4a-

.orsnncVT P ^ “ “ ême «ination"et pareillement, ligne coupée aTOns chercW le premier serment d’une trouvé ,L ]"■ m0J , C “™ et extrême raison, nous avons étions conduits 10,1 a gébrique à laquelle nous tiotl toute d ffétTv " UMi la Sôlotion d’-ne quessongcà y ro^ “ te ’ ‘* UC P’avions nullement

solation 3 de ]T„ : C ' ° r ’ < ‘ u ™ d 11 «* «* ainsa, la ré brique est ct ^} 10n P ar laf I uelIe la condition algé- Pincon P nme c, doit donner nécessairement pour infcônmie autant de valéurs qu’il y . de manières d’y

satisfaire; et conséquemment, le degré de cette équation doit s<: trouver plus élevé qu’il ne le serait, si, Ion avait pu énoncer isolément les conditions part.cul.ierement propres à la seule inconnue que I on voulait découvrir. Eu appliquant ces remarques a la question géométrique que nous considérions tout à l’heure, on conçoit que, si une pareille complication s’introduisait dans la recherche de quelque inconnue que Ion aurait choisie uniquement à cause de sa relation commune avec un même couple de droites inscrites, ce serait vainement que l’on fonderait sur ce choix l’espérance d une solution plus simple; car l’intervention des inconnues étrangères qui se trouveraient comprises dans le meme énoncé algébrique, élèverait de nouveau l'équation ünale que la symétrie de l’inconnue aurait dû abaisser.

19 Je vais maintenant donner des exemples de ces divers aqcweus analytiques ; et, pour commencer par un cas où raidissement désiré s’opère, je supposerai que l’on prenne pour inconnue le rayon du cerclf inscrit aux deux triangles P"CQ W , P"CQ" compris dans le q«adrans YCX', fig. 28. Ce rayon leur sera évidemment commun, puisqu’ils sont égaux. Même, à cause de symétrie de leur situation relativement aux deux droites CY CX', il n’y aura qu’un seul cercle inscrit pour ces deux triangles; et il aura sou centre sur la droite CM, qui divise l’augle commun YCX' en deux parties égalés. Ce rayon semble donc réunir tous les avantages qui peuvent simplifier la détermination des inconnues.

Désignons-le par r; et, du centre O menant des perpendiculaires OD, OE, OF, sur les trois cotes du triangle, il est clair qu’en vertu des conditions de tangence, PT sera égal à P”D, et Q'T à Q'E; en outre, a cause de l’angle droit ECU , les longueurs CD et ^ seront l’une et l’autre égales à r. Ainsi, P'Q' devant etre égal ïi la longueur donnée C, le pénmélrc du triangle

PK GEOMETRIE DÉTERMINES. 53

spra c-f-c-f-ar, ou 2 e-j-ar, et cette quantité multipliée par le rayon r. donnera le double de la surface du triangle, laquelle sera exprimée par acr-J-sr». Mais on peut aisément l’exprimer encore d’une autre manière; car, en vertu de la similitude des triangles, M Q » P CQ', le côté MB ou a du carré inscrit est «gai au produit des côtés CP", CQ", divisé par leur somme, laquelle est, comme on vient de le voir, égale 6 H-2 1. Ce produit, qui exprime aussi le double de la surface du triangle, sera donc égal k n(r-f 2r) ; ainsi, Ion devra avoir

•M t -4- ur u ^ ne -f- 2 ar ,

é.juatio,, q„i «est que du manA f

selevé'n.Z PCUt “ den ’ ander pourquoi celle équation àe'rautr V U "T* d ^i «» 3 semble qu’elle «uWs^T, prem,er > po-que le rayon cherché Ja

nous avons établî'nM'" •** de “* tr ‘*“* 1,s sur les< l“ eIs qu’une seule ,t • ra,sou n eil »ens. Mais ou va voir notre ravon • t * , raClues > ( 1 UI est Positive, représente étant r» ^ andls /l ue ,a seconde, qui est négative, <yiy l’ 1 * G JVCC Uü S '^ lî ° C0ntra ire, représente le rayon le urr,| Un aUtrC cer<de> le centre serait en O' sur «rreW 8ement , d ° la d ™te CM , et qui toucherait situés le * CÙtés tles triangles CPQ, CP'Q ,

i, „ , n . . C( ^ S M ua drans où se trouve le point M.

Çn effet, cès deux racines sont

A fin de les si

Simplifier, nous ] cs nudtiplierons

par a ;

ce qui donnera les diamètres des cercles que nous venons de désigner. Nous aurons ainsi

La première de ces expressions est toujours positive, puisque a 9 -f-c a surpasse toujours (c—<-a) a ; la seconde, au contraire, est toujours négative. Pour les construire, prenons, fig. 29, CC' égale à la longueur donnée c, et menons C'B; ce sera la partie radicale. Maintenant, du point C' comme centre avec C'A ou c — a pour rayon, décrivons une circonférence de cercle qui coupera la droite indéfinie BC' en deux points 1,1'; alors BI représentera la valeur positive de 2r, et — BI' représentera la valeur négative. En décrivant deux arcs de cercle du point B comme centre avec ces deux longueurs, on reportera la première en BL, la seconde en BL'; et, en divisant celles-ci en deux parties égales, leurs moitiés NB, N'B, seront les deux valeurs cherchées de r. Si des points N, N', on mène ISO, N'O', parallèles à CY, et terminées à CM , les points O, O', seront les centres des cercles cherchés. Cette interprétation est évidente, quant à la valeur positive de r, qui exprime T inconnue même kir laquelle notre équation est établie', mais il faut en prouver la réalité pour la valeur négative que nous n'avions pas alors considérée. Or, cela est très facile, en cherchant de même directement l’équation qui déterminerait le rayon D'O', fig. 28. Pour l’obtenir, nommons ce rayon /. Comme il doit toucher les trois lignes CY', CX, MPF', fig. 28, PF sera égal à PD', et QE' à QF'. On aura, en outre , CP = / -f- PD', CQ = QË'-/, QF'=c + PF'; conséquemment;

CP — CQ- if— QE' -f PD' = a/ — QF' 4- PF'

HE GKOMÉrRIF. nÉTEHMIflÉs. 55

^i, cest la différence des côtés qui së trouve exprimée en fonction du rayon, au lieu de leur sonitne, qtie nous avions précédemment obtenue. Cela suffit pour exprimer de même la surface du triangle CPQ touché par eeercle; car elle est égale à la somme des triangles K)C, QO'P, moins le triangle CO'P. Ainsi, le double «le cette surface aura pour valeur

r'(PQ -f-CQ — CP), ou ucr — 2 r*.

Mais on peut encore en avoir une autre expression en cherchant le rectangle des côtés CQ , CP , car les triantes semblables MAP, QCP, donnent

a : cp 4- a co : cp ;

d’où l’on tire

CPXCQ = a(CP-CQ) = W« c

égalant donc cette expression à la précédente, clra > pour déterminer r',

vien-

- ar a — uar' —oc.

Cetle équation est précisément pareille à celle ,ne

sinne T™ C " r ’ avec ,a s ™ lc «KlKrcncc de

elle ‘ 1 S 'r° n terme > et elle aurait coïncidé avec ,„>v ’ le " de re P résen ter le rayon CW par + r' «o“e lSéd r . e P réæn, fl'“‘-’'.comme néUs avionJ i*a ci ne de IVoulV^' A ' nS ' ’ ° n Tolt 'l ue ?* «econde contraire ^ u ® tlon en r étant prise avec un signe qui touche epr , eSente réellement le rayon du cercle comme Î e * ter,eurera é nt les triangles QpQ, CPQ'. rayons il* j aVl0ns anno »cé. D’après ceïa, ayant ces points O O' | l0StC pll,S décrire «iutoSr des

Porrpr 1 CS circo ^érenccs des. cercles qui leur

à cc . n r .’ Ct ^ e . S ^ n gentes menées du point M nron eiendes, «jerortt les dro'iièx demandées,

VKOBX-ÈMSS

lesquelles seront évidemment sujettes aux mêmes limitations que notre premier mode de solution nous avait fait découvrir.

On arriverait encore à une équation qui ne serait que du second degré, si l’on prenait pour inconnue le sinus de l’angle CMP, ou CMP', iig. 27, formé par les droites symétriques MP, MP', avec la droite CM, et il est facile d’en voir la raison, en appliquant à cet angle les considérations générales exposées plus haut. Alors, en le représentant par u, et désignant CM par b, on trouverait

sin a u - sm u = -.

L’une des racines de cette équation se rapporte aux droites PQ, P'Q' ; l’autre aux droites P''Q", P*Q*, comme on peut aisément s’en convaincre. Mais au lieu de nous arrêter à ce calcul, il sera préférable de donner l’exemple d’un cas dans lequel l’abaissement que le choix symétrique de l’inconnue aurait dû produire, est empêché par l’intervention des racines étrangères à celle que l’on a voulu trouver.

Cest ce qui arriverait, par exemple, si l’on choisissait pour inconnue la longueur totale MPQ ou MP'Q', fig. 27, comptée à partir du point Mj longueur qui n’a cependant qu’une seule valeur pour les deux solutions MPQ, MP'Q' ; et qui n’en a non plus qu’une, mais différente de la précédente, pour les deux solutions MP"Q'', MP'Q'"; de sorte qu’elle semble devoir dépendre d’une équation du second degré. Toutefois, si l’on cherche cette longueur, et qu’on la nomme 2, les triangles semblables MAP, QCP, donneront les deux proportions

mp : ma :: pq : cq, mq : ca :: fQ : cp,

qui, en représentant toujours MA ou CA par a, et la longueur donnée PQ par c, deviennent :

s : a :: c : CQ; d’où cq=—, z c : « : : c : cp ; d’où cp = - gc

Après quoi, formant la somme des carrés de CP et t • , ^ t TV J^ a * ant au carré c a , pour exprimer que le

et üfeste^ ^ rectau 8 lo > tout devient divisible par c%

de 868 dénominateu -’

condition analvt^ tte biza " erie a PP a ™nte, c’est que la vient encore et w *7 *' UL ? m > co "'

segment MO 1 1 au . ssi ^ ien > a la détermination du segment Tour te ^ ^ ™ ri ^ P—* <* comme on serait nlw^t’ Ct qU ,° n Pex P r,noâ t P ar — z, trouverait pour sa déterrait 6 ^ * G £a ‘ re ’ ° n

équation en z eue no tl0U Posément la même

est même facileT™— d ’° btenir P our MR Cela tion ne clian », " " um «hateinent, car cette éqna -

qui Ærr and °" Ï change + * en Z -C; ce Pour inconnue aT*- * prentlre M Q au de MC

P^s qu’une seule v ,7"*' ° MQ n ’ a ? ant nou

tions, il ne dé !'? ur P our chaque couple de soludegré,sil acon P i 1lt . q i ue d’une équation du second isolément. Mais ^ ^i. 6 ^ terraine pouvait s’énoncer tive à la ligne total! C ° mp i( l Uant a vec la condition rela-

composée qui résulté TeceU^ Valeur , s ’ l ’ éf I uation

virement au qi,atrifc mp C d e p U ^ COmb,na,son « éleve néces-

Néanmoins, la même raison de symétrie qui, dans notre première solution, nous a permis de séparer les couples de racines relatifs à un même groupe, aura encore ici un effet semblable; car si, apres avoir fait disparaître les dénominateurs de l’équation en a, on développe son premier membre, elle poiirra être mise sous cette forme

a 6 [az (a — c) -b* c 3 ] = *>“(* —

Alors on voit que le produit a(a— c), est réellement la seule fonction inconnue qui s’v trouve comprise; de sorte que si l’on fait

a (a — c) ~ az ,

z étant une nouvelle inconnue, celle-ci se trouvera déterminée par l’équation

a ' 3 — uaz' — & ;

d’où l’on tire pour z ces deux valeurs

z = a -b Va* + c 3 , z—a — V a* + c “>

lesquelles sont précisément les mêmes que nous avons construites par les lignes MZ', MZ", dans la fig. 27» Maintenant, si nous employons la première, qui est positive, elle donnera à l’équation en a deux racines, l’une positive, représentant MP, et l’autre négative, représentant — MQ. Or, la condition généralement exprimée par cette équation, donne la proportion' suivante :

Donc, si on l’applique à la racine positive MP ou 2 v auquel cas MQ représente at-r, on voit qu’en joignant les points P et Z', lès deux triangles MZ'P. MBQdoivent être semblables ; d’où il suit que le prenti**’

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 5g

sera rectangle en P, puisque le second l’est en B. Le point P appartiendra donc à la circonférence du cercle décrit sur MZ' comme diamètre; et, puisque, par la nature du problème, il appartient aussi à la droite in-

. eïr “ SC * r ° UVer à leur commu oe intersection. A la vente, cette condition seule ne le dé-

a7i!érT ait ^ C °- Uplètement ’ P uist l ue Ia droite AX a 8 alement deux points d’intersection P, F avec la

d T ,e sur Mz "—* «Æ

en z " 5 65 F leSl ' Uf Ues *»» ayons fondé Véquatiou la droite CB** "?'"T q “ aux seuIes sécant «s qui coupent elles AP d o e ," tre les *** C <* »; *. sorte que, pou,

aa^n Lat^r APétt C t’ “ ^ *" «2»^

aussitdt construire la

premières remarques doit IV i ? » d a P res »os avec la droite CM- mais j*!* meme augle réalisée, en menantMF « “ trouvera tout ^

de AX avec la ciren r U SGCOnd P omt d’intersection

-tien syZl)Z °£TT e ‘> ^ ^ de Ia dis P-

doit se trouver éeal 1,gure ’ la seconde sécante MF négative M Q > »u à la racine

traire. Cette relation est fa^il^ ^ Un S ‘ 8Ue con " on formant immédi i a véri ^ er P ar l’analyse,

c ette seconde sécante" 1 d’ ^ ^ U * tion t l ui détermine gles MO'B CP'O' ’ d aprCS la C01u P arais °n des triané< lnation se .troUZT' MF P a ^,cette

a * (*+*)’* ^ ‘ ’’ c est-a-dire, p r( i r - ■

en changeant ~f-^eM '^ * m ^ me ( l ue précédente,

•Ive dc“Cûn,mè auxiliV *“^1 que la valeur P° si construite par M 7 ' tut • Ue ' a ‘ eur que nous avons aintenapt,si nous employons de

même la valeur négative MZ", en la désignant par— z ". pour introduire explicitement son signe, l’équation en z deviendra

z(z — c) =— ai".

En la résolvant, on pourra "Voir que lés deux racines . lorsqu’elles seront réelles, seront toutes deux positives, et moindres que c. Or, étant mise en proportion , cette équation donne

Alors, si on l’applique à une sécante telle que MF*, celle-ci étant supposée représenter z , l’autre segment MQ® représentera c — z ; la proportion montre donc que si l’on joint les points Z" et P", le triangle Z"F"M devra être semblable au triangle MBQ*, et conséquemment , que l’angle en F* doit être droit. Cette condition place le point F* à l’intersection commune de la droite indétinie AX' avec la circonférence décrite sur MZ" comme diamètre ; et l’intersèction de ces deux lignes donne aussi le point P" relatif à l’aiitre sécante, située dans l’angle X'CY, parce qu’eri vertu de la symétrie de la ligure, la longueur MP" de cette sécante se trouve égale à MQ", ou au second segment de la précédente, qui est lui-même la seconde racine de l’équation en z.

20. Les nouvelles inconnues que nous avons choisies dans ces dernières façons de traiter le problème, nous conduisent donc, par une route toute différente, aux mêmes résultats que la première nous avait donnés. Cet accord doit avoir lieu, en effet, quelle que soit l’espèce d’inconnue que l’on choisisse; mais il peut exister une très grande inégalité dans la manière pin* ou moins simple dont elles le donnent. Eii général, le* remarques que nous avons faites sur lès causes qui corrt"

de CÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. fi!

pliquent les équations dont les inconnues dépendent, lonrcnt qu’il .faut soigneusement éviter de choisir

<onduit U i°T Ue> - eS q "“ ntitéS d ° n * la détermination prenant L “ e ‘ |U ‘“ 1 " m «l" 6 l’on obtiendrait en

d’elles- ,, mco,lnu “ *1 autres quantités différentes eues ce qu, arme quand les unes et les antres ont nrllî °r; se ” W » b)es avec les diverses données du

Utret'r n h :; r * ,er *-*- « t

commun tel ü “ nC <)U ' *“ 5011 “■> élément

constructions ou m e conn aissant, un puisse, par des ner ensuite séna -a " ’ ^opérations simples, détermi-

algébrique de ces inconnue"' S' ,U, "| la reohero, * e "*"* unique dont il s’agit- e t 1 P “ pOU1 ' pourra espérer de l’obteni \ . conse quenee, on

^’ôlles. Mais c’est P 1 ** P US slnT P^ eme «t qu’aucune

«“idée par les eol id-^ r“ *“&>• 1 -.

diquer UQ pareU precedentes, peut lui in-

,,e saurait donner de rèdeet l’on

ai. J • 8 f P ° Ur le P res crire.

exemple, qui, en*même tp S refle *î° ns par un dernier sentir leur justesse ai i^ 8 qU 1 acb kvera de faire ment P Algèbre en ? *"* . avanta § e de montrer cornons r ü Semblant (,ans les mêmes équa-

a Pparence très indé § ° / ! netri< 3 ues très disertes et en couvre ainsi entre ,P en< ? antes les unes des autres, démon isolé de I des rapports généraux que l’exagéométrique , dque . ( l ue * t,on par [a seule synthèse Un point M iaraais P u ^ire .apercevoir, un angle connu Âpr n *** , d ° nné arbl ' traire ment dans quelconque MOP * ” niene P ar ce point une droite

itérée comme lA'déf^™™ * la brancbe AC > consi-

analytiquement les L*- PUIS * ° n deman(le Exprimer

mens Mp jy|Q re,at, °ns qui existent entre les seg- V> fe la ligne sécante, et les parties

6a ïroblèmes

CP, CQ, coupées sur les branches de l’angle, pour toutes

les positions possibles du point donné M.

On voit que cet énoncé a beaucoup de rapport avec celui du problème que nous venons de résoudre ; mais il est beaucoup plus général, en ce qtffil n’asfcigne pas à la ligne sécante d’autre condition que d’être menée par le point M, et terminée à la branche XX' ; aussi ne suffit-il point pour la déterminer entièrement. Mais, cela seul, qu’elle soit menée ainsi et ainsi limitée, établit déjà certaines relations entre les segmehs formés, soit sur les branches de l’angle, soit sur la sécante même ; de sorte que ces relations, quand on les a généralement exprimées par l’analyse, deviennent des élémens de solutions communs à toutes les questions particulières dans lesquelles on achève de déterminer la sécante, en l’assujettissant à quelque nouvelle condition.

Or, cétte nouvelle condition elle-même, quellé qu’elle puisse être, étant exprimée en analyse, se réduira toujours à établir quelque relation de plus, qui devra exister en même temps que les précédente». Ainsi, en la combinant avec elles, on obtiendra la résolution du problème particulier qu’elle achève ,dé défini?,,sans qu’il soit nullement, besoin de recommencer pour ce cas les raisonnemens généraux.

Établisspns maintenant les donnqes sur, lesquelles ceux-ci. reposent. Il faut d’abord fixer la position du point M. dans l’angle ÀCB. On peut le faire de beaucoup de manières différentes. Une des plus simples, et que noirs adopterons, consiste, à mener par en point deux droites parallèles aux deux branches de l’angle, et à prendre pour données les langueurs MA, MB,i ou CA, CB, des côtés du parallélogramme ainsi formé. Il est viable, en effet, que ces deux lignes sont parfaite-' ment disposées pour former avec les côtés de l’angle et la, droite inscrite des triangles semblables, qui donneront

DE GÉoMÉThiK DÉTERMINÉS. 63

dout °r ut

MO T r nommKror * autsi AP - xj CQ, M p

-I^problè “e qUa * re ‘ )UanUt& SerODt les ‘"déterminé

WMfe m“u'’ 0CP°"l C ‘? miWrc les deux triangles sem- ’ QCP ’ 115 donneront ces Jeux proportions

MA: ^"CQicp, MP; ap mq : ac,

ou q.'

d’où l’ on tire (*) au

Il ixza?az. ( 2 )

*X 5 &rsiTrr--«-

,e théorème de Géométr P ' ' ^ eSt facil( ^5 a »8«e quelconque d’un t ^ le COsinus d’un

^•On a «r1?lU Un 30816 Gn des trois

cos i == C Q — PQ a

2 XÎ\CQ i

SZZSgz Sr Mass

™ ch «> dp point |yj e f'£ tt ‘? Une s f ca,Ue quelconque, •«nglç Qcp et terminée a I» branche AC.de

^ü'^e^'emuyit quatre indéterminées iodé-

g4 PROBLÈMES

pendantes x , x, z et z'. Si l’on se donne entre ces quantités une équation de plus, qui sera l’expression de quelque condition nouvelle , à laquelle la sécante MP devra satisfaire, on aura autant d’équations que d’inconnues ; et par conséquent, chacune de celles-ci pourra être déterminée entièrement par l’élimination.

23 . Supposons, par exemple, que la nouvelle condi' tion fût relative aux seuls segmens formés sur les branches de l’angle*, alors l’équation qui l’exprimera, ne contiendra que x et x\ sans z ni z . On pourra donc la combiner immédiatement avec l’équation (i)> et chacune des inconnues x , x', se trouvera complètement déterminée. Si l’on peut résoudre les équations qui les donnent, on connaîtra leurs valeurs, qui, substituées dans (2) et ( 3 ) , donneront z et z .

Par exemple, si la somme des deux segmens CP, CQ, doit être égale à une ligne donnée b , l’expression analytique de cette condition sera

et, en l’employant pour chasser x de l’équation (1) » il viendra

équation toute en x'. Celle-ci, disposée sous la forme de produits, devient, en changeant les signes,

Alors on voit que \/a'b est l’ordonnée d’un cercle dont a 4- a 4- b est le diamètre , et dans lequel^ x < a + a ' + b — x, sont les segmens coupés par Voir donnée. On peut donc aisément construire x' d’après cette indication, et tel est l’objet de la fig. 3 i, dans la quelle BD représente la ligne donnée b. D’abord, et» décrivant un cercle sur CD comme diamètre, et me-

nant du point B l’ordonnée BH, ce sera /Jï: alors Par le point H, menez k CB une parallèle, sur laquelle vous projetterez les points C et D par des perpendicnl„resi puis, a,outez D'A' égal à CA, C'A' sera le diamètre du cercle elierelié. Il ne restera plus nu’à le

CIT^serom 1CS POinU ?’ V 9 “P™ U hanche ’ SC ™ nt ceux P ar lesquels il faudra mener les sévan es Q, MQ', qui satisferont aux conditions analytiques exprimées par l’équation en £. Ou voit qu’elles

dom rn n01 t e dG dGUXJ mais Ia Première, qui Proldèm Q ' l CP ’. t0US lleux Positifs, répond seule au c5 Z tfr ,r, ^ PrOP ° S '- U ^conde, qui donne

~ n. 11 . - r ,,ï, duJK J ,Lït

4 plémem’deBa ,er *“* P ™ da “ S Pa "S>e ACB,

CQ - C Î' .«* **>» * «lie b , n aurait pour condition analytique

Ce qul COnduir ait à l’équation

avee^euTtule d'n' 1 d0 " C '* <1 ' 1C tout à

cercle serait C'D iy'I"’ qU , e ’ C ,liamiitro d “ «rond sorte que, p„„ r ,.T, D A ’.? u dc CD + D'A'. de en sens contraire f UmT ‘ d faudrait P° rt «- D'A' ou <z,

*4. On trouverons* F h 3l ’

tion qui se résout P ? Sle T auteurs une autre ques-

dentes; elle consiste^ * faC,1,lé < I ue les P récé ~

r Édu. 1 a mener a sécaiite MP ( fi g- 3 °),

66 PBOBLiMFJ

sous une inclinaison telle, qne la surface du triangle CQP soit égale à un carré donné h*.

Pour exprimer cette condition analytiquement, il faut considérer que si, du sommet Q du triangle CQP, on mène une perpendiculaire à la base CP, cette perpendiculaire , qui sera la hauteur du triangle, aura pour longueur OQisVPjfe, Ou ,r' sin i. La surface du triangle sera donc exprimée par }(x — a) x sin i ; et si l’on veut qu’elle soit égale à A 4 , il faudra quon ait

> , ah*

ï (x — à)x' sin i = h *, ou (a: — d)x — £—•

Employant cette relation pour chasser x de l’équation (i), il vient

‘ a sin i asinz

On pourrait construire immédiatement cette équation par une sécante de cercle ; mais on obtiendra des résultats plus simples en la résolvant. Elle donne ainsi pour x ' ces deux valeurs :

asini”*”V a 4 sin 4 i **’ nsini

nsini V a“sin 4 i ' csint

La partie commune aux deux racines peut aisément sc construire. En effet, si, par le point C (fig. 3a), on mène une droite indéfinie A'CD, perpendiculaire à CB ou AM, la distance CA étant a, et l’angle A'AC-étant i, CA' sera a sin i. Alors, à.partir du point C,prenez surCY' la lom gueur CH égale a h , coté du carré donné, et menez HD ..perpendiculaire À -A/Hj CD sera évidemment égal a

——r-r j et puisque cette