CODTMDÉBÉS SUR UN VLA S

Soit y jfz ax -f b l’équation de la première, y — a x -\-U celle de la seconde.

t point d’intersection devant se trouver à la fois , ur foisîr ,' teS ’ *“ coor<l<>n, ’ ée3 doivent satisfaire à la

deux équation 11 ^ qU “ ti0 " 5 ‘ t" 0 ' S ‘ '’ 0U ““Wère ce, comK- q a mc 1,eu en même temps, leur yunbinaison donnera les valeurs de x et y, qui cm-

;= ^p..ntddntiWa g it.O„,rou^si^r

y- &~ y ) v ab'-a'b

Quand a=a', ces valeur, deviennent infinies, c'est-àdire qu alors il n’y a plus de point d’intersection oÛ en d autres termes, qu’il est infiniment éloigné- mais ans,,, dans ce cas, les droite» sont parallèles.

temps aux équations de l’une et de îs', ' aemC

««binant ces deux équation», les valeurs'ueZ’ol-

Points d’intersectiom° Ur * Ser ° nt *•

Il faut donner beaucoup d’attention au princier amd t° US ,nd,, T S . ici ’ et 1 ui eonsiste à combiner le résultat”™' P usleurs équations, pour eu déduire

v*Z!%™ m Zù à ,eur t T mUe -

> considérée sous ce point de vue

n lTe aTc 6 tÜU , l ' C Secret de l'application de’ &enre a la Geometrie, et j’aurai soin d’en fairo

« présenteront-

r EdT ^ Un P ° mt d ° nné UDe P er pendic U -

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Lire k 4 ». droite donn«, et «*** 1» 'engueule

U portion Je cette pcrpèndScolidré comprise entre le point et la droite.

$oit y z=zar.-\-b l’équation de là droite donnée y x' ,y', lps coordonnées'du point donné.

La JpéWBiioWrt étant une ligne droite, et vant jLer par en point, son fquat.on sera Je cette

forn ”‘ : r y ; =i'(r-x).

Tja condition d’être perpendiculaire donnera

oa'-t-i—o, <l’üù

rt l’on aura par conséquent

C’est l’équation de la perpendiculaire menée par le point donné à la droite donnée.

Pour le point d’intersection de ces deux droites, leurs équations devront avoir lieu en même ternes, ainsi, en représentant les coordonnées de ce point par x", y", on aura, pour les déterminer, ÿ—ax’+b,

Pour faire l’élimination arec plus de facilité, on SL/T première de ces deux équat.ons sous la

forme y . y==a{j . W) + (, +ex'-/;

et, en la combinant avec la suivante, on en tirera

( y'— flr'— b)(t „ j (y °d.- !Ù - y

x m —x-’ yy ~r i + «-

CONSIDÉRÉS SUR UN PLAN. gr^

b > ■* > y r ) étant des quantités connues, les. coordonnées x'Y du point d'intersection se trouvent ainsi déterminées.

53. Cherchons maintenant la longueur cte la portion de perpendiculaire comprise entre le point et la droite donnée; l’expression de cette longueur est

i/Xv^'±y + {yï:yÿ.

En la représentant par P, et mettant pour x "— x € ty"—y leurs râleurs, il vient

pour la longueur de la perpendiculaire cherchée.

A l’aide de ce qui précède , on peut résoudre toutes les questions qui ne dépendent que de la ligne droite, et qui sont relatives à des points situés dans un même plan. Nous allons maintenant ctendre ces résultats au cas général où l’on ne fait abstraction d’aucune des dimensions de l’espace.

Des Points et de la Ligne droite considérés en trois dimensions ou dans l’espace.

54. Nous avons dit qujun point de Pespace est déterminé de position lorsque l’on connaît les longueurs et les directions de trois droites menées de point parallèlement à trois plans, et terminées k Ces P lans - p °ur plus de simplicité, nous supposerons ceux-ci rectangulaires; alors, si on tes représente par YAX,XAZ et ZAY, et qu’on sache (Ju’un point M est placé k une distance MM' du premier, MM* du second, et MM* du troisième, fig. 18 , il suit de la propriété qu’ont les deux plans parallèles d’être ega-

lOO HE* POINTS ET DE LA LIGNE DROITE

lement éloignés l’un de l’autre dans tous leurs points , que , si l’on mène aux distances données trois plans M"MM", M*MM', M"WM', respectivement parallèles aux précédens, le point M se trouvera à leur rencontre mutuelle.

Les plans rectangulaires YAX, XAZ, Z A Y, auxquels on rapporte les points de l’espace, se nomment les plans coordonnés ; ils se coupent deux à deux, suivant trois droites, ÀX , AY, AZ, passant toutes trois par le point A, et perpendiculaires entre elles.

D’après les propriétés des plans parallèles, la distance MM' du point M au plan YÂX, distance que nous avons figurée dans l’espace, peut se mesurer sur la ligne AZ, et elle est égale à AR.

De même, la distance MM" peut se mesurer sur la ligne AY, et elle est égale à AQ.

Enfin, la distance MM* peut se mesurer sur la ligne AX, et elle est égale à AP; on voit qu’il en serait de même pour tout autre point de l’espace.

Les droites AZ, AY, AX, sur lesquelles nous compterons désormais les distances respectives des points de l’espace aux plans YAX, XAZ, ZAY, se nomment les axes des coordonnées , dont le point A est l’origine. Nous représenterons en général par x les distances qui se comptent sur la dernière, qui sera l’axe des x; nous désignerons par y celles qui se comptent sur la ligne AY, qui sera l’axe des y , et nous désignerons par z celles qui se comptent sur l’axe AZ, qui sera l’axe des z.

Si donc, ayant mesuré les trois distances AP, AQ, AR, on les trouve égales à a , b, c, on aura pour déterminer la position du point M, les trois équations

CONSIDÉRÉS DANS LRSPACE. JOt

* comme elles suffisent pour cet objet, nous les non.merons Jes équations du point M.

j.es positions des points M', M', SI», que l’on nnpelle !es projection! du point M sur ] es , ro ; s coordonnés, se trouvent déterminées par ces équalions ; car on en tire A

pour les coordonnées du point M', projection du point M sur le plan YAX;

M ü .u!“e CO X 0 "^S; da POint pr ° iec,i0u d “ pui "‘

fT. cccc^oooccs du point M*, projection du point M sur le plan ZAY.

On voit, par la composition des équations nrécéj ™ ra ’ <jue deux de ces projections étant données a troisième s ensuit nécessairement. Dans la construc-’ tion géométrique, on les déduit facilement les unes des autres; car M' et M', par exemple, étant don-

QM’’ et PM'" 3 Q - Ct M " P ’ par “" aes à AZ ’ P*

AX AV M- 1 re, , pccl,vcment P ara Hôles aux lignes ’ , M sera la troisième projection du point M.

55. Il résulté de ce qui précède, que tous les points e espace étant rapportés à trois plans perpendicu- “ires entre eux, les points de chacun de ces plans se trouvent naturellement rapportés à deux droites perpendiculaires entre elles, qui sont les intersections de ce plan avec les deux autres

Ainsi, désignant chaque plan par le, coordonnées 2 lu ' s™ 1 P r <'pc«. le plan YAX sera celui des x el c« y, la plan XAZ celui des x et », et la plan ZAY