DES POINTS ET DE I.A MONT

On voit, par cette discussion, que lu formule sînst

y X sin (/3 —a)

est applicable à toutes les droites qui passent par l’origine des coordonnées.

43 . Considérons tnaintenant uhc droite A'M' (fig. 16) , qui fesse, ainsi que la précédente, l’angle * avec l’axe des abscisses, mais qui ne passe plus par l’origine des coordonnées : et, comme elle ne serait pas déterminée par son inclinaison seule, supposons, de plus, qu’elle coupe l’axe des y dans un point A', tel que AA' soit une quantité donnée b : si on lui mène, par l'origine des coordonnées, une parallèle AN, dont l’équation sera

sin a

la valeur de l’ordonnée PM se composera, pour un point quelconque, de la partie MN, qui est égale à ÀA ou à Z», et de l’ordonnée PN, dont la valeur arsina.

est : -lui réunissant ces deux quantités, on

sin (j8 — a) 1

aura l’expression de l’ordonnée PM ou y de la droite proposée, qui sera

x si n et sin(/2 — a)

C’est l’équation la plus générale d’une ligne droite, quand on ne considère que deux dimensions ; et elle renferme deux indéterminées a et b, parce qu’il faut deux conditions pour particulariser la droite.

Il est facile de reconnaître, par la forme même de cette équation , que tous les points auxquels elle appar-

CONSIDÉRÉS Sim UN PLAN. g ,

t'ent sont situés sur une ligne droite, car on en tire

y — b sin a

x sin GÉÛ^a)*

Si l’on regarde le point M comme un quelconque G . CeuX , S 1 " safc ‘ s font à cette équation, et que, par le AV?* ’ P ° Ur let I uel AA ' = b > on mène une parallèle A a 1 axe des x , QM seraj— b, A'Q sera égal à x; et, puisque par la nature de l’équation le rapport de y — b à x est constant, on aura MQ M'Q'

A'Q = A'Q" » etC ‘ »

et ainsi de suite pour tous les points M, M', qui vérifieront l’Équation proposée ; d’où il suit que les triangles A'MQ, A'M'Q', etc., sont semblables, et par conséquent, tous ces points sont en ligne droite.

On peut retrouver de même toutes les autres circonstances relatives à cette ligne; car, d’abord , le rap-

port constant^ étant égal k ^.^— y si ce rap-

port est donné, comme /S est aussi donné, on en tirera a râleur de *, ou M A'Q ; de plus, quand *=o, 1 équation donne jy=A,et par conséquent A'A = 4. Un a donc un point de la droite, et l’angle qu’elle fait avec axe des x : on pourra donc la construire d’apres ces données.

Si l’on veut connaître le point où elle ooupe l’axe des* il faudra supposer j nulle; ce qui a lieu pour tous les points situés sur cet axe. Celte supposition

sin « *

Ct l’on voit, par le signe de cette valeur, que, si « est moindre que (3, b étant positif, la droite coupera l’aie

ga DES POINTS ET DE LA LIGNE

des x du côté des abscisses négatives ; ce qu’il était d’ailleurs facile de prévoir.

En supposant x négatif et pins grand que la valeur précédente , on aura les ordonnées de la droite au-delà du point B ; et ces valeurs seront négatives, parce qu’elle passe alors au-desous de l’axe des abscisses.

Ainsi, non-seulement l’équation xsinot

•>'= s ‘iïr(?w) +i

appartient à tous les points d’une ligne droite, qui fait, avec l’axe des x , un angle a ., et qui rencontre l’axe des y à une distance b de l’origine ; mais cette équation sulfit pour caractériser la ligne droite dont il s’agit > et trouver sa position par rapport aux axes des coordonnées.

44. jCette propriété des formules analytiques, de pou, voir s’appliquer aux lignes dans toute leur étendue, résulte, comme nous l’avons dit plus haut, de la liaison qui existe entre les cliaugemens de signe des variables x et y, et les changemens de position des lignes qu’elles représentent, par rapport à l’origine.

45. Les variables x et y ne se trouvent qu’au premier degré dans cette équation, et n’y sont pas multipliées entre^ elles. D’après cette considération, on nomme linéaire toute équation de cette forme, quelque nombre de variables qu’elle renferme.

46. Jusqu’ici, nous avons supposé que l’angle £, formé par les axes des coordonnées, était quelconque : le plus souvent on prend cet angle droit (lig. 17 ), et on lui donne cette valeur, parce qu’elle contribue à simplifier les] calculs : on a alors

sin (/3 — et) = sin (go° — a) = cos a , et l’équation delà droite devient

y =,x tanga, -j-b,

CONSIDÉRÉS SUR UN PLAN. q3

«>mmc il est facile <le le vérifier à posteriori, en obscr- »nt que, par la nature .le la ligne droite, la relation y — b

— = tang.

est toujours satisfaite, quel que soit celui de ses points 1 on considère.

En représentant, pour plus de simplicité, tang a par ** ne seule lettre a, nous aurons ainsi

y=ax-t- b,

Pour l’équation de la ligne droite , lorsque les coordonnes sont rectangulaires. Sous cette forme, a représenera la tangente trigonométrique de l’angle que fait la r °ite avec l’axe des x , et b représentera la distance de origine au point où elle coupe l’axe des y ; ou, ce qui r evient au même, ce sera la valeur de l’ordonnée correspondante à x=o.

47. Tant que a et b sont indéterminés, la situation Je la ligne n’est pas connue, et l’on sait seulement que s points sont en ligne droite ; mais si ces valeurs sont Oonnees ou s, l’on a des conditions qui les déterminent, «n en déduit la position de la droite, puisque l’on connaît un de ses points sur l’axe des y, et l’angle qu’elle forme avec l’axe des x. 0 4

La recherche des coefficiens a et b, d’après des conions onuees, produit les questions suivantes , dont importe c e retenir les solutions, parce qu’elles servent tous Ies cas où l’on applique le calcul à

t8. Trouver 1 équation d’une ligne droite qui passe Par deux points donnés.

| f°' ent x ’ y > x "y les coordonnées de ces points •

^ ifformr^ ^ droite > son é ^ation sera

y = ax-\-b,

* et ^ ctaut encore inconnus.

gi DES rOINTS ET DE LA LIGNE

Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées sont x , y', il faut que son équation soit satisfaite quand on y met x pour x, et y pour y ; ce qui extge qu’on ait

y =ax ( + b.

Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées sont x*,/,il faudra de môme que y" = ax" -f- b.

Ces deux équations feront connaître a et b. En substituant leurs valeurs dans l’équation de la droite, elle sera déterminée.

L’élimination peut se faire très simplement, en retranchant la seconde équation de la première, et la troisième de la seconde; car on a par ce moyen,

d’où l’on tire

La première de ces équations est celle de la droite cherchée, et la seconde détermine l’angle qu’elle fait avec l’axe des x. Il est aisé de vérifier à posteriori, que les conditions demandées se trouvent ainsi satisfaites, car j t = donne y~ÿ et x=zx” donne

Si y'— y <, = °> on a a=o, et il vient y

c’est-à-dire qu’alors la droite devient parallèle à l’axe des x ; et cela doit être en effet, puisqu’elle passe par les extrémités de deux ordo nées égales.

CONSIDERES SUR UN KL AN. g 5

Si.r'x'=o, ona± = 0 , et il vient x = x " ;

Se'j^T ,)U ’ al0rS , la , d, : 0i,e feit “"«le droit avec’ i IW V 6 -, ' n ‘ Pai ' cu '«d.|ue,.t parallèle

a l ave des y, ce qu’.l était facile de prévoir.

faire T,S,bte . ,Ue mélMe dont venons de taire usage peut encore être employée pour faire passer

-ne ligne droite par deuv points donnés, dans le Loù a coordonnées ne seraient pas rectangulaires.

*t). Trouver les conditions nécessaires pour qu’une droite soit parallèle à une autre. 1

Soit

y == ax -f. b

Quation de la droite donnée; a et b seront connus, '-elle de la droite cherchée sera de la forme

y = ax -f. b' f a et b' étant inconuus.

fal°.:,V IÜC “ S<l,0i : CS S0i<;nl P arallèU *, il faut qu’elles fassent le meme angle avec l’ave des x ; ce qui donne

et l’équation de la parallèle devient

y-ax + b'-,

preste encore indéterminé, parce qu’il y a une infini, é i es qui sont parallèles à la ligne donnée.

«ns si I on veut que cette parallèle passe par un P mt donne, et dont les coordonnées soient a', y' i\ faudra qu’on ait

y' = ax' -f. b'.

av'r„^f°r fa , il . COnnaître b ’< en la combinant «vec la precedente, il vient

des points Et de la LIGNE

pour l’équation de la parallèle menée par le point donné à la droite donnée.

5o. Touver l’angle de deux droites dont les équations sont données.

Soit y =■ ax -f- b l’équation de la première droite, y = ax -h b’ celle de la seconde.

La première droite fait avec l’axe des x un angle et, dont la tangente trigonométrique est fl. La seconde droite fait avec le même axe un angle , dont la tangente est a'. L’angle cherché est donc et' — et : or, on a, par les formules trigonométriques ,

x tanga' —tanga tang («-«)= ,+tangi'tang»’

En nommant donc V l’angle des deux droites , on aura

tang V =

a —ci 1 -\-aa‘

Si elles sont parallèles, l’angle V est nul, et tang V =o, ce qui donne a = a, comme nous avons déjà vu.

Si elles sont perpendiculaires l’une à l’autre, l’angle V est droit, et sa cotangente est nulle : l’expression de 1 1 4- aa

cette cotangente, est, en général, —^ 'ou \

pour qu’elle soit nulle, il faut qu on ait

cia' -f -1 — o.

Cest la condition nécessaire pour que deux droites soient perpendiculaires l’une a 1 autrej et si lune des quantités, a , a , est connue, l’autre sera déterminée par cette équation.

5 i. Trouver les points d’intersection de deux droites dont on connaît les équations.