DES POINTS ET DE LA LIGNE DROITE

L’expression de D» simplifiée par ces relations deviendra donc

+ r "‘— ar'r'Ccos X cos X' + cos Y cos T +cos Z cosZ') alors* en la substitoant dans la valeur de cos V, qui est

cosV= a p r -

la division par r'r" devient possible, et il reste

cos V = cos X cos X' + cos Y cos Y' + cosZ cosZ' ; c’est l’expression d» cosinus de l’angle formé par les

deux droites. . , i. f

On pourrait encore parvenu- a ce résultat sans casser par les théorèmes démontrés dans le n . 7 , Lavement aux cosinus des trois angles ; et cette seconde manière , plus directe que la précédente, est en memc temps trop élégante pour ne pas la donner ici, elle est fondée sur cette considération, que la valeur de cos V est indépendante de 1» position des points que nous choisirons sur les deux droites pour former notre triangle-, il suffit que ces points soient sur les droites données. Ainsi, l’équation

- r / a + t-"*— g ! ou D a — r ' a —r ff4 -t- 2 rV"cosV=o,

cosV - arV '

doit être de nature à ce qu’on puisse y satisfaire, quelles que soient les valeurs que Ion donne a / et à r", pourvu que D’ soit exprimée en fonction de ces quantités. La condition de cette indépendance deter mine tout de suite cos V -, car si l’on reprend 1 expression générale de D* en fonction de r' et r", et qu on la substitue dans l’équation de condition precedente , celle-ci devient

r ' â fcn S *Y , considérés pans ^espace. u5

- =rVfl"v Y t-”f Z "V 1 + T "' { C0S ‘ X '+ C0S ’ Y '+ cos ’ Z '- ■ } {cOsXcosX +cos YcosY'+cosZcosZ' }+ nrVcosV=o '

Puisqu’elle doit être satisfaite, quelles que soient r' et r", faut que les termes affeetés des différentes puissances ces quantités se détruisent séparément et indépen-

r;::V es uns <,e ?/ utr r- & ^ Æ.

pour les termes en r a et r a

cos a X -|- cos* Y + cos* Z= i, cos* X'-fcos* Y'-f. cos* Z== i, et ensuite en comparant les termes affectés de r'r", cos Y = cos XcosX' -f cos Ycos Y' + cosZcosZ'.

Cette valeur de eos V est la même que nous avions trouée tout a 1 heure. Quant aux deux autres relations entre les trois angles formés par chaque droite avec es trois axes rectangulaires, ce sont celles que nous avmns trouvées dans le n° 5 7 . Mais ou voit comment la condition d indépendance dont nous avons fait usure y conduit directement. b 1