J04 DES POINTS ET DE I.A, LIGNE DROITE
C’est l’expression de la distance de deux points queL conques de l’espace.
On peut remarquer, dans cette expression, que x' — x, y' — y j 2 /—z, sont les projections de là droite D sur les trois axes des x,ÿ , d ? où résulte ce théorème : Le carré d’une portion quelconque de ligne droite est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois axes rectangulaires.
Si le point m coïncide avec l’origine A des coordonnées , la formule précédente devient
C’est la distance d’un point quelconque de l’espace à l’origine des coordonnées, lig. 20 : en effet, les triangles AMM', AM'P, étant rectangles, l’tfti en M', l’autre en P, donnent
AM*= MM'+ ÂM'= MÏl' -f îvFP*—ÂP= ic*,
comme nous venons de le trouver.
On voit par ce résultat que le carré de la diagonale d’un parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés de ses trois arêtes.
Ce théorème, présenté d’une autre manière, donne une relation entre les cosinus des angles qu’une droite quelconque AM forme avec trois axes rectangulaires entre eux. En effet, désignons ces trois angles par X, Y, Z, selon la dénomination de l’axe auquel ils appartiennent, et nommons r la distance AM. Cela posé, dans le triangle AMM' rectangle en M', il est visible que l’angle AMM' est justement celui que nous avons désigne par Z; de plus, MM' est égal à a, et AM est égal à r; on a donc, dans ce triangle,
z — r cos Z.
CONSIDÉRÉS DÀitS i/ESPACÉ.'
W ra raiSOnnant lle ™ émfe p °" r Ics <l “" 1 &»*«, on V = rcosY,
" '» : , i. xs=zr cos X,
^ el ?f t i ëV ! ,lent P i! r Ia seuIe considération de la sy-
carrV C f de - la f i gllre - tes trois équations étant élevées ai* carré et ajoutées ensemble, donnent
+y'+ 2 ’=^ cos a X -f cos a Y + cos* Z } ; or, on a par notre théorème,
* â -hy a -4-2* = r*;
Par conséquent, il faut qu’on ait aussi
cos a X -f- cos a Y -f. cos a Z = i ;
v* T lorSC l uW li 8»e droite forme trois an- LJ' Z ;.avec trois axes rectangulaires, la me des carres des cosinus de ces trois angles est
toujours égale à l’unité: b
def nob a tf l" ant l? Ue “ 0US T°" S CIprlmer Ia P ositi ““
de points dans -espace, cherchons la relation oui oit exister entre les coordonnées d’une suite de poinU, Pour q U ils soient situés en ligne droite.
our cela, il suffit de remarquer que, si plusieurs Points sont en ligne droite dans l’espace, leurs pro- J étions sont aussi en ligne droite sur chacun des plans
coordonnés. r
En effet, la projection d’un point sur un plan est le P'ed de la perpendiculaire menée du point sur ce plan ‘Plusieurs points sont en ligne droite, cette droite est 8 un meme plan avec les perpendiculaires menées * GS points ’ et P ar conséquent les pieds de toutes ce*
* rpendiculaires sont sur une même ligne droite.
)06 DES JOINTS ET UB ^A MOMi liftOITK
Ce plan, <jpii contient toutes les perpendiculaines menées des divers points de la droite, se nomme plan projetant , et son interjection avec le plan coordonné est la projection de la droite.
Une droite est déterminée qrtand on connaît deux plans qui la contiennent j elle le sera quand on connaîtra deux de ses .plans projetons : or, çeux-ci sont déterminés quand 1 on a fes projections par le^qu^lîçç.jjj^ passent*, ainsi, une droite est déterminée quand on connaît ses projections sur deux des planj côoWofcinés. Par conséquent, les équations de ces projections sur les plans des xz et des yz étfant
x — az + *r, yr=^bz-1-/3,
leur ensemble fixe dans l’espace l^ ppsjtiop de la droite j si elle passe par l'origine, «t eï '/3 seront nuis.
Ces considérations sont faciles à Vérifier. En effet, réquation .
exprimant une relation indépendante de y, n’appavtietot pas seulement à la ligne drokç, qui. K projec* tion de la proposée sur le plan des et , .$- f . elle convint aussi b tous les points du, plan mçiié perpendiÆuJLaijnç!-! ment à celui des x et z par pette projection., puisque, pour ces points, ta relation des x et a est encore La même.
Semblablement, l’équation
lorsqu’on la considère à part, a lieu, quelles que soient» lqs valeurs de x , puisqu’elle est indépendante de coite variable : elle if appartient donc pas seulement à 1» projection de la droite proposée sur le plan des y et z , elle convient au plan projetant mené par cette projection.
Par conséquent ,1e système des deux équations jc = a z -f- «, y . =r bz -f- H
.CONSIDÉRÉS dans, l’espace, 107
‘’gnifie que la droitqpropose se trouve en même temps plans donnée,.et voilà pourquoi leur ensemble . „ mnie sa PosîUon. On voit aussi par la que les va- •a es x y } hh de ces équations, expriment les cooronnees des points de la droite, coordonnées qui •otveiü avoir entre elles les relations déterminées par ces équations. ^
1 a,nsî particularisée, sa projection sur
roisieme plan doit résulter de ces données. En elTet en e mimant z entre les doux équations préqçd,çntes,
ou
Les coordonnées jr et y , qui éritrent dans le résultat appartiennent aux points de la droite; elles Indiquent e Leu où tombent les perpendiculaires «baissées de ces points sur le plan des xy. La suite de éfes coordonnées lorme donc la projection de la droite'; et la relation tfüî existe entre leurs valeurs montre que éettë projection est elle-même une ligne droite, ou, ce qui revient àu uieme, cest l’équation du plan projetant perpendicu- W au plan des xy, Il est visible que oette équation, avec une des précédentes, suffirait aussi pour carnctériser la droite dans l’espace.
Il suit de là qu il faut, en général, .deux, équation! pour..fixer la position d’une droite dans Pespaoe, et ces eux équations sont celles des deux plans sur lesquels la 11 r oile se trouve.
Lorsque a, b, «, £, sont connues, les équation*
.T =3 az 4. a
^ Lussent qu’une des variables indéterminées; on peut ne alors se donner les valeurs de cette dernière, et les cquations feront connaître les valeurs correspondantes
lo8 DES points' et de la digne droite
(les (leux autres-, ou pourra donc obtenir les coordonnées
d’un nombre quelconque de points situés sur la droite.
A ce procédé analytique répond une construction géométrique fort simple. SI Ton construit les deux projections de la droite sur ceux des plans coordonnes où elles se trouvent, ce qui est facile, ces projections tiendront lieu de leurs équations; alors, en prenant a volonté une des coordonnées, elles, feront connaître les
deux autres. ■
Soient, par exemple, A"M", AM , ces deux projections ( 6 g. 21 ). Si l’on prend ù volonté *= AR, que par le point R, on mène RM", RM , parallèles aux axes des x et des y, et que des points M", M", on mène les ordonnées M"P,M"Q, les lignes Ai 1 , AQ, seront-les valeurs de x et de ^ correspondantes à * = AR. Alors si Ton mène PM', QM', respectivement parallèles aux axes AY, AX, les points M', M", M", seront les trois projections du point cherché sur les plans coordonnés.
De même, si l’on donnait d’abord x=AP, on aura.l
et, achevant la construction comme précédemment, on trouverait
y = AQ.
La construction serait la même, si l’on employait la projection de la droite sur le plan des xy, avec une des deux précédentes.
Lorsqu’une droite est située dans un des plans coordonnés, sa projection sur les deux autres sc confond avec les axes eux-mêmes. Si, par exemple, elle se trouve dans le plan des xz , on a
et ses équations deviendraient
y r= o , x = az -f- *.
CO'SIDÉRJÉS DAJSS L’jiSPACI. 10 û
Cip ' ; "" J , ,Uela l'rojection Je la droite sur Æ?» C °“!°" d aVCC >’»« «le» -, et la seconde Présente sa projection sur le plan des XI, laquelle se eenfoiul dans ce cos avec la droite elle-même La recherche des coefficiens a, b, Q d'après des onditions données, et la combinaison des lignes droites ZT r T te, ‘'’ "n ent lieu - dans l’espace^ à des quesen de a ' ,a ° eU, ' S .“ “ lles < l ui se sonl présentées a nous “ deux dimensions, et leur résolution n’est pas d’une «oindre utilité : nous allons les discuter successi-
PorLt’^T^T 1 ’ " OUS fcr ° ,,S uue remar <l““
faire CCS que p :' 0cédés dont nous menons de usage, peuvent egalement servir à indiquer la uccession des points d’une ligne courbe quelconque
suffi, a r.” an re<1Uel r m|UedanS reSpa “’ s* suffit que 1 on connaisse les projections de cette courte
ruinée pla,ls “ordonnés, pour qu’elle soit dcter-
»ont de! l' eren,enli ,° r ’ "" P r °i cclio,ls elles-mêmes
don t * l snes , c0 “ rbes S,tu “' s dans les plans cooronnes. Amsi, lorsque l’on connaîtra les équations de es cour es, on pourra, pour chaque valeur donnée
tondanlesT “ *'*' tr °“' W valeur, corre !
l’c nae 1 déterminera dans
espace, sur la courbe proposée, le point qui répond à «valeurs La suite de ces points peut fort bien n’étre Plan , “ “ re a elre eeulenue tout entière dans un l’on et ^ est ce caractère qui constitue les courtes que n appelle a double courbure. ^
sonfi de méme <|ue les Foiections d’une ligne droite ut les trace, des deux plans projeta,., qui la ™ ‘•euuent et la donnent parieur interlclon les
Ia » tra eflri f e C ° U,I “' l^uque ion, a ‘ète, “„t L V T C ^ lindri 1“ M dont le, sont perpendiculaire, aux plan, coordonnés,
lio DES POINTS fcT D t Ï.A XIGKfe ÛflOITB
et qui, Sé pénétrant mutuellement dans l’espace, donnent la courbe proposée par leur ihterséction. La dénomination de surface cylindrique est prise ici dans un sens plus général que celui qù’on lui attribué pour l'ordinaire dans les Elénieils de Géométrie, ou on remploie pour désigner une Surface engendrée par Une ligne droite qui se meut parallèlement à elle* même, de manière à passer toujours par un dès points iFnne circonférence de cercle. Ce mouvement d’une droite parallèlement à elle même èst ce qui constitue en général les surfaces cylindriques; et c’est la nature des courbes directrices qui établit des différences entre Ces surfaces,
60 . Trouver les équations d’une'ligne droite qui passe par deux points donnés.
Soient x’, y', t ', x", y", z", les coordonnées de ces points, la ligne cherchée aura ses équations de cette forme :
x~ az~\~ tt f J y x=bz + 0;
a y b y tt, étant encore inconnues. Pour qu’elle passe par les points dont les coordonnées sont x', y, z', il faut que ces équations soient satisfaites, quand on y met x pour x, y pour y, z pour a; ce qui exige qu’on ait
x! = az -j- et y y' as, bz' -f- 0.
Pour quelle passe par le point dont les coordonnées sont x", y ", z } il faudra de même qu’on ait
x" — az" -f- a,
f = bzT +0'.
Ces équations font connaître tf, b , «, ef, en Sub-
MSbt&âtlàà ‘DANS ÏESPite. , ;
^ZZ7J?^ liom “ m,ne - ^ *
(i — x') = a(z — 2 \y-/)=b(z-z ‘ï’oi l’on tire
ÿ(~.'», ,ry-S„-.„
S d ? X :! e,n,,jr “ ‘° at ,es «K»{Î0M de la droite clierehee; es deux autres fout connaître les angles que font
T£z tr: t z v ^ tiom sur * &»
-nfeZ^leslnXiotrgr qUe .***
Soient ar rs oz 4 . u î
y n= bz + .fi f 1» équations de la première,
* = fi'z -f «' 1
y-=zV*-{-&) ce ^ es de la- seconde.
« ( “ S dr ,?:! es sont Peeallèles, leurs plans p ro ,etan, les ni Para k f ’ C î ks mlers “tions de ces pLI avec les l coordonnes, ou, ce qui est la même chose
fesn P T- eCt ‘ 0nS < eS tlr ° ltes Sur allaoun d’eux, seront «o„T ‘ ïeme ; t pMs - A!nsi ’ PO- ,ue les condidemandees soient remplies, il f a „t qu’on ait
Q=z(l', bszb',
* de la parallèle deviennent
x ~nz -f• a\ v = bz -f-
j 1 2 DES POINTS ET DE LA LIGNE DROITE
» et 0 restant encore indéterminées, parce qu’il y a une infinité de droites qui sont parallèles a la pro-
^ On peut vérifier ces résultats d’une maniéré fort simple. Si l’on détermine «, «, 0, de manière que
les deux, parallèles passent par un même point, dont les coordonnées soient x\ /, on trouvera qu’elles coïncideront dans toute leur étendue.
6a. Trouver l’angle de deux droites dont on a les
équations.
Soient x = az + * 1 j ^ qua t; 0 ns de la première, y = iz+/3J 1 x = a z+ * 1 lles de lft secon de.
y = b'z + PJ
Nous remarquerons d’ahord qu’il n’en est pas dans l’espace comme sur un plan où deux droites se rencontrent toujours, à moins qu’elles ne soient parallèles. Dans l’espace , deux droites peuvent se croiser sous différens angles sans se rencontrer, et leur inclinaison se mesure, dans tous les cas, par celle de deux droites qui leur seraient respectivement parallèles, et qui passeraient par un même point. Menons donc par l’origine, deux droites respectivement parallèles à chacune des précédentes, leurs équations seront
| pour la première,
az)
4'd P ° Ur
la seconde.
Prenons sur la première un point quelconque , dont / soit la distance à l’origine, et dont nous désignerons par x', ÿ, z, les trois coordonnées rectangulaires; prenons aussi sur la seconde un autre point
CONSIDÉRÉS dans l’espace. 113
jlont la distance à cette même origine soit r" , et dont es coordonnées soient x\ y", z ". Enfin, nommons ï) / ^ ta,l ce de ces deux points entre eux. Cela posé, dans e triangle formé par les trois droites /, / e t D, l’angle f COm P ris entre ,es d eux premières, sera donné par la
d ne reste plus qu’à déterminer r', r" et D.
Or, en désignant par X, Y, Z, les trois angles que a première droite forme arec les trois axes rectangulaires des x, des y et des 2 , on aura , comme dans le
x‘=r'cosli, ÿ — ï* cos Y, a'=r'cosZ;
et en désignant par X', Y', Z', les angles analogues pour la seconde droite, on aura de même
x* = r" cos X', y" — , " co S y' i a" car" cos Z'.
plus, D étant la distance des deux points, on a pn général par le n° S 7 ,
ou bien
et mettant pour les coordonnées rectangulaires leurs valeurs en fonction des angles
r 4 { coS “ x “H cos“ Y H- dos Z } 4- r" a { cos* X'4- eôs a Y' 4. ^ 7' \ zi* r" cos X cos X' 4 * côs Y ci!» Y' “f*. cos Z êtw Z'}. *
Mais d’après la relation démontrée dans ] e n° 5 7 fl|rtre
ks oôsinus des angles formés par une même droite atee trois axes rectangulaires, on a
eos a X-f cos a Y+cos*Z = 1 , cos^'-f-cos^^eos^'^i.
7* Édit. »
