CHAPITRE PREMIER

Exposition des principes sur lesquels se fonde l application de VAlgèbre à la Géométrie.

I rocedes généraux par lesquels on peut construire géométriquement les expressions algébriques.

U " e laD8Ue t ' ui ’ re P r ®sentant les C ™ Par CaraCtèrcs <* '« opérations par des

Son T’ *"* " CX P r ™ Cr 8«-ralen,ent les obitions qui doivent exister entre les données et les

rzr pr ° blemc quiconque, pour que les

nommions imposées par ce problème soient satisfaites, eu Importe que ces données et ccs inconnues soient es nombres, comme dans les problèmes d’Arithmé- ]J ’ des mo “'emens et des masses, comme dans 4 ions de Mécanique, ou enfin des lignes des

Géométrie ’ C ° mmC <la " s les 'cherches de

Itrt un SU “V Ue leS rCla,IO " S ^

réduite T av ® e ,es autres ’ P uiwent é ‘te définies et rldU 0PCra ‘ ° nS Calculal,ks > Poor <jue l’Algèbre

CONSTItUCTION

La soustraction des lignes s’opère aussi simplement que l’addition. Soit a la valeur numérique de la plus grande des deux lignes, b la valeur numérique de la plus petite, et x leur différence demandée; on aura

expression qui servira pour calculer arithmétiquement la valeur numérique de cette différence lorsque a et b seront données. Mais on pourra aussi construire cette différence géométriquement, en substituant, comme tout à l’heure, aux valeurs numériques a, b, x, les

rapports — , — , — des lignes correspondantes, avec

l’unité de longueur; car, par cette substitution, la longueur A disparaît encore d’elle-même, et il reste

relation entre les longueurs absolues et géométriques des trois lignes, par laquelle on voit que l’on obtiendra la ligne X en portant la longueur B sur la longueur A, non plus à la suite l’une de l’autre comme tout à l’heure, mais en sens contraire, et à partir de la même origine» comme le représente la fig. 2 , où AB est A, BD, B» et AD, X, ou la ligne cherchée.

En comparant cette construction à celle de la question précédente , on voit que, par la nature des opérations mêmes, la direction de la ligne BD ou B s’est intervertie relativement à la ligne A, lorsque le signe qui affectait la valeur numérique de cette ligne B a changé et a passé du positif au négatif. Cette analogie entre les inversions de position des lignes et les changemens de signe des lettres qui expriment leurs valeurs numériques, se retrouve continuellement dans l’applicatiou de l’Algèbre à la Géométrie ; et elle y devient même d’une

D,?s expressions algébriques. 5

indispensable nécessité pour que toutes les questions ^métriques susceptibles d’un même énoncé, et qui t « erent seulement par les longueurs ou les sitqations re a îves es lignes dont elles dépendent, puissent çtre exprimées par une seule et même équation. C’ost ce que nous démontrerons bientôt d’une manière générale, aïs j ai voulu profiter du premier exemple de ces pports, entre les positions des lignes et les signes lu a ectent leurs valeurs numériques, pour en faire sen n tout de suite, dans un cas très simple, la cause et i universalité.

Sû l^r la . < ; 0 ™ 1,înaîson dcs quantités par addition et i r - ^ n ’ ^ faut P asser à leur multiplication et à cxLpkT- 1 ' 8 r s Pa " k * Suppôt, par

l<.n S ue Mr ;l nn n ' s g A ne B n TT X *"*

entre le.,ro , ç A ,. > G , de manière qu’il existe ’ trC ,C ^ S valc »« numériques la relation, suivante :

Mais si l’on veut Pn A -1 • V ’ seront <V n .ces.

—^nte, rjy':

lettres a, b, x, les rapports ^ï des lignes eor-

encorê‘'ii’r“te C '** lon 8 ueur - °> r A <«sparaît

trièmeprorm’t^n l!gne i " connue X est «ne qua- Ainsi pour V™"! 0 ° aux trois H ë nes données C, A, B. géométrique ° 0 Ce ,* te 1,gne par une construction bitraire Al L ' V ” qU “ formeT , k volont é un angle ar- > o* 5 prenant ensuite sur une des branches

CONSTRUCTION

de cet angle les longueurs MC = C, MB = B, et sur l’autre, toujours à partir du sommet M, MA = A, on joindra CA; puis, par le point B lui menant une parallèle BX, MX sera la longueur cherchée. Car les triangles CMA, BMX étant semblables, on aura évidemment

mc : mb :: ma : mx ou c : b :: a : x,

et par conséquent,

conformément à la condition demandée. Mais on pourrait encore construire la ligne X d’une autre manière, fig. 4. Car, en prenant toujours un angle arbitraire M, il n’y aurait qu’à porter C de M en C, et A de M en A, comme tout à l’heure; puis, à partir du point C, prendre CB égal à B, en le comptant depuis le point C et non plus depuis le sommet de l’angle. Alors joignant CA et lui menant une parallèle BX, AX serait la ligne demandée; car dans le triangle BMX la ligne CA étant parallèle à la base BX, divise les côtés en parties proportionnelles; ce qui donne

mc :cb :: ma : ax, ou c : b :: a : X;

d’où l’on tire

Il est facile de voir en effet que ces deux constructions s’accordent, c’est-à-dire que la longueur AX de la fig. 4, égale la longueur MX de la lig. 3. Il suffit pour cela de concevoir par le point A, fig. 4, une parallèle au coté CB; car l’angle M étant supposé le même, le

DES EXPRESSIONS AI.GÉnniQUES. *J

triangle formé parles lignes AX, BX et cette parallèle , w ' 1 * a identiquement égal au triangle BMX de la fig. 3.

On pourrait encore construire X de manière que Ta •Igné qui représente cette inconnue, se trouvât placée, non sur un des côtés, mais sur une des hases des triangles que Pon compare. Pour cela , on n’a qu’à prendre sur une droite indéfinie MZ, fig. 5, une longueur MC égale à C; puis, du point C menant une nu re igné indéfiiiie sous un angle arbitraire, on prenn sar celle-ci la longueur CA égale à A , et l’on ) m ia IA, que Ion prolongera indéfiniment. Alors,

P "' nt M ° n P° rtc sur la li ? nc m

3 “ “ B * ëî,le à B ’ il "" q«’à mener BX pa-

lele a CA et tcrunuce à Vautre branche de l’angle M

::::Trr c, ' o, ' ch “ * x > 0 „ \ e m -, t

\ la similitude des triangles MÉA.MRX.

dVaSl'r ,S r* 3 :' C ««'«ion s»e -mus venons lonnulur uT'? 1 “ *»« P° ur X une même

nlfcres et T” ' ? r ,l °, n " c “‘ l Jacéo *> «HITéreute, ma- •lansehaiiur '" n" l ° *1° 00116 diversité pour choisir, lise , , T ^ 1,6 ‘‘onstrm-1 ion qui oti-

-Xnr"rL deii tT di " s ^™-

nriée à i» rt i a , ' u,,Ut ‘ a position l a mieux appro - CieV.d'T ' ,UC "° ‘ l0it rem P lir - C’est dansTtte consiste L * * 0 ' J " sl ‘' uchon • et dans sa eonvcnauœ.que consiste ce que l’on appelle l’élégance d’une solution

‘lue dan ! T'" P ‘ IUC " 0, ‘ S veno, ‘ s <lc discuter, ainsi

desraW UI ‘ )r ' C “! CnS ’ k ™l'' 6

longueurs , u ™ 6rl< l ues <les ''S nes «« relations de leurs

luantanvfe TTT <1 "° U ° US aV °" S &it > e “ substi -

leur exnrp? ,C ’ 4*» ^^tAieiÛ ces valeurs,

on évidence' 0 " eXp ,c l6 > «Il l’unité de longueur était imité dismi ’■ n ° US T”' lou f° urs trouvé que cette “ut e t ZT" 1 a de sorte que Luàtlon

s Igoeurs aljsolues était exactement la même

CONSTRUCTION

qu’entre les valeurs numériques. Nous aurions donc pu nous dispenser de cette transformation, et procéder immédiatement à la construction géométrique d’après l’équation en a, b , x, en y considérant les lettres a, b y c, comme représentant les lignes mêmes. Mais on ne pourrait pas en agir ainsi en général. Car l’identité des relations que nous avons trouvées dans les exemples précédens, entre les valeurs numériques des lignes et leurs longueurs absolues, tenait à cette circonstance particulière, que la condition qui les liait portait seulement sur les rapports de ces lignes entre elles , indépendamment de leur rapport absolu avec l’unité de longueur. Cela devient évident, si l’on observe que les équations

, , , ab

x = a -J- b , x = a — b , x rn= —,

peuvent être mises sous les formes suivantes :

a b a b ab

x ' x ’ x x ’ ex ’

où elles ne contiennent plus que des rapports des lettres a, b,c,x, entre elles. Les équations qui jouissent de cette propriété sont appelées homogènes , et il en existe de telles dans tous les ordres de puissances, comme les suivantes, par exemple ,

x a = à 1 4" 6% ux 3 = b* c a d\ qui peuvent se mettre sous la forme

ou bien encore,

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. C)

Or, toutes les fois qu’il eu sera ainsi, il est clair que, si l’on substitue aux lettres a , b, c, x, leurs expressions explicites où l’unité de longueur sera en évidence, la lettre qui désignera celte unité disparaîtra d’elle-même dans chaque rapport, et ainsi l’équation entre les longueurs absolues sera la même qu’entre leurs valeurs numériques -, mais il en arriverait autrement fi l’équation proposée contenait, outre les rapports des lignes A , B, Cj,X, entre elles, le rapport absolu de quelques-unes «le ces lignes à l’unité de longueur. Car si l’on avait, par exemple,

x ~ ab,

la valeur numérique de x pourrait bien se calculer immédiatement par cette équation, puisqu’elle se trouverait être le produit des deux nombres abstraits que a et 1 eprésentent; et, cette valeur numérique étant connue , on pourrait aussitôt construire en parties «e l unité de longueur, la ligne qui y correspond; mais si 1 on voulait passer de cette équation à la relation anatyüquc q u i i es grandeurs absolues des lignes A, 15, X, en substituant aux lettres a, b, x, leurs ex-

jiessions ^ — , ou l’unité de longueur est en

évidence, A se trouvant au carré dans le dénominateur u second membre, et seulement à la première puissance ans le dénominateur du premier membre, il ne ^paraîtrait point complètement; et il resterait, après les réductions faites,

ces a- ne q Ue j a lig ne x se trouverait être une quai unie Proportionnelle aux longueurs a, A, B. Ainsi, < ans ce cas, et dans tous les analogues, on ne doit pas

ÎO

CONSTRUCTION

supposer entre les longueurs absolues la même relation qu’entre les valeurs numériques ; et cette impossibilité se trouve indiquée par la considération de l’équation même; car si a, b, x, représentaient des ligues et non pas des nombres abstraits, le produit ab représenterai! une surface, et par conséquent ne pourrait pas s’égaler h la lign<ka'. On voit donc par ces exemples, qu’eu général, pour passer des relations analytiques abstraites aux relations géométriques qui lient les valeurs absolues , il faut remplacer les valeurs numériques des lignes par l’expression équivalente des rapports de cas lignes a l’unité de longueur, et n’interpréter géométriquement le résultat qu’apres avoir effectué réellement, ou du moins mentalement cette substitution; réellement, si l’équation n’est pas homogène; mentalement, si elle l’est.

5. Par les memes principes dont nous venons de faire usage, on pourrait calculer et construire toute expression de la forme

ab c d ef. ..

b c de / ...

dans laquelle a, b, c, d, a', b', c, d'. . . seraient des valeurs numériques d’autant de lignes données. Car, pour le calcul numérique, il se ferait immédiatement sur les nombres abstraits a, b, c,... b\ c,cP... Quant à la construction, si t’on suppose l’équation homogène, ce qui aura lieu si le numérateur du second membre contient un facteur de plus que son dénominateur; en substituant aux valeurs numériques les rapports géométriques, l’unité de longueur disparaîtra ; et il viendra entre les lignes

ABCDEF...