B'CD'E'F

Or, la partie y peut d’abord être considérée connue

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 1 1

représentant une ligne A", quatrième proportionnelle à B', A, B, et susceptible d’être obtenue par la construction expliquée fig. 3, 4 ou 5. Combinant cette

ligne avec le rapport suivant ^, le produit représentera une nouvelle ligne A'*, qui se construira de la même manière. Celle-ci combinée avec , donnera le A"' D

produit “jy- , auquel on substituera une nouvelle ligue

A v , et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on ait épuisé tous les rapports dont la valeur de X est composée. Le dernier résultat, de même forme que les prccédens, sera donc encore une ligne qui exprimera la valeur do l’inconnue X.

INous avons supposé que le numérateur du second membre contenait un facteur de plus que le dénominateur; c’est évidemment cette condition qui, lorsque nous avons passé aux relations géométriques des lignes, a fait disparaître des deux membres l’unité de longueur A. Si donc elle n’avait pas eu lieu, A serait resté dans 1 équation pour compléter l’homogénéité; mais une ois qu il y aurait été ainsi réintroduit, la construction se fût achevée de la même manière. Si l’on avait eu, par exemple,

x = ùbcd ,

h numérateur du second membre étant composé seulement e quatre facteurs, et le dénominateur de chaque eime étant l’unité, on aurait obtenu pour la relation

géométrique,

v ABCD

^pression qui se serait construite de lu même manière.

CONSTRUCTION

Car d'abord la partie — eût donné une ligne A', qui,

combinée avec le rapport — , eût produit une nouvelle

ligne A", laquelle enfin combinée avec 5 } e ût donné une dernière ligne A ,v , qui eût la valeur de X.

6. En général, quelle que soit la relation analytique établie entre les valeurs numériques des lignes, par l’équation qui détermine l’inconnue r, lorsqu’on substituera au lieu de ces valeurs leur expression explicite, c’est-à-dire les rapports géométriques des lignes avec l’unité de longueur, il en résultera toujours entre les lignes une équation , qui ne contiendra que des rapports de lignes entre elles, c’est-à-dire une expression homogène. Ainsi, en définitif, on n’a jamais à construire que de telles expressions. C’est pourquoi, afin d’abréger l’exposition des méthodes géométriques par lesquelles les constructions s’obtiennent, nous nous bornerons à les appliquer à des équations dans lesquelles l’homogénéité est déjà établie, et qui puissent ainsi indifféremment être considérées comme ayant lieu entre les valeurs numériques des lignes ou entre leurs longueurs absolues elles-mêmes.

7• Déjà celles que nous avons considérées nous ont donné l’exemple de la multiplication et de la division des lignes, ou plutôt des valeurs numériques des lignes les unes par les autres; mais il se présente aussi des questions où l’inconnue .r est donnée par des expressions radicales, telles que

x == ab , x = Ÿà 1 -f- b'\ x = \/a u — b~,

dans lesquelles je suppose que a et b soient des longueurs connues. Le calcul numérique de ces expies-

DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES, l3

sions n’ofire aucune difficulté, si l’on substitue aux lettres a et b leurs valeurs numériques ; mais on peut egalement les construire en attribuant aux lettres «, 6, x, des valeurs absolues. Car la nature de Ces expresses est telle, que l’unité de longueur A disparaîtrait d elle-même comme tout à l’heure, si l’on su stiluaitaux vaieurs numériques leurs rapports avec

immédiatement q “ e PCUt <le C0 " Struire Or, on commençant par la première )/ri, on voit W v f elpnme i une moyenne proportionnelle entre les valeurs a et b, on entre les lignes que ces valeurs représentent On pourra donc la construire en portant, i le f es A . B=tA . = B à la suite Pune dé

diaWtée L ’ SOmmC AD ou A + B comme

/] . ' ’ . nvant une circonférence de cercle et

sera l’inconn 0 '" 1 1 ^ ^“ Ction B une ordonnée BX. Ce

conn^rra‘ C ï: héC - En , Cffet ’

•m produit de* A ’ ** de CeUe ortlonn ôe est égal

“‘-fait à i« ,Iiamitrc - et «“•

X par Ies COrdes > sur AB 1 ,7’ ABeSt A ’ et BU B. Alors

rencc i ^ d "““!* e ’ 0 “ ^“'ira »« circonfénéc BX etT * 011 “ï® vcra P ar le point D l’ordonpar les ’ 1)ro e ^ m l’inconnue cherchée. Car

U‘nne P nT' ? du “ rde ’ corde est

segment BD P ° rtl0nnelIe e »tfre le diamètre AB et le

quatrième"'^”' °!. mod ® de construction à celui des

bruire séontétr "” e es ’ ° n Pf ticndrait à congeonietriquemeut tonte expression de la forme

x = \/ abcd .. ., '

le n0mbre des lecteurs renfermé sous le radical

CONSTRUCTION

serait quelconque. Car supposez, par exemple, qu’il lût de quatre; en substituant aux valeurs numériques des lignes leurs rapports avec l’unité de longueur, on aurait d’abord

X __ / ÂBCD

et après les réductions,

ir./