FG

cc quî est précisément la valeur de <r. Il est facile de

ITZTT” qUe la 1Î8ne FG ainsi déterminée, est en effet le cote du carré inscrit au triangle; car par la

2 TÏX ^ !^ e AR GSt COI1strulle ’ ^ trouve min K G que ’ 81 dun <l uelcon q ue de ces points, tel ,!' ° n i î! 1 . en ? , deux ^S" 08 ’ rune perpendiculaire, tre parallèle a la base AC, les portions KN, KB de Z lignes, interceptées entre AC d’une part et le côté AB

cLéTnt 65 / 0111 é8alCS Cntre elIes * Le «et F du U WriÏ a V r,an ^ e ^ dOÎt d ° nC 86 er sur

côté BC du triante **1 1 ^ “ trouver aussi sur le côté par la liane AK ’ n &St ll ° n ° 1,mtersection de ce «uŒtaemeni l u ’ potat K, il

parallèle à sa ,»* * deT‘ ? “" e

longueur IiK n 1 ’* u prendie sur cette ligne une

à ce^que t rétiî ’ *!“’ de !° indre AK ‘ <?it donc

construction. ’ tn 1 » tout l’essentiel de la

de manière qu’eîlTse 11 ^ 8 ^ *| mpKcité » construirc * le côté DE du • t vi t donner immédiatement reprt^é LV .«T , 6 ° a FG ' ** F«eUé

Pour cela ™ 1 8 * a ! MO , luraent analogue au précédent.

tité HB'ÆT: Uuta “ BH h *“• quan- BIT repréT'f * '? Ba ? AC «- » 4» triangle. Alors, »iènel f ri , b + h - Cela P»*- si d “ Point V on menée par ?" ,mW ““o parallèle à AC, toute ligne BPQ

» tro«W “ mme ‘ V ter “ inée a P-allèk,

BP upee en P, de manière que le rapport

p7\ scr«i ggjqI à ^ , rv

° b + h‘ IJonc > S1 parmi toutes les sc-

jne Ion peut mener de cptte manière, ou

Ï’ROBLiKMF.S

choisit BC j menée par le sommet G tlu carré construit sur AC, la ligne DE parallèle à AC', sera précisément la valeur de x , puisqu’on aura à la fois

BD : BC' :: h : b+ h,

bd : BC' :: de : à-,

conséquemment,

DE : b :: h ; b + h ;

d’où

ce qui est précisément la valeur de x.

11 arrive souvent, comme dans ees detix exemples, que l’on peut simplifier la construction d’une expression analytique, en substituant aux rapports connus quelle renferme, et qui ont lieu entre des lignes données par le problème, des rapports équivalens, mais formés par des lignes indéterminées, que l’on choisit ensuite, de manière que l’inconnue que l’on cherche se trouve placée le plus convenablement possible pour la question géométrique que l’on veut résoudre.

12. Les constructions dont nous venons de faire usage serviraient encore, avec de très légères modifications, pour résoudre un problème analogue au précédent, mais plus général, qui consiste à inscrire dans un triangle, non plus un carré, mais un rectangle dont le rapport des cotés est donné. En effet, soit ABC, fig. 19, le triangle proposé dont on connaît seulement la base b et la hauteur h : désignons par x le côté du rectangle cherché qui devra être perpendiculaire à la base, c’està-dire DE, et par y, le coté ET’, qui lui sera parallèle. La comparaison des triangles semblables ABC, EBF, donnera, comme tout à l’heure,

ac : bh :: ef : bi,

qui devient ici

d’oïl l’on tire

h y = bh — bx.

S ep'ÆT le r ! pr T qui doit rais,er ><*

cotés LF et DE du rectangle, il faudra qu’on ait y = nx.

Chassant donc y de la première équation, avec cette valeur, et dégageant x, il viendra

^ -, bh

~b + ïh‘>

E o ;„Efri. de même forme ••

alors un rapport VéTlitères ü raPP ° rt " élaît serviront donc enco^ r r ^ prOCédés facile de s’en convTrJT * î C(>nstru,re ’ «>mroe il est tâtions pareilles. Pour nff G ° Uneront lleü à des liminnalogie, supposons « p ^ U ” exem P^ e de cette de construction de laX T. T**!? 6 6m P% er ,c mode

sommet B du trianafo / 7 ’ ° ° FS ° n n * ènera par le

hase, et l’on 1 ‘ J ’ 8 ‘ Parallèle à la

cgale à ah ■ pu i s , menZt^AK ^ ^ lon § Ueur BK 1G sera x et EF* v . On v ’ fJU '. ^P 61 * 3 Bc en F, égale nos deux 'mtrè* PP ll< I uei ’ a, t avec une facilité tion, j’ai sunll ? Wtruoli ^ Dans cette opérapuisque n étant ^ i° n prena,t “«médiatement nh, port, nh est un abstrait qui exprime un rap-

Une ligne counu^N^ ^ C °” nu d ® h > et par conséquent même Ce multinl eanmo,ns > si 1,(311 voulait obtenir il faudrait ren ,1 C ° nstruction géométrique,

port géométriaue ^ 1 ° n0l ?* ,re aBstrait » par le rapconde, par exem ^ ’ 8neS N et A > dont Ia «*- Première, une W T*' Punit5 de lou 8 ueur ’ * Ia gne égalé a n fois cette unité. Alors le

produit nli traduit r , . NI!

1 en lignes, prendrait la forme ,

et il exprimerait une quatrième proportionnelle aux lignes A, N et II, laquelle se construirait par une quel' conque tles méthodes exposées lig. 3 , 4 et 5 .

i 3 . Il y a des questions géométriques dont la nature semble devoir être beaucoup plus compliquée que les précédentes, et qui cependant, lorsqu’elles sont écrites en analyse, conduisent à des résultats aussi simples ; telle est, par exemple, la suivante :

Mener une tangente commune à deux cercles donnés et situés dans un même plan.

Soient, iig. 21 et 22, C, C', les centres des deux cercles, CM, C'M' leurs rayons; il y aura deux manières de leur mener une tangente commune; extérieurement comme dans la fig. 20, intérieurement comme dans la fig. 2i. Considérons successivement ces deux cas.

Dans le premier, lig. 21, si l’on suppose le problème résolu, et que MM' soit la tangente commune, prolongez cette tangente jusqu’à ce qu’elle aille rencontrer quelque part en T la droite indélinie CC', menée par les centres, ce qui aura évidemment lieu du côté du plus petit des deux cercles; puis, menant à chacun des points de tangence les rayons CM, C'M', les angles CMT, C'M'T seront droits par la condition du contact avec le cercle; ainsi, les deux triangles CMT, C'M'T seront rectangles; et comme ils ont, en outre, l’angle T commun, ils seront semblables ; ce qui donnera la proportion

CM : CM' :: ct : C'T.

Les rayons CM, C'M' sont connus, ainsi que la distance CC des centres; nommons donc CM, r; C'M', r'; CC', c, et CT, x; alors C'T sera x — a, et la proportion précédente deviendra

r l t' Il x 1 x — n;

d’où l’on tire

rx — ra ~ Sx ;

Ï)E g£ow£trîk uétermjunéb.

J ou Ion voit que la distahee CT ou x est une quatT'erae proportwnnelle aux trois lignes r — r', a, et r. On 1 obtiendra donc par une des constructions e xpli- OrtSlÎe®' ’ 4 .’ c’. mais * a dernière de cès constructions MFet“ V Sa PP ll< l ue ic! »«* le flus d'élégance. En e|t par ,es centres C, C, % rf, mener deux rayons dans „ ” ’ paral , lc,es entre eux, et dirigés d’ailleurs lSrv q ° nqUC ’ ‘ a lis “ eNN ’> Sul joindra les des centre’ îï®» T***?' ^ %*■" WT.quoiqu^li^S-^^^CST,

«CftS® T eotmu 8al ^’'****’*'

Wables . do Mme tout à lM.“uré‘etT nt enCOre

Wient la même .• ’ ct donneront prêc sé-

T-aùt On«S’ qU ° n ° US aïI ™ S élaîdie plus Paccord dreett" co„t ,re ( Sentir P’ US i^ddiatemeut

b "que de ai, en mon™?! ”! a,,e ? ‘'«peession algé-

l’accord de cette rnntt lre sentlr P^ us immédiatement briqué de x en me ^ Uctlor J avec l’expression algé-

«s à h, ,r g ;; , :,:::; a " i e p° r ,e r at * . ..#

amsi forbié, N'D renré V ^ dar ? s lc triangle Wi)N d’ailleurs «'%S comme

triangle' CTVT « pareillement semblable au

b T ’ ° n aUra > e * les comparant l’un à l’autre,

ND : dn' Nc ct,

d ’°“ l’ou tire,

cest-a-dire, précisément notre valeur do -r a- lorsque le poîut T . de *• A,J1S » r

struction , il ne t ^ deterramé P a ^ cette con-

7 e Èdit Ula Plu ® qU ’ à raener de ce P° iut

34 pROBLinvrcs

une tangente à Fun des deux cercles ; cette tangente se trouvera être aussi commune à l’autre; et comme on peut mener du point T deux pareilles tangentes, l’une au-dessus, l’autre au-dessous de la ligne des centres, on voit que la 'question géométrique admettra deux solutions.

Si l’on suppose que le rayon r du premier cercle rslr constant, ainsi que la.distance des centres, le produit cir restera constant. Mais si l’on fait en même temps varier le rayon r de manière qu’il approche de plumer* pius d’être égal à r. Ta (ijfiTéréncé r— / deviendrai. (de plus en plus petite, et rendra ainsi la y^lçur de x cîe plus en plus grande, puisqu’elté y entre comme dénominateur. Cela signifie que, plus les deui cercles s’approchent d’être égaux, plus ^intersection de leur tangente commune ,avec la ligne des centras s’éloigne. C’est én effet ce qui est évident par la construction mêtne. Enfin, quand les deux rayons déviennent tout-ôfait égaux ? le dénominateur r—r' est tout-à-fait nul, et la valeur de x devient infinie; c’est-à-dire que la tapgpnte commune M 1 V 1 ' et la ligne dès centres- ne se rencontrent qu'à une distance infinie, ou, en d’autres termes, deviennent parallèles Tune à l’autre.

Én continuant à faire croître r, notre expression algébrique de x éprouve une modification toute nouvelle. Sa valeur n’est plus hlfin-té, comme tout à l’heure ; mais elle devient négative de positive qu’elle était d’abord. Cette inversion de signe répond à une inversion de position dans la soutangente CT. En effet, lorsque nous aVorfs formé notre proportion par la comparaison des triangles CMT, C'M'T, fig. 21, flous avons considéré le point d’in tersection T comme situé du côté du cercle dont le r^yon étâit CM' ou Y\ et aièsi, FexpressioW analytique que nous at'é&s obtènué pour C’ÎF ôu ètaft iniplicîtè'ment cbnforWie'k cette Stqipôsitidn. Màîbtèîiaiii, par lé cttan-

DE GEOMETRIE DÜERMlNÉs. 35

S^nent que nous introduisons dans la râleur du rayon >•'

mS 1C P °- : "î T M ** *

oàtedts cddtrts; mais du «t dppOsé, lH^idn Æ * W pluS C0,Uinüci - * A donner une "2Î rfe supposition, ou! est

'venue inpbst.Mk Mais comme, dans la neuve lie si

stea es ia iighc cï > *> roiaKo,,

là Mme **** res(c **KUéllome»t

tou- 8 ’ ,à geeeraltté du l'Algèbre fait qu’elle est

«Z? T L, T he danS 14 **** Cession, dit n ‘' K,ilM dolami! Ü durait dû

position inverse. u %ente C1 avait une

La détermination du noint T fr

intérieurs; % a 2 s’olün ri 1 aux tangentes

absolument pareilles ^ ^ dcs ^dëratidus

soût déceiHitSes p-ir là a!ir< eS , SCules a ' b< l'l > *ations ijui du. «ûugtooue^^' aV^' 0 " ** Wet

s*^wwas»?â)

- scml.Ubles et < ,o nnci ont la

GM : c\M' :: ct • ct

-jwrt,**.* ‘ f • • 0 ni* '*' h «•'• À ^‘•uTdo-nr «|

d OU l’on ti

± ti v •

ftàtSo’rLp cons ' h,:, ' a ,vunc “>»"«•«> toui-i-

mènera deux rayons parallèles CN, C'N', dirigés suivant un sens quelconque. On joindra les points N, N'.par une droite, et le point T où cette droite coupera la ligne des centres, sera celui à partir duquel les tangentes doivent être menées. Il sera en effet facile de voir que cette construction détermine CT par une proportion identique avec celle que nous avons posée pour x. Mais, de plus, on peut également en faire sentir l’accord avec l’expression algébrique de x ; car il n’y a qu’à , par Je point N', mener N'D parallèle à la ligne des centres, et la terminer au prolongement de CN. Alors DN', représentera a, ND, r~\-T y et les triangles semblables NDN', NCT, donneront

r -f- r' : a r II CT;

d’où CT = -—-^7 j

c’est-à-dire précisément la valeur même que nous avons

trouvée pour x. .

i 4 . Les questions précédentes, quoique très faciles, peuvent déjà indiquer généralement la marche que l’on doit suivre pour exprimer, par l’analyse les conditions des problèmes de Géométrie. C’est exactement la même que l’on suit en Algèbre pour mettre les pi*0'blèmes numériques en équation.

On commence par reconnaître toutes les lignes connues ou inconnues qui doivent entrer dans la solution du problème, et on choisit des lettres pour les représenter. Si l’on a réellement considéré toutes ces quantités, il doit exister entre elles certaines relations, certains rapports, qui permettent de les déduire les unes des autres. On cherche, d’après les règles de la Géométrie, quelle marche il faudrait suivre, quelles opérar tions il faudrait faire pour établir ainsi leur dépendance mutuelle : à mesure que l’on découvre ces opérations.

DH GÉOMÉTRIE DETERMINES. $7

™ les écrit algébriquement. Le résultat vous conduit tou,ours à trouver Impression algébrique d’une des quant.tes connues ou inconnues par le moyen des autres, alors vous égales cette quantité à la lettre qui a représente, préesément comme si vous aviez voulu ta vérifier : vous obtenez ainsi une équation entre les quantités connues et inconnues du problème; et lorsque vous avez formé de cette manijautant d’équ’attl "* règles ordi-

pa^ proprement ' de U f ^ ^ CeS , S ° r,eS l ' e r rollU racs »’«* entre les lignes car "^'^i relatlons q ui existent indiquées p!r Vdno “ S , re ! allüm sont naturellement ■nèmeque P im B r t n “ ' 1 UeS «°”- *«» verrons

ticu.ier q ohSfer aUCUn

les problèmes en ém,“. S ra PP or ts, et mettre analytique la marché TV ^ < <:sl S nant M’uue manière ^nes qli donnenttrt 13 les

cherchées. Mais ce n. ’ U ” mtcrsectlons les quantités ce qui f a {t p ronr q 1 ^ x, 8 e une adresse particulière, couvrir ,. * Mé¬

connues aux inconnues et’àt '*■” P ° U '’ P “ SSer deS rapports qui les unissent J ^ ’ P3rmi tbUS les à être exprimés par 1 p ’ 1 i * S ° nt plus P ro P res de cet Ouvrage de fr' Ja ? rai » daa * le coürs

remarques et d’pn et I ueBt ^ s occasions d’appliquer ces Pour le mometrr ^ par des -emplcs:

i 5 . Jusqu», V / ^ T CUX que la faire P^sentir.

dépendaient qué nous avons traitées ne

allons maintenant/ qUat, ° J nS d “ prera * er de gré. Nous ‘lui dépendent n cons ' d ererde même quelques-unes

construire un , 1

01 u différence des cS °" K s “‘' face

Vûy^BLXiiJ^S

Soit X' le pi us gr£Mul dç& côtés inconnus de.ce roctaogl e*?ff sqp e*cès sur, le pj^, p^tit coté; en sorte que <4 cçl.qi-^ loramoiis b le côté

f lu carré dont la surface doit êjgb là même que celle du T#fi 4 , D S? e * 4 PW^ifiop 4 e COt»te égalité immédiatement çtmoçpe eq 4 ngàgC algé4pi(fue> donnera l’équation x(x — 20) = b* } ou x a 2 ax ttZ b a f

de laquelle on tire pour x çes deux valeurs :

£c sont précisément les mêmes que nous avons déjà considérées, page 20, et que nous avons construites par la figure 12. La première est représentée par DE dans cette figure; la seconde l’est par —DE'. Or, il e,t facile de vérifier que a + \/ a*b% ou DE, est en effet le plus grand côté du rectangle demandé; car s ‘ retranç lie la différence donnée 2^, le ( reste

'4 "h V a? •+• b* d e ^a expr pncr le plus petit côté ; et> en efcfc, le produit de ces deux quantités, l’une par X’putJîg, prpdu^fe qui, exprime la surface du rectangle, se trouvé égal à &*, comme dénoncé de la question l’exigeait.

Çe ^ 4 U 1 nppa apprend», de plus, que la seconde, valeur de x, ou a-~\/ a 2 -f- fcfy étant prise avec un signe contraire, représente le plus petit côté du rectangle*, est aussi ce qu’il est facile de confirmer par la constr.uct.ion mpme ; car npus avons vu que cette seconde racine, prise avec un signe cdntraire, est représentée par DE', fig. 12. Or., dans le cercle E'BE, le produit de la sécante entière DE, par sa partie extérieure DE', «st en effet toujours égal àu carré de la tangente DB, lequel est ici égal à 6®, puisque dans la construction,, Fou a pris DR égal à b. Mais on pept sé demander pourquoi ce petit côte, que l’on n’avait pas pris pour inconnue»

DE GÉOMÉTRIE déterminés. 3g

Çt que meme ou n’avait pas eu l’intention d’introduire immédiatement dans les conditions analytiques, s,’y est cependant trouvé compris seulement avec une inversion de signe. Cest que l’Algèbre, par sa nature, ne donne pas seulement la valeur des inconnues que l’on a eu intention de chercher, et que l’on a voulu déterminer en les assujçttissant à la condition exprimée par l’équation dont on les fait dépendre; mais, en vertu*de sa généralité, elle donne en même temps les valeurs de toutes les inconnues, qui peuvent satisfaire à la co.ndiion analytique que 1 on a établie; et cela arrive ainsi, rarcc que cette condition est la seule chose qui spécifie rcel ement la nature du problème que l’on a voulu résoudre, et qui on détermine l’énoncé définitif, quelle qqe puisse être la multitude et la diversité des considé-

riuestio J* ° nt , serïl c,< ' passage pour y arriver. Dans la quest,on actuelle, par exemple, ayant pris pour in-

avônH * P !r Snmd CÔÜ du rCct “S ,e Perché, nous ns trouvé que sa valeur dépendait de l’équation

x a — a ax ~ b a -,

cottp étant substituée au lieu

Ôrfsïwm ??T ■ ldsali ‘ 6 Vf ife-

l’on peut fn ° U CS combinaisons analytiques que oüêw ^ aVCC les lçttrcs “ ot A, il en évité rectandè' 0 <pU ’ lc P r&enler le grand cèle de notre SS OU avoir aneun rapport géomé-

tant suhsri^ C ° ns î rucl,on > so ‘t cependant telle, qu’é- Xe é uIuT a i ? dC *’ dle aussi\ la

est évident r * ^ Ce C ° te SG trouve dé P entlre » [l pas en vue ^ COml ; înaîson » <ï ue no »s n’avions sounmnDp/ ^ ^ n ° US uav,ons peut-ctre iriéme pas SZ eé MOU 1 dCyra êlre Mentent donnée parV sèment ® neralo de notre équation. C’est là précisément ce qu, arrive dans la question actuelle, oi, la

FBÔBLÈME»

fonctiona — {/a*-{-b*, quoique n’exprimant poiivt le grand côté de notre rectangle, se trouve néanmoins t être une racine de la même équation dq second degré, à laquelle la valeur de ce côté doit satisfaire. Il faut bien que la résolution générale de l’equation nous la donne en même temps que cette valeur. Maintenant, par quelle rencontre arrive-t-il que la fonction dont il s’agit étant prise avec un signe contraire, représente le petit côté de notre rectangle? C’est que s’il nous, avait plu dé représenter ce petit coté par — x , comme nous aurions bien été les maîtres de le faire, la nouvelle inconnue x se serait trouvép dépendre de la meme équation du second degré, à laquelle le grand coté est assujetti. En effet,dans cette supposition, le plus grand côté eût été exprimé par —x+2a; et en multipliant cette expression par —a;, puis égalant le produit au carré ô a , nous aurions eu pour déterminer x t

— x ( — x -f- 2a) = i» a , ou x % — a ax = b 3 *,

c’est-à-dire précisément la même équation que ci-dessus. Ainsi, quoiqu’en formant cette équation, nous n ayons eu en vue que le plus grand côté de notre rectangle, la résolution algébrique doit en déduire aussi l’expression du petit côté en changeant son signe, puisqu’ainsi modifiée, elle y satisfait également. Mais nous devons conclure de là, comme conséquence générale, que, lorsqu’on à résolu complètement l’équation algébrique de laquelle dépend un problème de Géométrie , il faut discuter successivement les racines ainsi obtenues, en les appliquant à la question particulière que l’on a voulu résoudre, afin de reconnaître parmi ces racines Celles qui expriment réellement l’inconnue que l’on cherche, et celles qui expriment d’autres quantités applicables ou non au même problème, mais analytiquement dépendantes de la même équation.

DE GÉOMÉTRIE DÉTERMINÉS. 4l

i6. On aura un exemple de Ces solutions analytiques tout-à-fait étrangères, dans la question suivante : Partager une ligne donnée en deux parties telles, que la première soit moyenne proportionnelle entre la ligne entière et l’autre partie.

Soit, fîg. 25, BD la ligne donnée, dont nous représenterons par b la longueur; appelons x le premier segment inconnu DX; puisqu’il doit être moyen proportionnel entre DB, qui est b , et BX, qui est b—x, on aura

x* = b(b — ,r), ou x* + bx = b % ; ce qui donne pour x les deux racines

Ces expressions sont un cas particulier de celles que

constr^ 118 r ° nsidérées P a 8 e 24 j et que nous avons • . * teS .*6' 12 5 seulement la ligne BC, qui alors Z \ quelconque égale à se trouve ici

con r a . • ’ C cst * a< l ,re ù la moitié de BD. Le système de

sZceZlT — 7° lG . mémC ’ à Cette seule circ °n-

-îv ^ ^ ’ amsi > a 1 extrémité de la ligne BD, lïg. a5, on Uèvera une perpendiculaire BC égale à { b, ou à la moitié e U; puis, joignant les points D et C, la ligne DC

représentera la partie radicale \/b' +Alors, si,

dérr^' nt con,me rentre, avec BC pour rayon, vous une circonférence de cercle, la ligne DE' représentera 1 , premii!rc radne * + , et

I>» ligne DE, prise avec un signe contraire, c'est-à-dire

-DE, représentera l’autre racine;

il ne. rçste donc plus cju’à faire l’application de. ces ïignçs à notre problème gépmétpque. Ôr, il est.facile de YQfr tpie la racine positive DE' y satisfait, et représente le premier segment. DXj car d’abord, étant plus petite que la ligne entière b, elle peut s’en soustrairej.de plus, si l’on effectue cette soustraction, le reste sera

, - t — 1/ 6'+ ce reste, toujours positif, étant mul- ■ ' t

tiplié par 67 donnera pour produit --$■ — b 1 /6 a -f- -y , a V 4

ce qui est en effet égal au carré de

-*+vA+7’

ou de DE', comme l’exigent les conditions fondamentales du problème. Si donc du point D comme centre, avec DE' pour rayon, vous décrivez une circonférence de cercle qui viendra couper la ligne donnée DB en X, le segment PX égal à DE', sera le premier segment çliercbé, etle reste BX sera l’autre segment. Cette con- ÇiFVgîtipJVest précisément celle que Von donne dans les clémppsr «Je Géométrie, pour couper une ligne donnée, en mpyp,nueq£ extrême raison. En effet, les conditions, d’une telle opéifatipn sont exactement celles que nous: avons étaLVips p^: notre énoncé.

Maintenant, si nous discutons Vautre racine, qui est toute négative, nous voyons cfobord que cette.particularité nous la. désigne comme n’étant pas applicable à la question géométrique que nous nous sommes proposé de résoudre, Car ayant supposé dans notre construction que le segment BX devait être porté de D vers B, si l’Algèbre lui donne une valeur négative, cela signifiera donc qu’il doit être porté en sens contraire de notre supposition, c’est-à-dire de D vers X', sur le prolongement^ de BD. Alors ce résultat n’est plus applicable à la question- que nous avions en vue, puisque la ligne

DE OÉOMÉTjpjÿ D^ERMINÉS. ^

Donnée DK ne se trouve plus partagée connue paus le demandions,; m^iis il offre la solution d’ppe au,tçe question à laquelle nous n’avions pas songé, et qui $c trouve dépendre de la même équation ; et celle question çst;; une droite HD étant donnée, trouver ho’s de cette at **7f n prolongement,un point X' tel, que a longueur DX' soit moyenne propo.rt^nnejlç, entre ^ ii e nc do ™ée BD et la lqnguçyr totale X% En effet, supposons qu’il nous, plaise de représentât; le segiqçnt inconnu DX par — x, comme nous sommes les maîtres de le faire, puisque l’op peut choisir à yolonté les dé ppm.natious algébriques par lesquelles qn désigne les quantités inconnues ; alors la longueur totale X'B sera ? - b > et son Produit par b sera b{,b T -x') Or ÎTr- ^° duit doît égaler le carré de D*', qui 1 équation ^ 1 P ° Ur d(dcnnincr l’inconnue x ,

,a + hx = à*

k M ' ê, “ S ue ' nous avions «b-

diMrit lî 'I , SO, “ tion d ' un ProUème bien lement eet, F S — ^ ’ S uand nous résolvons générases raei ° c S ual ‘ î>Il> et <I U0 llüu s découvrons toutes les, nous devons obtenir aussi bien celles que ^oqs «M'ops^ eu de^in, de çl^ercbfîfv que celles qui sont J ail S cres a la rqcl^erelie particulière qui mous occupe.; disc?^^ ,.^ 9p sc -^l de çes raqines peut nous, foire problkT . . qul s0nt s pécial$jqpqt .applicables au

lement pr ^ e ° n ^ tr,< l u r e < l ue nous nous sommes spécia-

rpccartfT° 1Cl î 0ai,ltei i lant une autre question aussi intéj> < ,l >ai es artifices analytiques dont elle fournit xernpe, que par l’élégance des constructions auxquelles elle conduit.

Etant donné deux droites indéfinies XX', YY', fig. 26, qui se coupent perpendiculairement en C, et un point M placé dans l’angle YCX', à une distance égale et connue de ces deux droites, on demande de mener par ce point une ou plusieurs lignes droites MQP, telles que la portion PQ , comprise entre les lignes YY', XX', soit égale à une longueur donnée c.

Du point donné M, menons les perpendiculaires MA, MB, aux deux lignes XX', YY'. Par les conditions du problème, ces perpendiculaires seront égales entre elles et données ; je représente leur longueur par a.

Maintenant, prenons pour inconnue la distance AP, comprise entre le pied de la première perpendiculaire, et le point P où la droite cherchée coupera la ligne indéfinie XX'. Appelons cette distance inconnue x.

Alors la distance CP sera x — g; et les triangles semblables MAP, QCP, donneront cette proportion ;

ap : am :: cp : cq,

ou x l a \\ x —a l CQ j

d’où l’on tire

Ayant ainsi les expressions de CP et de CQ, il 11 e nous reste plus qu'a écrire que, dans le triangle rectangle QCP, l’hypoténuse PQ doit avoir pour longueur cj cette condition donne

CQ* + CP* == PQ a ,

OU — (j ~ — + (x — a ) 1 = c 1 .

Voilà donc une équation qui, étant résolue, déterminera l’inconnue x.

chose

a ■e trouvera assujetti à l’éq^âtiott

z **♦*» Qaz a c*, Î ;

du second degré, peut aisément se pour racines

Celle-ci n\ résoudre, ,

pr “ dr f su «* sslïcme " 1 1

es valeurs qui sont entièrement con-

4(5 ‘ ïÜ^BlI'AIES

tiueè, et lcfc’vHlèur^ cdfrespondantcs de x se déduiront de la relation

qui, en faisant disparaître le dénominateur x, donne l’équation du second degré

— scz t= J- o\

l.f's deux valeurs de * sont faciles à construire; le fat dical V ^ 4- c représente l'hypoténuse d’un triangle rectangle, dont a et c sont les côtés. Ayant donc formé cette hypoténuse, qui -est représentée par-Bïî} fig. 27, on la portera, à partir du point B, sur T\IB ; prolongée vers Z', et sur BM, prolongée Vtëfrfr T1S alors ‘MX' Représentera la racine positive a la lon¬

gueur —- MZ 7 'i s t5 , ëst~^-dîr'e MZ" portée dahft un sens contraire à MZ', comme le montre La figure, représer\-

... . I Or-j ' -i':. i i; ' ./• aa-imi . 4

ikï-SL la‘ racine négative a — ya Â -\-c*.

Pour!avoir! maintenant les vklétrts'tîè -ir » dorFespotidantes à chacune. de f ce& racines^ considéras d’abord ïk preipiere, qub nous j désignerons spécialement p*r Bn'ia sübVtiiuant dans notre équation en x, ceilp^i, après avoir change ses signes, pourra se mettre sous la forme - ■

cc(z' — x) = h\

Alors, en l’interprétait Mb là résoudre, on voit que a représente l’ordonnée d’un .cercle dont 2! est le diamètre, tandis que x jet,z '—-x sont les deux segmçqs coupés par l’ordonnée. Donc, sur mZj ou z comme diamètre, décrivez une circoriieRence de cercle, l’interseçtîôiL'dè «ette cireonférênc^-pà^/la^ digne indéfinie XX', donnera les deux valeurs de x correspondantes à z’, lesquélles sc trouveront immédiatement repréàéntées pàr AP/ÀP'.

t)F. GÉOMÉTRIE déterminés. hy

, Passons menant à la seconde valeur de i Celle-ci étant essentiellement négative, nous la représenterons par —z , de s orte que z» sera une qüantité égale h

~~ a + c ‘> ou À MZ". Cette nouiiÙé valeur — z" étant subsütuée au lieu de s dans Inéquation en x, il vient ,

~h z"x — — a\ ou x O" + x) = jji*