CHAPITRE II

Application des principes précédais à la r) S ° ut / on a l a construction de quelques ro lemes de Géométrie déterminés ,

uni E ^ r ^ lU * ia ‘ d abord pour exemples des problèmes

ta :n:tr qui des éi ‘ uat “ >ns du pre"™* <*eg<« ;

U b “. e . d au trian 8 le et “ hauteur , le cote du carre inscrit.

hase° l e’^RH 4 / ^ le trian S le P ro P osé , dont AG est la lipnpe a ^ lauteur - Puisque les longueurs de ces

g»e S son données, représeutous la première par b, seconde par p une cl )> autl . e étant

exprimées en

I r ’ eS un,té c * c longueur. Désignons de même par x' CO e > 0l l ou ou GD du carré inscrit, et

cherchons d’après 1« nature du problème, quelque relation entre b , h* et l’inconnue a\

C est à quoi nous parviendrons, en 1 considérant que le côté Et du carré devant être parallèle à la base AC, les triangles ERF, ABC, doivent être semblables. Or, dans des triangles iemblabies, les bases sont entre elles comme les hauteurs ; on aura donc ici

AC : HH ::EF: w,

ou en exprimant ces lignes par leurs valeurs numériques ,

b ! h il x \ h — x.

En égalant le produit dès extrêmes à celui des moyens, cette proportion donne

hx — bh — bx’y

dou Ion tire

La valeur numérique de x sc trouve donc complètement déterminée par la condition que nous venons d écrire en Algèbre, et Fort pourra là 'calculer d’après cette expression, lorsque les valeur* d& b et de k seront données.

Mais on pourra également, d’après cette expression , l’obtenir par une construction géométrique; car il en résulte évidemment que le cété du carré cherché ou x, est une quatrième proportionnelle à b + b, b et h, laquelle pourra se construire- par Pten des procédés employés %. 3 , 4 , 5 . Pour fe faire le plus élégamment possible, il fa mira, parmi les diverses dispositions de lignes que ces procédés permettent, choisir quelques-unes de celles qui placent la ligne X de manière quon puisse l'appliquer avee lo phts de simplicité à la ligure proposée. Par exemple, en employant le mode

DE GÉOMÉTRIE DETERMINES. 27

construction de la figure 5 , on pourra, fig. i 5 , prolonger la base AC ou B d’une quantité CB' égale à II ; puis, clevant au point B' une perpendiculaire B'H' aussi égale a H, on joindra A avec II', et par le point C menant Cl' parallèle a B H', ce sera le côté du carré cherché; lequel T tra ? vera ains * placé- perpendiculairement à la hase AC tu riangle. Donc, lorsque celui-ci sera donné, il n’y aura qu’à mener par le point 1' une parallèle à fa >ase et les points où cette ligne coupera les côtés u riang e, seront E et F ; de sorte que le carré se trouvera,nsm t en même temps que connu.

donnép U rCI ? a, ^l uer ‘l ue cette solution n’emploie pour faire e ** h ' 4se . ei la . hauteur du triangle, sans y sur la tosT L^Td rie “. rinclinai ton dus côtés AB, BC

1er seuls clétL, quTnIm“,fcL*‘ BH ^ ™ *** Puisqu’elle, suffislr a) supposes connus. Or, Inscrit, iHttï P ° Ur déteminer ><= «W <1“ carre

'"" s !» triangles ^

Z rr avec ^

placé,Xw ,r “” 8 v- ' e ' ieU °“ ' e Carré <loit ' ,ra même pvraUN par1 mter8ection des côtés avec la

ou voit t T" 6 ' r r 4 la bas * AC - Senlcmcnt

limites â’iucliu • 8UI J Memo > qu’au-delà de certaines f 7* ÏCÔ,& SUr la ''inscription

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dernier 4s ,1” CT .‘ dent ’ P® r “l* mén >c, que le

côtés AB o„ fir?. 0 " ,ntérieure a lie » ïorsq u’un des Ceci met don ° d ® V ‘ ent perpendiculaire sur la base.

S-tétriqlIn^T T !“*«“' - a la *«*.

indiquée par IV ^ '“" lat,0n nc P*’« v “ i t P“s être la condition 1 . l MesMon analytique de .r, parce que f e laquelle cette expression est tirée, cou-

siste seulement dans la similitude des triangles ABC, EBF; similitude qui subsiste encore, quand J'inclftfeîson des côtés AB, BC sur la base, ne permet plus d’inscrire le carré dans l’intérieur du triangle ABC.

Si, au lieu de donner seulement la base b et la hauteur h, on particularisait complètement le triangle ABC dans lequel le carré doit être inscrit, on pourrait proiiter des lignes qui composent ce triangle pour construire la valeur de x plus élégamment que nous ne venons de le faine. En effet, si ABC, fïg. 17, est le triangle donne, prolongez, comme tout à l’heure, la base AC ou b d’une quantité CB' égale à A, en sorte que AB' soit toujours égale à b + h ; mais, au lieu de mener par le point B' une ligue perpendiculaire à la base, raenez-en une parallèle au côté BC. Alors toute ligne APQ menée par le point A et terminée à cette parallèle, sera

coupee au point P, de maniéré que le rapport-sera

toujours égal à ÿ ^ Maintenant, parmi toutes les

sécantes que l’on peut mener de cette manière, à partir du point A, il est facile d’en choisir une AK, dont l’inclinaison soit telle, que la perpendiculaire FG, menée de son premier point d’intersection F sur la base, soit précisément la valeur de x. Car il suffit, pour cela, de prendre le point K de maniéré que la perpendiculaire KN abaissée de ce point sur le prolongement de la base, soit égale à A; ce qui se fera en le déterminant par l’intersection d’une ligne BK, menée par le sommet B du triangle parallèlement à la base. En effet, si cela a lieu, on aura à la fois les deux proportions

af : ak :: b : b+ h, af : ak :: fg : h-

conséquemment,

FG 1 h y, b l b - f- A ;

de géométrie déterminés.

d’où