COS IL
ou, si l’on veut tirer 1» valeur de oos u :
î — tang a i u
Ces formules sont aussi d’une application fréquente.
De même que nous avons trouvé le sinus et le cosinus de l’arc double, on trouvera le sinus et le cosinus de l’arc triple. 11 suffit de faire, dans les formules (O,* = 2a ; elles donnent alors
DÜ SECOND ORDRE.
sin 3 a e= sin a cos 2a *+• sin 2a cos a, cos 3 a = cos a cos 2a — sin a sin 2a ;
substituant pour sin aa et cos 2a leurs valeurs ,
2 sin a cos a , et co$ a a — sin* a, elles deviennent sin 3 a = -f- 3 sin a oos*a — sin 3 a , oos 3 a = — 3 cos a sin a a -f- oos 3 a,
et elles peuvent se mettre sous la forme
sin 3a =ss cos 3 a f 3 tang a — tang 3 a} , oos 3 at£=cos 3 a (t — 3 tang“a}.
En général, n étant un nombre entier quelconque, on a
. t n.n-i.n-ù , , n.7i-i.fl-2.n-3.n-4 . 1
cos a J n tanga- - - — tang 3 a-f--tang 5 a..etc. j
n a — cos aj 1 -- —- tang a a-f“- ï 2 3 * 4 * J *^ tan g 4g - etc -|
Ces formules donnent le sinus et le cosinus d’un arc multiple quelconque en fonction du sinus et du cosinus de l’arc simple. Les coefficiens des différens termes sont ceux de la n lime puissance du binôme. C’est pourquoi on peut rassembler ces séries sous la forme suivante :
I^br( COSa+ ^ ' sina j “
t osna=-| cosa-4- l/—i s inû| -h * fcosa— y '—l sina| •
Et en effet, en développant ces expressions abrégées, elles redonnent les deux séries précédentes, comme on peut le vérifier aisément.
Réciproquement on peut exprimer les diverses puissances quelconques du sinus et du cosinus^de l’arc simple en fonction du sinus et du cosinus de l’arc multiple ; et même, en employant plusieurs arcs multiples, on peut rendre ces expressions linéaires. Pour le prouver, il faut
4 46 DES surfaces
savoir qu’en développant le sinus et le cosinus en fonction de l’arc, on a
sin x — x -
cosx= I - — + t 2 3.4
... . etc.
. etc.
Dans ces expressions, la lettre x est censée désigner , sous les signes de sinus et de cosinus, l’arc même que l’on considère; mais, hors des signes, elle exprime le rapport de cet arc au rayon pris pour une unité de longueur; de sorte que, si l’on voulait faire reparaître le
rayon, il faudrait écrire partout - au lieu de x, dans
le second membre, et S -^ , lieu de sin * et
cos x dans le premier membre de cette équation. Or , en adoptant ces séries, si l’on représente par e lé nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité , elles peuvent se mettre sous la forme
sin x =
cos X =
d’où l’on tire
e W-i = C os x 4V— 1 -sin*; e — x v'— 1 — cos x —[/— i. sin x.
Soit m un nombre entier quelconque, en changeant x en ttix , on aura de même
e mx >/—i __ cos mx j \/ — 1 s in m.r ;
e - m * >/-'— cos mx — [/— 1 si n mx c’est sur cela qu’est fondée la transformation que nous cherchons. En effet, d’après les valeurs précédentes de sin X et co$ v , on aura r. u
Sin n X =r < ---> ,
co8J7i ={-^-j ’
ou , en développant les seconds membres par la formule du binôme,
sin“x=—j -. « -i e ,„ 4) v r 7 >
cos”x = -j t »•■»—1 c („ 4)w ,^
Les différens termes compris entre les parenthèses du second membre sont tous de la forme e mxy/ ~ l -, par conséquent, lorsque le développement sera complètement effectué, on pourra substituer à leur place les expressions équivalentes cos mx-f-^/—î.sinmx, dans lesquelles le nombre m aura successivement pour valeur « — 2,n — 4 . .. Alors les coefliciens imaginaires disparaîtront d’eux-mêmes par la division, ou par la destruction mutuelle des termes qui les contiennent, et les valeurs de sin"x et de cos n x se trouveront exprimées linéairement en fonction des sinus et cosinus d’un cer¬
tain nombre d’arcs multiples.
Les expressions que nous venons de rapporter suffisent pour exécuter toutes les transformations qui peuvent être le plus ordinairement nécessaires dans les calculs analytiques. Si l’on voulait avoir de plus grands détails sur cette branche importante de l’Analyse, il faudrait consulter l’ouvrage d’Euler intitulé : Introductif in Analysis infinitorum.
