En substituant ces valeurs dans l’équation générale

Mz‘4- M'/ + MV + Hz -h H 'y -f- IIV=o,

qui comprend toutes les surfaces du second ordre, on aura l’équation de l’intersection qui sera évidemment du second degré en x,/, et l’on pourra reconnaître sa nature d’après les méthodes que nous avons données.

On pourra même disposer des indéterminées, desquelles dépend la position du plan coupant, pour obtenir les diverses intersections qui seront compatibles avec la nature de la surface : si, par exemple, on demande que 1 intersection soit une circonférence de cercle ; il suffira, pour cela, que les coefficiens de^ /a et a; 3 soient égaux et de même signe, celui des xy' étant nul. Or l’on verra aisément, par la substitution effective, que ces conditions donnent les deux équations suivantes

9 -f-M'cos*CcosV-f M"cos a 0sin v ^---M'sin a <£—M^cos’ip , ( 2 )

sin <p cos <p cos i — o, (3)

lesquelles doivent servir à déterminer les angles S et ç>.

La seconde est satisfaite en supposant cos Ô = o ; ce qui donne sin ô =. 1, et â =90° : cette valeur, substituée dans la première , donne

M — M' sin* <p — M" cos* ç> = o -,

d’où l’on tire

tang <p =

Alors le plan coupant est perpendiculaire au plan des xy : cette 1 valeur de tang n’est réelle qu’autant que la quantité

est positive. Ainsi, dans ce cas seulement, la supposition cos ô = o est admissible. Cela n’a pas lieu, par exemple, quand M' == M". Alors, en effet, la surface est de révolution autour d’un axe parallèle à l’axe des z , comme on peut aisément le voir en transportant les coordonnées x et y parallèlement à elles-mêmes, et il devient impossible de la couper suivant un cercle par un plan parallèle à cet axe, à moins qu’on n’ait aussi McM =M * ce qui est le cas de la sphère.

L’équation ( 3 ) est encore satisfaite en faisant

sin <p = o , ou cos <p = o

La première supposition donne le plan coupant perpendiculaire au plan des yz -, la seconde le rend perpendiculaire à celui des xz. Dans le premier cas, on aura

tang ô =

dans le second ,

DU SUÇOND ORDRE.

4ir3

Chacune (le ces valeurs de 0 ne sera admissible qu'au tant que les quantités qui s’y trouvent affectées du sij;ne radical seront positives. Or , il est aisé de voir qu’en prenant M positif, ce qui est toujours permis, les trois quantités

ne peuvent pas être négatives en même temps, d’où il suit qu’une au moins des suppositions précédentes sera possible : or, chacune d’elles donne deux, valeurs de tang ô ou delang ç, et par conséquent il eu résultera , dans chaque cas, deux positions du plan coupant qui donneront des circonférences du cercle.

Il suit de là, i°. qu’eu général, par chaque point d’une surface du second degré ou peut toujours faire passer deux plans qui la coupent suivant Une eircoule- ' rence de cercle.

2 °. Lorsque l’on a fait disparaître de l’équalion de la surface les rectangles des coordonnées, les plans coupans qüi donnent des cercles sont perpendiculaires à l’un des plans coordonnés- 3 °. Comme les conditions précédentes ne déterminent que les angles 6 et ç> , et non pas les coordonnées a , b , c, il existe pour chaque surface une infinité de plans qui donnent des cercles, et ils sont tous parallèles entre eux. Quant aux indéterminées a , b , c , on peut en disposer pour que l’origine de x'y' se trouve au centre même du cercle suivant lequel la surface est coupée; cette condition , qui rend les coefliciens de x et de y' nuis, donne, entre a , b,c, deux équations linéaires; d’où il suit que, pour chaque surfaee, les centres de tous ces cercles sont situés sur une même ligne droite.

a et b étant supposés déterminés par ces deux équations c reste encore arbitraire ; mais, pour que les

4a4 DES SURFACES

cercle* dont il s’agit soient réels,il faut que le dernier terme de l’équation transformée en a/* et y 8 soit de signe contraire aux deux autres. Cette condition, qui limite les valeurs de c, pourra toujours être remplie pour chaque surface, excepté dans les points ou elle ne s’étend pas. Il suit de là que toute surface du second degré peut être engendrée par le mouvement d’un cercle toujours parallèle à lui-même, et variable de rayon.

En appliquant ces résultats au cône elliptique, on pourra lé couper suivant une circonférence de cercle -, ce qui donnera le cùne oblique que l’on considère relativement à son volume dans les Elémens de Géométrie, et dont nous aurions pu, quoique avec moins de simplicité, déduire toutes les courbes du second ordre. Une des sections circulaires étant regardée comme base de cette surface, l’autre se nomme section souscontraire. Il est aisé de voir, par ce qui précède, que, si le cône est droit, la section souscontraire se confond avec la base.

On trouverait de même quelles sont les surfaces du second degré qui peuvent être coupées suivant des lignes droites, et les élèves pourront s’exercer à cette recherche.

Des Plans tcingens aux Surfaces du second ordre.

335 . Par un point quelconque pris sur une surfacecourbe, on peut mener une infinité de droites qui ne la rencontrent qu’en ce point. L’ensemble de ces droites forme, comme on le verra tout à l’heure, une surface plane que l’on nomme plan tangent, et qui est, par rapport aux surfaces, ce que sont les tangentes par rapport aux lignes.

Cherchons l’équation du plan tangent relativement aux surfaces du second ordre : pour cela, reprenons celle de ces surfaces, qui est

Az a + A'y-f A*V+ Cz + Cy + C'a: + L = o. ( i )

Eu supposant qu’on ait fait disparaître les rectangles des coordonnées : soient x", y", z!\ les coordonnées du point de tangence, on aura

Az" a + Ay a +AVM-Cz'-f Cy K - {- CV+L = o. (2)

Les équations d’une droite menée par ee point, suivant une direction quelconque, seront

a et b représentant les tangentes trigonométriqucs des angles que ses projections forment avec l’axe des z. Dans les points où cette droite rencontre la surface, ses équations subsistent en même temps que les deux précédentes. Or, en retranchant ces dernières l’une de l’autre, on a

A(a 4 -a ,, )(s--a' , ) 4 -A'(y+ > y'')(y-ry)+A'(*H-ar")(*—x')

Mettant pour ^— -y* et x — x" leurs valeurs données par l’équation de la droite, on aura, relativement aux points d’intersection,

W *+0 -fA / ù(^+y)-f-A'fl(x-f-a")+C+C'ù-|-C , 'a )(z-z'=

Cette équation est satisfaite, quand z=z"; ce qui donne y—y" et xz=x", parce que le point dont les coordonnées sont xy" } z", est sur la droite. Supprimant le facteur commun z — z", il vient

A( 2 +z")+A'ù(j 4 - i y ,r )+A' , «(x-f-a')+C+C 7 i+C , a-o Cette équation appartient au second point dans lequel la droite, considérée comme sécante, rencontre la surface.

Si elle est tangente, ce second point doit se confondre avec le premier, et ses coordonnées doivent être les

4 2 6 DES subfaces

mêmes. L 3 équation précédente doit donc alors être satisfaite, quand on fait

ce qui donne

2 Aa" 4- s A'A)'"+ 2 A W'-f- C -f C'Z> + C’a = o. (4)

C’est la condition nécessaire pour qu’une droite soit tangente à une surface du second ordre. Comme elle ne su Hit pas pour déterminer les deux quantités a et b, une d’entre elles reste arbitraire-, et conséquemment il existe pour chaque point une in Unité de droites qui jouissent de cette propriété.

Si l’on élimine a et b au moyen de leurs \aleurs prises dans les équations de la droite, le résultat exprimera toujours une propriété commune aux droites qui touchent la surface dans le point donné ; mais il ne renfermera rien qui soit particulier à aucune d’elles; il appartiendra par conséquent à la surfaôe qu’elles forment* laquelle aura pour équation

(aAz.* -f C) (2 — *') + (a A 'y" + C') (>— y")

+ ( 2 AV+ C')(x — x /, ) = o.

Cette équation étant linéaire en r ,y , a,le lieu de toutes les tangentes est un plan qui est îui-meme tangent à la surface proposée.

En développant cette expression, et luisant usage de l’équation (a), on peut la mettra sous la forme la plus simple

(aAi' -f C)t 4 - (2À'y' -f C')y+ (2A'V 4 - C") x , -H CS -h C'y" -f Cx'-\- uL =' o. ( 5 )

Pour les surfaces qui ont un centre,C, C et C sont nuis,lorsque l’origine des coordonnées est placée a oc j oint : l’équation du plau tangent devient alors

Dü SECOND ORDRE.

Azz^-f- A'yy"-f- A l, xx"-f- L ~ o.

336 . Une droite menée par le point de tangence, perpendiculairement au plan tangent, se nomme une normale. D’après la première condition, ses équations seront de la forme

Pour que la seconde soit remplie, il faut (n° 62) qu’on ait A n x*=z a Az", A 'y" = V Az" ;

ce qui détermine a' et b'. Il ne reste plu.4 qu’à substituer ces valeurs dans les équations de la normale. Si la surface proposée est de révolution par rapport à un des axes, par exemple, celui des j/, on a A=A*; et la va¬

leur de a, qui devient —, donne

ara"— zx" = o,

pour la projection de la normale sur le plan des xz : cette projection passant par l’origine des coordonnées, il s’ensuit que la normale rencontre l’axe des y. Cette propriété est générale; et, lorsqu’une surface est de révolution autour d’un axe, toutes ses normales rencontrent cet axe.

337. En mettant dans l’équation du plan tangent, pour x"y"z" les coordonnées du point de tangence, il sera facile ensuite de construire ce plan. On peut aisément faire l’application de ces résultats aux diverses surfaces du second ordre que nous avons discutées, et l’on en verra naître plusieurs propriétés remarquables. Prenons pour exemple l’hyperboloïde que nous avons discuté dans l’article 02j. L’équation de cette surface csj

celle du plan tangent sera

Azz "— A ’yy" — A''xx"-f- L = o, et en outre on aura pour le point de tangence ,

As" 2 — A'/' 2 — AV*4- L = o.

Pour trouver les points communs au plan tangent et a la surface, il faut combiner les trois équations précédentes de manière à en éliminer x,y ou z\ car, dans ces points, elles subsistent en même temps. Or, si l’on retranche le double de la seconde de la somme des deux autres, on trouve

La troisième, retranchée de la seconde, donne Az"(z — z") — A'y" (y — y") — AV' (x —x") = o ; d’où l’on tire

a(z-*■)•={A>-»- yo+y£( : r-x-)}-

Substituant cette valeur dans l’équation (A), il vient

{ Ay (y -/) + - A AV* (y -/)*

— AAV*(x— V)*=o.

Ce résultat, qui ne contient que x et y, appartient aux points communs au plan tangent et à la surface; c’est l’équation de leur projection sur le plan des xy. Elle est toujours satisfaite, quand x—x r , ce qui doit être, puisque le point de tangence est nécessairement sur la surface ; mais elle est, de plus, décomposablc en facteurs du premier degré; car, si l’on fait

le facteur x — x", devient commun à tous ses termes; en le supprimant ,les variables x et y disparaissent, et

du second ordre. 429

Von a pour déterminer a , l’équation du second degré (A 'ay" -f- A"x") a — AA'û^"* — A A"z" a — o ; ce qui donne pour chaque point de la surface deux, râleurs de u. Lorsqu’elles seront réelles, les points communs au plan tangent et à l’iiyperboloïde auront pour projection deux lignes droites sur le plan des xy f et, comme ils sont d’ailleurs situés sur le plan tangent, ils formeront aussidcux droites dans l’espace. Leurs projections sur les autres plans coordonnés s’obtiendront en éliminant^ ou x de l’équation du plan tangent, au moyen tle celle de la projection déjà trouvée ; ce qui revient à combiner ensemble les équations

A z." (a — z") — A 'y* (y — y") — AV (x — x") — o, y— y" =a(x— z").

Il s’agit maintenant de savoir si les valeurs de a seront toujours réelles. Or, en développant l’équation qui détermine cette quantité, elle devient A / (Az" 3 — Ay , *)a t -h2A'A"y a x'a+A"(Az" a — A'V'“)=o ;

ou, en faisant usage de la relation qui existe entre les coordonnées du point de tangence,

A'(A V a — L)a a -f aA'A'yVfl + A"(A y" a — L) = o.

La quantité affectée du signe radical, dans la valeur de a , sera

— A'A" (Ay' 1 —L) (AV* — L) + A' a A"yV* ; ou, en développant,

A'A"L(Ay a + AV— L),

qui se réduit enfin à

AA'A"La" a .

Les trois quantités AA'A"étant positives, a ne peut être réelle qu’antant que L sera aussi positive : par consé-

43 o nESSTOFACES

<jucnt, l’hyperboloiide a une nappe dont l’équation est A2*— A'y* — A"x a -f- L = o ,

AA'A" et L étant positives, est touché par ses plans tangens suivant deux lignes droites; et il est le seul liyperboknde du second ordre qui jouisse de cette propriété. Cette propriété n’infirme pas la définition du plan tangent donnée dans l’art. ... ; car il existe encore , powr chaque point de tangence, une infinité d’autres lignes droites qui n’ont que ce point de commun arec la surface.

338 . Les formules précédentes peuvent encore être employées pour mener un plan tangent aux surfaces du second ordre par un point extérieur dont les coordonnées seraient connues. En effet, en les supposant représentées par x ,y , z', elles doivent satisfaire à l’équation du plan tangent; ce qui donne

(2 Az" -f cy + (a A'/ -f- C')y' 4 - (2A'x“ + C'V -f- Cz" -f- C'y"-J- C"x" 4 - 2L = o. ( î )

On aurait de plus* le point de tangence étant sur la surface *

Az"» 4Ay a -+- A"x" a +Cz"+ C'y"+ CV' 4 -L=o. (a)

En regardant x ", y" et z" comme inconnues, ces deux équations ne suffiraient pas pour les déterminer : on peut donc, par un meme point extérieur, mener une infinité de plans tangens à la surface. Si l’on élimine x" ouy'" entre ces deux équations, elles donneront les projections de la courbe qui est le lieu de tous les points de tangence de ces plans : cette courbe est celle suivant laquelle la surface serait touchée par une surface conique qui aurait son centre au point donné, et qui serait engendrée par une ligne droite^issujeltie à passer toujours par ce point et à toucher la surface.

t>tr secoxd oimnr.. 431

L’équation (i) étant linéaire en x",y" , z° f sa combinaison avec l’équation ( 2 ) donnera entre x" et z", y" et z ", des équations du second degré ; d’oû il suit que la courbe de tangence sera une section conique ; et, par conséquent, les surfaces coniques, tangentes à des surfaces du second ordre, sont elles-mcmes du second ordre.

Si, au lieu d’effectuer l’élimination entre les équations ( 1 ) et ( 2 ), on veut construire séparément chacune d’elles en y regardant x",y", z", comme variables, la première représentera un plan qui sera le lieu de la courbe de tangence; ce plan sera donc analogue à la corde qui joint les points de tangence dans les courbes du second ordre ; et, en lui appliquant ici les considérations dont nous avons fait usage pour assujettir ces cordes à passer par un même point, on en déduira aisément des propriétés de plans analogues à celles des lignes polaires.

La position du plan tangent serait déterminée, si l’on connaissait un second point par lequel il dût passer ; car , en désignant par x m , y, z ", ses coordonnées, on aurait

(2Az w 4 - C) z m 4- ( 2 A y 4- C)y" 4- (2AV4 -C # )x- + Cz n 4- C'y" 4- CV' 4- 2 L= o. (3) Les équations ( 1 ), ( 2 ), (3), suffiront pour déterminer les coordonnées x", y" f z",du point de tangence en fonction de x ', y, z ; x" ,y‘" ) z m .

On arriverait à un résultat semblable, en assujettissant le plan tangent à passer par une droite donnée. En effet, soient x !, y', z' les coordonnées d’un point de cette droite, son équation sera de la forme

x-x' = a(z-z'), y-y' = b (* — &'), a et b étant connus, puisque la position de la droite

/j.3 2 DES SURFACES

l'tst supposée donnée: or , x , y , z devant satisfaite a l’équation du plan tangent, on aura d abord

(aAa - + CK 4- ( 2 A/y" H-C)/ 4- (a^V 4- C')*'

+ Ca'4- C'y" 4- C"x" +uhz=o.

Celte condition ayant lieu, il suffit, pour que la droite soit dans le plan, qu’elle lui devienne parallèle} ce qui donne (n° 8i) ,

As" 4- A ’by" 4- A"ax" = o.

On aura de plus

As a * 4- Ay* 4- A"*"* 4- Cz” 4- c'y" + C"x" + h = o, puisque le point de tangence est sur la surface. Ces trois équations détermineront les valeurs de x", y", z ; et, comme elles sont du second degré, il s’ensuit que l’on peut, en général, par une droite donnée, mener deux, plans tangens à une surface du second degre quelconque.

Des surfaces du second degré rapportées à leurs plans diamètres.

53g. On peut rapporter les surfaces du second degre à des coordonnées obliques, ainsi que nous l’avons fait pour les lignes du même ordre. Si, dans l’équation générale

A a* 4- A'/ a 4- A"* 4 + Bya 4- &xz 4- B"ay 4“ Ca -J- C'y 4" C" x -}- L — o,

où les coordonnées sont rectangulaires, on substitue pour xyz les valeurs générales

x ■=■ x' cos X 4 - y' cos X' -f- z cos X",l

y = x' cos Y 4 -y' cos Y' 4 " z cos Y ,

z = x cos Z 4 ~ y cos ^ 4 " z eos

dans lesquelles x, y', z soient les coordonnées relatives a de nouveau* axes qui font entre eux un angle

nu SECOND ORDRE.

quelconque et sont assujettis aux seules cos a X 4- côs a Y -J- cos* Z =5 cos a X' 4- cos" Y' 4- cos 9 Z' = COS fl X" 4- COS* Y" 4- cos 9 Z" =

équations ■ 1 ,

on aura la transformée

Ms' 9 -f M'y 9 4- MV* 4- Ny'z' 4- N Va' 4- NVv' *+■ Pz' 4 - Fy 7 4- p^' 4. L =: t).

On pourra toujours disposer des indéterminées, d’où dépend la position des nouveaux axes pour rendre N , JN et JX nuis, et cette condition pourra même être remplie d’une infinité de manières; caron a vu, dans le n° 3 ao, page 3 g 6 , qu’en joignant aux trois équations (A) et aux suivantes :

les trois équations (B) qui out lieu quand lesases sont rectangulaires, leur système suffit pour déterminer en quantités réelles les valeurs des neuf inconnues d’où dépend la position des axes : ces équations ne suffiront donc plus pour cet objet, quand on en ôtera les trois équations (B). Ainsi non-seulement on pourra trouver des coordonnées obliques par rapport auxquelles les surfaces du second ordre auront des équations de même orme que par rapport à leurs axes rectangulaires ; mais il y a une infinité de systèmes qui jouiront de cette propriété, et dont les plana seront, relativement a ces surfaces, ce que sont les diamètres dans (es courbes du même ordre.

34 o. Nous n’entrerons pas dans un plus grand détail relativement aux surfaces du second ordre. On pourrait, à l’aide des formules précédentes, et des méthodes données dans les préliminaires, découvrir un grand nombre de propriétés particulières à ces surlaces. Il sera très utile à ceux qui auront lu cet ou- 7* Édit. a8

\rage, d’effectuer ces applications qui n’offrent rien de difficile, et qui auront l’avantage de les familiariser avec l’emploi de l’analyse; mais un pareil detail deviendrait ici superflu. La Géométrie analytique repose, comme la synthétique, sur un petit nombre de préliminaires relatifs au point, à la ligne droite et au plan. Ces élémens, lorsqu’on les possède bien , suffisent poui mettre en équation tous les problèmes que'la Géométrie présente, sans qu’il soit besoin pour cela de recourir à aucune construction particulière. Il ne reste plus ensuite, pour les résoudre, qu’à surmonter les diflicultés de l’analyse, et celles-ci peuvent être souvent diminuées , ou du moins éludées par un choix heureux d’inconnues : c’est un art qui ne peut s’apprendre que dans les écrits des grands géomètres, et surtout dans Y Arithmétique universelle de Newton, qui en offre les plus l>eaux exemples.

Supplément au chapitre IF sur les Sections du Cône.

34 i • Les courbes du second ordre peuvent se tirer du droit par une analyse plus simple que celle dont nous avons fait usage dans le chapitre IV. Pour cela , soit (fig. i35) C le centre du cône , par un point quelconque O pris sur cet axe, à une distance donnée c du centre, concevons trois axes de coordonnées OX, OY, OZ, rectangulaires entre eux, et dont l’un,OZ, soit dirige suivant l’axé du cOne même. Appelons V l’angle constant CAO, formé avec le plan des xy par une quelconque des droites génératrices, et cherchons d’abord à déterminer l’équation du cône avec ces données.

D’après les définitions précédentes, les coordonnées d’il centre iZ sont ar= o, y = o , z— 6 \ ainsi les équations d’une génératrice quelconque, menée par ce point »

seront nécessairement de la forme

xs=n'(2— c ), y = b'{z-c),

les coeiliciens a, b' étant constans pour la même génératrice, et variables d’une génératrice à une autre.

Maintenant, le cène étant le plan supposé droit, et décrit autour de GO, comme axe , l’angle v formé par toutes les génératrices avec le plan des xy , doit être constant. Or , par l’article 67 , on a en général,

d’où l’on tire

( a ' a -f- 6' a ) tang fl v — 1 .

Remplaçons a et b', par leurs valeurs tirées de l’équation delà génératrice, il viendra en général,

(y* + -* a )tangV = (z — c)\ ( i)

Cette relation convenant à tous les points d’une génératrice quelconque, est donc l’équation cherchée de la surface conique; et en effet, elle s’accorde avec celle que nous avons trouvée dans l’article io 5 , p. 168, avec la seule différence que l’angle variable v , formé par les génératrices avec l’axe, est ici remplacé par l’angle v ou <jo° — v.

Coupons maintenant cette surface par un plan BOY, mené par l’origine O , perpendiculairement au plan des xz, et formant avec le plan des xy un angle quelconque ü' ; l’équation d’un pareil plan se réduisant à celle de sa trace sur le plan des xz (n° 76), sera

z = x tang u' (2)

et, en la combinant avec celle de la surface conique, on aura les projections de la courbe d’intersection. Or, quoique la position que nous donnons ici au plan cour-

436 des surfaces

pant soit particulière relativement aux plans coordonnés, cette particularité ne limite nullement la nature de l’intersection qui en résulte; car, en concevant un plan mené par le point O d’une maniéré absolument quelconque, on pourra toujours choisir les plans coordonnés de telle sorte, que l’un d’eux, celui des xz > lui devienne perpendiculaire , et, à cause de la forme symétrique du cône autour de son axe, la section angulaire ACD, formée par les deux génératrices opposées , sera toujours la même, ainsi que la courbe d’intersection. Mais, au lieu d’employer directement l’équation (2) , qui donnerait seulement les projections de cette courbe, prenons de nouvelles coordonnées situées dans le plan coupant, afin d’obtenir l’équation de l’intersection elle-même. A cet effet, conservons toujours les mêmes y , que nous désignerons seulement par y pour les spécifier ; mais substituons aux z et aux x la seule abscisse OF, ou x } comptée sur la trace OB du plan coupant. Alors, si nous considérons un point quelconque de l’intersection, pour lequel OP soit x et PP soit z , la troisième coordonnée y étant perpendiculaire aux deux premières en P x , on aura évidemment

y ~y', x — x' COS u', Z — X sin u ; ( 3 )

puis, substituant ces valeurs au lieu de x, y, z, dans l’équation de la surface conique , on aura en a /, y', l’équation de l’intersection , laquelle , après les réductions, sera

y'*tangV -f*' a cosV(tangV—tangV^Scx'sinu'^c 9 , ( 4 )

Pour développer successivement les diverses formes de courbes qu’elle peut donner, il suffit de faire varier 1 angle u ou BOX, formé par le plan coupant avec l’axe ducône, depuis zéro jusqu’à 90 degrés ; car la symétrie de la surface conique autour deson axe, faitqueles mêmes formes

d intersection reviendraient, pour des valeurs Aeti comprises dans les autres quadrans. Commençons donc par faire a nul, ce qui fait coïncider le plan coupant BOY avec la hase du cône; alors l’équation de l’intersection , étant divisée par tang 2 v', devient

c est-à-dire qu’elle représente une circonférence de cercle décrite du point O, comme centre, avec un rayon

<%al a ^ > ou à la longueur AO.

Il est facile de voir que cette seule position du plan coupant peut donner le cerde; car l’équation du cercle exige que les coefliciens de y* et de x' 3 soient égaux entre eux ; or, si l’on établit cette égalité, il vient

tang 3 v =z cos 3 u (tang 3 v — tang 3 u) ou tang 3 v sin* u' = — sin 3 u! ,

qui peut se mettre sous la forme

{tang 3 v -f- i} sin 2 u o ;

et l*on voit que cette condition ne peut être satisfaite qu en faisant sin u‘ nul , ce qui donne pour il les deux valeurs

d*ofc résultent deux positions da plan conpant, qui se superposent , et dont la première est celle que nôns avons considérée.

Partant donc de cette position du plan coupant, faî^ sons graduellement croître P angle Tant qu’il sera

moindre qué inclinaison des génératrices sur le plan des xy , la trace BOB A ne sera pas parallèle à l’arête CD opposée à CB ; elle coupera donc ces deux arctes aux

points B, B', situées sur une même nappe de la surface conique, et par conséquent, ne pourra plus aller les couper une seconde fois sur l’autre nappe. L’intersection sera donc alors une courbe fermée qui s’étendra sur une seule des deux nappes du cône. Bans ce cas, tang a u étant moindre que tang a v , les coefficiens de x ,% et de ÿ* seront tous deux positifs dans l’équation générale de l'intersection : cette condition caractérisera les ellipses.

Lorsque u deviendra égal à v , le plan coupant Bt)V sera parallèle à l’arête CD. 11 ne rencontrera donc plus cette arête •, ou, si l’on veut, il la rencontrera seulement à une distance infinie du centre. Alors la courbe sera encore bornée à la seule nappe BCD du cône ; mais elle s’étendra indéfiniment sur cette nappe a partir du point B. La condition u =■*/ fait disparaître le coefficient de x' Â dans l’équation générale de l’intersection, et elle se réduit à

y tang a v -f 2cx' sin u = é*,

qui exprimera généralement une parabole.

Enfin, l’angle u ou BOX croissant toujours, et devenant plus grand que v ou CDX, le plan coupant ne rencontrera plus l’arête CD sur la nappe BCD, mais il la coupera sur la nappe opposée du cône. La courbe d’intersection sera donc alors formée de deux branches séparées, et opposées en directions, dont chacune s’étendra indéfiniment sur une des nappes. Dans ce cas, tang a u surpassant tang 1 v', le coefficient de x' a sera négatif, celui de y 1 étant positif. Ce sera le caractère des hyperboles.

On voit donc que notre équation ( 4 ) reproduit les trois mêmes sortes de courbes que nous avions trouvées dans le chapitre IV, en fixant par des données différentes , les positions successives du plan coupant. Mais

DU SECOND ORDRE. 45g

le caractère analytique de chèque espèce de courbe se découvre plus simplement ici, parce que la variabilité de position du plan coupant est plus aisée à suivre. On pourrait également tirer de notre nouvelle équation (4) les divers cas particuliers que nous avons obtenus p,1r l’autre méthode dans le chapitre IV. Par exemple, l e point considéré comme cas particulier des ellipses, s’obtiendra en faisant c nul et moindre que v 5 de sorte que les coefficiens de - y % et de x'* demeurent tous deux positifs. La ligne droite unique,considérée comme cas particulier des paraboles, s’obtiendrait aussi en faisant c nul, et ù égala v , Ce qui réduira l’équation de l’intersection à y — o , équation de Taxe desx'. Enfin, les deux droites non parallèles, considérées comme cas particuliers des hyperboles, s’obtiendront eu faisant c nul, mais u plus grand que V ; de sorte que le coefficient de x' a devienne négatif, celui dey/ 2 restant positif. Les deux droites d’intersection seront alors les deux génératrices opposées suivant lesquelles le plan coupant rencontre la surfaèé conique. Ces trois eaé particuliers placent toujours le plan coupant aü soin met du cène, et donnent ainsi les mêmes conditions,' soit analytiques, soit géométriques, que nous avions trouvées dans le chapitre IV.

Pour employer notre nouvelle équation ( 4 ) à la discussion particulière destrois espèces de courbes d’intèr section, il faudra commencer par trouver les points d’intersection avec, l’axe des x', comme nous l’dvibns fait par l’autre méthode, c’est-à-dire en supposant y' iiiiL Mais ici, l’origine des coordonnées y, x', n’étant plus placée sur un point de la courbe, aucune des abscisses clés points d’intersections ne sera nulle. Néanmoins on pourra de même transporter l’origine à l’un de ces points, dans le cas de la parobole ou au milreude la drbite qhi lés joint dans'le cas des hyperboles et des ellipses. fÜèttetransfbr-

4'io D£) SURFACES

mat ion faite, tout le reste de la discussion suivra comme

précédemment.

Qn pourrait même, si on le jugeait à propos, ramener tout de suite notre nouvelle équation ( 4 ) à la même forme que celle du chapitre IV, en transformant l’origine des a;' au point B,l’un des sommets de la courbed’intersection. En effet, la distance BO de ce point à l’origine peut aisément se déduire du triangle BOG, dans lequel on connaît l’angle C égal à 90° — v , l’angle B égal à «/ u , et le coté OC égal à c. Car, il e*i résulte que

BO est égal à c ' v : s i Jonc on voulait prendre ^ sm(^4-n)

de nouvelles ahscisses x* à partir du point B, dans le sens BB', il faudrait, faire

. c eos J ,,

X “ TT- 7 — 7 —T n “ •

sin (y -f- u )

En substituant cettç valeur de x dans l’équation (4),, le terme indépendant des variables ÿ et x n s’évanouit de lui-même, parce que la nouvelle origjm? d<?S coordonnées se trouve placée à l’un des points de la çourbé d’in' ter section -, et l’équation transformée se réduit à

s i n V-f-.r**sin (v'+^lsin {y — u) —acr'sînp cos^cosm' = o. Alors on peut lui appliquer immédiatement 1 © mode de discussion dont nous ayons fait usage au commencement de chaque chapitre- Il est aisé d© voir qu© cette forme est précisément la même que noua avions trouvée dans le chapitre JY,page 17 J i en effet, pou» s’en oouvaincre, il suffit de considérer que nous avions pris alors pour données l’angle BÇO de la génératrice a\ec i’aje que nous avions nommé v\ Vanglc CBO formé par H plan coupant avec l’arête CÇ que nous avions nommé et enfin la distance CB. que nous avions nommée a - Pal , conséquent, çqs données sont liées ave© le* angles v\ u

et c par les relations suivantes :

» „ , . . n « sin i

v — 90° — v, « = ï- f-1> — go , c =t ^ -y ,

d’où l’on tire

v'4 v—u ==180— (* 4 - 2 ^)» cqosn'^qsini,

valeurs qui étant substituées dans l’équation précédente la changent en

y' a cos a v -f- sin i sin (i 4 * 2t>) *' "* «— « sin au sin i sep o $

ce qui est en effet identique avec l’équation ( 4 ) de la page 171.

Précis des Pbrmules trigonomêtriques tes plus

usuelles.

342. Lorsqu’on fait quelque application dq la Géométrie analytique, on a souvent besoin d’employer les formules analytiques de la Trigonométrie ; mais ce$ formules sent si variées, qu’il est difficile dé les avoir toujours présentes à la mémoire ; c’est pourquoi j’ai placé ici un précis de celles qui sont les plus usuelles ^ afin qu’on les trouve ainsi rassemblées au moment où l’on en aura besoin. Quant à leur démonstration, ainsi qu’à l’exposition des principes sur lesquels elles reposent, on devra les chercher dans les excellens traités de Trigonométrie que nous possédons

On doit se rappeler d’abord (n° 38 ) que toutes les lignes trigonométriques peuvent s’exprimer rationnellement en fonction du sinus et du cosinus de l’arc auquel elles appartiennent, ce qui détermine à la fois leurs valeurs et le signe qu’on doit leur attribuer. Soit a Tare, R, le rayon de la circonférence à laquelle il appartient; on a toujours

coiang a

sec a = -: cosec a =r - .

cos c sin a

Cela posé, toutes les formules trigonométriques dérivent des quatre suivantes, qui expriment les sinus et cosinus de la somme ou de la différence de deux arcs, en fonction des sinus et des cosinus de ces arcs. Soient a et b les arcs donnés , supposons que le rayon du cercle soit pris pour unité, on aura

co s a

divisant ces équations membre à membre, on en tire

sin a cos,

b ' '■ 1 cos a cos b -j- sin b sin a

Divisant les deux termes des seconds membres par cosacosô, et substituant tanga et tangô aux rapports

on aura

” i H- tang “ tang b

expressions qui donnent la tangente de la somme et de la différence de deux arcs en fonction des tangentes de ces arcs.

Si l’on fait a = b dans les formules précédentes , elles donnent

sin 2a = ssinaoosa, cos2a = cos* a—sin a a ,

tangua —

2 tang a 1— tang* a ’

expressions qui donnent le sinus,le cosinus et la tangente de l’arc double en fonction des sinus, cosinus et tangente de l’arc simple.

Revenant aux équations (î), si on les ajoute membre

à membre, on aura

sin (a + b) + sin (a — b) = 2 sin a cos b ; sin (a -f b) — sin (a — b) — 2 sin b cos a; cos (a -f- b) + cos (a — b) = 2 cos a cos b ; cos (a — b) — cos (a 4- 6) = 2 sin a sin b.

Soit

ce qui donne

« = i (“ 4- *0 b = i(u — les formules précédentes deviennent

sin a 4- sin v = 2 sin i (w 4- v) cos £ (a—v) ,

(2) sin u — sin v = 2 sin \ ( u —^)cosî {u-\-v) , cos a + cos v — 2cos ÿ (a 4“ v ) cos £ (a — v) , cosv—cos u = 2 sin j (a 4" *0 s * n ï( u — v ), expressions qui servent à transformer une somme ou une différence de sinus et de cosinus, en un produit, et a réunir ainsi deux termes en un seul.

Si l’on divise les deux premières formules membre à membre, elles donnent

sin u 4 - sin \> tang ? (“ 4 ~ y)

sin u — sin v ~~ tang £ (a — f») relation remarquable par sa symétrie.

Si l’on multiplie ces équations membre à membre, en observant que, en général, 2 sin y cos y = sin a y, on en tire

sin a u — sin* p = sin ( u -f- p) sin (» — p) , cos a p — cos* u -zz sin (« -f- P ) sin ( u — p) , qui sont aussi d’un fréquent usage- Nous avons trouvé tout à l’heure sin 2 a = 2 sin a cos a , qq» 2 a ^ cos 0 a sin a a. L# seconde de çes équations peut se mettre «eus les deux formes suivantes :

oos 28 = î — a sin 3 q , oos a a — 2 cos a a — î ; d’où l’on tire

1 cos a a „ i -h cos a a

sin* a =---, cos a — •---•

On se sert de ces expressions pour substituer aux carrés d’un sinus ou d’un cosinus la première puissance du cosinus de l’arc double.

Soit 2 ci — t u- y d’où ci ju, CÇS formules deviennent

î — cosu „ t i4-cosm

sin i«= ---, co »*\ u = ~— - -

et divisées membre à membre, elles donnent î — cos u

tanc 3 i u = —:-;