Trouver l’angle de deux droites dont on a les équations

Soient x = a z + m 1 yz=bz + fi i x — a'z+ a' ï y = b'z-\-fi’ )

les équations de la première, celles de la seconde.

Nous remarquerons d’abord qu’il n’en est pas dans l’espace comme sur un plan où deux droites se rencontrent toujours , à moins qu’elles ne soient parallèles. Dans l’espace, deux droites peuvent se croiser sous différens angles sans se rencontrer, et leur inclinaison se mesure , dans tous les cas , par celle de deux droites qui leur seraient respectivement parallèles , et qui passeraient par un même point. Menons donc , par l'origine , deux droites respectivement parallèles à chacune des précédentes , leurs équations seront

a* | pour la première ,

~ } Pour k seconde.

Prenons sur la première un point quelconque , dont

CONSIDÉRÉS DANS L’ESPACE. I l3

r soit la distance à l’origine , et dont nous désignerons par x', y, z', les trois coordonnées rectangulaires ; prenons aussi sur la seconde un autre point dont la distance à cette même origine soit r", et dont les coordonnées soient x",y\ z". Enfin, nommons D la distance de ces deux points entre eux. Gela posé, dans le triangle formé par les trois droites r, r" et D, l’angle Y compris entre les deux premières sera donné par la formule

cos V = •-

il ne reste plus qu’à déterminer /, r' et D.

Or, en désignant par X , Y, Z , les trois angles que la première droite forme arec les trois axes rectangulaires des x, des et des z, on aura, comme dans le n° 57 ,

x' = r' cos X , / = r cos Y, z' = r cos Z ;

et en désignant par X', Y', Z', les angles analogues pour la seconde droite , on aura de même

x" = r'cosX', j" = r’cosY', z" = r"cosZ'.

De plus, D étant la distance des deux points, on a en général , par le n° 5 7 ,

d* = (x" — x')* 4- (y - y y + (z" — z'y-, ou bien

DW-fy+i',+i"‘+yyï‘i-2(xy4-//+/z'),

et mettant pour les coordonnées rectangulaires leurs valeurs en fontion des angles

Da=r'a [ cos‘X-f-cos*Y -}- cos'Z } cosaX'-f-cosaY' -f cosaZ' }

— 2 r'r f cos X cos X' -f- cos Y cos Y' -j- cos Z cos Z'

Mais d’après la relation démontrée dans le n° 57 entre les cosinus des trois angles formés par une même droite 8' Èdii. 8

1 1 4 DES POINTS ET DE LA LIGNE DHOlTE

avec trois axes rectangulaires , on a

cos,X4-cos*Y-t-cos*Z=i , cos'X'4-cos*Y'-f- COS*Z'=r i .

L’expression de D’ simplifiée par ces relations deviendra donc

D*=r *4*r,’*-2rV'(cosXcosX'-|-cosYco8Y,-|-cosZcosZ'); alors en la substituant dans la valeur de cos V, qui est r 1 -f- r"* — D“

cosV =

la division par r'r* devient possible , et il reste

cos Y = cos X cos X' -j- cos Y cos Y' -f- cos Z cos Z' ;

c’est l’expression du cosinus de l’angle forme par les deux droites.

On pourrait encore parvenir à ce résultat , sans passer par les théorèmes démontrés dans le n“ 5y, relativement aux cosinus des trois angles ; et cette seconde manière , plus directe que la précédente, est en même temps trop élégante pour ne pas la donner ici. Elle est fondée sur cette considération , que la valeur de cos V est indépendante de la position des points que nous choisirons sur les deux droites pour former notre triangle ; il suffit que ces points soient sur les droites données. Ainsi l’équation

Lj-"» D*

cos V = — ou D* — r/a — r"£-f-?.rV'cosV — o,

irr ’

doit être de nature à ce qu’on puisse y satisfaire , quelles que soient les valeurs que l’on donne à r' et à r", pourvu que D‘ soit exprimée en fonction de ce» quantités. La condition de cette indépendance détermine tout de suite cos V ; car si l'on reprend l’expression générale de D' en fonction de r et r", et qu’on la

CONSIDÉRÉS DANS /ESPACE. Il5

substitue dans l'équation de condition précédente , celle-ci devient

r'“{cos*X-f-cos‘Y-l-cos*Z— i }-|-/'1{cos,X,-f-cos*Y,-tcos“Z' 1 J — zr"r'{ cosXcosX'-l-cosY cosY'-f- cosZcosZ' }-f-2,/r"cosY=o »

puisqu’elle doit être satisfaite, quelles que soient/ et r", il faut que les termes affectés des différentes puissances de ces quantités se détruisent séparément et indépendamment les uns des autres. Ce qui donnera d’abord , pour les termes en /* et r"* ,

cos* X -f- cos* Y -f- cos* Z = i , cos* X' -f- cos* Y’ -f- cos* Z' =r i ,

et ensuite en comparant les termes affectés de /r" , cos V = cos X cos X' -f- cos Y cos Y' -f- cos Z cos Z'.

Cette valeur de cos Y est la même que nous avions trouvée tout à l’heure. Quant aux deux autres relations entre les trois angles formés par chaque droite avec les trois axes rectangulaires, ce sont celles que nous avions trouvées dans le n° 5^. Mais on voit comment la condition d’indépendance dont nous avons fait usage , y conduit directement.

63. On peut aussi exprimer cos V en fonction des coefficiens, a , b , a' , b', qui entrent dans les équations des droites

ijk-'

J — te,

Pour celé , considérons le point que nous avons choisi sur la première , et dont nous avons représenté les coordonnées par x,jr', a' ; il faudra, que ces coordonnées aient entre elles les relations exprimées par les

Il6 DES POINTS ET DE LA LIGNE DROITE

équations de la droite , ce qui donnera x' — ad ,

y = bd-,

et comme on a toujours pour la distance r , r" = *'» + y ■ + *'• , ces trois équations donneront

ar , bd ,

Or , on a en général

eos X=

xf y* z

cosX = — , cosY = — , , cos Z = -7 ; r r r

on aura donc aussi