J = AQ

La construction serait la même , si l’on employait la projection de la droite sur le plan des xy , avec une des deux précédentes.

Lorsqu’une droite est située dans un des plans coordonnés , sa projection sur les deux autres se confond avec les axes eux-mêmes. Si, par exemple, elle se

CONSIDÉRÉS DANS l’espace. I09

trouve dans le plan des xz , on a

b = o, ,8 = 0, et ses équations deviendraient

J — o, x z= az ■ 4- «.

La première exprime que la projection de la droite sur le plan YZ se confond avec l’axe des z , et la seconde représente sa projection sur le plan desxa, laquelle se confond dans ce cas avec la droite elle-même.

La recherche des coefficiens a, b 1 3 , d’après des conditions données, et la combinaison des lignes droites qui en résultent, donnent lieu, dans l’espace, à des questions analogues à celles qui se sont présentées à nous en deux dimensions , et leur résolution n’est pas d’une moindre utilité : nous allons les discuter successivement.

5g. Mais, auparavant, nous ferons une remarque importante ; c’est que les procédés dont nous venons de faire usage , peuvent également servir à indiquer la succession des points d’une ligne courbe quelconque située d'une manière quelconque dans l’espace. En effet, il suffit que l’on connaisse les projections de cette courbe sur deux des plans coordonnés , pour qu’elle soit déterminée entièrement ; or, ces projections elles-mêmes sont des lignes courbes situées dans les plans coordonnés. Ainsi , lorsque l’on connaîtra les équations de ces courbes , on pourra , pour chaque valeur donnée d’uue des variables x , jr, z , trouver les valeurs correspondantes des deux autres , ce qui déterminera dans l’espace , sur la courbe proposée , le point qui répond à ces valeurs. La suite de ces points peut fort bien n’être pas de nature k être contenue tout entière dans un plan; et c’est ce caractère qui constitue les courbes que l’on appelle «i double courbure.

Et , de même que les projections d’une ligne droite sont les traces des deux plans projetans qui la contiennent et qui la donnent par leur intersection , les deux projections d’une ligne courbe quelconque sont les traces de deux surfaces cylindriques dont les arêtes sont perpendiculaires aux plans coordonné) , et qui , se pénétrant mutuellement dans l’espace , donnent la courbe proposée par leur intersection. La dénomination de surface cylindrique est prise ici dans un sens plus général que celui qu’on lui attribue pour l’ordinaire dans les Élémens de Géométrie, où on l’emploie pour désigner une surface engendrée par une ligne droite qui se meut parallèlement à elle-même, de manière à passer toujours par un des points d’une circonférence de cercle. Ce mouvement d’une droite parallèlement à elle-même est ce qui constitue en général les surfaces cylindriques ; et c’est la nature des courbes directrices qui établit des différences entre ces surfaces.

60. Trouver les équations d’une ligne droite qui passe par deux points donnés.

Soient x', y', z, x" y", z", les coordonnées de ces points , la ligne cherchée aura ses équations de cette forme :

x = az -f- », y = bz -{- fi ;

g, b, g, fi, étant encore inconnues. Pour qu’elle passe par les points dont les coordonnées sont x', y il faut que ces équations soient satisfaites, quand on y met x pour x, y' pour y, z‘ pour z, ce qui exige qu’on ait

es «*' •+• », f sa bx? *+> fi.

Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées

Oigi

CONSIDÉRÉS DANS l’ ESPACE. IH

sont x", f , 2", il faudra de même qu'on ait

x" = az" + a , y = bz" + fi.

Ces e'quations font connaître a, b, », fi; e t, en substituant leurs valeurs dans l’êquation de la droite , elle se trouvera de'terraine'e.

En opérant sur ces équations comme sur celle de l’article 3o , on trouvera

C r — y) — Hz — *')>

d’où l’on tire

rj,

Ces deux dernières sont les équations de la droite cherchée ; les deux autres font connaître les angles que font avec l’axe des z ses projections sur les plans des xz et des j-x. Il est aisé de s’assurer que ces expressions renferment les conditions exigées.

61 . Trouver les conditions nécessaires pour que deux droites soient parallèles dans l’espace.

Soient x — az- f-« I .

^ £ les e<luat,°ns de la première ,

. , ~f~ , 1 celles de la seconde.

y=.Uz-\-fi J

Si ces droites sont parallèles , leurs plans projetans seront parallèles , et les intersections de ces plans avec les plans coordonnés , ou , ce qui est la même chose , les projections des droites sur chacun d’eux , seront respectivement parallèles. Ainsi, pour que les eondi-

lions demandées soient remplies , il faut qu’on ait a = a, b = b' ,

et les équations de la parallèle deviennent

x = az + a, y — bz + fi'.

m' et /S' restant encore indéterminées , parce qu’il y a une infinité de droites qui sont parallèles à la proposée.

On peut vérifier ces résultats d’une manière fort simple. Si l’on détermine *, * , fi , fi', de manière que les deux parallèles passent par un même point , dont les coordonnées soient x', y , z, on trouvera qu’elles coïncideront dans toute leur étendue.