p aa *4— b b — o
c’est la relation nécessaire pour que les deux droites soient perpendiculaires entre elles dans l'espace , ce qui peut d’ailleurs avoir lieu sans qu’elles se coupent, comme on le verra plus loin.
Yeut-on , au contraire, que les deux droites soient parallèles ; il n’y a à écrire que cos V = qt i , ce qui donne
± 1 1 + aa -\-bb'
Faisant disparaître le dénominateur du second membre, puis élevant les deux membres au carré, et développant, on peut mettre le résultat sous la forme
(*' ay + {b' — by + ( ab ' — a'b)* = o.
Or, la somme de trois carrés ne peut être nulle , si chacun de ces carrés n’est nul en particulier. L’équation à laquelle nous venons de parvenir ne peut donc être satisfaite qu’en faisant
a ~ et , b — b’, ab' = a'b.
Les deux premières indiquent que les projections des deux droites sur les plans des x z et desyz sont paral-
I l8 DES POINTS ET DE LA LIGNE DROIT^
lèles entre elles. La troisième est une conséquence des deux autres, et elle a lieu d'elle-même quand elles sont satisfaites ; en sorte que tout se réduit à satisfaire aux deux premières conditions.
65. La valeur générale de cos V en a, a', b, b', peut se vérifier encore par cette considération , que si l’une des droites proposées vient à se confondre successivement avec l’un des trois axes des x , des y ou des * , les valeurs correspondantes de cos V doivent redevenir égales à cos X , cos Y, cos Z, et c’est ce qu’il est aisé de vérifier.
En effet , les équations de l’axe des z sont x = o, j — o,
quelle que soit la valeur de z-, conséquemment les équations
x = dz, ' jr — b'z, deviendront celle de l’axe des z , si l’on a dz — o, b'z = o,
sans attribuer à s de valeur particulière ; ce qui exige que l’on ait
Substituant ces valeurs dans cos Y, son expression se réduit à
cos V = — — ■ •— cos Z.
De même , les équations de l’axe des x sont T = o, z = o.
Or, les équations d’une de nos droites donnent
CONSIDÉRÉS DANS L’ESPACE. 1 tq
Donc , pour que j- et z soient nuis, quel que soit x il faut que l’on ait
Maintenant , si l’on divise par a les deux termes de la fraction qui représente cos Y, elle devient
cosV =
Faisant donc b'
1 , . bb’
Vf
ft"
7=°» d =0’ il vient cosV= = cos x , on trouvera de même
cos y
Et en effet, ces valeurs s’accordent avec celles que nous avons trouvées dans le numéro précédent.
66. Il est facile de vérifier directement ces résultats par une construction géométrique (fig. 23); car,' si d’un point quelconque M, situé sur une droite AM qui passe par l’origine, on abaisse les perpendiculaires MM', MM", MM", sur les trois plans coordonnés , les triangles AMM', AMM", AMM", seront rectangles, le premier en M', le second en M", le troisième en M"; et ils donneront
cosZ
