MM
AM
Or, MM', MM", MM", sont respectivement égaux à z , jr, x ; de plus , AM = l^a?* -j-j* + z*. On a donc
— 7=^=r, cosY= * . rosX— ■ x
Le point M e'tant sur la droite, ses coordonnées sont assujetties aux équations x=az, y=bz. En vertu de ces relations, les variables x, y, z, disparaissent des formules précédentes, qui donnent ainsi
— TT—, — 7—^r > cos Y— — — -, cosX= — — —
valeurs absolument semblables à celles que nous avons trouvées plus haut.
67. 11 est visible que les angles Z, Y, X, sont coinple'mens des angles MAM', MAM", MAM*, que fait la droite AM avec les plans coordonnés ; on aura donc , en nommant ceux-ci U', U", U*,
sinU'= — i — -, sinU*=— - — b , sinTT1*—
Ce sont les sinus des angles que forme une droite quelconque avec les plans des xy, des xz et des yz.
68. Trouver les conditions nécessaires pour que deux droites se coupent dans l’espace , et, lorsque ces conditions sont remplies , trouver leur point d’intersection.
Soient x — qz -j- s, x — o z j u , y = bz -f fi, y = Vz'+ fi',
les équations des droites données ; si elles se coupent, les coordonnées du point d’intersection devront satisfaire aux équations de l’une et de l’autre. Ainsi , en nommant x', y', z! , ces coordonnées, il faudra qu’on ait en même temps
x1 == az -f a, x •== az ' -f-
y = bz + fi, y = b'z 4- fi’.
CONSIDÉRÉS DANS 1,’eSPACE. 12 1
Ces quatre équations étant plus que suffisantes pour déterminer les trois inconnues x' , y, z , conduiront à une équation de condition entre les seules quantités a , b, m, 0 ; a, b\ a! , fi', qui déterminent la position des droites; en effet, en éliminant d’abord x' et y, on trouve
(a — a')z' + * — «' = o, {b — b')z' + fi — fi' = o ; et ensuite, en éliminant z',
(a — a')(fi — fi') — (« — *){b — b') — o.
C’est la condition nécessaire pour que les deux droites se coupent. Si elle est remplie, il suffira de considérer trois quelconques des équations précédentes, pour avoir les valeurs de x', y, z', qui seront
b fi'— b' fi b — b' '
Ces valeurs deviennent infinies lorsque a= a' et b— b’ ; alors l’équation de condition est vérifiée : ainsi les droites se coupent, mais leur point d’intersection est infiniment éloigné , et il est visible , en effet , que dans ce cas elles sont parallèles.
L’équation de condition que nous venons de trouver dans cet article pour que deux droites se coupent dans l’espace, est différente de l’équation
i + aa ' -f- bb' — o,
trouvée dans le nu 64 pour exprimer que deux droites sont perpendiculaires l’une à l’autre. La seconde de ces deux conditions peut donc être satisfaite indépendamment de la première ; et ainsi , comme nous l’avons annoncé dans le n° 64, deux droites peuvent être perpendiculaires entre elles dans l’espace sans se couper.
A l’aide des formules précédentes , on peut résoudre
laa II ES POINTS ET DE LA LIGNE DROITE
toutes les questions de Ge'ométrie qui ne sont relatives qu'à la ligne droite.
6g. La méthode que nous venons d’appliquer à l’intersection de deux lignes droites , servirait en général pour trouver les points d’intersection de deux courbes dont les projections seraient données; car ces points étant communs aux deux couibes , leurs coordonnées devraient satisfaire à la fois aux équations qui les représentent, c’est-à-dire aux équations de leur projections. Cette considération donnera généralement quatre équations entre les trois variables , x',y, z' ; c’est-à-dire une de plus qu’il n’en faut pour les déterminer. Ainsi, en éliminant ces variables, on parviendra à une équation de condition qui devra être satisfaite pour que les deux courbes puissent se couper ; et cette équation exprimera les relations qui doivent exister pour cet objet entre les quantités constantes qui déterminent la forme de deux courbes et leurs positions dans l’espace.
Quoique la méthode précédente soit exacte , elle a besoin de quelques développemens. Elle donne bien la condition nécessaire pour que les deux courbes se rencontrent dans l’espace ; mais ou n’y a pas eu égard au nombre des points d’intersection. Nous allons donner le moyen de le déterminer.
Soient x = p (z) , jr = (z)
les deux équations des projections de la première courbe , et
celles de la seconde , les caractéristiques ç , 4> , p , 4'' > désignant des fonctions^quelconques de z : ces quatre équations devront subsister en même temps pour les points d’intersection des deux courbes. Cette considé-
