F'M — FM = 2A
En opérant de même çle l'autre côté de l’origine, on aura la seconde branche de la courbe, et l’on peut appliquer ici les remarques que nous avons faites sur la coiislruction de l’ellipse par le procédé analogue.
On peut aussi , d’après cette propriété , décrire l’hyperbole, comme L’ellipse, par un mouvement continu : pour cela, on fixe au foyer F' une règle FM, qui peut, tourner autour de ce point. A ce même foyer F' et à l’autre F, est attaché un fil MF, tel que F'M — FM soit épi au grand axe BB'; glissant ensuite un piquet le long du fil, on le force à s’appliquer toujours contre la règle qui tourne autour du point F' ; et le piquet , par ce mouvement, décrit une portion de l’hyperbole demandée.
a35. Occupons-nous maintenant de mener une tangente à l’hyperbole , dont l’équation est
Ay-BV=-A’B*.
Soient .*% j‘ , les coordonnées du point de tangence ; elles vérifieront la relation
— B**'* = — AaBa.
ta tangente étant une ligne droite , et devant passer
DE L’UVPEHBOLE. 3oiJ
par ce point, «on équation sera de cette forme : j-f=a(x—xy
Il ne reste plus qu’à déterminer a.
Pour y parvenir, il faudra opérer sur ces trois équations comme sur celles de l’art. i5o , qui étaient relatives à l’ellipse. Mais ces dernières sont les mêmes que les précédentes , en changeant B en B 1/ — i . Le résultat sera donc aussi le même avec cette modification, et l’on aura
Conséquemment l’équation de la tangente sera B1 x "
ou , en réduisant ,
kyf— B*xr'':= — A“B“.
On aura de même , pour l’équation de la normale ,
On prouve facilement que tous les points de la tangente, excepté celui de tangence , sont hors de l’hyperbole. Pour cela, prenons la valeur de dans
l’équation de l’hyperbole , nous aurons
A’j-1 = B Jara — A *B* ;
cette valeur de A“^’ convient aux points situés sur la courbe même. Pour les points situés hors de la courbe, la valeur de^, correspondante au même x, sera nécessairement plus grande ; par conséquent , les valeurs de y e* de A5^1 seront plus grandes aussi : on aura donc alors
3io de l’hïpehbolk.
au contraire , pour les points intérieurs à la courbe , la valeur de l'ordonnée y sera plus petite que sur la courbe même , la valeur de x étant égale : il en sera de même pour A’j on aura donc alors
en transposant ces inégalités dans un seul membre , on en déduit les trois conditions suivantes :
Pour les points extérieurs. . . . A’y * — Baxa+AaBa>o, Pour les points situés sur la
courbe A’j'-1 — Bax*-|- AaBa=o,
Pour les points intérieurs. . . . k'jr* — B*xa-f-AaB*<o. Maintenant, il faut prouver que tous les points de la tangente, excepté le point de tangence même, satisfont à la première de ces inégalités. Or il est facile de voir que le signe négatif du terme affecté de x1 empêche que la démonstration employée n° i5i, pour l’ellipse , ne soit ici praticable; il n’y a donc d’autre ressource
que de calculer directement la quantité
A* y* — B’x’-f- A“B’ en fonction de x seul. Pour cela , il n’y a qu’à tirer la valeur de y de l’équation de la tangente, cette valeur sera
Ba(xx" — A’)
J Âÿ5 ’
et en la substituant dans la quantité...
A 'y* — B*xa-f- A’B’, on aura
nj/W' a »\»
Ay-BV+A’B’= . , — B’x* + AaB\
En réduisant le second membre au même dénominateur, et mettant au numérateur, au lieu de A %y“*, sa valeur B’x’’1 — AaBa, tirée del’équation de l’hyperbole, ce numérateur devient
H4(xx"— A'-)a+ (RV’-A'B') (A’B’ — B’x1),
os l’htperbole. 3ii
et les produits étant développés et réduits, donnent enfin
À*B*(-r — x’Y Ay"‘ ’
le second membre étant un carré est essentiellement
positif ; ainsi l’on a toujours sur la tangente
A]y' — A*B*>o, ce qui prouve que tous ses points sont extérieurs à la courbe ; il n’y a d’exception que pour la valeur x — x"=o, qui rend cette quantité nulle; mais cette valeur nous ramène au point de tangence : lui seul est donc sur l’hyperbole.
236. La valeur de a devient infinie quand j" est nulle, car = o donnerait^" imaginaire ; et j" infini donnerait x" infini : ainsi , aux extrémités du premier axe de l’hyperbole , la tangente est parallèle aux ordonnées, et elle ne peut jamais devenir parallèle aux abscisses.
237. Si par le centre et par le point de tangence on mène une ligne droite, son équation sera de la forme
J = ax,
et la condition de passer par le point de tangence donnera
Cette valeur, étant multipliée par celle de a qui convient à la tangente , donne
et, en comparant ce résultat avec celui de l’article 22g, on voit (fig. 89) que le point de tangence M est sur une hyperbole , dont le premier axe est
3 151 DR l’hyperbole.
AT , et le rapport des axes - : d’où il suit que , pour
mener une tangente A l’hyperbole par un point M donné sur cette courbe, il faut mener, de ce point au centre, le diamètre AM; puis, par l’extrémité B' du premier axe BB' mener la corde B'N parallèle à AM ; MT , parallèle à BN , sera la tangente demandée.
Il résulte de cette construction et de la forme symétrique de l’hyperbole, que les tangentes MT, mi, menées aux extrémités d’un même diamètre , sont parallèles entre elles. Si donc on mène par le centre A une parallèle à ces tangentes, elles ne rencontrera jamais la courbe. Cependant, par analogie avec l’ellipse, on prend sur cette parallèle une longueur qui s’appelle le diamètre conjugué du diamètre AM, et qui se détermine comme ou le verra plus bas. Ici , comme dans l’ellipse , l’angle EAM , formé par deux diamètres conjugués, est égal à l’angle B'JNB des deux cordes qui leur sont respectivement parallèles, et qui sont menées des deux extrémités du premier axe à un même point de la courbe.
a38. En faisant y—o dans l’équation de la tangente, on trouve
Àa
C’est la valeur de AT (fig. 90) : en la retranchant de AP, ou aura la soutangente
On trouvera de même la sounormale
de l’hyperbole. 3 1 3
a 3g. Les formules précédentes peuvent encore servir pour mener des tangentes à l’hyperbole par un point exte'rieur; car, en représentant ses coordonnées par x', y , elles devront satisfaire à l’équation de la tangente ; ce qui donnera
A*/y — BVar"=— A*B\ (i) 1
On aura , de plus,
Ay B1*"* = — A“B5, (a) '
puisque le point de tangence est sur la courbe. Ces deux équations suffisent pour déterminer les coordonnées x", y, qui seront en général doubles pour le meme point ; et il est facile de s’assurer que ces valeurs seront toujours réelles, lorsque le point donné , ayant pour coordonnées x',y, serahors de l’hyperbole (235).
En appliquant ici lesconsidérations dont nous avons fait usage (nu 161) pour l’ellipse, on prouvera de même qu’en regardant les coordonnées x“,y", comme variables dans l’équation (i), celte équation est celle de la droite qui joint les points de contact simultanés des deux tangentes menées du pointextérieur, dontlescoordonnées sont x' , y . Si l’on assujettit cette droite h passer par un point donné , dont les coordonnées sont a et b, elle deviendra
A ’bjr' — h ax — — A B‘ ; ’ (3)
et alors, en y regardant x',y', comme variables, elle représentera une droite telle que, si d’un quelconque de ses points, on mène. à l’hyperbole deux tangentes, la corde qui joindra les deux points de tangence passera par le point donné, dont les coordonnées sont a et b.
En continuant de suivre, dans les calculs, l’analogie des deux courbes, on arrivera à une conslruc-
3i4 de l’hypehbole.
tion pareille pour déterminer la droite qui contient les sommets des couples de tangentes, quand ou connaîtra le point de concours des cordes , et réciproquement. La similitude est si parfaite, qu’il n’est pas besoin d’expliquer ici l’application de cette méthode , et qu’il suffira, pour s’en rendre compte , de jeter les yeux sur la fig. 91 .
24°- L’extension indéfinie des branches de l’hyperbole, introduit dans la direction de ses tangentes une loi très remarquable qui lui est particulière. Pour la découvrir, reprenons l’équation
Les deux valeurs de jr, qui en résultent, peuvent se mettre sous la forme
Développons le radical en série par le théorème du binôme, il deviendra
et en effectuant la multiplication par il viendra
/ Bx iBA 1 B A3 1 BA5
r = ±^T____g__-B r,etc.
A mesuré que x augmente, A et B restant les mêmes ,
BA. BAa ,,
les termes — , — — , etc., diminuent , parce qu’ils sont
divisés par les puissances successivement croissantes de x; et ainsi les valeurs Aey approchent de plus en pins de se
de l’hyperbole.
réduire art : on peut même , comme x est indéfini , A.
le prendre assez grand pour que la différence soit plus petite que toute quantité quelconque donnée. Par conséquent, si l’on construit deux lignes droites, dont les équations soient
Bæ
ces droites seront les limites des deux branches supérieure et inférieure de l’hyperbole , lesquelles s'en approcheront sans cesse, sans pouvoir les atteindre.
Cette dernière circonstance est bien facile à voir, car on aura toujours ‘
sur l’hyperbole , sur les droites ;
de sorte que les ordonnées^, correspondantes aux mêmes abscisses, seront constamment plus petites sur la courbe.
On peut également prouver , que les deux branches de la courbe s’approchent continuellement , et de plus en plus, deces deux droites qu’elles ne peuvent couper. Car , bien que la différence entre les carrés de leurs ordonnées et les carrés des ordonnées des droites soit constante , cependant la différence des ordonnées ellesmêmes va toujours en diminuant, de manière à devenir enfin plus petite que toute quantité donnée. Pour le faire voir, retranchons les deux équatiops précédentes l’une de l’autre , en désignant par y' les ordonnées des deux droites, afin de les distinguer de celles de la courbe, qui continueront d’être représentées par y ; nous aurons ainsi
3 iG
1>£ l’hYPEHIOLE.
(y— jr) (S+J) = B*;
ou
d’où l’on tire
y — y est la différence des ordonue'es. La fraction qui l’exprime a son numérateur constant; mais son dénominateur est variable, et augmente continuellement avec les ordonnées J, y, à mesure que l’on s’éloigne du centre de l’hyperbole. Ainsi , cette fraction diminue sans cesse. Et comme il n’y a pas de limite à l’accroissement des ordonnés y' ely, il n’y en a pas non plus à la diminution de la fraction. La différence des deux ordonnées y' — y peut donc devenir aussi petite que l’on voudra, et plus petite que toute quantité donnée.
Les deux droites qui enferment et limitent ainsi l’hyperbole, sans pouvoir l’atteindre, s’appellent ses asymptotes .
24 1. Pour les construire on mènera à l’extrémité du premier axe une perpendiculaire, sur laquelle on prendra deux ordonnées de signes contraires , égales toutes deux au demi-second axe B ; puis , par les extrémités de ces ordonnées et par le centre de l’hyperbole, ou mènera deux lignes droites. Ces lignes faisant avec le premier axe un angle dont la tangente irigouométrique est
ifc-, seront évidemment les asymptotes demandées.
Il est visible que l’hyperbole sera comprise tout entière dans l’angle formé par leurs directions.
242. On voit aussi, par ccs résultats, que si une ellipse cl une hyperbole sont construites sur les mêmes
de l’htpeebole. 3 « 7
axes, les diamètres égaux de la première formeront, étant prolongés , les asymptotes de la seconde.
?.43 • Si l’hyperbole est équilatère on a B = A ; les deux asymptotes font avec l'axe des angles de 45°, et sont perpendiculaires l’une à l’autre.
244- Il est facile de voir que les asymptotes sont aussi la limite de toutes les tangentes. En effet , l’équation générale de celles-ci est
A %yÿ — B’xr" = — A“B%
le point où chaque tangente rencontre l’axe réel de l’hyperbole a pour abscisse
C’est la distance de ce point au centre de la courbe. Sa position autour de ce centre dépend du signe de x", c’est-à-direde l’abscisse dupointde tangence; mais, eu ne considérant que sa longueur, on voit qu’elle diminue à mesure que xH augmente , et qu’elle devient nulle quand x" devient infinie , c’est-à-dire lorsque le point de tangence est infiniment éloigné. Ainsi , dans ce cas, les tangentes partent du centre comme les asymptotes. Mais quand x" est infini , la valeur dejr'’ devient Br”
aussi infinie et égale à ± — — ; de sorte qu’en la substi-
tuant dans la valeur de a qui convient à la tangente , et qui est généralement
on trouve
C’est précisément la valeur de a qui convient aux asymptotes ; ainsi , les tangentes extrêmes de l’hyper-
3i8 uk l’hÿpkrbolk.
bole coiucident avec les asymptotes; et généralement les autres tangentes s’approchent de plus en plus de celles-ci , à mesure que le point de tangence s’éloigne du centre.
245. Les directions de la tangente et de la normale dans l’hyperbole ont aussi des rapports remarquables avec les lignes menées des foyers aux divers points de la courbe : cherchons à les découvrir.
Si , du foyer F, pour lequel y — o, et x = \/ A*-f-B* (fig. 92), on mène une ligne droite FM à un point quelconque de l’hyperbole ayant pour coordonnées x", y, l’équation de cette droite sera
jr — y = — Xr).
La condition de
passer par le foyer donne, en faisant
La tangente au même point de l’hyperbole a pour équation (n' 235)
L’angle FMT , ou /Mt, qu’elle fait avec la droite FM, a pour tangente trigonométrique
qui se réduit à
en mettant pour a et et leurs valeurs, et observant
que
puisque le point x‘,y, est sur l’hyperbole.
Pareillement, si , du second foyer F7 , pour lequel Y — o, et x — — c\ ou mène au même point de tan-
gence une ligue droite, son équation sera
et l’on aura
3ig
I/angle F'MT, ou y'Mf, que fait cette droite avec la tangente MT de l’hyperbole , a pour tangente trigonomé tri que
, qui se réduit à
i au*
quand on inet pour a et * leurs valeurs. Les angles FMT et F'MT, ont ainsi une même tangente trigonométrique. Il faut donc qu’ils soient égaux ; ou que , l’un étant v, l’autre soit i8o° -f-v. Mais ce dernier cas est impossible, puisqu’ils sont toujours tous les deux compris dans l’angle F'MF dont la plus grande valeur possible est i8o°. Donc, dans Y hyperbole , les droites . menées du point de tangence aux deux foyers font avec la tangente , et de part et d’autre de cette ligne , des angles égaux.
Il suit de là que la normale MN divise en deux parties égales l’angle FMt formé par les rayons vecteurs menés des foyers à un meme point de la courbe.
Ces propriétés existent aussi dans l’ellipse , et il n’y a de différence que dans ce qui tient à la situation de la tangente par rapport à ces deux courbes.
246. Ceci fournit la construction suivante pour mener une tangente à l’hyperbole par un point donné.
Supposons-le d’abord sur la courbe .
On mènera les rayons vecteurs FM, F'M (fig. 9a) ; on prendra sur celui-ci, à partir du point M, MG=MF ;
320 UE l’hyperbole.
puis, joignant GF, et lui menant la perpendiculaire
MT, ce sera la tangente demandée.
En effet, par cette construction, les angles FMT, F'MT, sont égaux entre eux. On pourrait démontrer ici, comme dans l’ellipse , que la droite MT n’a que le point M de commun avec l’hyperbole.
Supposons le point donné Z extérieur à la courbe.
De ce point z comme centre, avec un rayon égal à F/, on décrira une circonférence de cercle. Du foyer F' comme centre , et avec un rayon égal au premier axe BB' de l’hyperbole, on décrira une autre circonférence qui coupera la précédente en G. Menant F'G qui rencontre la courbe en M, le point M sera le point de tangence , et /MT sera la tangente demandée.
Car, si l’on mène /G, on aura par construction Gz = F/; de plus, le point M étant sur l’hyperbole, et F'G étant égal au premier axe, on a MG = MF: donc la ligne M/ est perpendiculaire à GF, et divise l’angle F'MF en deux parties égales ; donc elle est la tangente demandée.
Les circonférences décrites des points F' et / comme centres, se coupant en deux points , oette construction donnera les deux tangentes que l’on peut mener à l’hyperbole par un point extérieur. Si ce point est compris entre les asymptotes et une des branches hyperboliques, les deux points de tangence seront sur cétte branche; mais s’il est hors de cet angle, les deux points de tangence seront situés sur les deux branches opposées. Dans tous les cas, les deux points de tangence seront réels ;car, pour tous les points situés lioés de l’hyperbole, la différence de leurs distances aux deux foyers est moindre que la longueur du premier axe, comme il est aisé de le voir; de sorte que les cercles décrits des points F' et t comme centres, se couperont toujours, tant que le point t sera extérieur.
de l’hti>erbole.
3ai
Des Propriétés de l’Hyperbole par rapport à ses diamètres conjugués.
2 47- Les propriétés de l’hyperbole, par rapport à ses diamètres , peuvent se déduire avec une extrême facilité de celles qui appartiennent à l’ellipse.
Eu effet , l’équation de l’hyperbole , rapportée à ses axes et au centre , est
Ay> — — AaBa.
Les abscisses sont alors comptées sur celui de ces axe» qui rencontre la courbe.
En faisant
x = ar'cos «+ j-' cos«', = o f sin « -\~y sin
on pourra établir entre « et m la relation nécessaire pour que le terme affecté de x'jr disparaisse. Mais on peut , sans effectuer le calcul , parvenir sur-le-champ à ce résultat ; car les équations précédentes se déduisent de celles de l’art. 161 , qui sont relatives à l’ellipse , en changeant B en B \/ — i dans ces dernières; et , par conséquent , les résultats auxquels elles conduisent ont entre eux la même relation. On aura donc pour l’hyperbole
(A’sinV — BacosV)j'/a-l-(Aasin*£t — Bacosa«)x'a= — A'B*
Aasin «sin a' — B1 cos « cos»' = o, ou
Aa tang « tang m — Ba = o.
En faisant successivement x' = o et jr' = o, on aura les distances de l’origine aux points dans lesquels la courbe coupe les diamètres auxquels elle est rapportée. Si l’on représente par A'“ et B'a les carrés de ces distances, il viendra comme dans l’article 164 8* Édit. 2 1
3a2 de l’hypehboi.e.
A'*= Bf«— A 15
A“sin* a — B* cos’ «’ A'sinV — B‘cosV*
En multipliant ces deux quantités l’une par l’autre, comme dans l’art i65, le résultat pourra se mettre sous la forme
(A”sin«sin« — ï}scos#cos«')4 — A* B* sin*
La première partie du dénominateur s'évanouit en vertu de la relation qui existe entre » et « ; il reste simplement
A4BJ
sin4 («' — *) ’
d’où il suit qu’une des quantités A', B , est imaginaire : et, par conséquent, l’hyperbole ne rencontre jamais en même temps ses deux diamètres conjugués , propriété que nous avions déjà reconnue précédemment.
248- Nous pouvons à volonté supposer réelle l’une ou l’autre des quantités A', B', et ce choix déterminera quel est celui des axes des coordonnées xr,y, qui rencontre la courbe. Supposons que ce soit l’axe des x , alors A' sera réel ; et, pour éviter les expressions imaginaires, nous représenterons par — B'1 la quantité que nous avions nommée B'4 ; ce qui donnera
A4sinJ« — B'cos'* ’
A1 sin“ a — B1 cos4 »’
Alors l’équation de l’hyperbole deviendra
A'jy* — B'4 x* = — A'3 B'*,
qui se déduitde celle que nous avons trouvée , art. 164, pour l’ellipse , en changeant B' en B \/ — 1 dans cette dernière. Les quantités 2A', 2B', sont appelées , par analogie, diaipètres conjugués de l’hyperbole.
quoique le premier seul coupe réellement la courbe. -jj- est le paramètre du premier diamètre , et 2-~-
est le paramètre du second. Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des variables x et y , en nous rappelant toutefois qu’elles appartiennent à des coordonnées obliques, et nous écrirons
On déduira facilement de cette équation que les carrés des ordonnées aux diamètres conjugués sont entre eux comme les produits des distances du pied de ces ordonnées aux sommets de la courbe; d’où il suit que, pour décrire une hyperbole dont on connaît deux diamètres conjugués, il faut décrire une autre hyperbole sur ces diamètres pour axes , et incliner convenablement les ordonnées de cette dernière , sans changer leur longueur.
249- A l’équation précédente, il faudra joindre les suivantes :
A'a — B'a = Aa — B%
A B’ sin (*' — *) ~ AB,
A5 tang a tang » — B’ = o.
qui se déduisent de celles de l’art.. 168, relatives à l’ellipse , en y changeant B et B' en B {/^~i et B' \/ — 1. Ces trois équations suffisent pour résoudre toutes les questions relatives à la recherche des diamètres conjugués de l’hyperbole.
La première signifie que la différence des carrés construits sur les diamètres conjugués est toujours égale à la différence des carrés construits sur les axes. Il résulte de cette propriété , que les hyperboles n'ont pas toutes, comme les ellipses, des diamètres conjugués égaux ; caria supposition de A'=B' donne A~B,
3s4 de l’htperbole.
et réciproquement. L’hyperbole équilatère est donc la seule qui ait des diamètres conjugués égaux , et tous les siens le sont deux à deux.
La seconde des équations précédentes signifie que le parallélogramme construit sur les diamètres conjugués est toujours équivalent au rectangle des axes, propriété qui a également lieu pour l’ellipse.
Enfin la relation
A’ tang a tang a — B‘ = o ,
étant comparée à celle de l’art. 229, signifie que l'on peut mener* par les extrémités du premier axe de l’hyperbole, deux cordes qui se coupent sur celte courbe, et qui soient respectivement parallèles à deux diamètres conjugués quelconques , dont la direction serait connue ; ce qui permet d’appliquer à l’hvperbole le moyen que nous avons donné (n° 169) pour trouver deux diamètres conjugués de l’ellipse qui fassent entre eux un angle donné.
250. Si, par les extrémités du diamètre sur lequel les abscisses sont comptées, on mène deux droites dirigées d’une manière quelconque, elles auront pour
* équations
a et â étant les rapports des sinus des angles qu’elles font avec ces deux diamètres. Pour que ces droites se coupent sur l’hyperbole , il faudra qu’on ait
A'" aa' — B'a = 0;
ce qui établit pour les diamètres une condition analogue à celle qui existe pour les axes.
25 1. Si, par un point pris sur l’hyperbole, et dont les coordonnées , par rapport aux diamètres conjugués, seront x",y", on mène une tangente à cette courbe, il
DE i’hTPEIIBOLE.
faudra combiner ensemble les trois équations
A 'y — B" x1 = — A'SB %
y — j" —a (x — x“)i a étant le rapport des sinus des angles que fait la tangente cherchée avec les diamètres conjugués auxquels la courbe est rapportée. L’analogie que nous avons remarquée entre l’ellipse et l’hyperbole, s’applique encore à ces équations, et en les comparant aux expressions trouvées n° 1^5, elle donne
B'ax"
et l'équation de la tangente devient
A’’ yf — B'a xx" — — A'* B'».
Celle d’une droite menée par le centre de l’hyperbole et le point de tangence serait en général Jr—=a x ,
et la condition qu’elle passât par le point de tangence donnerait
Multipliant cette valeur par celle de a, il vieut B'*
. ou A'a ad — B'a=o,
d’où il suit que le point de tangence est sur une hyperbole rapportée à des diamètres conjugués parallèles à ceux de la proposée , et dont le rapport est le même. Cette hyperbole passant à l’origine des coordonnées, et par le point où la tangente rencontre l’axe des x , un de ces diamètres est la distance de ce point à l’origine (fig. g3). Par conséquent, pour mener, d’un point M de l’hyperbole , une tangente à cette courbe,
32b de l'hyperbole.
on ineuera par ce point et le centre le diamètre AM ; par l’extréinité D' d’un diamètre quelconque DAD', on tir eraD'N parallèle à AM ; MT, parallèle DN, sera la tangente demandée. Cette construction est précisément celle qui nous a servi pour l’ellipse (n° 176) : on pourra donc appliquer à l’hyperbole toutes les conséquences que nous en avons déduites relativement à la recherche des diamètres conjugués et des axes, lorsque la courbe est décrite , et que son centre est connu.
Des Propriétés de l’Hjrperbole t’apportée à ses asymptotes.
252. L’équation de l'hyperbole prend une forme très remarquable , lorsque l’on choisit ses asymptotes pour axes de coordonnées. A cet effet, il faut se rappeler que ces lignes font, avec le premier axe, des
angles dont la tangente trigonomélrique est rt -•
Ainsi, en reprenant les formules générales de transformation
x—x' cos * -\-jé cos », y — x sin a +y‘ sin » , il faudra supposer
tang - = — tang“ = £•
Alors les coordonnées x', y, seront parallèles aux asymptotes. Or, en substituant ces valeurs de x et dey dans l’équation de l’hyperbole rapportée aux coordonnées rectangulaires
k*y* — B2xa = — A’ B*,
elle devient, comme dans le n° 247, entre les coordonnées nouvelles ,
(Assin*«' — Bacos,«’)j''J-+-(A>sina«— B'cos «)x'-“ )
-f-2(As sin«sin<e' — B’cos« C03»' )x'y' (
DK t/htpkrbole. 327
Les coefficiens d ejr'* et de x' sont nuis d’eux-ntêmes , en vertu des videurs précédentes de taug « et de tang « 1
Jga
celui de x'y' sc réduit à — —■ =r- ; et . en vertu de
ces valeurs , l’équation de la courbe devient
253. Réciproquement, il serait facile de prouver que les asymptotes sont les seuls axes de coordonnées qui ( puissent la réduire à cette forme. Il suffit , pour s’en assurer , de substituer les valeurs générales de x et de j- dans l’équation aux axes, et de déterminer «et« par la condition que les carrés des coordonnées y'9 et de a:'9 disparaissent ; car ou retombe ainsi sur les valeurs précédentes de tang a et de tang
254- Dans cette forme nouvelle de l’équation de l’hyperbole, on reconnaît aisément la propriété caractéristique des asymptotes, de s’approcher sans cesse de la courbe sans jamais la couper. En effet, si l’on considère la valeur dey', qui est AH-B*
J ~ çr7 »
on voit que cette valeur diminue à mesure que x' augmente , c’est-à-dire que la ligne PM, menée de l’asymptote à la courbe , est de plus eu plus petite , et ne devient nulle qu’à l’infini (6g. g4). lien est de même des valeurs de x' comparées à celles dey'; et, comme ces deux variables doivent toujours être de même signe pour que le produit x' y reste to uj ours positif , ces résultats sont les mêmes pour les deux branches de la courbe , il n’y a que le signe de changé.
o55. Si la ligne B'B (fig. 95) représente le premier axe de l’hyperbole , et que AX', AY', soient les nouveaux axes des x' et des .y', c’est-à-dire les
3a8 de l’htperboef.
asymptotes de la courbe, BE parallèle à AX' sera égale à v/A’4- Ba. Or, si par le sommet B de la courbe , on mène l’ordonnée BK terminée aux asymptotes, d’après la construction de ces droites, BK sera égale à AE ou au second axe B; par conséquent, AK sera aussi égal à BE, et par suite l’on aura AD — BD. En répétant la même construction de l’autre côté de l’axe AB, relativement à l’autre asymptote , la symétrie de la figure montre que ADBD' sera un losange , dont
le côté AD moitié de AK sera W — . Soit fi l’an-
gle X'AY' formé par les asymptotes entre elles ; l’équation précédente de l’hyperbole, multipliée par sin fi, donne
xjr1 stn/3= — — . siu fi.
Le premier membre représente l’aire du parallélogramme APMQ construit sur les deux coordonnées AP, PM , d’un point quelconque de la courbe. Le second membre représente l’aire du parallélogramme ADBD' formé sur lescoordonnées AD', D'B, du point B qui en est le sommet ; et l’équation précédente fait voir que ces quantités sont constamment égales entre elles. Le grand'losange BB'EE', quadruple de ADBD', se nomme la puissance de l’hyperbole.
a56. Lorsque l’hyperbole est équilatère , l’angle des asymptotes est droit s sin fi — i ; le losange ADBD' devient un carré qui est toujours égal au rectangle des coordonnées.
Pour plus de simplicité, nous supprimerons les accens des Mariables x'j, en nous rappelant toutefois
qu’étant comptées sur les asymptotes , elles sont en gé-
Aa -4- B1
néral obliques. De plus, nous ferons = M’,
et il viendra
DE t’iIYPIHiOLE.
xj = M*.
357. Soient x',j", les coordonnées d’un point quelconque de l’hyperbole ; on aura
Si par ce point on lui mène une tangente , elle aura pour équation en coordonnées asymptotiques
Il s’agit de déterminer a.
Pour cela, nous considérerons d’abord cette droite comme une sécante ; et, pour trouver les points où elle rencontre l’hyperbole , nous combinerons les trois équations précédentes. Or, les deux premières étant retranchées l’une de l’autre , donnent
xj— xj =0,
qui peut se mettre sous la forme
ou, en metlant pour — j" sa valeur tirée de l’équation de la droite ,
(x — je") {ax +j") = o.
Cette relation est satisfaite quand je •= je" ; ce qui donne j — j", parce que x”, j", sont les coordonnées du premier point d’intersection. L’autre facteur , égalé à zéro, donne
ax+j* = o.
Si la droite est tang ente , cette relation devra encore être satisfaite quand x = x", et j —j"\ ce qui donne
ax"+j"=z O , ou 0 = — p;
et, d’après cette valeur, l’équation de la tangente de-
vient
DE L HYPEBBOLE.
JH
258. En faisant^ — o dans celte équation, on aura l’abscisse du point où la tangente rencontre l’axe des x, et x — x" sera la valeur delà soutangente comptée sur les asymptotes. On trouve ainsi
c’est-à-dire que, lorsque l’hyperbole est rapportée à ses asymptotes, la soutangente pour chaque point est égale à l’abscisse correspondante , et lui est opposée en direction. Ainsi, pour mener cette tangente MT, fig. g5, il faut prendre sur l’asymptote, à partir du pied de l’ordonnée PM , une longueur PT = AP = x", dans une direction opposée à l’abscisse ; MT sera la tangente demandée.
On voit, par cette construction même, que, si l’on prolonge la droite MT jusqu’à sa rencontre avec l’autre asymptote en t, on aura Ml — MT. La portion de la tangente qui est comprise entre les asymptotes , se trouve donc coupée au point de tangence en deux parties égales.
25g. Du centre à un point quelconque M de l’hyperbole , fig. g5 , menons un diamètre AM que nous nommerons A'; et appelons toujours fi l’angle Y'AX' formé par les deux asymptotes : les triangles AMP, TMP, donneront , quel que soit (3 ,
AM’=jr’ ixy cos 0 ,
TMa = jr* -f- x* — 2 xy cos 0 ;
d’où l’on tire
L’angle Y'AB, X'AB , formé par les asymptotes et l’axe réel de la courbe, a pour tangente irignnométri-
AM” — MT’ = 4 xy cos 0.
DE l/HYPERBOLE.
que - ; on aura donc, en le nommant 6, - A
cosfc
L’angle fi = aô : donc
cos £ = cos* S — sin’ 8 ,
qui donne
C0S*=Âqr b**
L'e'quation de l’hyperbole donne 4*r = A* + B’.
Substituant dans l’équation (i), il vient
AM*— MT», ou A'*— MT* = A* — B*.
Or , si l’on nomme B' la longueur du demi-diamètre conjugué à A', on a toujours A'* — B'* = A* — B», donc MT=B'; c’est-à-dire que MT est, en longueur, le conjugué de AM, et TMtde MAm : ainsi, lorsque l’on connaît un premier diamètre mAM de l’hyperbole , son conjugué est égal à la portion TM< de la tangente menée à son extrémité, et terminée aux asymptotes.
260. On vient de voir n° 257 que, si d’un point quel, conque M" pris sur l’hyperbole (fig. 96), et dont les coordonnées asymptotiques sont x", jr“ , on mène une ligne droite qui ait pour équation
l’autre point M", dans lequel elle rencontre la courbe, est déterminé par l’équation
d’où
33a ut l’htpkhbole.
C’est la valeur de l’abscisse AP". Mais, si l’on fait jr— o dans l’e'quation de la droite , elle donne aussi
Alors x représente l’abscisse AQ" du point ou la droite rencontre l’asymptote AX , et x-r- x" est la valeur de P"Q” ; il résulte donc de ces expressions que P"Q"=AP*. Par conséquent, si l’on mène M"Q', parallèle à AX, les triangles P" M" Q", Q' M" Q", seront égaux , et les lignes M"Q", M" Q*, seront égales entre elles.
C’est-à-dire que , si d’un point quelconque de l’hyperbole on mène une droite quelconque terminée aux asymptotes, les portions de cette droite comprises entre les asymptotes et la courbe seront égales entre elles. Cela a encore lieu quand la droite est tangente , comme on l’a vu précédemment.
Ceci fournit un moyen très simple de décrire une hyperbole dont on connaît un seul point M", avec la position des asymptotes ; car en menant de ce point une droite quelconque Q"M"Q* terminée à ces'lignes , on portera Q"M"deQ"' enM"; M* sera un nouveau point de la courbe. En répétant cette construction , on trouvera autant de points que l’on voudra.
Pour le tracé, il est plus commode de ne pas mener toutes les lignes d’un seul point M ; et de faire successivement servir à cet usage quelques-uns de ceux que l’on détermine. On évite ainsi la confusion qui résulterait d’un grand nombre de lignes passant par un même point.
On peut employer cette construction dès que l’on connaît les deux axes de l’byperbole et son centre ; car il est alors facile de déterminer ses asymptotes.
d« i/hyperbole.
Sur F Equation polaire de l'Hyperbole , et la mesure de sa surface. ,
261 . Reprenons l’équation de l’hyperbole rapportée à ses axes, et à des coordonnées rectangulaires ,
A’jr4— Bax* = — A*B%
et proposons-nous de la transformer en coordonnées angulaires, ayant leur pôle en un point quelconque , dont les coordonnées soient x',y. Pour cela, soit rie rayon vecteur mené de ce pôle , et w l’angle qu’il forme avec une droite fixe parallèle à l’axe des x , du côté des x positifs. D’après ces conventions, on aura , n° 100,
x=zx’ -f rcosr, j~j' -J-rsint>;
et ces valeurs étant substituées dans l’équation précédente, elle devient
AasinVïr“4- 2Asysin vir-f A’y*— Bsx'ai= A*B*.
— B’cosV J — aB’x'cosp J
Je ne chercherai point à discuter cette équation sous sa forme générale , la marche que nous avons suivie n° >82 pour l’ellipse s’appliquant ici littéralement; mais je passerai tout de suite au cas où l’on place lé pôle des nouvelles coordonnées à uu des foyers , par exemple, à celui qui est situé du côté des x positifs, en F, fig. 97. Pour cela , il faudra faire
puisque ce sont là les coordonnées du foyer F dont il s’agit. En substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle devient
{ A 4 sin4 v — B1 cos* k) r* — 2BV cos u . r = B» ;
et si, après l’avoir résolue par rapport à r, on traite les deux racines comme nous avons fait n° i83 , dans le
334 DE l'hyperbole.
cas de l’ellipse , on trouvera d’abord ces deux valeurs,
B'(x' cos v -f- A) Bs(.r' cos v — A)
A“siu“v — Bacos“i<’ r A" sin“ v — B*cosV*
qui , en chassant B* du dénominateur au moyen de sa valeur en x'2, et faisant disparaître les facteurs communs, deviennent
A — x' cosv’ A +xcoj/
Discutons d’abord la1 première. Si l’on y fait v = o, le rayon vecteur sera dirigé sur l’axe AX même, du côté où il s’étend à l’infini. Alors cos v étant égal à l’unité, le dénominateur de r devient.... A — .r', ou A — 1/ A” + Ba , quantité essentiellement négative; r est donc aussi négatif dans cette circonstance, et ne peut pas être construit. Ainsi, la courbe n’a pas de points réels dans cette direction.
11 est aisé de voir qu’il en sera ainsi jusqu’à ce que la valeur de cos v soit devenue assez petite pour que le produit x' cos e qui est affecté du signe — , devienne moindre que le terme positif A. Cette condition commencerai être remplie quand on aura
A — .r'cosv = o: d’où cosv = — , = — . —
Cette valeur de l’angle v est précisément l’inclinaison des asymptotes sur l’axe; alors, en effet, le rayon vecteur r commence à devenir réel , et de plus il est infini.
Pour toutes les valeurs de v plus grandes que cette limite, mais moindres que go”, x' cos v est positif et moindre que A ; quand v surpasse go®, x' cos v devient négatif et — x' cos v est positif. Dans tous ces cas , le dénominateur A — .r'cose est donc positif, ainsi que r;
ue l’hypebbole. 335
et, par conséquent , la courbe a toujours un point réel sur chacune de ces directions.
> La serie de tous ces points constitue la branche de l’hyperbole qui est située du côté des abscisses positives, et ainsi, l’on voit que notre première racine appartient à cette branche exclusivement.
Mais en discutant de même l’autre racine, on verra qu elle appartient à la seconde branche , située du côté des abscisses négatives. En effet, elle donne des valeurs de r négatives, conséquemment inadmissibles ( page 166) , pour toutes les valeurs de cos v comprises
entre cosv=, et cos v = - £ dont la première di-
rige le rayon vecteur sur l’axe AX du côté des abscisses positives , et l’autre le rend parallèle aux asymptotes de la seconde branche de la courbe. Pour toutes les autres valeurs de v, plus grandes que celle de la dernière limite, r devient constamment positif; et enfin il se dirige au sommet B' de la courbe, lorsque v= i8o°.
Pour mettre les expressions précédentes souslaforme ’ que nous avons adoptée pour l’ellipse, nous introduirons la quantité e qui exprime le rapport de l’excentncite au demi-grand axe , ce qui donne
ou
et nos deux valeurs de r deviendront
i e cos v i -f- e cosv
D’après ce que nous venons de voir, ces deux équations appartiendront chacune à une seule branche de l’hv perbole; avec cette différence que, dans la première , origine des rayons vecteurs r se trouve placée au foyer intérieur, tandis que dans la seconde, cette origine se trouve placée au foyer extérieur. Quand nous avons
de l’hypekbole.
transformé l'équation de l’ellipse en coordonnées polaires , nous avons obtenu aussi deux valeurs du rayon vecteur, séparées et rationnelles , relativement à cos v. Mais l’une de ces racines donnait constamment des rayons vecteurs négatifs ; taudis que l’autre, constamment réelle , donnait à elle seule tous les points de la courbe. Dans l’hyperbole nous trouvons également deux valeurs de r séparées et rationnelles ; mais chacune d’elles représente une des deux branches de la courbe , et donne tantôt des valeurs réelles , tantôt des valeurs imaginaires. Ce rapport et ces différences entre l’ellipse et l’hyperbole méritent d'être remarqués.
' 262. Si dans la première des équations précédentes,
où l’origine est au foyer intérieur, on voulait compter les angles t> à partir du sommet de la courbe , il suffirait de changer v en 180° — v , ce qui changerait seulement le signe de cos v, et l’on aurait alors
