B* — 4AA', B1* — 4A A", • C‘ — 4 AF
soient de même signe, et par conséquent négatives, puisque la première doit l’être : pour cela, il faut que les coefficiens A', A", A”, soient de même signe , sans qu’aucun d’eux soit nul.
En faisant donc , pour plus de simplicité ,
b* — 4 ac = a. bd — 2 ae = b',
(bd — aae)* — (b1 — 4 ac) (d* — 4 af) — *3 » nous aurons les trois conditions
Lorsqu’elles seront remplies , l’équation proposée sera impossible, et ne représentera aucune surface.
On peut s’assurer aisément de cette vérité , eh observant que si l’on égale à zéro la quantité
ay* + bxy + ex* + djr -f- ex +/ pour la résoudre dans ses facteurs simples , on pourra , en opérant comme dans la page 354, la mettre sous la forme
^ {(aqr -f- bx -f d)* — {dx 4- b'y -f ^ J.
Par conséquent, l’équation proposée équivaut à la suivante ,
(2Âz + By + B'x + 0* - 0 2ay + bx + </)’ j
et l’on voit clairement que tous ses termes sont positifs, quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux variables x,y,z, si a, a' et Q, sont négatifs ce qui rend l’égalité à zéro impossible.
Si Q est nul, a et d étant toujours négatifs, l’équation peut être satisfaite , mais seulement en supposant chacun de ses termes nul en particulier ; ce qui donne
aAz+By-t-B'sr-f Ct=o, aay-\-bx+d=.o, dx-j-b'—o.
Ces trois équations suffisent pour déterminer les coordonnées x,y, z; et, comme il n’en résulte pour chacune d’elles qu’une valeur, il s’ensuit qu’alors la surface se réduit à un point.
Il est à remarquer que la quantité Q reste la même quand on y change tous les signes des coefficiens a, b, e....
3i8. Il peut arriver aussi que l’équation proposée soit décomposable en facteurs réels du premier degré , et alors elle représenterait le système de deux plans. Pour cela , il faut que la quantité affectée du signe radical, dans la valeur de z, soit un carré que l’on pourra par conséquent représenter par ( my -f- flx ■+■ y)3, «, 0, y, étant des constantes indéterminées : développant cette expression , elle devient
a-'y + aafixy -f- 4- i*yy -f- ZyfiX -f y% ;
et, en la comparant terme à terme avec la quantité a J- 2 + bxJ + cx% + ày -4- ex +/,
on a
asfy = d ,
2yfi = e ;
d’où l’on tire
—4 af=°,
ce qui exige que les quantités a,
c,f, soient de même
signe. Lorsque ces
trois équations seront satisfaites,
ou aura
pi
les signes des radicaux étant déterminés d’après ceux des quantités b, d, e; et l’équation proposée 6e résoudra en deux facteurs , qui seront
+ Va y ===o.
Si les trois quantités a, c,f sont positives, ces facteurs représenteront des plans réels. Si elles sont toutes trois négatives, le facteur commun {/a sera imaginaire, et pour obtenir des valeurs réelles de x , y, z, il faudra faire en même temps
Alors la proposée représentera une ligne droite. Ces deux seuls cas sont possibles d’après les équations (B) ,
Dü SXCOND ORDRE. 3gg
puisque o, c,f, doivent avoir toutes trois le même signe.
Les valeurs de b, d, e, tirées des équations (A), donnent
bd — a ae — o.
Ainsi , en se reportant au numéro précédent, les quantités que nous avons nommées à, b', Q, sont nulles lorsque l’équation proposée est décomposable en fac- , leurs du premier degré.
Si l’on développe les équations (B), en mettant pour a, b , c, leurs valeurs, elles deviennent
AB'» + A'B'* - A"B» — BB'r 4AA'A" = o, (0
AC'“ + À'C» + FB» - BCC' - 4AA'F = o, (a)
AC"» -f- A"C» + FB'» — B'CC" — 4AA"F = o. (3)
Les deux dernières sont celles que l’on obtiendrait en faisant successivement abstraction de x et de j- dans la proposée , et écrivant que le résultat est décomposable en facteurs du premier degré. Il est facile de s’en assurer, en les comparant avec celle de l’article 089. La première n’est point symétrique avec les deux autres, et cela vient de ce que nous avons résolu l’équatiou par rapport à z; ce qui n’a laissé que x et y sous le radical : en la résolvant par rapport à y, on trouverait pour une des trois équations de condition la suivante : A'C'» 4 A'C» + FB'» — B"CC" - 4 A' A "F = 0. (4) Cette équation, qui ne contient que lescoefficiens de x et dey, doit nécessairement être comportée par les trois précédentes : de plus , comme elle contient la lettre B", qui ne se trouve pas dans les deux dernières et la lettre F , qui ne se trouve pas dans la première' elle ne peut résulter que de la combinaison de ces trois équations. On peut donc la substituer à une d’entre elles, par exemple, à la première, et l’on aura alors les trois conditions (a) (3) (4), pour que la proposée représente deux plans ou une ligne droite : ces équa-
tions de condition pourront même être employées quand une des quantités A, A', A", qui multiplient les carrés des variables x ,jr, z, deviendra nulle.
Si l’on voulait parvenir directement aux trois équations (a) (3) (4) , il faudrait rendre la proposée homogène et symétrique, en y substituant pour jr, jr, z ; -,
—, - ; n étant une nouvelle indéterminée , on trou- •
verait ainsi
■^,+A.'>y!'-}-A"x*4-B>7-«-f li'xz-{-K'.Tj--\-£zn-\-C'j-n-^-C"xn ! Fn’=o;
et en résolvant cette équation par rapport à n, ou chercherait les conditions qui rendent le polynôme décomposable en facteurs rationnels; on obtiendrait ainsi directement les trois équations (a) (3) (4).
319. Le principal caractère par lequel nous avons classé les courbes du second degré, est l’absence ou l’existence des branches infinies. On distingue également , parmi les surfaces du second ordre , celles qui sont renfermées dans un espace limité , et celles dont le cours est indéfini.
Généralement, lorsqu’une surface est renfermée dans un espace fini , si l’on mène une droite qui la rencontre en plusieurs points, la portion de cette droite qui est interceptée entre les points d’intersection ne pourra jamais devenir infinie ; et il est évident que cette propriété appartient exclusivement à ce genre de surface : cherchons les conditions qui l’établissent dans celles du second ordre.
Soient donc
x = « z + jS, j — « z 4-/3’,
les équations d’une ligne droite quelconque dans la-
nu SECOND ORDRE.
quelle u, 0, -a! , 0', sont des constantes absolument arbitraires qui de'pendent de la position de la droite s les points où elle rencontre la surface du second degré
Ajza— A"^«ra— f -Bj'z 4-B'x;-f-B''xj'-)-Cz-f-C'j--f-C*.r-|-F :
seront déterminés par le système de ces trois équations (n° 7g). Il faudra donc en tirer, par l’élimination , les valeurs des coordonnées x, y, z; ce qui revient à chercher les intersections de la surface par chacun des plans projetans, et à déterminer ensuite les points communs à ces deux intersections. Ainsi, pour que la surface proposée soit renfermée dans un espace fini , il est nécessaire et il suffit que ces courbes soient toujours fermées, quelle que soit la direction des plans coupans.
Si l’on combine d’abord la première des équations de la droite avec celle de la surface , et qu’on élimine x entre elles, il viendra une équation du second degré qui appartiendra à la projection, sur le plan des yz, de la courbe suivant laquelle le premier plan projetant rencontre la surface : cette équation sera de la forme a z* + b'zy -f- c'y » -f d'z •+• e y -f-/'= o.
Pour qu’elle appartienne à une courbe fermée , il faut, comme on l’a vu n" 270 , que b,% — t\ac soit une quantité négative : or, sans effectuer entièrement le calcul de l’élimination , il est aisé de voir que l’on a
a' = A B'« 4- AV, Ô' = B + B*«, c' = A'; cé' qui donne < •
(B"* — 4A'A>“ + a(BB’ — aB'A> + BJ — 4A A'<o. Cette condition devant être remplie, quel que soit*, il est visible que l’on aura d’abord (n° 270)
A' et A" seront par conséquent de même signe, posi- 8* Édit. 26
4©a DES SURFACES
tives par exemple , si nous supposons la première po* sitive , ce qui est permis.
Il faudra ensuite que ce polynôme reste toujours négatif, quel que soit « ; ce qui exige qu’en l’égalant à ze'ro, il ne donne pour * que des valeurs imaginaires : pour cela, il faut qu’ouait (n° 377)
(BB* — aB'A')1 - (B* — 4^ A') (B"* — 4A'A") < o, (4)
ou, en développant et divisant par qui est une quantité positive ,
AB"* + A'B'* -b A"B“ — BB'B" — 4 A A' A" < o. (5) Cela ne peut avoir lieu qu'en supposant B* — 4 A A' < o.
Ilfaut par conséquentque les quantités A, A', A", soient toutes trois de même signe , c’est-à-dire positives, sans qu’aucune d’elles soit ifulle.
Ceb conditions (-tant satisfaites, la section faite dans la surface par le premier plan projetant de la droite sera une courbé fermée, quelle que soit la direction du plan. 1 * 1 • "‘-1 '
En combinantde la même manière l’équation
du second plan projetant de la droite avec celle de la surface , on trouvera que l’intersection sera une courbe fermée , si l’on a
B"* — 4AA"<o,
(B'B"— aBA")*— (B'*— 4AA") (B"*— 4A'A")<o ; <• (6) ce qui exige que l’on ait
B'* — 4AA"<o.
Mais ces conditions ne diffèrent qu’en apparence des précédentes ; car si l’on développe la formule (6) , et qu’on la divise par 4 A", qui est une quantité positive,
Dl> SECOND ORDRE. ' ^o3
elle donnera la formule (5) : et, réciproquement, en multipliant la formule (5) pat-4A", on retrouvera la formule (6). Par conséquent, la condition B'a— 4A'A"< o est implicitement comprise dans les précédentes. L’analogie fait aisément sentir qu’en multipliant la formule (5) par 4A, on peut lui donner la forme
(BB' - aAB")’ - (B‘4àA'( (B'= - 4 A A") < o.
Il suit de la que, pour qu’une surface du second degré soit renfermée dans un espace fini, il est nécessaire et il suffit que son intersection, par un plan perpendiculaire à un des plans coordonnés , soit toujours une courbe fermée, quelle que soit d’ailleurs la direction du plan coupant autour de la coordonnée qu'il renferme : il est aisé de voir que ce caractère peut servir à déterminer les surfaces finies de tousles ordres Cette propriété tient & ce que l’on peut trouver l’intersection d’une droite avec une surface , sans combiner immédiatement l’équation dé Ta surface avec celles des deux plans projetai de h droite ; Car on parvient au meme but, en cherchant les points dans lesquels un des plans projetans rencontre la courbe Suivant laquelle l’autre a coupé la surface.' Il suffit donc, pour nUe celle-ci set comprise dans dn ehpce fini/que la courbe
dont il s agit soit toujours fermée, quelle qUésoitla
direction du plan projetant qui doit la couper
Nous conclurons de ce qui précède, qu’une surface
du second degré , dont l’équation est *
Az' +A^+A''z''+Bj-z^B'xz-f-B".rr-f-Cz-fC>4,C'xJ-F—o ,
ne peut être renfermée dans un espace fini, à moins quon naît entre les çoefficiens de cette équation les relations suivantes :
Ba— 4AA'<o B'a— 4AA"<o B"2 dA'AV'n ,yi\
AB"2 a- A'B’2 -f. A"B2 — BB'B"— -4AA'À" <o .
^0/j DES SURFACES
Mais nous observerons qu’une quelconque des trois premières, prise conjointement avec la dernière, comporte les deux autres.
Pour prendre une idée nette de ce que ces formules représentent, supposons que l’on fasse successivement ■ x— o, J = o, z=o,
dans l’équation générale des surfaces du second degre ; on obtiendra, par ce moyen, trois équations aussi du second degré, qui appartiendront aux sections faites dans la surface par les trois plans coordonnes : les trois premières des conditions (A) signifient que ces sections, nue nous nommerons les traces de la surface, sont des courbes fermées. Mais cela ne suffit pas pour que a surface soit elle-même fermée , et il faut encore que la quatrième condition soit remplie. C est ainsi , par exemple , qu’un cône droit, qui est une surface d une étendue indéfinie, peut cependant être place, par lapport à l’origine, de manière que ses intersections par les trois plans coordonnés soient des ellipses.
On voit, par ,les formules précédentes, que toutes les surfaces du second degré , qui sont de. nature a etie comprises dans un espace fini , renferment neccssa.rement dans leur équation les carres des variables x, J , z. et en effet, si une de ces variables , 2 par -exemple, ne s’y trouvait qu’à la première puissance, sa valeur serait toujours réelle , quelle que fût celle des autres ; et , si elle n’entrait pas du tout dans 1 équation , elle serait absolument arbitraire ; en sorte que, dans l’un et l’autre cas, la surface s’étendrait indéfiniment dans le sens de cette variable.
32o Considérons maintenant les diverses particularités du cours de ces surfaces; mais pour les discuter avec plus de facilité , et distinguer plus nettement les propriétés qui les caractérisent, cherchons à simplifier
l'équation générale, comme nous avons fait dans le cas des courbes planes en changeant convenablement les coordonnées.
3ai. Ne faisons d’abord que transporter l’origine.
En nommant x et y les nouvelles coordonnées , on aura
jc=x'-+«, J=y + fi, x=Xr + y.
En substituant ces valeurs, on peut disposer des indéterminées «, fi, y, de manière à faire disparaître les termes affectés des premières puissances des variables x’,/, 2' ; ce qui donne les trois équations
2 y fi BV 4- B + C'= o , (2)
et, en représentant par L la quantité
Ay a -f A' £’+ AV-i-B/Sy -J- B'«y-f B"a,s-f-Cy-f C'H+Cm +F ,
qui ne contient que des quantités connues, la transformée devient
A2'a+Ays+A Va+B2>-' +B'z'x'+B"a:y+L =o. f3)
Cette équation reste la même, quand on y change -f- x’, +y, -f- z , respectivement en — x', — y, — z'.
Si donc, par l’origine des coordonnées, on mène une ligne droite dont les équations soient de la forme
x' — mz , y = nz ,
les points où elle rencontrera la surface auront leurs coordonnées respectivement égales et de signes contraires : par conséquent, la portion de cette droite interceptée par la surface se trouvera divisée en deux, parties égales à l’origine des coordonnées. Cette origine sera donc le centre de la surface , en attribuant à cette
4o6 di;s surfaces
expression la signification que nous lui avons donnée
dans les courbés planes , n° 3oo.
Les équations (2) , qui déterminent la position de ce centre , étant linéaires , elles donneront toujours pour *, fi, y, des valeurs réelles; mais les coefficiens A, B, C, peuvent avoir entre eux des relations telles, que les valeurs*, (S, y, deviennent infinies, et alors le centre de la surface sera infiniment éloigné, circonstance analogue à celle que présente la parabole parmi les sections coniques.
Pour savoir quand cela arrivera , il faut tirer des équations (2) les valeurs de «, /S, y, et examiner les cas où leur dénominateur peut devenir nul. Si l’on calcule ce dénominateur par la méthode ordinaire d’élimination , on aura , en l’égalant à zéro ,
AB"i-)-A'B'a4-A"B“— BB'B"— 4AA'A"=o. (D)
C’est la condition nécessaire pour que le centre de la •surface soit infiniment éloigné.
Si cette équation était satisfaite, et qu’on eût en même temps
les valeurs de *, fi, y, ne seraient plus infinies: il est aisé de voir qu’alors une quelconque des trois équations (2) serait comportée par les deux autres. Elles ne suffiraient donc plus pour déterminer les trois coordonnées *, fi, y : par conséquent, il y aurait une infinité de centres tous situés sur une même ligne droite qui serait l’intersection de deux plans ayant pour équations
îAy-f B fi+ B’a = o ,
2 A' fi -J- B"«4- B y = o .
Dans ce cas, la surface est un cylindre droit indéfini, à hase elliptique ou hyperbolique, comme nous le
DD SECOND ORDRE. ^0fj
verrons plus bas, et l’axe de ce cylindre est le lieu de tous les centres.
322. Faisons d’abord abstraction de ces cas particuliers , et conside'rons en général les surlaces qui ont un centre; c’est-à-dire dont l’équation peut être mise sous la forme
Az'*+Ay*+AV‘+By/+BW+BVy+L— o;
pour la simplifier encore, changeons-y la direction des coordonnées, en les laissant toujours rectangulaires , et cherchons à déterminer le nouveau système de manière à faire disparaître les termes qui contiennent les rectangles des coordonnées ; il faudra , pour cela , faire n° 97
x' — x * cos X +y cos X' -j- z" cos X", y = x‘ cos Y +y cos Y' + z' cos Y", a’= x" cos Z -{-y cos Z' -f- zn cos Z",
et joindre à ces équations les suivantes :
cos’ X + cos’ Y -f- cos* Z = i , cos’ X' -f- cos* Y' -f- cos* Z' = i, (A)
cos* X* -4- cos’ Y" -f- cos* Z' = i , cos X cos X' cos Y cos Y' -f- cos Z cos Z' = o, cos X cos X* + cos Y cos Y" cos Z cos Z" = o , (B)
cos X'cos X* -J- cos Y' cos Y* -)- cos Z' cos Z" = o ,
ce qui donnera une équation de la forme
Ma’*-fM'y*-{-M"r"*4-N2'y+N'a"2:'-fKVy-|-P=o
Sans effectuer entièrement le calcul , on peut aisément former les valeurs des coeflir.iens N, N', N” ; et, en les égalant à zéro, on aura les trois équations suivantes:
2 A cos Z cos 11 -f-B (cos Z cos Y' -f- cosY cos 11) } -j-aA'cosY cos Y' -f-B' (cos ZcosX'-f- cosXcosZ') 1 = o } 4-2 A"cos X cosX'+B'(cosY cos X'4- cosX cos Y') ) aA cosZ cos Z"-f-B (cosZcos Y'-f-cosY cosZ'))
-1-2 A'cos Y cos Y’ 4-B'(cosZ cos X'4- cosX cos Z") t =o(C 4~2A'cosXcos X“+B'(cosYcos X'4-cosX cos Y") J aA cosZ'cosZ“-f-B (cosZ'cosY" q-cosY'cosZ') ) -f-2A'cosY'cosY'4-B'(cosZ'cosX"-}-cosX'cosZ") )=? o ; -f- jsA"cosX'cosX" -f-B”(cosY'cosX" -f- cosX'cosY”) )
ou peut, au moyen des neuf équations (A) (B) (C), déterminer les neuf quantités d’où dépend la position des trois axes ; et, en substituant leurs valeurs dans la proposée , elle se réduira à cette forme très simple
Mz'# + My » + M"x"a + L = o.
Mais la possibilité de la transformation dépend de la réalité de ces valeurs.
Pour s’assurer de cette possibilité , il faut observer que les équations (A) (B) (C) restent les mêmes, quand on y change X,Y,Z,respectivementcnX',Y', Z', ou en X',Y',Z*. Ces équations sont donc symétriques par rapport aux trois axes des nouvelles coordonnées x"yz" : par conséquent, il doit être possible de les décomposer en trois systèmes équivalens (A) (A ) (A"), dont chacun ne renfermera que les quantités relatives à un de ces axes. Ces trois systèmes devant être encore symétriques , comme les équations (A) (B) (C), un seul de ces systèmes pourra représenter les deux autres , et devra donner pour chacune des inconnues trois valeurs qui appartiendront aux trois axes des xuÿ'z .
Pour obtenir ces équations éliminées, multiplions la première des équations (C) par cos Y", la seconde par cos Y', et retranchons ces deux produits l’un de l’autre ; en faisant , pour plus de simplicité ,
DU SECOND OKDRE.
ik cos Z -f- B cos Y + B' cos X = M,
2A"cos Y 4- B'cos Z 4- B' cos X = P ,
il viendra
M (cos Y' cos Z" — cos Z' cos Y") I
