B--4AC

Maintenant, introduisons au lieu de a/ une nouvelle variable x", telle qu’on ait

BD — aAE) ,

fD’-4AF.

(B’ — 4 AC) cos «

ce qui n’est autre chose que déplacer l'origine des x' sur le diamètre Ï)X', et la porter du point D, où elle était placée, en un autrepoint D', tel que DD' soitégal , BD — 2AE , ,,

a ^ — 4AC)~cos « ’ a ors * équation rapportée au nouveau système des y' et des x”, deviendra

AVEC LES SECTIONS CONIQUES. 3gi

4A.y*=(B*-4AC)cos’«.x"*— (-?=^-+D'-4AF ; (3)

et , sous cette forme , ne contenant plus que les carrés des deux coordonnées avec un terme constant, on voit qu’elle ne peut représenter qu’une ellipse ou une hyperbole rapportées à leur centre , où à des diamètres conjugués; l’ellipse ayant lieu lorsque le coefficient B* — 4^C est positif, l’hyperbole lorsqu’il est négatif.

3 1 1 . Cette réduction suppose seulement que notre dernière transformation des coordonnées est possible à réaliser :'or elle le sera toujours , à moins que l’abscisse

BD — ?.AE . nr., ,

777 , représentée par DD , ne devienne

(B“ — 4AC) cos v >

tout-à-fait infinie, ce qui arriverait si le dénominateur (B* — 4AC) cos « était nuL Mais cos « ne peut pas être nul, parce qu’il en résulterait «=go°, ce qui rendrait A nul , et le diamètre DX' parallèle à l’axe des y primitifs , circonstance que nous avons exclue dès l’abord. Il ne reste donc que le cas où B2 — 4^C serait nul lui-inème; or, en remontant à la première transformée entremet x' , et y faisant immédiatement usage de cette condition , elle se réduit à ,

4A’/’= — a(BD — 2ÀE)cosa.a:' -f-D“ — 4^F ; (4) d’où l’on voit qu’elle représente alors une parabole rapportée à son diamètre DX'. Ainsi, dans tous les cas possibles, l’équation du second degré proposée ne peut représenter qu’une hyperbole, une ellipse, ou une parabole, c’est-à-dire une des sections du cône.

3t2. Tous les cas particuliers que ces sections présentent, se déduisent même avec évidence de ces transformations. Par exemple , si , dans l’équation (4) , on suppose BD — 2AE nul, le terme variable en x disparaissant , la parabole se changera en deux lignes droites

3ga

parallèles à l’axe des x' ; et si D1 — 4^F est aussi nul , les deux droites se réuniront en une seule , située sur cet axe même. Pareillement , si l’on suppose le terme constant nul dans l’équation (3) , elle donnera deux droites qui se coupent lorsque B’ — 4^-C sera positif, et un point lorsque B* — 4^0 sera négatif. Enfin, si ce terme constant tout entier, au lieu d’être nul , est négatif, B2 — 4AC étant aussi négatif, tous les termes passés dans le premier membre, formeront une somme de quantités toutes essentiellement positives; et, par conséquent, l'équation proposée sera impossible à satisfaire, ce qui s’accorde en effet avec ce que nous avons vu n° 277.

3i3. La marche que nous venons de suivre n’est pas seulement propre à prouver l’identité des courbes du second degré avec quelques-unes des sections du cône, elle peut encore être employée avec avantage pour discuter et construire les équations particulières de ces courbes que l’on pourrait proposer. Les élèves feront bien d’eftèctuer cet essai sur les divers exemples que nous avons donnés dans le courant de ce chapitre.

Des Surfaces du second ordre.

3 1 4- On a vu dans l’article 70, que les équations entre trois variables représentent des surfaces, comme celles qui sont entre deux indéterminées représentent des lignes. On classe aussi les surfaces d’après le degré de leurs équations. Ainsi le plan, dont l’équation est linéaire, est du premier ordre. Nous ne considérerons ici que les surfaces du second ordre , dont l’équation la plus générale est

Ax’-f A y+A^+Bj'z+B'xz+B^+Cz +C’jr f C" x+F=o ; ( 1 )

DU SECOND ORDRE. 3g3

et nous supposerons les coordonnées xy,z, rectangulaires.

3i5. Puisque deux des variables x, jr, z, peuvent être prises à volonté , ce qui se présente d’abord de plus simple est de résoudre l’équation proposée par rapport à une d’entre elles, par exemple, par rapport à z : alors , en donnant successivementà x et à y toutes les valeurs possible?, on en déduirait les valeurs correspondantes de z , et par conséquent la position des différens points de la surface.

Mais cette méthode, que nous avons employée dans la discussion des lignes courbes , ne serait pas propre à donner une idée nette de la forme et du cours des surfaces , parce que , s’il est facile de saisir par la pensée la liaison d’une seule suite de valeurs , il serait très difficile d’étendre cette idée à deux dimensions. Pour obvier à cet inconvénient , on imagine une suite de plans coupans menés suivant une certaine loi, par exemple , parallèles à l’un des plans coordonnés. En combinant les équations de ses plans avec celle de la surface proposée , on détermine (n° 79) leurs intersections mutuelles. La nature de ces intersections et la manière dont elles se -succèdent, font saisir et voir, pour ainsi dire, dans l’espace, la nature de la surface et les divers mouvemens des Nappes qui la composent.

3t6. Pour donner un exemple de ce procédé, appliquons-le au cas très simple où l’équation proposée serait

za-f x% = Ra.

Prenons les plans coupans parallèles au plan de xy ; leur équation sera , par le n° 56 , de la forme

3g4 des surfaces

a étant une constante : substituant cette valeur de z dans la proposée , on a ,

Cette équation , qui appartient (n° 79) à la projection de l’intersection sur le plan des xy , représente, quel que soit a , une circonférence de cercle dont le centre est à l’origine, et dont le rayon est^/R* — :

ce rayon est réel tant que a, positif ou négatif, est plus petit que H ; il est nul , quand a égale R, et imaginaire quand a surpasse R. Ainsi , dans le premier cas, l’intersection est une circonférence de cercle ; dans le second , ce cercle se réduit à un point ; et au-delà , le plan ne rencontre plus la surface.

L’équation proposée étant symétrique par rapport aux troisvariables x, y, z, on obtiendrait des résultats semblables en prenant les plans coupans parallèles à un quelconque des plans coordonnés : si ces plans passaient par l'origine même des coordonnées , chacun d’eux couperait la surface suivant des cercles égaux , et qui auraient pour équation

**4-.r*=R% xa-fz* = R*, j'*+**=R*-

On peut donc concevoir la surface proposée comme engendrée par le mouvement d’un cercle parallèle au plan xy, et dont le rayon variable, et représenté par l/R^ est l’ordonnée du cercle suivant lequel le plan des i2, ou des yz , rencontrerait la surface. On reconnaît à cette propriété la génération de la sphère que j’ai choisie pour donner une application simple du procédé général; car, dans ce cas particulier, on peut aisément reconnaître la nature de la surface , en observant que V x‘ est la distance d’un point

quelconque à l’origine des coordonnées ; distance qui est constante d’après l’équation précédente; ce qui ca racte'rise la sphère.

DD SECOND ORDRE. 3g5

C’est pour plus de simplicité que nous avons choisi les plans coupans parallèles aux plans coordonnés : par cette disposition , les projections des intersections ne diffèrent pas des intersections elles-mêmes. Nous n’aurions pas eu cet avantage en prenant les plans coupans dans des directions quelconques : si , par exemple, nous les eussions seulement astreints à passer par l’origine , ils auraient eu des équations de la forme

kx -4- B/ -f- Cz = o ;

et la combinaison de cette équation avec la proposée eût donné , en éliminant z ,

(A* 4. (?) X* -f 2 A Bxjr -f (B1 + — R'C* .

Alors la projection de l’intersection sur le plan des xy est une ellipse. On pourrait cependant reconnaître que cette intersection elle-mèmè est une circonférence de cercle, et l’on y parviendrait en la rapportant à des coordonnées prises dans le plan coupant. Je donnerai par la suite des méthodes pour atteindre ce but.

3i^. En général on peut, à l’aide de ce que nous, avons dit dans le n° 79, déterminer les intersections d’une surface quelconque par un plan , et il est visible que ces intersections seront en général des courbes du même ordre que la surface : mais avant d’appliquer ces procédés à l’équation générale du second degré, il faut remarquer qu’une pareille équation n’est pas toujours possible, et qu’il existe des cas où elle ne saurait représenter aucune surface. Pour les déterminer, opérons ici comme nous l’avons fait n° 266, sur l’équation du second degré entre deux variables. En résolvant l’équation proposée par rapport à z, et supposant, pour plus de simplicité,

B* — 4AA'=a, 2(BB' — 2AB")=ù, B'a — 4AA", =c, 2(BC — 2 AC') = d, a(B'C — 2AC")=o, C“ — 4*F= /<

elle donne

* = — C) —~jy (ay+bxy+cx'+dj+ex+j).

Pour que la valeur de z soit toujours imagiuaire , quels que soient x et,?-, il faut que la quantité comprise sous le radical soit toujours négative. Or, en supposant x nul, on pourra (n6 270) donner kj une valeur telle que le signe du résultat 11e dépende que de celui de a : on aura donc d’abord , pour première condition de l’imaginarité ,

B* — 4AA' < o.

Déplus, pour que la quantité qui est sous le radical conserve toujours son signe négatif, il faut qu’elle ne puisse jamais devenir nulle, et par conséquent il faut qu’en l’égalant à zéro, on n’en tire jamais pour,?' que des valeurs imaginaires. Or, on voit, par l’article 277, que cette condition ne peut être remplie , à moins qu’on n’ait

b 5 — 4 ac <C o, ( bd—aae )* — ( b ' — 4 ac) (d‘ — 4'î/)<C 0 > ce qui exige que les quantités o, c,f, ou