B. DÉDUCTION DES PRINCIPES MÉCANIQUES

Dans les pages qui précèdent, nous avons montré qu'il n'était pas possible de se contenter des définitions ordinaires de la force, et que par suite il était nécessaire de leur en substituer une nouvelle. Mais cette nouvelle

( 1 ) EUe a encore d'autres avantages , entre autres celui de s'adapter et de préparer la voie à une terminologie scientifique , générale et uniforme. Nous nous proposons de revenir un jour sur ce point.

(2) Oq entend généralement par principes de la mécanique ce que d'autres nomment les ]ois de la mécanique. Dans tous les cas, pour qu'il n'y ait pas confusion dans l'esprit du lecteur, on saura que ces principes ou ces lois sont les trois ou quatre propositions générales que Ton met en tête de la science , et qui Font énumérées plus bas. Nous avons préféré employer presque tor jours le mot principes pour distinguer ces lois des lois mécaniques qui en dérivent.

définition, qui doit ne donner lieu à aucune des critiques formulées contre ses aînées , est tenue en môme temps de servir aussi bien qu'elles à la construction de la science. Une définition , bonne au point de vue logique , peut ne valoir rien au point de vue pratique. C'est à cette épreuve pratique que la définition proposée va être soumise. Après avoir justifié sa naissance, il nous reste à justifier son droit à être maintenue. Il va être, en un mot, procédé à sa justification à posteriori.

Cette justification ne peut consister en autre chose qu'à fonder sur la définition nouvelle les principes de la mécanique. Mais ici encore, notre travail se composera nécessairement d'une partie critique et d'une partie dogmatique. Fonder les principes de la mécanique sur une définition nouvelle, est une entreprise qui n'a d'excuse que si elle est nécessaire. Il faut donc que nous commencions par montrer qu'il en est réellement ainsi. Rien de plus facile que de se rendre compte de la forme et de la portée de notre argumentation. La plupart des mécanistes (1) ont senti instinctivement qu'ils ne pouvaient pas tirer les principes de la mécanique des définitions de la force que nous avons fait connaître. En conséquence, ils ont eu recours à une autre origine, et cette origine, suivant eux, est l'expérience directe. Nous nions formellement que ces principes soient tirés d'une expérience directe. Nous affirmons, au contraire, qu'ils sont admis à priori et comme hypothèses , puis seulement plus tard vérifiés par l'expérience.

Certes, il est incontestable que l'expérience a précédé la conscience explicite et par suite la mise au jour de

( 1 ) V. pourtant robservation de M. Duhamel, citée plus loin, à propos du principe de r^ndépendanc^ âefi mouvements.

ces principes. Là n'est pas la question. Ce qu*il s'agit de savoir, c'est si ces principes peuvent s'énoncer uniquement sur la foi de l'expérience, si une expérience quelconque , quelque précise , quelque délicate qu'elle soit, en admettant même qu'on ait le droit d'en généraliser la portée, peut à elle seule, indépendamment de toute autre hypothèse, les fournir directement. Il s'agit de savoir, en d'autres termes, si l'empirisme est soutenable , même comme méthode scientifique ; si démêler ce qui dans l'expérience est l'expression d'une loi, peut cesser d'être exclusivement l'œuvre de la raison. Il serait vraiment superflu ici de procéder à une réfutation générale de Fempirisme; et d'ailleurs cette réfutation, si elle était uniquement philosophique, pourrait, quelle qu^en fût la valeur intrinsèque, ne toucher que fort peu l'esprit des mathématiciens. C'est pourquoi il est préférable de se placer au point de vue même de l'empirisme, et d'en montrer l'impuissance. Pour cela, il y aurait à faire voir que toute expérience qui est censée fournir directement n'importe quel principe, s'interprète ù la lumière de ce principe ou des lois qui en dérivent, et que par suite, au début de la science ainsi entendue, il y a une vaste pétition de principes qui, sans en infirmer les résultats, en détruit la charpente philosophique. Il ressortira de là que la mécanique, à la façon des autres sciences systématisées, part d'une ou plusieurs propositions admises hypothétiquement, comme celles concernant l'attraction, les ondes lumineuses, etc., et dont la certitude n'est jamais apodictique.

Dès qu'il aura été établi que les principes actuels de la mécanique sont bien et dûment des hypothèses destinées à expliquer les fail^, ^j; dont les f^its seuls

garantissent la vérité, il nous sera libre à notre tour de leur substituer une autre hypothèse et de Tadopler comme vraie, si elle explique les faits tout en étant plus simple et plus conforme à la philosophie des sciences. Nous commencerons donc par la critique et la détermination du véritable caractère des lois mécaniques ; puis nous aurons à nous servir d'une nouvelle hypothèse pour rédification de la science.

a. CRITIQUE.

I.rs )oi« m«^i!«niqu«t , quoique te vcHBant dam rospérîcnoe , ne «ont pat élabliei direiilement •ur IVzpérienre. — D« la viiesse iiniroriBe. — De la mai«e.

Les lois mécaniques , comme on le sait , peuvent se ramener au nombre de trois (1 ).

La première est la loi d'inertie en vertu de laquelle tout corps* en repos reste en repos , ou , s'il est en mouvement , persiste dans le même mouvement , avec une vitessQ uniforme et dans une direction rectiligne.

La seconde loi c'est que la vitesse est proportionnelle à la force employée.

La troisième c'est que la vitesse est en raison inverse de la masse à mouvoir.

(1) Nous ue comptons pas la loi de Végàlilé de raetûmêt de la réaction, m cplle de Vindépendance et de la coexistence des mouvements^ parce que Tune a un champ d'application plus vaste que celui de la m^cauique , et que Tautre n'est qu'une f^çon élégante de concentrer ^n une seule la seconde loi et celle de la composition des forces. M. Comte {Cours de philos, posit, 1 , 15) s'est bien aperçu que la seconde loi pouvait se déduire de celle qu'il appelle la cinquième. Laplace avait fait la même remarque ( Exposition du système du monde, III, 2. p. 1S9, Bruxelles, 1829),

De la seconde et de la troisième loi , en représentant la vitesse par V, la force par F, la masse par M, et par K ou éî une constante , on tire la formul e :

M ' (UlîIVERSITY

d'où cette autre : F = cU\ ^^IjJPO'BS^^^y

La quantité MV, ou le produit de la màsseTW-te^" vitesse, est désignée sous le nom de quantité de mouvement.

Ces lois, les mécanistes s'accordent généralement à les regarder comme des vérités à posteriori , déduites de l'expérience et non antérieures à Texpérience. Laplace (1) dit môme, à propos de la seconde loi que « la force peut être exprimée par une infinité de fonctions de la vitesse , qui n'impliquent point contradiction » mais qu'on avait à rechercher « parmi toutes les fonctions mathématiques possibles quelle est celle de la nature. » Cette recherche est toute d'induction et repose sur des considérations tirées des principes de rindépendance des mouvements.

M. Duhamel (2), il est vrai, dit, au sujet de ce dernier : « A la vérité , on ne peut pas dire qu'il soit rigoureusement établi par l'expérience, il résulte d'expériences et d'inductions; mais il se présente avec assez de probabilité pour servir de base à la théorie. Si Fon trouve que les indications de cette théorie sont toujours (T accord avec V expérience y cela lui donnera une probabilité de plus en plus grande , et qui équivaudra

(1) Op.ciUibid.^. 188.

(2) Ctmrs de mécanique^ Paris , 1845 , p. 382.

pour nous à la certitude » (1). Mais il est facile de voir que M. Duhamel n'accepte ici Tinduction qu'à regret, et qu'elle lui semble vicier l'origine du principe.

Nous pensons, au contraire, que ces lois ne peuvent être obtenues que par induction , et qu'elles ne sont pas établies directement sur l'expérience. Nous nous expliquons.

Quand la science a rassemblé un assez grand nombre de faits, elle a pour mission de les expliquer par un certain nombre — le plus petit possible — de principes que nous appelons hypothèses. Mais celles-ci sont toujours, à leur origine, des affirmations plus ou moins hasardées , énoncées par une espèce d'intuition , dont la démonstration réside dans les faits d'une façon , pour ainsi dire, latente, plutôt qu'elle ne s'en dégage immédiatement. Ainsi en est-il, par exemple, de l'hypothèse de l'attraction universelle. Newton lui-même conservait des doutes notables sur la légitimité absolue de sa théorie. Ainsi en est-il encore des théories sur la lumière, sur le calorique, etc. Diff'érentes sont ces hypothèses des propositions énoncées sur la foi d'une ou plusieurs expériences plus ou moins exactes qui en forment la démonstration immédiate , comme , par exemple , des expériences qui auraient pour but de démontrer que le calorique peut réduire certains corps en vapeur. Dans ce dernier cas , l'hypothèse n'est que l'énoncé même de l'expérience , et non pas un principe général émanant de l'ensemble des faits. Quelquefois — Ampère , entre autres , l'a fait — les hypothèses scientifiques sont établies de cette façon ; mais elles n'ont

( 1 ) Cf. fi. Martih , Philos, spirit, Oe la ncUt^re , II , t3i

droit au titre d'hypothèses que lorsque leur caractère se transforme et se généralise (1).

Nous avons donc à rechercher si les lois de la mécanique sont des hypothèses de la première espèce , imaginées pour interpréter rensemble des faits , ou si ce sont des propositions de la seconde espèce établies directement par Texpérience , énoncées sur la foi de rexpérience,etqui ne se trouvent interpréter Tensemble des faits que par hasard ; si ce sont , en un mot , des propositions particulières qui s'appuient sur quelques faits, et qui ne sont devenues propositions -lois qu'après coup. En d'autres termes, il s'agit de savoir si l'on peut vérifier directement les lois de la mécanique, si directement on peut constater le mouvement uniforme, la vitesse proportionnée à la force et en raison inverse de la masse. Nous disons que non — et nous allons le démontrer.

Examinons d'abord la notion de vitesse uniforme.

Qu'est-ce que la vitesse? C'est, dit-on, le rapport de l'espace parcouru et du temps employé à le parcourir ; ou si l'on veut , c'est l'espace parcouru en l'unité de temps; ou, mieux encore, comme le dit Laplace aux endroits cités plus haut, la vitesse est le rapport de deux nombres abstraits , rapports eux-mêmes , l'un de l'espace parcouru à l'unité d'espace, l'autre du temps employé à l'unité du temps. Qu'est-ce que l'espace? Qu'est-ce que le temps? La mécanique ne définit pas ces notions. On conçoit qu'elle ne définisse pas

(1) Ainsi Gavendish a démontré à peu près directement par Icxpérience l'attraction newtonîenne; mais qu'il y a loin de cette expérience à la loi eUe-même !

Tespace ; elle est censée Taccepter défini des mains de la Géométrie. Mais le temps? C'est ici une notion toute nouvelle introduite uniquement à Toccasion du mouvement dont la mécanique étudie les phénomènes. Elle devrait donc le définir. Elle ne le fait pas, et pour cause. N'insistons donc pas trop sur ce point.

Qu'est-ce que l'unité de temps? Elle est arbitraire, dit Laplace; on prend par exemple la seconde. Mais toutes les secondes sont-elles de même valeur (1)? Pour vérifier un mouvement uniforme il me faut d'abord une division uniforme du temps. Mais quel que soit le moyen par lequel je crois obtenir cette division uniforme, sa construction se fonde nécessairement sur les lois de la mécanique, et admettre ses indications comme sûres , c'est admettre implicitement comme vraies ces mêmes lois qu'il s'agit pourtant de vérifier. Si, par exemple, je divise le temps au moyen du mouvement oscillatoire du pendule, d'où sais-je que les oscillations du pendule sont isochrones? par les lois de la mécanique. Donc partir de l'isochronisme des oscillations du pendule pour vérifier les lois de la mécanique, c'est faire une pétition de principe. Bien mieux, admettons, même hypothétiquement, la vérité des lois mécaniques; il faut encore, pour que les oscillations soient isochrones , que la masse et la vitesse de rotation de la Terre restent constantes. II faudrait

( 1 ) « On voit que dans le mêoae mouvement, dit M Duhamel» la vitesse sera d'autant plus grande que Tunitè de temps le sera davantage , ce qui ne s'accorde pas avec l'idée qu'on en a vulgairement; mais le rppport des vitessps dans deux mouvements uni* formes en est complètement indépendant. • (Cours ùa mécanique ^ 1,

même que , pendant Texpérience , la Terre , le Soleil , la Lune et tous les corps célestes restassent immobiles, car la pesanteur à la surface de la Terre dépend de tout Tensemble du système céleste. Que de choses admises hypothétiquemeut pour étayer une expérience grossière (1)! Nous pouvons dire après cela, croyons-nous, que la constatation du mouvement uniforme est impossible. Par conséquent la première et la seconde loi de la mécanique, étant le produit d*un cercle, pourraient être fausses, puisque Texpérience qui les vérifierait n'est exacte qu'à condition que les lois elles-mêmes soient vraies (2). Et remarquons bien que ce cercle n'est pas

( 1 } Cette argumentation est tout*à-fait analogue à celle que nous avons employée pour critiquer la définition ordinaire de la ligne droite , à savoir qvUelle est le plus court chemin entre deux points. ( Prolég, phil, de la Géùm. , p. 183 sqq. )

(2) Àingi nous constaterions l'uniformité dans la vitesse d'un mobile , lors même que ce mobile accélérerait son mouvement, si le pendule qui nous sert à mesurer le temps accélérait aussi son mouvement dans la même mesure. Il ne faudrait pas croire avoir résolu la difficulté en faii^ant remarquer que le pendule recommence toujours sou mouvement de va-et-vient dans les mêmes conditions, ou bien en imaginant un plan incliné d'une longueur déterminée le long duquel on laisse descendre des boukfs succ^savement à mesure que Tune d'elles arrive au bas. C'est toujours supposer la division uniforme du temps pour constater le mouvement uniforme. G est supposer que le mouvement est le mêms parce qu^on ne constate aucune différence dans les causes qui le produisent. C'est, en d'autres t*rmes, admettre un principe plus trantctendant encore que le principe que nous critiquons. Des observations analogues peuvent se faire à ceux qui croiraient trouver des ma^ùses égales indépendamment de toute hypothèse. En pesant, par exemple , des poids de matière quelconque dans le même bassin d'une balance , poids qui feraient équilibre à la même ma8>e. G'et-t toujours présupposer la théorie du levier, Pezactitude de l'expérience, et la ron-influence 8ur celle-ci de Tëtat où se trouve à ce moment Tunivers entier* Sa

de même nature que le cercle scientifique critérium de la vérité de la science , c'est-à-dire Taccord de toutes les conséquences entre elles et avec les données de l'expérience , c'est un cercle vicieux logique qui ne rend pas faux les résultats , mais gâte l'enchaînement rigoureux du système.

Le cercle vicieux que nous avons montré exister dans la définition de la vitesse se retrouve dans celle de la masse. La vitesse imprimée au mobile, dit la troisième loi , est en proportion inverse avec sa masse. Comment vérifierons-nous expérimentalement cette loi ? Nous prendrons une masse double , triple , et nous verrons que pour lui imprimer une même vitesse, il me faut une force double, triple, ou bien que la même force ne lui imprimera qu'une vitesse une fois ou deux fois plus petite. Soit. Mais comment vériflerai-je si la masse est double , triple ? Précisément en voyant si pour lui imprimer le même mouvement, je dois employer une force double, triple (1). Le cercle est patent.

Une dernière observation. Si l'on remonte au texte si judicieux de Laplace, cité plus haut, on voit non-seule-

Bomme, c^est tout comme £i Ton contrôlait un thermomètre au moyen d*un autre thermomètre réglé 8ur le premier , une montre d'après une autre montre, etc., M. Gournot (Traité de l enchaînement j p. 82 et suiv. ) a parfaitement senti la difficulté , et finit cependant par récarter par ce motif qu'on ne voit pas de raison pour le pendule de changer de mouvement. À un point de vue pratique, c'est admissible. Au point de vue logique , ce ne Test plus.

(1) Nous disons que deux points matériels ont la même masse, lorgqu'enles prenant à l'état de repos, il faut leur appliquer des forces égales à chaque instant pour leur imprimer un mouvement identique. (Duhamel, Cours de mécanique^ l, p. 230.) Gomment peut-on donc s'assurer de l'égalité des forces et de l'identité des mouvements ?

ment que rcxpérience destinée à établir la relation entre la force et la vitesse, n'a de signification que pour autant qu'on admette hypothétiquement la régularité d'un mouvement quelconque, servant à diviser le temps, mais encore — et ceci est plus grave — que c'est déjà une hypothèse considérable d'admettre à priori que la force s'exprime nécessairement en fonction de la vitesse. Nous sommes loin de nier la justesse de cette assertion. Nous insistons seulement sur ce point que , préalablement à toute expérience démonstrative ^ l'esprit formule de lui-même une proposition ou plusieurs propositions auxquelles il veut ramener les faits connus. Je suppose le mouvement uniforme , jamais on ne me le fera voir, qu'en exigeant de moi beaucoup de complaisance d'un côté et en s'appuyant sur beaucoup de nouvelles suppositions de l'autre. Il est donc préférable de poser franchement en tête de la science une hypothèse , et de ne pas chercher à en déguiser le caractère hypothétique.

On ne peut donc considérer comme fondées uniquement sur l'expérience les lois dont nous venons de faire la critique, puisque l'interprétation de l'expérience se fait à la lumière de ces lois elles-mêmes. Ces lois sont donc plutôt de pures affirmations à priori. Seulement ces affirmations manquent d'un lien systématique , on ne voit pas au juste pourquoi il en est ainsi et non autrement, c'est ce qui fait qu'on a dit que ces lois étaient contingentes, nullement empreintes d'un caractère de nécessité (1).

Nous, au contraire, partant delà définition de la force, et d'une hypothèse sur la forme de la fonction qui

( 1 ) V. H. Maktin y op, cit. , p. 327 et suiv.

exprime le rapport de la force aux coordonnées de la position , nous déduirons en théorèmes les lois de la mécanique , et nous les revêtirons ainsi du caractère de la nécessité logique. La contingence tout au plus affectera la fonction que nous aurons fait intervenir.

Nous raisonnerons encore par analogie , pour faire ressortir le caractère général de nos procédés.