DOGMATIQUE

f ropricics de Tetpace géométriqua « el déduction de la loi des masses et de U loi de Pindcpcn^ danoe des mourcments. — Équation de la Torce d^on point sur une droite. — DédiMttnn dp ridée de raouTomeot et définition. •» Distinction entre le mouvemeni méeaniquo el le mouvement réel. — Déduelion des idées de vitesse et de temps; distinction entre le tcropii mcuanique et le temps réel. — Observations snr le mode do génération d« Peapaoe géométriqno ; généralisation de U formule de la force el déduclioo de la loi d^allraolion. — Réflexion finale et eoncluiion. ^

La définition de la force a rattaché la mécanique à la géométrie. Nous devons donc procéder par Tétude des propriétés générales de l'espace géométrique.

Ces propriétés sont au nombre de trois : il a trois dimensions, il est homogène, et il a en outre une qualité que, faute d'un mot meilleur, nous nommerons la pénétrabilité(l).

Il a trois dimensions. Inutile d'insister sur cette propriété. Nous ferons seulement remarquer qu'elle nous est donnée par intuition, et que jusqu'à présent on n'a pas encore expliqué pourquoi il a trois dimensions plutôt que deux , plutôt que quatre. Libre à nous de créer, au moyen de formules , une géométrie à quatre

(1) Pour tout ce qui va suivre, nous renvoyons , une fois pour toutes, à nos Prolégomènei phUos. de la géonié , où nous justifions la plupart des propositions que nous avançons idi

dimensioDs, de même que nous avons créé une géométrie à deux dimensions. Seulement nous nous arrêtons à la géométrie des solides , parce qu'aller au delà ne nous servirait de rien pour parvenir à la connaissance des phénomènes de Funivers que nous habitons. Nous ferons encore remarquer cependant que , de même qu'il y a une géométrie à trois dimensions , une géométrie à deux dimensions et une géométrie à une dimension , et qu'on a ramené toutes les questions dont s'occupent les deux premières à des comparaisons de lignes droites (1), de même il est possible et tout au moins fondé en analogie , qu'il y ait aussi trois degrés dans la science de la mécanique , qu'il y ait une mécanique à trois dimensions « une mécanique à deux dimensions et une mécanique à une dimension , et que les deux premières se ramènent à la troisième (2).

L'espace est homogène. Cela veut dire qu'il est partout semblable à lui-même, que toutes ses parties, quelle qu'en soit la grandeur, jouissent des mêmes propriétés. Cette proposition est l'hypothèse par laquelle nous avons expliqué tous les faits géométriques. C'est sur elle que se fondent entre autres tous les théorèmes sur l'égalité et la similitude. Si l'espace n'était pas homogène nous ne pourrions construire, en toute circonstance , des figures semblables , ni des figures égales. C'est ainsi , par exemple , que si le plan , au lieu d'être

(1 ) Ainsi une mirfacâ est donnée par le prodait de la base et de la hairteor du reetangle équivalent; un solide par le produit de la lon« gueur, de la largeur et de la hauteur du paràUélipipède rectangle équivalent, etc.

(2) IToue sommes persuadé pour notre part que certaines questions de mécanique ne présentent tant de difficultés que parce qu'il y a saut dans la DMuaâère dont on ttborde les proUèmes^

une surlace homogène, était une surface inégale, les triangles formés par Tintersection d'un même prisme triangulaire se mouvant parallèlement à lui-même ne seraient pas généralement égaux , ni ceux formés par rintersection d'un cône dont le sommet descend le long de la hauteur semblable.

L'espace à deux dimensions , c'est le plan. Le plan est en effet une surface homogène, ou dont les parties, quelles qu'elles soient, sont semblables au tout. Enfin, l'espace à une dimension c'est la droite — et non une autre ligne — car la droite est la seule ligne homogène , ou dont les parties sont semblables , quelle qu'en soit la longueur.

Il faut ici placer deux observations de la plus grande importance pour ce qui va suivre. La première c'est que l'homogénéité de l'espace ne lui appartient qu'en qualité d'espace indéterminé , car sitôt qu'il a reçu une détermination quelconque, il cesse d'être homogène. Les divers lieux d'un plan n'ont pas en eux-mêmes une tendance plus ou moins marquée à recevoir telle ou telle détermination ; mais sitôt qu'ils sont déterminés d'une certaine façon, ils se distinguent nettement des autres lieux du plan. Si, par exemple, dans ce plan, je trace un triangle, je ne puis plus dire que les diverses parties du triangle sont homogènes; au contraire, chaque point du triangle jouit de propriétés à lui appartenant à l'exclusion de tous les autres. Mais chaque point de ce même triangle en tant qu'on le considère comme appartenant au plan indéterminé, ne se^ distingue des autres points par aucune propriété particulière. Il faut donc se bien pénétrer de la différence, au point de vue de l'homogénéité, entre l'espace indéterminé et l'espace déterminé, pour comprendre comment il se fait qu'à un certain

point de vue tous les points de l'espace sont animés de la même force, et qu'à un autre point de vue je pourrai parler de la différence dynamique des points d'une trajectoire que je viens d'y tracer. C'est que là il s'agit de l'espace sans détermination , et ici de l'espace affecté d'une détermination. En un mot, l'homogénéité est une désignation tout abstraite qui n'est appliquable qu'à l'indéterminé.

La seconde observation est tout aussi essentielle. Nous disons que chaque partie de l'espace est l'image de n'importe quelle partie. Ainsi, pour nous servir d'un exemple saisissant, un petit cercle est l'image d'un grand cercle. Il n'y a pas dans le grand cercle un seul point qui n'ait son correspondant dans le petit, et cependant Tun est plus grand que l'autre , et contient par conséquent plus de points que l'autre. Ainsi , si je suppose que ces deux cercles sont concentriques et que le rayon du cercle intérieur est la moitié de celui du cercle extérieur, il est clair que la circonférence de celui-ci contient deux fois autant de points que la circonférence de celui-là; et, pourtant, si de chaquepoint de la circonférence du dernier je mène au centre un rayon , ce rayon coupera la circonférence du premier en un point différent; c'est là une difficulté, du reste vieille comme le monde, et sur laquelle reposent certaines antinomies de Kant. Il nous entraînerait trop loin de la lever. Peu importe d'ailleurs pour l'objet présent. Si le centre commun était un point lumineux, chaque rayon éclairerait un point des deux circonférences , mais la lumière serait reçue en moindre quantité par la grande que par la petite, et cependant un rayon est censé traverser l'espace sans perdre de son intensité. Cette contradiction apparente provient de ce qu'on fait voyager

le rayon dans un espace, tantôt à une dimension, tantôt à deux dimensions , tantôt à trois dimensions ; et Ton comprend ainsi comment nous pourrons dire tantôt que la force reste identique sur tout son parcours , tantôt qu'elle diminue en fonction de la distance. Cette re» marque, rapprochée de celle que nous ferons plus tard touchant la génération de l'étendue , éclairera , il faut du moins Tespérer , les points sur lesquels la théorie présente quelque obscurité.

Enfin, nous passons à la troisième propriété de Tespace , à celle que nous avons nommée la pénétrabilité. En eflTet, si je définis le centre d'un cercle comme étant le point où les diamètres se coupent, c'est-à-dire si je regarde le centre comme la projection de chaque point de la circonférence suivant le rayon , il se trouve que le centre se compose en définitive d'une infinité de points concentrés , si nous pouvons ainsi dire , c'est-à-dire se pénétrant les uns les autres. C'est un point d'une intensité beaucoup plus considé^ rable que chaque point de la circonférence pris isolée ment. Ce que nous disons de ce point-centre, nous pouvons le dire d'un point quelconque de l'espace géométrique. Il nous est libre, en effet, de considérer ce point comme contenant en lui une infinité de points appartenant à une infinité de figures difi'érentes. De sorte que , si l'espace est impénétrable en ce sens que je ne puis pas le comprimer, il ne l'est pas en ce sens que deux ou plusieurs lieux géométriques ne puissent être considérés comme se pénétrant et afiectant la même étendue. L'espace géométrique peut donc se dédoubler à l'infini , on peut le considérer comme la concentration d'une infinité d'espaces indépendants Fun de Vautre^ qnoiqu' existant Vun dans Foutre.

En résumé , un point déterminé peut être considéré comme simple , double , triple , à volonté , suivant que je le considère comme appartenant à un , deux , trois espaces. Au point de vue algébrique, l'intensité du point de l'espace ou le nombre de points géométriques qu'il contient est la quantité; au point de vue mécanique, c'est sa masse.

De là découle immédiatement une loi analogue à la troisième loi de la mécanique que la force est proportionnelle à la masse. Car tout point de l'espace étant animé d'une force propre fonction de sa position , si je considère ce point comme double, triple, quadruple, sa force est par là même double, triple, quadruple. La force est donc proportionnelle à la masse. Ainsi , P étant la. force du point simple, fia force totale du point composé , et M sa masse , on a :