MF

La pénétrabilité de l'espace donne lieu encore à une nouvelle conséquence. C'est que l'espace peut être censé conserver indéfiniment les traces de toutes les déterminations qu'on lui donne ou de toutes les figures qu'on y trace. Je puis tracer ici un cercle, puis y

(1) Nous verrons plus loin <iae F est proportionnel à la vitesse, c'est-à-dire que Ton a : F = EV, E étant une constante. On aura donc en substituant : /*= EMV, équation dont le second membre renferme précisément la quantité de mouvement MV. Cette équation contient en eUe la seconde et la troisième loi de la mécanique , et eUe nous apprend que la vitesse compense la masse et réciproquement. Or, c'est ce qui se trouve implicitement contenu dans l'équation /* = MF ; seiQement F y est substitué à V, c'es^à-dire que nous n*y avons pas fait intervenir la notion de vitesse. Tout ce qui précède est dit par anticipation et pour que nous n'ayons pas besoin d'y revenir plus tard.

substituer un triangle , tout en conservant par dessous le cercle primitif; el, par suite, l'espace où j'ai tracé le triangle peut être considéré comme étant indépendant de celui oii j ai tracé le cercle, quoique se confondant avec lui. En résumé, on peut dire que la manière dont est affecté un espace donné n'influe en rien sur la manière d'être des espaces qu'il contient. Ce n'est là qu'une extension de la cinquième loi mécanique de M. Comte ou du principe des mouvements relatifs (1). Herbart l'avait déjà fait observer, le mouvement , quel qu'il soit , a lieu dans l'espace immobile qui conserve sa détermination d'avant le mouvement , sans quoi l'on ne s'apercevrait pas du mouvement. Or, de môme qu'ici l'espace se dédouble pour ainsi dire , et reste immobile d'un côté pour se mouvoir de l'autre, de même on peut dédoubler chacun de ces deux espaces, et ainsi de suite à l'inflni. Il faut donc étendre la remarque de Herbart , et dire : Le mouvement a lieu dans un espace conçu comme immobile par rapport à lui; mais cet espace à son tour peut être mobile à l'égard d'un autre espace qui lui serait relativement immobile et ainsi de suite à rinfini. Un exemple fera saisir comme il faut la chose. Si je fais mouvoir un point d'une droite , le point ne laisse pas une trace à la place qu'il quitte, mais il engendre une nouvelle droite qui se superpose à la

( 1 ) Ce principe est exprimé d'une manière un peu trop étroite par M. Duhamel , dans le passage suivant : « Ce priacipe consiste en ce que El tous les points d'un système ont des vitesses constantes et égales, et se mouvant suivant des directions parallèles, et que l'un d'eux vienne à être sollicité par une certaine force, son mouve* mont relativement aux autres sera le môme que si le mouvement commun au système n'avait point existé, et que le point en question eût été Êollicitô parlamême force, agissant dans la même direction. » ( Cours de mécanique , p. Î32. )

première. Maintenant, que celle-ci soit mobile ou non , cela ne fait rien à la manière dont on conçoit le mou* vement sur celle-ci. Mais si elle est mobile , elle Test à son tour par rapport à une droite considérée comme immobile et qui n'est autre que la trace de sa position avant le mouvement ; et, si alors je compare le mouvement du premier point à un point fixe de cette dernière droite, ce mouvement est le résultat de la composition du mouvement propre du point sur la droite mobile et du mouvement propre de celle-ci sur la droite immobile ^ Cela soit dit sans préjudice de 1^ manière dont npusi expliquerons le mouvement.

Ces considérations sur Fespace étaient nécessaires, parce qu'il ressort de la définition que nous avons donnée de l'espace mécanique et de la forûe, que cet espace» outre les propriétés qu'il aura en propre, possédera naturellement les propriétés de l'espace géo« métrique , comme celles de Tespace algébrique et arithmétique ; et de plus, parce que, de même que toutes les questions de géométrie se ramènent en dernière analyse à une comparaison de coordonnées, c'est-à-dire à une comparaison de quantités — ce qui est du ressort de l'algèbre — de même toutes les questions de mécanique se ramèneront, grâce à cette définition de la force, à des questions de géométrie , et par suite d'algèbre.

La force d'un point, avons-nous dit, a pour équivalent géométrique la position de ce point, et, réciproquement, la position d'un point a pour équivalent mécanique sa force. Cela revient à dire qu'entre la force d'un point et la position de ce point , on peut établir une équation. Mais quelle sera celte équation? voilà ce qu'il s'agit de trouver. La forme de celte équivalence est la base hypo-

tbétique de la mécanique. Cette base ne sera admise définitivement comme vraie que si les résultats de la théorie sont toujours d'accord avec les faits. Comment trouver cette forme? Ceci est une affaire d'intuition, d'induction , de tâtonnement. On a pour guides et pour contrôles les faits acquis qu'elle est destinée à résumer. On l'afTirme a priori, on la vérifie a posteriori.

Conformément à ce qui a été dit plus haut , nous nous occupons de la force considérée d'abord dans un espace homogène à une dimension , c'est-à-dire , de la force qui anime les points d'une ligne droite (1).

Toute comparaison se fait à l'égard d'une unité arbitraire. Soit donc un point pris pour origine, et dont la force soit représentée par 1 ; représentons par d la distance à l'origine, d'un point quelconque de la droite et dont la force est désignée par F , nous posons en principe hypothétique l'équation suivante :

c'est-à-dire que tous les points de la droite sont animés de la même force , que je ne puis voir en eux aucune différence.

Cette équation est , comme on le voit , la traduction mathématique de la loi d'inertie qui dit qu'un corps, à moins qu'une force nouvelle ne le sollicite, persiste dans le même état de repos ou de mouvement. Elle est

( 1 ) Dans une première rédaction nous avions cru devoir procéder autrement et formuler l'équation pour le cas général d'un espace doué d'un nombre n quelconque de dimensions. Itous croyons encore maintenant que c'est le meilleur des commencements. Nous dirons plus loin pourquoi nous avons dû nous décider à modifier l'ordre de notre exposition.

de plus conforme au caractère d'homogénéité de la droite. Car dans la droite géométrique indéterminée , il n'y a aucune différence.

Il nous faut maintenant rattacher à cette formule les notions dont s'occupe la mécanique, à savoir celles de mouvement , de temps et de vitesse , et élucider quelques questions qu'elles présentent.

Nous l'avons dit surabondamment plus haut, en mécanique, quand on considère la trajectoire d'un mobile, on cherche à savoir uniquement quelle est la vitesse dont il est animé en chacun des points de sa trajectoire, ou mieux encore, la vitesse propre à chacun des points de cette trajectoire , car le mobile n'est pas censé bouger de place, si ce n'est par manière de parler. De plus , la vitesse de chacun des points est virtuelle en ce sens qu'elle ne fait pas que le point se meuve, mais qu'il a seulement une tendance plus ou moins forte à se mouvoir. Dans notre manière de présenter les choses , nous renversons , pour ainsi dire , cette explication. Chaque point de la trajectoire est animé d'une force qui caractérise le lieu où il est; et lui ôter une partie de cette force , c'est purement et simplement le transporter autre part. Il va donc de soi que nous laissons subsister la mécanique rationnelle telle qu'elle est aujourd'hui construite, seulement le mot force se substitue en une certaine mesure au mot vite^'ise. Là réside tout le changement.

Cependant , à un point de vue pittoresque , le mol vitesse, ainsi que le mot mouvement, saisit mieux l'imagination que le mot abstrait de force^ et il est nécessaire que nous fassions intervenir ces termes après les avoir toutefois revêtus d'une définition scientifique en rapport

avec Tensemble de la théorie , et d^accord cependant avec le sens vulgaire qu*on leur accorde généralement.

Si donc jusqu'ici nous avons fait un usage trèssobre des termes de vitesse et de mouvement, et seulement dans le cas , ou en nous en tenant à la terminologie rigoureuse, nous eussions risqué de ne pas être compris , il nous sera permis à présent de sortir de cette réserve et de parler à l'imagination autant qu'à rintelligence.

Hieji de plus simple que de passer du langage scientifique au langage pittoresque. En optique, je conviens d*appeler rouge l'état de la lumière qui correspond à 497 trillions de vibrations par seconde ; en mécanique , au lieu de dire conservation identique de la force, je dirai

mouvement uniforme. En effet Téquation F »> jp »- 1 ,

interprétée à la lettre signifie que dans un espace homo* gène à une dimension , tous les points jouissent de la même force , ou encore que la force reste constante , quelle que soit la position du point. Si nous voulons traduire cette formule en langage pittoresque , nous disons que le point , animé de la force F se meut uniformément, suivant une direction rectiligne. L'équation

F == j. deviendra ainsi la formule du mouvement uni-

forme , c'est-à-dire que si l'on considère le point animé de la force F comme se mouvant sur une droite, les circonstances du mouvement sont identiques à tous les points de cette droite; que si l'on a, par exemple, ab = bc, le mouvement de a en & ne diffère en rien de celui de b en c. C'est là une conséquence directe de la formule et de l'homogénéité de la ligne droite. Nous savons que si le point a une masse double, il faut ^une

force 2F pour que les circonstances restent les mcnies; il en résulte seulement la représentation d'un espace mécanique double. Mais si le point restant simple est animé de la force 2 F, en vertu du caractère analysé plus haut de la pénétrabilité de l'espace et par une déduction identique à celle de Laplace , le point se trouvera en c lorsqu'il ne se trouverait qu'en fr, la force étant restée simple. C'est tout comme si le point se mouvait le long de droite , et que le point où il se trouve à chaque instant (ou la droite si l'on veut) se mouvait le long d'une autre droite. Les deux mouvements s'ajoutent.

Les forces sont donc entre elles comme les mouvements et l'on a la proportion :

/■ : F = fw : M.

Posons que F est la force unité , et par suite que le mouvement M correspondant à cette force soit le mouvement unité , il vient :

K étant une constante.

De là la définition suivante : Le mouvement est la mesure de la force (1).

L'équation (A) peut se mettre encore sous la forme suivante :

et -^ est un nombre abstrait, rapport du mouvement

mesure de la force f au mouvement unité.

( i ) Il va de soi que la masse e&t censée ^gale à Tunilé.

Dû là celle conséquence importante que Jie mouvement en mécanique est quelque chose de tout relatif, que le mouvement doit se comparer à un autre mouvement et non au repos, et c'est ce que nous avons dit précédemment (1); quant au repos lui-même, c'est un mouvement == qu'on peut regarder comme provenant de la neutralisation d'un mouvement par un mouvement égal en sens contraire.

Mais ici se présente une question infiniment intéressante ; c'est celle de savoir si le mouvement réel est aussi lui purement relatif. C'est l'opinion générale, c'est celle de Herbart (2), c'est celle de Leibnitz. Voici entre autres ce qu'avance ce dernier auteur : « De dire que Dieu fasse avancer l'univers en ligne droite ou autre , sans y rien changer autrement, c'est encore une supposition chimérique. Car deux états indiscernables sont le même état , et par conséquent c'est un changement qui ne change rien. De plus, il n'y a ni rime ni raison. Or , Dieu ne fait rien sans raison , et il est impossible qu'il y en ait ici. Outre que ce serait agendo nihil agere, comme je viens de dire, à cause de l'indiscernabilité (3). »

Nous disons, nous, qu'il ne peuty avoir de mouvement réel sans que par là même Vétat du corps soit changé — ce qui revient à dire qu'au mouvement réel correspond un certain état du corps — et que, par suite, le mouvement en soi n'est pas quelque chose de relatif — ce qui d'ailleurs ne se comprend pas — mais quelque chose d'absolu ; qu'ainsi ce n'est pas simplement un change-

(1) Voir page Î41 sqq.

( 2 ) Voir plus haut , page !^18.

(3)£««ma(;tor*c,IV, 13,

ment de lieu , comme le pensent Herbart et bien des raécanistes avec lui. Un exemple va faire saisir notre pensée.

Une sphère matérielle tourne dans un espace immobile. Je puis m'aperçevoir de la rotation de cette sphère, parce que je vois que chaque point de ses parallèles vient toucher tour à tour un même point de l'espace. Si le mouvement était un simple changement de lieu , le phénomène serait identique en supposant que, la sphère restant immobile , l'espace fût lui-même animé d'un mouvement de rotation en sens contraire » ou bien encore en supposant que la sphère et l'espace se meuvent de manière que la différence de leurs mouvements représente le mouvement primitif. Or si , en réalité, celte manière multiple de considérer les choses était légitime , il s'ensuivrait que le mouvement serait quelque chose d'absolument relatif; et, c'est la conclusion à laquelle Descartes arrivait (1). Scientifiquement parlant, une telle conception est impossible, puisque, dans le premier cas od la sphère est mobile , la force centrifuge développée la déforme et l'aplatit Vers les pôles ; et que dans le second cas , au contraire » il n'y a pas de force centrifuge , ou bien celle-ci est moindre , et le phénomène est différent {%).

aifUm

(1) Principe de phil II , ^9 et 30; III, 28, 29* 38 et 39. Desc^rtes ne Yoit aucune différence à dire que la Terre tourne sur eUe-môme , Qu quç le monde tourne autour de la Terre.

(2) Cf. Henri Martin, op. ctï., p. 321. — V. aussi Hîrn, Théorie mécanique de la chaleur , p. 476 et suivante. — Nous avions pris l'exemple du mouvement de rotation , iious pouvions prendre celui du mouvement en ligne 4roite, et il ne serait pas difficile de mon* trer, en vertu du principe de V égalité exaction et de réaction^ que tout corps mû éprouve, par cela même qu'il est en mouvement, une certaine modification interne correspondant à qoq mouvemenl.

Que le iiioiivement se révèle à nos sens et à notre imagination sous la forme (l*un ehangemcnt de lieu , nous le voulons bien ; mais de là à faire de ce changement tout extenie , l'essence du mouvement , il y a un saltus; et entre autres , il serait inexact de dire qu'au même changement de lieu correspond identiquement le môme mouvement.

De même encore notre œil distingue entre la lumière et l'obscurité , et apprécie jusqu'à un certain point les différents degrés d'intensité de la lumière, et pourtant, en supposant môme que cette appréciation fût rigoureusement exacte, nous ne serions pas autorisés à juger, sur ses indications, de la quantité de lumière en action. Il y a en effet à tenir compte du phénomène des interférences , à se rappeler que l'obscurité n'est pas toujours un signe de l'absence de lumière, mais peut provenir de la neutralisation réciproque de deux faisceaux lumineux.

Ce point élucidé et le mouvement mécanique étant nettement distingué du mouvement réel, poursuivons l'interprétation de la formule (B), à savoir :

La quantité — , ou le rapport du mouvement m au

mouvement-unité est précisément ce que Ton désigne

ordinairement sous le nom de vitesse. La vitesse est

donc un nombre abstrait résultant de la comparaison

d^un mouvement donné avec un autre mouvement pris

pour unité ; et de la formule découle la deuxième loi de

la mécanique, que les forces sont proportionnelles aux

vitesses qu'elles impriment au même mobile. En effet , en posant :

on a :

De même on aura

d'où , en divisant

f=vF.

Nous ferons observer à propos de cette définition de la vitesse qu'elle est plus naturelle que la définition ordinaire. Cette dernière, en effet, comme le faisait remarquer M. Duhamel (1), est en contradiction avec la notion vulgaire de vitesse , puisque plus l'unité de temps serait grande, plus la vitesse serait grande, tandis que, au sens propre, plus elle est petite. La définition précédente ne présente pas cet inconvénient.

Il ne nous reste plus qu'un mot à dire, et c'est ici que se montre surtout la simplicité de cette nouvelle théorie.

Qu'est-ce que le mouvement-unité, le mouvement pris pour terme de comparaison de tous les autres mouvements? c'est le temps mécanique. Le temps est donc un mouvement uniforme arbitraire pris pour unité de mouvement {^). Si l'on divise la ligne de parcours du mobile mû par la force F en parties égales considérées comme unités , le temps que met le mobile

( 1 ) Voir plus haut , page 256.

(2) Ceci fait songer à une définition célèbre de Tidèe de temps, & savoir que c'est la mesure du mouvements

pour parcourir une de ces parties est l'unité de temps. Et par suite on peut remplacer l'expression de la vitesse :

par respace parcouru dans l'unité de temps ; il suffit pour cela de poser :

}il = St]m = Se;

t étant Tcspace parcouru par le mobile F en Tunité de temps, et e l'espace parcouru par le mobile /' pendant celte môme unité. Il vient alors :

formule qui nous ramène à la définition ordinaire de la vitesse.

Dans la mécanique, le temps étant une quantité mesurable comme l'espace , il s'en suit que cette science est en définitive une géométrie à quatre dimensions (1). La formule générale f {x,y ,%, 1)^=0 de toutes les fonctions mécaniques représente un solide. Le temps n'y figure pas comme IHmage mobile de Vimmobile éternité^ mais comme une nouvelle dimension immobile ajoutée à l'espace.

Le temps mécanique est donc, comme le mouvement mécanique, une quantité toute relative. Il est plus lent ou plus rapide à volonté. En est-il de même du temps réel? Non. Quoi que cette opinion ait d'étrange au

( 1 ) C'est même la dénomination que lui donnait Lagrange. (Voir GouRNOT, TraUà de l'Enchaînement , I, page 47.)

premier abord, rien de plus faeile que de réfuter scientifiquement ceux qui pensent le contraire.

Prenons le problème comme se le posait Balmès (1 )• Si le soleil doublait la rapidité de sa course , si le même changement affectait le ciel et le système terrestre tout entier , si enfin cette accélération s'étendait jusqu'à nous et nos idées, serait-il vrai qu'il fût impossible dei^ercewoir le changement? Nous répondons sans hésiter : Non!

Ainsi entre autres , la force centrifuge serait à Tcquateur quatre fois plus considérable qu'elle ne l'est maintenant, et la différence qu'il y a entre la durée des oscillations du pendule au pôle et à l'équateur , même en tenant compte de la modification qu'éprouverait, prétendument à notre insu , le mouvement du pendule lui-même, cette différence, disons-nous, changerait subitement. Ainsi , pour prendre un exemple plus frappant, si nous accélérons dans la proportion de 1 : 17 tous les mouvements de l'univers tant matériel qu'intellectuel , il n'en serait pas moins vrai qu'au pôle le pendule conserverait le même mouvement qu'il a actuellement , c'est-à-dire qu'il nous paraîtrait à nous que son mouvement est i7 fois plus lent, et qu'à l'équateur, au contraire, il cesserait complètement d'osciller, ou que la durée de ses oscillations serait infinie , puisqu'il tournerait indéfiniment autour de son point de suspension. D'ailleurs il est heureux que la science vienne contredire une assertion aussi spécieuse et qu'on est tout d'abord tenté d'adopter ; car , si l'on descend au fond de la proposition, comment concevoir cette relativité absolue du temps? Qu'est-ce que la relativité pure?

(1 ) Philoiophie fondamentale , Vil , 5 et 6.

Les dclinitious précédentes montrent que Tidée du temps que Ton s'accorde généralement à placer en regard de celle de Tespace est au contraire une idée bien plus complexe, puisqu'elle suppose celles d'espace , de mouvement, de vitesse et d'uniformité. M. Gournot avait déjà présente ce résultat, et il insiste avec force dans plusieurs passages sur la nécessité où nous sommes de nous représenter la durée à l'aide de l'étendue (1). D'un autre côté, quand Newton rapportait au temps pris comme terme de comparaison , vu qu'il croit uniformément, l'accroissement variable de toutes les grandeurs , il ne faisait en cela que poser implicitement le temps comme la mesure de tous les mouvements , soit qu'ils affectent un mobile , soit qu'on les imagine pour engendrer des grandeurs continues.

Que devient au milieu de cette suite de déductions le mouvement pur de M. Ulrici? Il est facile de voir qu'on ne peut plus en parler. Le mouvement pur n'existe pas.

Ainsi, pour nous résumer, nous sommes parti de la loi d'inertie — qui n'est que l'homogénéité de la droite au point de vue mécanique — laquelle se trouve exprimée par la formule :

et d'elle nous avons tiré sans efibrt les concepts du mouvement uniforme , de vitesse et de temps.

Il ne nous reste plus qu'une seule chose à faire. Nous

avons encore à montrer ce que devient la formule F «= -^

(1) Voir ùp. dt , rotamment p. 33 et 34 — et Tintroduction da présent livre,

quand on passe de l'espace homogène à une dimension, à l'espace à deux dimensions, et à trois dimensions. Auparavant il est nécessaire que nous insistions sur le mode de génération de l'espace géométrique.

Quoi qu'on en dise généralement, il est impossible d'engendrer la droite par le mouvement d'un point. Tout au plus peut-on , par un pareil mouvement, engendrer une droite terminée d'un côté et indéfinie de l'autre. La droite ne s'engendre que par la majoration , l'expansion du point dans un espace (homogène) à une dimension. De même, le mouvement de la droite n'engendre pas le plan indéfini dans tous les sens, mais un demi-plan fini d'un côté, indéfini de l'autre. Pour engendrer le plan , il faut imaginer qu'un point se développe circulairement dans un espace (homogène) à deux dimensions , et enfin, pour engendrer l'espace à trois dimensions, le mouvement d'un plan ne suffit pas — à moins que le plan ne tourne sur lui-même — il faut imaginer que le point origine se développe sphériquement autour de lui-même, et qu'il laisse partout la trace de son passage. En un mot, la qualité fondamentale de l'espace , à savoir : l'homogénéité , montre que l'espace s'engendre plus naturellement et plus immédiatement par l'expansion que par le mouvement de l'origine (1).

Or, ces observations étant comprises et admises, si nous représentons par 1 la face du point origine, il devient évident que la force d'un point à la distance d de l'origine est en raison inverse de cette distance élevée à une puissance égale au nombre de dimensions de l'espace moins un. De sorte que dans un espace à

(i ) V. Proîég. phU. de la Géom. passim et surtout III , 2.

trois dimensions celle force est de — ; dans un espace

à deux dimensions, celle force est --. ; dans un espace

à une dimension , cette force est -t- = 1.

La formule F = j* contient en soi , comme on le

prévoit sans doute déjà, la loi d'attraction. Il est facile de rétablir en s'appuyant sur la loi des masses énoncée en premier lieu, et sur les autres lois que nous venons de déduire (1).

(1) Oa a souvent rapproché la formule de la loi d^attraction de ceUe de la loi de la propagation de la lumière ou du calori^e, ou du son. L'intensité de ces dernières forces physicpies diminue aussi en fonction de la distance. Il y a pourtant une di£férence capitale entre ces deux espèces de formules. Supposons un point lumineux qui lance sa lumière partout autour de lui. Tout rayon , dès qu'il est recueilli par un point qui l'arrête, ne continue pas sa marche indéfiniment. Et si, par exemple, on échelonne enh'gne droite des pointe opaques sur la marche de ce rayon, le premier de ces points seul sera éclairé , les autres resteront dans Fombre. Si nous remplaçons le point lumineux par un point attractif, les choses se passent-elles de la même manière? L'attraction exercée est-elle en quantité limitée et épuisable? — Non. Quel que soit le nombre des points échelonnés en ligne droite, l'attraction s'exerce sur chacun d'eux tout-à-£ait comme si les autres n'existaient pas. La force attractive ne s'épuise pas à mesure qu'il y a des points attirés. BUe s'exalte au contraire. Qu'on ne dise pas qu'il y a cette dififèrence que les points attirés sont aussi attirants. Les points éclairés fussent-ils eux-mêmes lumineux, qu'ils n'en arrêteraient pas moins la lumière. Les points attirés fussent ils privés de la faculté attractive, n'en laisseraient pas moins passer au travers d'eux-mêmes la force attractive du centre. Que l'on médite sur ces significations presqu'opposées de deux formules identiques dans la forme, et l'on ne tardera pas à chercher pour celles ci des fondements dififérents.

Engendrons Tespace mécanique par Texpansion du point origine. Figurons-nous ce point , animé de la force = 4 se développant sphériquement d'un mouvement continu , et laissant partout où il s'étend la trace de son passage. Quel que soit son développement , sa force reste constante et égale à 1. Â la distance d il s'est développé en une première série de points disposés sphériquement autour de sa première position. Puis celte sphère grandit et s'éloigne graduellement, de manière qu'à la distance ^d, le point origine s'est éparpillé sur une surface quatre fois plus grande qu*à la distance d; à la distance 3d^ sur une surface neuf fois plus grande» et ainsi de suite, en proportion directe du carré de la distance. Ou encore , pour nous servir d'une image sensible qui ne tire pas à conséquence ici, à la distance d le nombre des points mis en mouvement par le centre est quatre fois plus considérable qu'à la distance ^d; neuf fois plus considérable qu'à la distance Sd, et ainsi de suite. En vertu donc de la loi que l'on connaît et qu'il est facile de déduire de la loi des masses à savoir : que la force se divise à mesure qu'elle meut un plus grand nombre de points, il suit que les points de la sphère de rayon e2 sont animés d'une vitesse quatre fois plus grande que ceux de la sphère de rayon 2rf, neuf fois plus grande que ceux de la sphère de rayon Sd et ainsi de suite. De sorte que si l'on considère tous les points d'un même rayon, ils sont tous animés d'une force centrifuge ( 1 ) qui diminue en raison du carré de leur éloignement.

Dans notre hypothèse, les points, par cela même que leur position est autre , ont des forces ou vitesses

( t ) Ce mot étant pris dans son sens étymologique.

virtuelles différentes. Mais dans la mécanique ordinaire, chaque point de Fespace est censé posséder la même force, ou, si l'on veut, sa force, au lieu de lui être immanente, interne, lui est ajoutée de l'extérieur, lui est externe. Pour rentrer dans Thypothèse de la mécanique ordinaire, il sufllt donc d'ajouter à chaque point de ce rayon une force centripète (1) égale à la force centrifuge , et celte force centripète , c'est précisément l'attraction. Ainsi deux points matériels situés à la dislance (^ dans un espace à trois dimensions, si Ton fait abstraction de la force qui les différencie et caractérise leur position respective, pèsent l'un vers l'autre avec une force inversement proportionnelle au carré de leur distance.

Dans l'espace à deux dimensions « la gravitation des deux points l'un vers l'autre est en raison inverse de la simple distance.

Enfin , dans l'espace à une dimension , la gravitation des deux points est nulle. Le point ne perd pas de son mouvement à mesure qu'il avance, c'est-à-dire que chaque point de la trajectoire est animé de la même force. De plus celte trajectoire est rectiligne, puisque l'espace homogène à une dimension est la ligne droite.

11 résulte de ce qui précède qu'au lieu de donner

comme base hypothétique à la mécanique la formule

F = ^ et d'avoir à en déduire la formule générale

F = T^rrr » ^ étant le nombre supposé des dimensions

( 1 ) Même observation que plus haut.

de l'espace , il sérail plus rationnel de poser lout d'un coup liypolhétiquement cette dernière formule et d'en tirer, comme cas particulier, celle du mouvement uniforme. Quand il s'agit d'une science dont on est le premier inventeur, on peut, en l'exposant, se laisser diriger par des considérations de toute nature; toute liberté vous est donnée à cet égard. Mais nous ne nous trouvons malheureusement pas dans ce cas. Nous ne faisons qu'exposer dans un autre ordre et rattacher à une déilnition unique et à un principe unique les lois de la mécanique. Aussi chaque fois que nous nous risquons à faire usage anticipativement de notions d'ailleurs connues , mais que nous cherchons à déduire , nous craignons qu'on ne nous accuse d'une pétition de principe. Une pareille accusation est d'autant plus à redouter que nous-même nous l'avons prodiguée dans le cours de ce travail , et que nous tenons à ne pas nous exposer à ce que l'on use envers nous du droit de représailles.

Poser la formule F = . j et la défendre par les considérations qui l'accompagnent, parler de l'expansion d'espace, de mouvement, de vitesse, puis déduire seulement plus loin ces dernières notions, ce serait, pourrait-on croire , admettre implicitement ce qui est en question , tandis que ce n'est en réalité qu'anticiper sur les résultats futurs.

Résumons maintenant d'un mot notre travail. La notion de force a pris la place de la notion de mouvement parmi les notions dites premières. Ce n'est plus le mouvement qui, logiquement, servira à définir la force ; c'est la force qui servira à définir le mouvement. On a soutenu souvent que , au point de vue de

racquisition de nos connaissances , c'est la perception du mouvement qui fait éveiller en noas la notion de force que nous en dégageons ensuite, et qull en est du rapport de ces deux notions comme il en est de beaucoup d'autres, c'est-à-dire qu'il est en logique l'inverse de ce qu'il est dans l'ordre de l'acquisition des connaissances. Mais une psychologie plus profonde ne tarde pas à nous faire voir que la perception du mouvement occasionne une véritable dépense de force de notre part, et qu'en réalité nous ne percevrions ni le mouvement ni les qualités si nous n'avions conscience de notre propre énergie. Cette inversion nous a permis de donner des définitions du mouvement, du temps et de la vitesse qui nous semblent exemptes de tout défaut logique, et surtout de pétition de principe. Désormais le mécaniste pourra parler du mouvement sans se trouver arrêté dès le début par les objections de Zenon et de Herbart, qui, au fond, traitent la mécanique de science chimérique. Conservant au mouvement sa réalité, et mettant sa définition d'accord avec les lois de la logique, nous avons pu poser celles-ci comme inviolables , ce qui était une question préalable, tout en maintenant les lois mécaniques; nous avons pu concilier Zenon et Diogène, Herbart et Poisson.