B, DÉDUCTION DES PRINCIPES MÉCANIQUES

Dans les pages qui précèdent , nous avons montré qu'il n'était pas possible de se contenter des définitions ordinaires de la force, et que par suite il était nécessaire de leur en substituer une nouvelle. Mais cette nouvelle

( 1 ) Elle a encore d'autres avantages , entre autres celui de s'adapter et de préparer la voie à une terminologie scientifique , générale et uniforme. Nous nous proposons de revenir un jour sur ce point.

(2) On entend généralement par principes de la mécanique ce que d'autres nomment les lois de la mécanique. Dans tous les cas, pour qu'il n'y ait pas c tnfubion dans l'esprit du lecteur, on saura que c^s principes ou ces lois sont Us trois ou quatre propositions générales que ïou met en tête de la science , et qui sont énumérées plus bas. Nous avons préféré employer presque toi jours le mot principes pour distinguer ces lois des lois mécaniques qui en dérivent.

(lénnition, qui doit no donner lieu à aucune des critiques formulées contre ses aînées, est tenue en même temps de servir aussi bien qu'elles à la construction de la science. Une définition , bonne au point de vue logique , peut ne valoir rien au point de vue pratique. C'est à cette épreuve pratique que la définition proposée va ôtre soumise. Après avoir justifié sa naissance, il nous reste à justifier son droit à être maintenue. U va être, en un mot, procédé à sa justification à posteriori.

Cette justification ne peut consister en autre chose qu'à fonder sur la définition nouvelle les principes de la mécanique. Mais ici encore, notre travail se composera , nécessairement d'une partie critique et d'une partie dogmatique. Fonder les principes de la mécanique sur une définition nouvelle, est une entreprise qui n'a d'excuse que si elle est nécessaire. 11 faut donc que nous commencions par montrer qu'il en est réellement ainsi. Rien de plus facile que de se rendre compte de la forme et de la portée de notre argumentation. La plupart des mécanistes (1) ont senti instinctivement qu'ils ne pouvaient pas tirer les principes de la mécanique des définitions de la force que nous avons fait connaître. En conséquence, ils ont eu recours à une autre origine, et cette origine, suivant eux, est l'expérience directe. Nous nions formellement que ces principes soient tirés d'une expérience directe. Nous affirmons, au contraire, qu'ils sont admis à priori et comme hypothèses , puis seulement plus tard vérifiés par l'expérience.

Certes, il est incontestable que lexpérience a précédé la conscience explicite et par suite la mise au jour de

( 1 ) V. pourtant Fobservation de M. Duhamel, citée plt^s Ipin, à propos du principe de l'indépendance des rnowernent^.

ces principes. Là n'est pas la question. Ce qu'il s'agit de savoir, c'est si ces principes peuvent s'énoncer uniquement sur la foi de J'expérience, si une expérience quelconque , quelque précise , quelque délicate qu'elle soit, en admettant même qu'on ait le droit d'en généraliser la portée, peut à elle seule, indépendamment de toute autre hypothèse, les fournirdirectement.il s'agit de savoir , en d'autres termes , si l'empirisme est soutenable , même comme méthode scientifique ; si démêler ce qui dans l'expérience est l'expression d'une loi, peut cesser d'être exclusivement l'œuvre de la raison. Il serait vraiment superflu ici de procéder à une réfutation générale de l'empirisme; et d'ailleurs celte réfutation, si elle était uniquement philosophique, pourrait, quelle qu'en fût la valeur intrinsèque, ne toucher que fort peu l'esprit des mathématiciens. C'est pourquoi il est préférable de se placer au point de vue même de l'empirisme, et d'en montrer l'impuissance. Pour cela, il y aurait à faire voir que toute expérience qui est censée fournir directement n'importe quel principe, s'interprète à la lumière de ce principe ou des lois qui en dérivent, et que par suite, au début de la science ainsi entendue, il y a une vaste pétition de principes qui, sans en infirmer les résultats, en détruit la charpente philosophique. Il ressortira de là que la mécanique, à la façon des autres sciences systématisées, part d'une ou plusieurs propositions admises hypothétiquement, comme celles concernant l'attraction, les ondes lumineuses, etc., et dont la certitude n'est jamais apodictique.

Dès qu'il aura été établi que les principes actuels de la mécanique sont bien et dûment des hypothèses destinées à expliquer les faitg , et dont les faits seul»

garanlissent la vérité, il nous sera libre à notre tour de leur substituer une autre hypothèse et de Tadopter comme vraie, si elle explique les faits tout en étant plus simple et plus conforme à la philosophie des sciences. Nous commencerons donc par la critique et la détermination du véritable caractère des lois mécaniques ; puis nous aurons à nous servir d*une nouvelle hypothèse pour rédification de la science.

a. CRITIQUE.

Lpi luik mëitanique* , quoique m vcriflani dans respérieiMa , ne ••■! pa« établir* dtreetenienl ■ur Pexpérienoe. — De la vitrtM unifurMie. — Oe la uiatto.

Les lois mécaniques, comme on le sait, peuvent se ramener au nombre de trois (1 ).

La première est la loi d'inertie en vertu de laquelle tout corps en repos reste en repos , ou , s*il est en mouvement, persiste dans le même mouvement , avec une vitesse uniforme et dans une direction rectiligne.

La seconde loi c'est que la vitesse est proportionnelle à la force employée.

La troisième c'est que la vitesse est en raison inverse de la masse à mouvoir.

(l) Nous ue comptons pas la loi de ïégaiité de Paetion et delà réacHofi, ni celle de Vindépendance et dé la coexistence des mouvements, parce que Tune a un champ d'application plus vaste que celui de la meomiqTie, et que l'autre n'est qu'une f^çon élégaaté de concentrer tn uv.e seule la eecor.de loi et celle de la composition des forces. M. Cooite [Cours de philos, posit. I, 15) s'est bien aperçu que la seconde loi pouvait se déduire de celle q^'il appeUe la cinquième. Laplace avait fait la même remarque (ExposUùm du système du monde, III, 2. p. 189, Bruxelles, 1829),

De la seconde et de la troisième loi , en représentant la vitesse par V, la force par F, la masse par M , et par K ou c une constante , on tire la formule :

d'oii cette autre : F = (jMV

La quantité M Y, ou le produit de la masse par la vitesse, est désignée sous le nom de .quantité de mouvement.

Ces lois, les mécanistes s'accordent généralement à les regarder comme des vérités à posteriori, déduites de Texpérience et non antérieures à Fexpérience. Laplace (1) dit môme, à propos de la seconde loi que « la force peut être exprimée par une infinité de fonctions de la vitesse , qui n'impliquent point contradiction » mais qu'on avait à rechercher « parmi toutes les fonctions mathématiques possibles quelle est celle de la nature. » Cette recherche est toute d'induction et repose sur des considérations tirées des principes de l'indépendance des mouvements.

M.Duhamel (2), il est vrai, dit, au sujet de ce dernier : « A la vérité , on ne peut pas dire qu'il soit rigoureusement établi par l'expérience, il résulte d'expériences et d'inductions; mais il se présente avec assez de probabilité pour servir de base à la théorie. Si Von trouve que les indications de cette théorie sont toujours d^ accord avec V expérience^ cela lui donnera une probabilité de plus en plus grande , et qui équivaudra

(1) Op.citAiÂd.^, 188.

(2 ) Cours de mécanique^ Paris , 1845 , p. 232,

pour nous à h certitude » ( 1 ). Mais il est facile de voir que M. Duhamel n'accepte ici l'induction qu'à regret, et qu'elle lui semble vicier l'origine du principe.

Nous pensons, au contraire, que ces lois ne peuvent être obtenues que par induction , et qu'elles ne sont pas établies directement sur l'expérience. Nous nous expliquons.

Quand la science a rassemblé un assez grand nombre de faits, elle a pour mission de les expliquer par un certain nombre — le plus petit possible — de principes que nous appelons hypothèses. Mais celles-ci sont toujours, à leur origine, des afïirmations plus ou moins hasardées , énoncées par une espèce d'intuition , dont la démonstration réside dans les faits d'une façon , pour ainsi dire, latente, plutôt qu'elle ne s'en dégage immédiatement. Ainsi en est-il, par exemple, de l'hypothèse de Tattraction universelle. Newton lui-même conservait des doutes notables sur la légitimité absolue de sa théorie. Ainsi en est-il encore des théories sur la lumière, sur le calorique, etc. Différentes sont ces hypothèses des propositions énoncées sur la foi d'une ou plusieurs expériences plus ou moins exactes qui en forment la démonstration immédiate , comme , par exemple , des expériences qui auraient pour but de démontrer que le calorique peut réduire certains corps en vapeur. Dans ce dernier cas , l'hypothèse n'est que l'énoncé même de l'expérience , et non pas un principe général émanant de l'ensemble des faits. Quelquefois — Ampère , entre autres , l'a fait — les hypothèses -scientifiques sont établies de cette façon ; mais elles n'ont

{ ! ) Cf. H. Martin , PhUos. spirit- de la nature , II, (3,

droit au titre d'hypothèses que lorsque leur caractère se transforme et se généralise (1).

Nous avons donc à rechercher si les lois de la mécanique sont des hypothèses de la première espèce , imaginées pour interpréter l'ensemble des faits, ou si ce sont des propositions de la seconde espèce établies directement par l'expérience , énoncées sur la foi de l'expérience, et qui ne se trouvent interpréter l'ensemble des faits que par hasard; si ce sont, en un mot, des propositions particulières qui s'appuient sur quelques faits, et qui ne sont devenues propositions -lois qu'après coup. En d'autres termes, il s'agit de savoir si l'on peut vérifier directement les lois de la mécanique, si directement on peut constater le mouvement uniforme , la vitesse proportionnée à la force et en raison inverse de la masse. Nous disons que non — et nous allons le démontrer.

Examinons d'abord la notion de vitesse uniforme.

Qu'est-ce que la vitesse? C'est, dit-on, le rapport de l'espace parcouru et du temps employé à le parcourir ; ou si l'on veut , c'est l'espace parcouru en l'unité de temps; ou, mieux encore, comme le dit Laplace aux endroits cités plus haut, la vitesse est le rapport de deux nombres abstraits , rapports eux-mêmes , l'un de l'espace parcouru à l'unité d'espace, l'autre du temps employé à l'unité du temps. Qu'est-ce que l'espace? Qu'est-ce que le temps? La mécanique ne définit pas ces notions. On conçoit qu'elle ne définisse pas

(1) Ainsi Gavendish a démontré à peu prés directement par 1 expérience l'attraction newtonienne; mais qu'U y a loin de cctta expérience à la loi eUe-môme !

fcspace ; elle est censée {accepter déflai des mains de la Géomélrie. Mais le temps? G*est ici une notion toute nouvelle introduite uniquement à l'occasion du mouvement dont la mécanique ctudie les phénomènes. Elle devrait doue le définir. Elle ne le fait |)as, et pour cause. N'insistons donc pas trop sur ce point.

Qu est-ce que runiLé de temps? Elle est arbitraire, dit Laplace; ou prend pur exemple la seconde. Mais toutes les secondes sont-elles de môme valeur (1)? Pour vérifier un mouvement uniforme il me faut d'abord une division uniforme du temps. Mais quel que soit le moyen par lequel je crois obtenir cette division uniforme, sa construction se fonde nécessairement sur les lois de la mécanique, et admettre ses indications comme sûres , c'est admettre implicitement comme vraies ces mêmes lois qu il s'agit pourtant de vérifier. Si, par exemple, je divise le temps au moyen du mouvement oscillatoire du pendule, d'où sais-je que les oscillations du pendule sont isochrones? par les lois de la mécanique. Donc partir de l'isochronisme de§ oscillations du pendule pour vérifier les lois de la mécanique, c'est faire une pétition de principe. Bien mieux, admettons, môme hypolhétiquement, la vérité des lois mécaniques; il faut encore , pour que les oscillations soient isochrones , que la masse et la vitesse de rotation de la Terre restent constantes. Il faudrait -

(1) • Oa voit que dans le môa^e mouvemeut , dit M Dufaampl, la v't.es?e sera d'autant pVis grande que i'unité de temps le sera davantage , es qui ne 8'ac ^orde pas avf c l'idée qu'on en a vulgaireraî^Tit; mai» le rapport des vjtf8«P8 dans deux mouvementg uniformes en est compiéiemeat ûxdép^ndanl. » (Ccwrs de méeaniqtiê, 1, p. 227,

même que , pendant Texpérience . la Terre , le Soleil , la Lune et tous les corps célestes restassent immobiles, car la pesanteur à la surface de la Terre dépend de tout l'ensemble du système céleste. Que de choses admises hypothéliquement pour étayer une expérience grossière (1)! Nous pouvons dire après cela, croyons-nous, que la constatation du mouvement uniforme est impossible. Par conséquent la première et la seconde loi de la mécanique, étant le produit d'un cercle, pourraient être fausses, puisque Texpérience qui les vérifierait n'est exacte qu'à condition que les lois elles-mêmes soient vraies (2). Et remarquons bien que ce cercle n'est pas

( 1 ) Cette argumentation est tout*À-£ait analogue à celle que nous avons employée pour critiquer la définition ordinaire de la iigne droite y à savoir qu'elle est le pîw court chemin enfre deux points. ( Prolég. phiL de la Géom. , p. 183 eqq.)

(2) Ainsi nous eoRfî raterions l'uniformité dans la vitesse d'un mobile , lors même que ce mobile accélérerait son mouvement, si le pendule qui nous sert à mesurer le temps accélérait au&si son mouvement dans la même mesure. Il ne faudrait pas croire avoir résolu la difficulté en faii^ant remarquer que le pendule recommence toujours son mouvement de va-et-vient dans les mêmes conditions, ou bien en imaginant un plan incliné d'une longueur déterminée le long duquel on laisse descendre des boules succ^sbivement à mesui e que Tune d'elles arrive au bas. C'est toujoars supposer la f^ivision uniforme du temps pour constater le mouvement uniforme. C est supposer que le mowoement e%t le même parce qu^on ne constate au une différence dcns les courses qui le produisent. C'est, en d autres urmf's, admettre un principe plus tranhci^ndant ei^core que le principe que nous critiquons. Des observations Analogues peuvent se faire à ceux qui croiraient trouver des masses égales indépendai/?ment de toute hypothèse. Bn pesant, par exemple , des poids de matière quelconque dana le même bassin d'une balance, poids qui feraient équilibre à la même ma8>e. C't'Ft toujours prësuppot'er la théotie du levier, Texactitude de TexpérieBce, it ia non-iufluence 0ur celle-ci de l'état où se trouve à ce moment runiveri» eatier. Sa

de même nature que le cercle scientifique critérium de la vérité de la science , c'est-à-dire Taccord de toutes les conséquences entre elles et avec les données de Texpérience , c'est un cercle vicieux logique qui ne rend pas faux les résultats , mais gâte renchainement rigoureux du système.

Le cercle vicieux que nous avons montré exister dans la définition de la vitesse se retrouve dans celle de la masse. La vitesse imprimée au mobile, dit la troisième loi , est en proportion inverse avec sa masse. Gonunent vérifierons-nous expérimentalement cette loi ? Nous prendrons une masse double , triple , et nous verrons que pour lui imprimer une même vitesse, il me faut une force double , triple , ou bien que la même force ne lui imprimera qu'une vitesse une fois ou deux fois plus petite. Soit. Mais comment vérifierai-je si la masse est double, triple? Précisément en voyant si pour lui imprimer le même mouvement, je dois employer une force double, triple (4). Le cercle est patent.

Une dernière observation. Si l'on remonte au texte si judicieux de Laplace, cité plus haut, on voit non-seule-

Bomme, c'est tout comme Ei Ton contrôlait un thermomètre au moyen d'un autre thermomètre réglé sur le premier, une montre d'après une autre montre, etc., M. Gournot {TraiU de VenchainsmerU^ p. 82 et suîv. ) a parfaitement senti la difficulté, et finit cependant par l'écarter par ce motif qu'on ne voit pas de raison pour le pendule de changer de mouvement. A un point de vue pratique , c'est admissible. Au point de vue logique , ce ne Test plus.

(i) Nous disons que deux points matériels ont la même masse, lorsqu'en les prenant à Tétat de repos, il faut leur apptiquer des forces égales à chaque instant pour leur imprimer un mouvement identique. (Duhamel, Cours de mécanique , l, p. 230.) Gomment peut-on donc s'assurer de l'égalité des forces et de Fidentité des mouvements ?

meut que rexpérieuce destinée à établir la relation entre la force et la vitesse, n'a de signification que pour autant qu'on admette hypothéliquement la régularité d'un mouvement quelconque, servant à diviser le temps, mais encore — et ceci est plus grave — que c'est déjà une hypothèse considérable d'admettre à priori que la force s'exprime nécessairement en fonction de la vitesse. Nous sommes loin de nier la justesse de cette assertion. Nous insistons seulement sur ce point que, préalablement à toute expérience démonstrative y l'esprit formule de lui-même une proposition ou plusieurs propositions auxquelles il veut ramener les faits connus. Je suppose le mouvement uniforme , jamais on ne me le fera voir, qu'en exigeant de moi beaucoup de complaisance d'un côté et en s'appuyant sur beaucoup de nouvelles suppositions de l'autre. Il est donc préférable de poser franchement en tête de la science une hypothèse , et de ne pas chercher à en déguiser le caractère hypothétique.

On ne peut donc considérer comme fondées uniquement sur l'expérience les lois dont nous venons de faire la critique, puisque l'interprétation de l'expérience se fait à la lumière de ces lois elles-mêmes. Ces lois sont donc plutôt de pures affirmations à priori. Seulement ces affirmations manquent d'un lien systématique, on ne voit pas au juste pourquoi il en est ainsi et non autrement, c'est ce qui fait qu'on a dit que ces lois étaient contingentes, nullement empreintes d'un caractère de nécessité (1).

Nous, au contraire, partant delà définition de la force, et d'une hypothèse sur la forme de la fonction qui

( 1) V. H. Mahtin , op» cit. , p, 327 et 8uiv.

exprime le rapport de la force aux coordonnées de la position, nous déduirons en théorèmes les lois de la mécanique , et nous les revêtirons ainsi du caractère de la nécessité logique. La contingence tout au plus alfectera la fonction que nous aurons fait intervenir.

Nous raisonnerons encore par analogie , pour faire ressortir le caractère général de nos procédés.

b, DOGMATIQUE.

Propriclët de l'eapace gcoiuctriquA , et déduclion de la loi des maiaei elde la loi de Piadcpefi^ dance des luouvcinenU. — Équalioa de la Torce d*UD poiat sur une droite. — Dédi^olion dn ridée de niouvemcnl et dvfinitiun. — Di«liactiua entre le mouvement mécanique et le mouvement réel. — Dcduolion de* idée* de viteue et de temps; diatinotioo entre le temps nicvanique cl le temps réel. — Observations sur le mode de généralioa de Peapaoe gcoméiriquc ; gcuéralisation do la farmule de la force et déduction de la loi d*attracUon. -- Réflexion Gnalo cl conclusion.

La définition de la force a rattaché la mécanique à la géométrie. Nous devons donc procéder par l'étude des propriétés générales de Tespace géométrique.

Ces propriétés sont au nombre de trois : il a trois dimensions, il est homogène, et il a en outre une qualité que, faute d'un mot meilleur, nous nommerons la pénétrabilité (1).

Il a trois dimensions. Inutile d'insister sur cette propriété. Nous ferons seulement remarquer qu'elle nous est donnée par intuition , et que jusqu'à présent on n'a pas encore expliqué pourquoi il a trois dimensions plutôt que deux, plutôt que quatre. Libre à nous de créer, au moyen de formules , une géométrie à quatre

(1) Pour tout ce qui va suivre, nous renvoyons , une fois pour toutes, à nos Prolégomènes philos, de la géom. , où nous justifions la plupart des propositions que nous avançons îcL

dimensions, de même que nous avons créé une géométrie à deux dimensions. Seulement nous nous arrêtons à la géométrie des solides , parce qu'aller au delà ne nous servirait de rien pour parvenir à la connaissance des phénomènes de l'univers que nous habitons. Nous ferons encore remarquer cependant que , de même qu'il y a une géométrie à trois dimensions , une géométrie à deux dimensions et une géométrie à une dimension , et qu'on a ramené toutes les questions dont s'occupent les deux premières à des comparaisons de lignes droite (1), de même il est possible et tout au moins fondé en analogie , qu'il y ait aussi trois degrés dans la science de la mécanique, qu'il y ait une mécanique à trois dimensions, une mécanique à deux dimensions et une mécanique à une dimension, et que les deux premières se ramènent à la troisième (2).

L'espace est homogène. Cela veut dire qu'il est partout semblable à lui-même , que toutes ses parties , quelle qu'en soit la grandeur, jouissent des mêmes propriétés. Cette proposition est l'hypothèse par laquelle nous avons expliqué tous les faits géométriques. C'est sur elle que se fondent entre autres tous les théorètoes sur l'égalité et la similitude. Si l'espace n'était pas homogène nous ne pourrions construire, en toute circonstance, des figures semblables, ni des figures égales. C'est ainsi, par exemple, que si le plan, au lieu d'être

(1 ) ÂînBi une surface est donnée par le produit de la base et de la hauteur du rectangle équivalent; un solide par le produit de la longueur, de la largeur et de la hauteur du paraUélipipède rectangle équivalent , etc.

(2) Nous sommes persuadé pour notre part que certaines questions de mécanique ne présentent tant de difficultés que parce qu'il y a saut dans la manière dont on aborde les problèmes.

ujie surface homogène, élail une surface inégale, les triangles formés par Tintersection d'un même prisme triangulaire se mouvant parallèlement à lui-même ne seraient pas généralement égaux , ni ceux formés par rintersection d*un cône dont le sommet descend le long de la hauteur semblable.

L'espace à deux dimensions , c'est le plan. Le plan est en effet une surface homogène, ou dont les parties, quelles qu'elles soient, sont semblables au tout. Enfin, l'espace à une dimension c'est la droite — et non une autre ligne — car la droite est la seule ligne homogène , ou dont les parties sont semblables , quelle qu'en soit la longueur.

Il faut ici placer deux observations de la plus grande importance pour ce qui va suivre. La première c'est que l'homogénéité de l'espace ne lui appartient qu'en qualité d'espace indéterminé , car sitôt qu'il a reçu une détermination quelconque, il cesse d'être homogène. Les divers lieux d'un plan n'ont pas en eux-mêmes, une tendance plus ou moins marquée à recevoir telle ou telle détermination ; mais sitôt qu'ils sont déterminés d'une certaine façon, ils se distinguent nettement des autres lieux du plan. Si, par exemple, dans ce plan , je trace un triangle, je ne puis plus dire que les diverses parties du triangle sont homogènes; au contraire, chaque point du triangle jouit de propriétés à lui appartenant à l'exclusion de tous les autres. Mais chaque point de ce même triangle en tant qu'on le considère comme appartenant au plan indéterminé, ne se distingue des autres points par aucune propriété particulière. Il faut donc se bien pénétrer de la différence, au point de vue de l'homogénéité, entre l'espace indéterminé et l'espace déterminé, pour comprendre comment il se fait qu'à un certain

point de vue tous les points de l'espace sont animés de la même force, et qu'à un autre point de vue je pourrai parler de la différence dynamique des points d'une trajectoire que je viens d'y tracer. C'est que là il s'agit de l'espace sans détermination , et ici de l'espace affecté d'une détermination. En un mot, l'homogénéité est une désignation tout abstraite qui n'est appliquable qu'à l'indéterminé.

La seconde observation est tout aussi essentielle, Nous disons que chaque partie de l'espace est l'image de n'importe quelle partie. Ainsi, pour nous servir d'un exemple saisissant, un petit cercle est l'image d'un grand cercle. Il n'y a pas dans le grand cercle un seul point qui n'ait son correspondant dans le petit, et cependant l'un est plus grand que l'autre , et contient par conséquent plus de points que l'autre. Ainsi, si je suppose que ces deux cercles sont concentriques et que le rayon du cercle intérieur est la moitié de celui du cercle extérieur, il est clair que la circonférence de celui-ci contient deux fois autant de points que la circonférence de celui-là; et, pourtant, si de chaquepoint de la circonférence du dernier je mène au centre un rayon , ce rayon coupera la circonférence du premier en un point différent; c'est là une difficulté, du reste vieille comme le monde, et sur laquelle reposent certaines antinomies de Kant. Il nous entraînerait trop loin de la lever. Peu importe d'ailleurs pour l'objet présent. Si le centre commun était un point lumineux, chaque rayon éclairerait un point des deux circonférences , mais la lumière serait reçue en moindre quantité par la grande que par la petite, et cependant un rayon est censé traverser l'espace sans perdre de son intensité. Cette contradiction apparente provient de ce qu'on fait voyager

-te* -

le rayon dans un espace, tantôt à une dimension, tantôt à deux dimensions, tantôt à trois dimensions; et Ton comprend ainsi comment nous pourrons dire tantôt que la force reste identique sur tout son parcours , tantôt qu elle diminue en fonction de la distance. Cette remarque, rapprochée de celle que nous ferons plus tard touchant la génération de retendue , éclairera , il faut du moins Tespérer , les points sur lesquels la théorie présente quelque obscurité.

Enfin, nous passons à la troisième propriété de l'espace , à celle que nous avons nommée la pénétrabilité. En effet, si je définis le centre d'un cercle comme étant le point où les diamètres se coupent, c'est-à-dire si je regarde le centre comme la projection de chaque point de la circonférence suivant le rayon , il se trouve que le centre se compose en définitive d'une infinité de points concentrés, si nous pouvons ainsi dire, c'est-à-dire se pénétrant les uns les autres. C'est un point d'une intensité beaucoup plus considérable que chaque point de la circonférence pris isolément. Ce que nous disons de ce point-centre, nous pouvons le dire d'un point quelconque de l'espace géométrique. Il nous est libre, en effet, de considérer ce point comme contenant en lui une infinité de points appartenant à une infinité de figures différentes. De sorte que , si l'espace est impénétrable en ce sens que je ne puis pas le comprimer, il ne l'est pas en ce sens que deux ou plusieurs lieux géométriques ne puissent être considérés comme se pénétrant et affectant la même étendue. L'espace géométrique peut donc se dédoubler à rinfini , on peut le considérer comme la concentration d'une infinité d'espaces indépendants Vun de Vautre^ quoique existant Vun dans Vautre.

En résumé , un point déterminé peut être considéré comme simple , double , triple , à volonté , suivant que je le considère comme appartenant à un , deux, trois espaces. Au point de vue algébrique, l'intensité du point de l'espace ou le nombre de points géométriques qu'il contient est la quantité; au point de vue mécanique, c'est sa masse.

De là découle immédiatement une loi analogue à la troisième loi de la mécanique que la force est proportionnelle à la masse. Car tout point de l'espace étant animé d'une force propre fonction de sa position , si je considère ce point comme double, triple, quadruple, sa force est par là même double, triple, quadruple. La force est donc proportionnelle à la masse. Ainsi , F étant la force du point simple, /'la force totale du point composé , et M sa masse , on a :