GÉOMÉTRIE APPLIQUÉE AUX ARTS

Si , dans cette exposition des travaux de Monge , nous avions voulu suivre l’ordre adopté pour leur enseignement , nous aurions dû présenter les applications, immédiatement après l’exposition des principes généraux de la géométrie descriptive.

Mais il eût fallu développer d’abord la génération des surfaces par les seules considérations géométriques , et la développer une seconde fois par les méthodes analytiques, ce qui aurait exigé deux explications au lieu d’une. Nous avons préféré d’offrir d’abord l’ensemble des recherches théoriques , relatives à la science de l’étendue, et ensuite l’ensemble des applications de cette science.

La géométrie descriptive est un instrument indispensable dans tous les arts dont le but est de donner aux corps des formes

déterminées et rigoureuses : tels sont les arts des travaux publics.

Monge a spécialement appliqué’ sa géométrie, soit dans les cours de lecole du génie militaire, soit dans ceux d$ lecole polytechnique , à la coupe des pierres , à la charpente, à la perspective, aux ombres et au défilement.

11 faut faire connaître ce que ces arts doivent aux recherches du géomètre.

Les diverses parties d’un édifice devant se soutenir mutuellement, pour que l’édifice ait la plus grande solidité possible , il faut d’abord que chaque élément soit avec ceux qui l’avoisinent dans le contact le plus parfait. C’est ce qui ne peut avoir lieu qu’en donnant aux partie^ contiguës, des formes très-simples; afin que l’ouvrier puisse exécuter ces formes par des moyens faciles et certains.

Lorsqu’il s’agit de bâtir en pierre de taille un mur droit sur toutes ses faces, rien n’est plus simple que la solution d’un tel problème. On divise le mur par por-

tions horizontales qui ont ordinairement même hauteur , c’est ce qu’on nomme des assises ; puis , chaque assise est subdivisée verticalement en parties égales entre elles, si l’on oonstruit avec un très-grand soin. Alors, le volume entier de là muraille à ériger se trouve divisé en parallélipipèdes rectangulaires égaux , et dont chacun est formé par un bloc unique de pierre. Il suffit, pour donner à ce bloc la forme demandée , que la règle s’applique en tout sens sur ses faces, et que l’équerre soit la juste mesure de ses angles.

Mais , le problème est beaucoup moins simple lorsqu’il s’agit de construire des voûtes , des portes , des fenêtres centrées , etc. Il faut d’abord que la face extérieure de chaque élément ou voussoir ait la forme de la voûte ou du ceintre. Ensuite, quel doit être le contour de chaque voussoir sur le ceintre et sur la voûte ? Quelle doit être la forme des faces sur lesquelles se touchent les voussoirs contigus ? (Ces faces sont ce qu’on appelle les joints ).

Depuis long-temps on a résolu ce problème de la manière la plus avantageuse pour des voûtes de formes très-simples , telles que la voûte cylindrique et la voûte conique. On a divisé la surface de ces voûtes en éléments rectangulaires, par deux ^ systèmes de lignes ; d’abord par une suite de lignes droites egalement espacées ( ce sont les arêtes du cylindre et du cône ) ; ensuite par des courbes transversales qui croisent ces arêtes à angle droit.

Pour obtenir les joints des voussoirS, on a fait passer par les arêtes, des plans perpendiculaires à la surface de la voûte; puis , par chaque point des courbes transversales , on a conçu une perpendiculaire a cette surface. Ces perpendiculaires forment une surface développable qui est, entre toutes , la plus facile à exécuter après le plan.

On a suivi le même genre de solution dans la structure des surfaces de révolution. Pour circonscrire les voussoirs, on a tracé sur ces surfaces , d’une part les

courbes méridiennes , de l’autre les parallèles qui les coupent à angle droit. Les plans des courbes méridiennes ont été pris pour premier système de joints; les cônes droits et circulaires formés par les normales de la surface , menées des divers points de chaque parallèle, ont été pris pour second système de joints.

Mais, dans une foule de cas où les voûtes ont des formes plus compliquées que celles dont nous venons de parler, la géométrie élémentaire et toute pratique des artistes ne pouvait plus les guider, et souvent ils ont erré. Ils ont regardé comme développables des surfaces de joints qui étaient gauches ; ils ont cru pouvoir effectivement les développer sur un plan , ce qui les a conduits à des opérations entièment fausses.

Monge est le premier qui ait considéré le problème de la coupe des pierres dans toute sa généralité : la solution qu’il en a donnée n’avait pu l’être auparavant, puis-

qu’elle tient à des propriétés de l’étendue , inconnues avant lui.

Pour qu’une voûte soit aussi parfaite que possible , il faut d’abord que ses plans de joints soient partout perpendiculaires à la surface de la voûte ; parce que les arêtes communes des voussoirs, placées sur cette surface, devant se toucher exactement, il peut arriver quelles supportent plus ou moins long-temps toute la pression exercée sur une face de joint. Alors, le voussoir taillé en angle aigu serait moins fort que celui qui présenterait l’angle obtus supplémentaire. Par conséquent, il se briserait long-temps avant que celui-ci n’eût atteint son maximum de résistance.

Il faut de plus, pour que la taille des pierres ne devienne ni trop dispendieuse , ni trop compliquée, que les joints soient des surfaces développables (i).

(i) On doit cependant excepter de cette règle , i°. les escaliers dont la voûte est une surface gauche : des considérations particulières obligent alors de donner aux

Or, d’après la théorie de la courbure des surfaces, telle que Monge l’a fait connaître , ces conditions ne peuvent être remplies que quand les joints visibles des voussoirs tracent, sur la surface de la voûte, des lignes de courbure de cette surface. Il faut donc, pour obtenir la meilleure structure d’une voûte quelconque , diviser d’abord sa surface en éléments rectangulaires, au moyen de ses lignes de plus grande et de moindre courbure; ensuite, prendre pour joints des voussoirs les surfaces développables formées par les normales de la voûte , élevées des différents points de chacune de ces lignes de courbure.

Dans son mémoire sur les lignes de courbure de l'ellipsoïde, Monge fait voir combien il serait convenable de donner la

surfaces de joint la figure de surfaces gauches ; 2°. les parties des édifices où plusieurs voûtes se croisent et se pénètrent; alors les joints des voussoirs ayant deux arêtes apparentes, cette double condition peut exiger un tracé particulier, différent de celui donné par les lignes de courbure.

forme ellipsoïdale aux salles destinées à nos assemblées législatives. Il montre comment les nervures de la voûte, dirigées suivant les traces des joints pour indiquer la structure de l'édifice, se croisant à angle droit suivant la direction des deux courbures et se développant autour de deux ombilics, formeraient une décoration à la fois simple , naturelle et grandiose.

Combien n’est-il pas à regretter queMonge ait négligé d’écrire avec détails la méthode générale qui le guidait dans les applications à la coupe des pierres ! En revenant sur ses idées pour les mettre en état d être connues du public, il y durait nécessairement ajouté beaucoup ; il eût rendu , par là, un service éminent à tous les travaux publics.

Les tracés de la charpente ne sont pas susceptibles, comme ceux de la coupe des pierres , d etre définis par une loi grande et générale. Dans beaucoup de cas ils se réduisent à des intersections de plans, et alors la géométrie descriptive la plus sim-

pie suffit pour résoudre les problèmes que cette application présente.

Mais , dans le tracé des escaliers , des combles et des voûtes , il faut faire un emploi fréquent des surfaces gauches , il faut donner des moyens rigoureux de les engendrer et de les représenter. C’est dans cette partie seulement que Monge aurait pu perfectionner l’art de la charpente, pour laquelle il a moins fait que pour les autres ; parce qu’il s’est trouvé, dans le principe, dégoûté par des obstacles étrangers à la science.

M. Ferry, élève de Monge, ancien professeur de lecole^du génie militaire, à Mézières, s’est occupé spécialement de perfectionner les tracés de la charpente, et de leur donner l’uniformité et la généralité des méthodes de la géométrie descriptive. C’est lui qui a traité spécialement cette partie délicate où l’on doit opérer sur des surfaces gauches.

Monge, devenu membre de l'académie des sciences, usa de l’influence qu’il avait acquise , pour faire passer cette nouvelle

théorie dans l’enseignement de 1 école de Mézières. Les épures de charpente qui entrent dans la collection de l’école polytechnique , doivent à M. Ferry les améliorations importantes qui les distinguent des tracés ordinaires des charpentiers.

La géométrie descriptive s’applique très-heureusement à la perspective. La généralité des méthodes de la science fait disparaître de cet art graphique une foule de méthodes particulières incohérentes , pour le réduire à des solutions qui sont le développement régulier d'un trèspetit nombre de principes.

Il est facile de mettre en perspective un point et une ligne. Mais comment mettre une surface en perspective? C’est * ordinairement en traçant sur le tableau le contour apparent de cette surface. Or, ce contour est , sur le plan du tableau , la trace d’une surface conique ayant pour centre l’œil du spectateur, et de plus étant circonscrite à la surface qu’on veut mettre en perspective : problème facilement ré-

soluble par les méthodes de la géométrie descriptive.

En professant la perspective linéaire, Monge ne bornait pas ses leçons à l’explication de procédés graphiques; il exposait sur la perspective aérienne une foule d’idees nouvelles , résultats de ses observations dans les climats si différents de la France , de l’Italie et de l’Égypte : il savait donner à ce sujet un intérêt extraordinaire.

La théorie de la distribution de la lumière et des ombres sur les corps, se rattache naturellement à la perspective linéaire; elle achève de faire connaître les lois mathématiques de l’aspect des corps.

Les lignes de séparation d’ombre et de lurrtière sont données, sur les corps éclairés, par leurs courbes de contact avec des surfaces développables à la fois circonscrites au corps éclairant et au corps éclairé.

Si l’on considère tous les rayons de lumière émanés delà surfaced’un corps éclairant, et qui tombent sur un corps éclairé.

on trouvera que l’espace quils occupent est terminé par deux enveloppes essentiellement distinctes et qui sont deux surfaces développables. La première, embrassant extérieurement les deux corps, touchera, comme nous venons de le dire , le corps éclairé dans toute l’étendue d’une courbe qui sera sur lui la ligne de séparation d’ombre et de lumière; la seconde développable aura ses diverses arêtes passant entre les deux corps, et, se croisant mutuellement , elle touchera le corps éclairé dans toute l’étendue d’une courbe qui limitera la partie de ce corps imparfaitement illuminée, partie qu’on appelle pénombre.

Monge a donné cette théorie , en présentant à l’académie des sciences de Paris ses considérations sur les surfaces développables. Mais, Euler avait eu le premier l’idée de cette application importante (i).

Guidés par les conseils de Monge , les

(i) Voyez à la fin du Mémoire déjà cite : De soîidis quorum supcrfcicm in planum explicare licet.

élèves formant le noyau de l’école polytechnique se proposèrent de déterminer la dégradation des teintes d’une sphère éclairée, d’abord par les rayons émanés d'un corps de forme quelconque ; ensuite par des rayons parallèles , tels qu’on suppose ordinairement les rayons solaires.

Lorsque les élèves eurent déterminé pour ce dernier cas, par la géométrie analytique , les lignes d’égale teinte , le point brillant , la pénombre et les séparations d’ombre et de lumière , ils exécutèrent une sphere avec toutes les dégradations de ses teintes , et avec son ombre portée sur un plan : l’illusion produite par cette peinture mathématique, fut parfaite. Les élèves, qui avaient fait en secret leur dessin , le déposèrent un soir sur une table bien éclairée , à l’heure où Monge devait venir. Il fut frappé de l’effet de ce travail , et son cœur le fut plus encore par la jouissance que lui procurait l’ingénieuse amitié de ses élèves.

Malus, qui se trouvait au milieu d’eux,

a poussé beaucoup plus loin ce genre de recherches. 11 a déterminé , par la géométrie analytique la plus savante, les lois mathématiques de la réflexion et de la réfraction des rayons de lumière. 11 a démontré que, si les rayons incidents partent d'un*poiut unique, le faisceau des rayons réfléchis ou réfractés une première fois par une surface quelconque est toujours dé^ composable en deux systèmes de surfaces développables. Il croyait avoir prouvé que cette belle propriété ne pouvait plus avoir lieu, généralement, pour une seconde réflexion ni une seconde réfraction, Depuis l’époque où il a publié son travail , on a démontré que, quelles que soient les formes des surfaces réfléchissantes ou réfractantes , dès qu’un premier faisceau se compose de surfaces développables ortho-: gonales , la meme propriété se conserve dans toutes les réflexions et dans toutes les réfractions subséquentes (i).

(i) Mémoire sur les routes suivies par les rayons de

Nous allons finir par l’historique du défilement, notrè exposé des applications delà géométrie descriptive. 11 fallait fort peu de géométrie pour défiler convena-*blement les fortifications , en opérant sur les lieux. Au moyen de jalons , dè règles et d’instruments propres à prendre des directions et à mesurer des angles , i’habileté du coup d’œil faisait , dii premier abord, approcher sensiblement de la bonnë solution ; ensuite un petit nombre de tâtonnements bien dirigés , permettaient d’atteindre à très-peu près cette solution la meilleure possible. C'est ainsi que , darts les ouvrages de Va uban et de Cormontaigne , les tracés et les reliefs déterminés sur le terrain, d’après la méthode doftt nous parlons , font encore l'admiration des plus habiles ingénieurs.

Voici maintenant quelles sont les ten-

lumière réfléchis par des miroirs de forme quelconque, etc., et Rapport fait à l’Institut sur ce Mémoire par M Cauchy.

tatives qu’on a faites pour arriver a défiler une fortification par d’autres voies que par le tâtonnement. Il fallait d’abord exprimer géométriquement , sur du papier qui n’a que deux dimensions , un terrain qui en a trois; et, jusqu’au milieu du siècle passé , c était pour les ingénieurs militaires , une difficulté qui leur paraissait presque insurmontable.

La première idée qui se présenta fut de prendre pour base un plan horizontal supposé celui du papier, et passant par un point donné du terrain ; puis d’y rapporter un certain nombre d’autres points par de$ projections horizontales, en écrivant à côté de chaque projection, la hauteur du point au-dessus ou au-dessous du plan, Gette méthode imparfaite, n’était autre chose que celle avec laquelle ou représente le fond de la mer par des hauteurs de sonde dans les cartes hydrographiques ; l’application qu ou en a faite aux tracés des fortifications est due à M. de Châtillon, pre* mier commandant de l’école de Mérièrcs,

issu d'une célèbre famille d'ingénieurs militaires , et lui-même ingénieur d’un rare mérite.

En 1749» année qui suivit rétablissement de l’école de Mézières , un autre officier du génie , Millet de Mureau, proposa de marquer sur le papier les hauteurs du terrain , par des cotes dont les points fussent placés sur des directions perpendiculaires à une ligne tracée sur le terrain dans un plan vertical , et passant par le point le plus élevé. Une telle pensée était heureuse , en ce quelle offrait dans les déterminations une loi de continuité , qui pouvait donner une idée juste des dégradations de la forme du terrain. D’ailleurs , cette méthode était déjà pratiquée dans les opérations topographiques relatives au creusement des ports, et au tracé des profils transversaux des routes.

Le problème fondamental à résoudre , quand la forme du terrain est rigoureusement définie , c’est de mener au terrain compris dans les limites du défilement ,

par une ligne qui sert de base aux ouvrages qu’on veut défiler , le plan tangent le plus élevé possible. Pour déterminer complètement ce plan , qu’on appelle le plan de site, il suffirait de trouver son point de contact avec le terrain : mais comment y parvenir sans méthode géométrique ?j

On regardait comme le point de con-' tact cherché chacun de ceux qui semblaient devoir peu s’éloigner de la vraie position ; ensuite , on vérifiait par des calculs compliqués et fort longs , si le plan déterminé de la sorte ne passait pas audessous de quelques-uns des points environnants. Dans ce cas, on menait, par un de ces nouveaux points , le plan supposé tangent au terrain ; on faisait une seconde vérification semblable à la première ; puis une troisième , si la seconde n’était pas favorable , et ainsi de suite.

Lorsque Monge eut à s’occuper du défilement , il conçut l’idée d’un cône partout tangent au terrain , et dont le centre serait sur la droite par laquelle on devait

mener le plan tangent à ce terrain. Le plan , passant par cette droite et de plus tangent au cône , est le plan de site cherché.

Le plan de site une fois trouvé , pour y rapporter touts les éléments qui composent le relief d’une fortification , on calculait la distance de ces points à ce plan par des proportionnelles , ce qui exigeait une immense quantité de calculs. Telle était la seconde difficulté qu’il s’agissait de vaincre. Dubuat, ingénieur militaire, a rédigé, en 1768, un mémoire qui semble être le complément de la méthode employée par Monge pour cet objet. Dans ce mémoire, on représente le plan de site par sa ligne de plus grande pente; on cotte cette ligne comme une échelle , par intervalles égaux, représentant des hauteurs pareillement croissantes , d’une division à l’autre et par intervalles égaux. Alors, en menant des horizontales perpendiculaires à cette ligne , on a de suite la hauteur d’un point quelconque du plan de site au-dessus d'un plan horizontal donné , et par

conséquent le relief de touts les points de la fortification sur ce dernier plan.

Plus tard , Monge a fort agrandi l’idée de représenter un plan par sa ligne de plus grande pente , en représentant les terrains de formes quelconques , par le système de leurs lignes de plus grande pente : système qui , dans beaucoup de cas , a des avantages qui lui sont particuliers.

Un autre moyen plus propre encore à définir rigoureusement et complètement les formes du terrain, est de les représenter par des courbes horizontales tracées sur ce terrain dans des plans équidistants. Cette idée est-elle due à Monge ? est-slle plus ancienne que lui? est-elle due à quelqu’un de ses élèves? Voilà ce qui semble difficile à décider.

Dans un mémoire de 1777, Meusnier a fait , du tracé par courbes horizontales , une application fort heureuse au problème de la recherche du plan de site , d’après la considération que l’angle formé par ce plan et l’horizon doit être un maximum.

Par la droite , suivant laquelle doit être mené le plan de défilement , Meusnier conçoit un plan tangent à chaque courbe horizontale tracée sur le terrain ; la trace de ce plan , sur le plan horizontal de la courbe , est la tangente à cette courbe qui passe par la droite donnée.

En cottant sur cette droite les points également espacés qui correspondent aux plans également espacés des courbes horizontales , et menant , à partir de chaque point , une tangente à la courbe correspondante , on a le système des traces de touts les plans tangents aux courbes horizontales , et menés par la droite fondamentale. Celle de toutes ces traces qui s’écarte le moins de la partie ascendante de la droite , est la droite du plan cherché. En effet , c’est la trace du plan dont la plus grande pente est un maximum .

Meusnier résout aussi le problème d’un plan tangent au cône, en employant les courbes horizontales.

A la création de l’école polytechnique.

MM. Dobenlieim et Say ont repris la question des défilements , en appliquant les solutions générales que nous venons d’indiquer, au tracé et au relief des différents ouvrages dont se compose une fortification.

J’ai pensé que cet historique d’un problème très-intéressant en lui-même , montrerait jusqu’à l’évidence les immenses avantages que les travaux publics ont rétirés des méthodes de la géométrie descriptive.

On voit, par cet historique, quil y avait à l’école de Mézières , et dans le corps du génie militaire, un esprit de perfectionnement très-remarquable et très-digne d’éloges. Ce corps qui a fourni tant d’hommes célèbres pour la défense de l’état et le progrès des sciences , crut long-temps qu’il importait à la force nationale de cacher des connaissances auxquelles les autres nations ne pouvaient pas encore atteindre. Mais, à mesure que les peuples nos rivaux se sont instruits , ce mystère est devenu

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moins nécessaire. 11 a même tourné contre nous. On a vu pendant les dernières guerres, en 1799, un émigré français, l’ingénieur Bonsmard , oubliant tout amour pour une patrie qu’il combattait , et tout respect pour les prohibitions d’un corps auquel il n’appartenait plus , publier chez l’ennemi l’un des meilleurs ouvrages (1) qui aient paru sur la fortification , et qui fut composé sur les manuscrits secrets de Mézières. Un officier du génie est tué en Espagne , un officier d’artillerie hérite de ses effets; il y trouve les mémoires et l’exposition des cours de l’école de Metz , sur la fortification, passe à l’ennemi , porte cet ouvrage en Russie, etl’y publieên 181 1(2).

Aiusi,les puissances étrangères ont profité les premières, et dans les moments les plus importants, d’une publicité interdite en France à nos méthodes (3).

( i Ce livre est dédié au roi de Prusse.

(2) Ce livre est dédié à l'empereur de Russie.

(3) En iSoti, parut le Ier. cahier des Exercices sur la fortification, à l’usage de l’école de l’artillerie et du génie

11 est donc bien prouvé* qu aujourd’hui nous ne saurions espérer de tenir longtemps secrètes les méthodes nouvelles qui tiennent au progrès des sciences. 11 faut réserver notre silence pour les données positives et statistiques de l’art militaire; pour les plans de nos places fortes , pour l’état nunjératif de leur matériel, et laisser ainsi l’étranger toujours dans l’ignorance sur la valeur absolue de nos moyens effectifs d’attaque et de défense. Mais, quant aux préceptes scientifiques qui se rapportent à l’art, je le redis encore, ce serait à pré-* sent la plus vaine des entreprises que de vouloir en renfermer la connaissance entre quatre à cinq cents officiers d'un seul des corps dé l’armée.

militaire. Aussitôt , le ministre de la guerre ordonna de discontinuer cette publication , qui fut achevée cinq ans plus tard en Russie, sous d’autres auspices!....