GÉOMÉTRIE PURE ET DESCRIPTIVE

Les opérations régulières qu’il faut effectuer sur des corps de forme quelconque, dépendent presque toujours essentiellement de la figure de ces corps , à laquelle il faut du moins que ces opérations soient adaptées. Ainsi touts les tracés des fortifications, faits sur le terrain , dépendent de la configuration de ce terrain , et doivent varier avec elle. Les opérations défensives d’une place dépendent elles-mêmes de la forme de ses fortifications. Je pourrais citer mille autres exemples de cette connexion intime entre la figure des ouvrages de l’art ou de la nature , et les résultats que l’homme veut obtenir en opérant sur ces ouvrages.

Dans beaucoup de cas particuliers et à mesure du besoin , on a cherché des moyens plus ou moins directs , plus ou moins rigoureux , pour adapter ainsi les

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opérations de l’art aux formes des objets. Mais, avant Monge , on n’avait pas conçu l’idée d’embrasser d’une manière générale les moyens de définir la figure des corps ; et d’en conclure des méthodes uniformes, pour déduire de cette figure primitive et donnée , d’autres formes commandées par les besoins des arts. Tel est le but de la géométrie descriptive , science dont il faut ici développer les avantages.

La géométrie descriptive considérée dans sa plus stricte acception , n’est qu’un art , et qu’un ensemble de méthodes pour représenter suivant certaines conventions tout ce qui caractérise la figure des corps et les relations de leurs formes. La géométrie descriptive est une langue imitative , qui a le double avantage de peindre et de parler aux yeux.

Mais ilestunegéométriegénéraleet purement rationnelle dont la géométrie descriptive n’est que la traduction graphique. C’est cette géométrie générale à laquelle il faut sur-tout former son esprit pour en bien

appliquer les considérations et les préceptes. Il faut pouvoir se représenter dans l’espace les formes des corps, et combiner idéalement ces formes par la seule puissance de l’imagination. L’esprit apprend à voir intérieurement et avec une parfaite netteté, des lignes et des surfaces individuelles , des familles de lignes et de surfaces ; il acquiert le sentiment du caractère de ces familles et de ces individus; il n’apprend pas seulement à les voir isolément ou par groupes analogues ; il les rapproche , les combine, et prévoit les résultats de leurs intersections , de leurs contacts plus ou moins intimes , etc.

Ainsi la nouvelle géométrie fortifie éminemment l'imagination ; elle apprend à saisir rapidement et avec une grande précision , un vaste ensemble de formes , à juger de leurs analogies et de leurs différences , de leurs rapports de position et de grandeur.

Elle assure à l’ingénieur militaire ce coup d’œil qui fait saisir, à la vue d'un

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terrain varié, la loi générale de sès formes principales , et ce que ces formes présentent de favorable ou de défavorable aux opérations de la guerre.

Elle donne à l’ingénieur des ponts et chaussées cette sûreté de vue qui , dans les enchaînements des montagnes et des vallées , fait pressentir les grandes directions qu’il convient de donner aux routes et aux canaux ; fait éviter ainsi des tâtonnements immenses, et ne laisse plus aux opérations graphiques qu’un terrain très-limité, sur lequel il devient facile de déterminer les meilleures directions partielles à suivre daus la direction générale, découverte par le coup d’œil géométrique.

C’est cette grande manière de considérer les formes de la nature , qui a fait trouver aux élèves de Monge , Brisson et Dupuis-Torcy , leurs ingénieuses limites des poiuts les plus hauts et les plus bas des croupes de montagnes et du fond des vallées : ces lignes de Faîtes et de Thalwegs , tracées sur les cartes topographiques , sont

des repères précieux pour beaucoup d’opérations importantes : par exemple pour la recherche des points de partage des canaux (i).

Les travaux des mines exigent une géométrie souterraine, où la science seule doit guider à défaut de la vue. Les travaux des constructions navales présentent à leur tour dans le tracé des formes des vaisseaux , et dans les propriétés de ces corps flottants, des applications géométriques dont les conséquences sont du plus haut intérêt.

Après avoir fait connaître , par ces considérations , quelle est l’importance de la nouvelle géométrie , nous allons présenter l’analyse rapide de l’ouvrage de Monge,çonnu sous le nom de Géométrie descriptive.

Le premier objet de cette science est de représenter, sur des feuilles de dessin à deux dimensions , tous les corps de là nature qui ont trois dimensions. Le second

(i) Journal de l’école polytechnique, tora. VII, 14e. cahier, (Essai sur l’art de projeter les canaux de navigation.)

objet est de déduire d’une telle représentation, tous les rapports mathématiques résultant de la forme et de la position de ces corps.

Comment représenter un point , une ligne , une surface ?

Telle est la première question que Monge se propose. Il la résout sans paraître savoir d’avance oii il veut arriver , et en se laissant guider par l’analogie naturelle qui nous fait rapporter nos mesures aux bases les plus simples en elles-mêmes, dans l’espoir d’opérer ces mesures par des voies qui soient aussi les plus simples possibles.

Monge fait voir comment ici les moyens qui semblent au premier abord devoir être les plus élémentaires , seraient en effet les plus compliqués.

C’est ainsi’ qu il ne faut rapporter les distances qu’on veut mesurer dans l’espace ni à des points fixes ni à des lignes droites , mais à des plans perpendiculaires entre eux ; telle est la méthode des projections orthographiques.

On doit citer comme un modèle , pour la gradation des idèeset leur développement lumineux , les pages où Monge expose ces tentatives de la science pour arriver à la connaissance du système de projections le plus parfait.

D après ce système , pour représenter un point quelconque de L’espace, on mène de ce point une perpendiculaire à chacun des plans de projection ,* le point du plan où tombe cette perpendiculaire est la projection du point proposé.

Si , dans 1 espace , des points contigus forment une ligne , leurs projections pareillement contiguës formeront de même une ligne ; ce sera la projection de la ligne donnée.

Deux projections seulement suffisent à la détermination d’un point quelconque de l’espace , et par conséquent à la détermination d’une courbe quelconque , soit à simple , soit à double courbure.

On ne peut plus employer le même mode de représentation pour une surface,*

car les points contigus de cette surface couvrant sur chaque plan de projection une aire continue , rien n’indique alors que tel point de la projection , sur un premier plan , correspond à tel point plutôt qua tel autre sur un second plan de projection , et par conséquent aussi dans l’espace.

Si l’on conçoit que la surface à représenter soit couverte d’un système de lignes qui se succèdent suivant une loi déterminée ; puis , qu’on projette ces lignes sur les deux plans de projection , en marquant la correspondance de l’une et de l’autre projection ; alors les projections de chaque point de la surface seront liées par une dépendance évidente, et la surface sera rigoureusement et complètement .représentée.

Quelques surfaces élémentaires peuvent être représentées par des moyens beaucoup plus simples. Le plan-, par exemple, est complètement défini par les lignes droites suivant lesquelles il coupe les deux plans

de projection : ces lignes «ont ce qu’on appelle les traces de ce plan.

Une sphère est complètement définie par les deux projections de son centre , et du grand cercle qui limite la projection de ses points.

Un cylindre est déterminé par son intersection ou Sa trace sur un des plans de projection, etpar les deux projections d’une seule de ses arêtes.

Un cône est déterminé par sa trace sur un des plans de projection , et par les deux projections de son centre , etc.

On voit déjà que l’art de ramener la génération des surfaces courbes aux éléments les plus simples , et qui fournissent les constructions les plus rapides et les plus élégantes pour obtenir tel point qu’on veut de ces surfaces , doit former une des recherches les plus utiles et les plus intéressantes , dans la science de la géométrie descriptive.

Après avoir considéré les points , les^ lignes et les surfaces dans leur représenta-

tion isolée , il faut les considérer dans les rapports de leur position.

C’est ce que Monge fait d’abord pour des points , pour des lignes droites et des plans, i°. parallèles , 20. perpendiculaires , 3°. obliques. Dans ce dernier cas il détermine la grandeur de leur inclinaison , dans le premier il détermine leur distance.

Monge traile ensuite des lignes et des plans qui ont des positions remarquables par rapport aux surfaces courbes ; les plus importants de ces plans et de ces lignes sont les plans tangents et les normales. Il donne des méthodes graphiques pour déterminer les traces des plans tangents et les projections normales , à la surface cylindrique, à la surface conique , à la surface de révolution ; et il le fait , i°. en supposant que le point par lequel doit passer la normale et le plan tangent soient donnés sur la surface ; 20. en supposant qu’on se donne, hors de la surface, un point de la normale et deux du plan tangent.

\ la suite de ces recherches générales ,

Monge s’occupe spécialement des plans tangents à une , ou à deux , ou à trois sphères. A ce sujet il fait connaître plusieurs propriétés de l’étendue fort remarquables.

Les premiers élèves de lecole polytechnique s’étaient proposé d’étendre ces moyens de solution à la question plus compliquée de déterminer les sphères tangentes à deux , à trois , ou à quatre autres sphères (i j. Ils retrouvèrent à ce sujet des théorèmes importants , en partie découverts par Fermât près de deux siècles auparavant ; ils leur donnèrent une extension nouvelle. Quelques années après on a repris la meme question , en ajoutant à ces principes plusieurs vérités qui parurent à Monge mériter l’ attention des géomètres ; telle est la description générale des courbes du second degré, d’une infinité de manières équivalentes par trois rayons vecteurs , etc. (2)

(1) Correspondance polytechnique, t. I# n°. 2,p. 1-. (?) Correspondance polytechnique , tome II, p. /jio;

Après avoir combine la ligne droite et le plan avec les surfaces courbes, il faut combiner ces surfaces entre elles.

L opération qui s’offre la première est celle de déterminer leur intersection lorsqu elles se rencontrent. C’est ici qu’on retrouve 1 avantage de bien connaître les diverses générations des familles de surfaces , pour combiner ces générations de manière à déterminer les projections de la courbe d intersection parles moyens les plus simples et les plus ébigants. Monge en offre des exemples très-remarquables.

Il donne aussi le moyen de déterminer les tangentes de la courbe d’intersection , et toutes les circonstances importantes de son cours. Il applique ensuite ces méthodes à des questions d’une utilité variée qui répandent sur elles un grand intérêt : il s’étend particulièrement sur l’application aux opérations topographiques , où l’on

Mémoire sur* la sphère tangente à trois ou à quatre

autres.

observe des points placés à diverses hauteurs et non dans le même plan.

De même qu’on peut demander de trouver des plans tangents à des surfaces courbes , de même aussi peut - on demander de trouver , suivant certaines lois , des surfaces courbes tangentes à d’autres surfaces , et qui de la sorte aient avec elles un contact du premier ordre , non-seulement en .un point, mais dans toute l’étendue d’une ligne courbe.

C’est ainsi que Monge donne le moyen de circonscrire, à une surface quelconque, un cylindre dont l’arête est donnée de direction ; un cône dontlesommet est connu ; une surface de ‘révolution dont l’axe est déterminé , etc.

D’autres questions non moins intéressantes pour les arts , mais que Monge , regardant comme trop compliquées pour la simple géométrie descriptive, n’a pas cru devoir approfondir dans son ouvrage , sont celles où il s’agit de déterminer, suivant certaines lois, des surfaces qui ont avec

d’autres des contacts du second ordre.

C’est ce qu’on a tâché de faire dans un ouvrage qui fait suite à la Géométrie descriptive et à la Géométrie analytique de Monge, et qui parut eu i8i3, sous les auspices de ce grand géomètre ( i).

On y donne les moyens de déterminer graphiquement des surfaces du second degré qui aient avec des surfaces quelconques , en un point donné , un contact du second ordre; on y fait voir comment, par ce contact, les propriétés spéciales des surfaces du second degré se transforment en propriétés générales de la courbure des surfaces ; comment on peut faire varier la forme des surfaces, sans quelles cessent pour cela d'avoir un contact du second , du troisième , etc. , ordres avec une surface primitive donnée.

Monge termine son ouvrage par des considérations générales sur la courbure

(i) Développements de Géométrie, i vol. în«4 *: Parts*

veuve Courtier.

et le développement des courbes à double courbure , et sur les deux courbures des surfaces. H est à regretter qu’il n’ait pas poussé plus loin l’exposition de ces recherches de pure géométrie , auxquelles il savait donner tant de clarté et de simplicité. . A 1 époque où Monge donnait ses leçons de géométrie descriptive à lecole normale, M. Lacroix, qui lui était adjoint pour l’enseignement de cette science , reprenant les solutions qu’il avait trouvées et rédigées auparavant, les publiait d’abord sous le titre d’Essai sur les plans et les surfaces (i), et ensuite sous le titre de Complément des éléments de géométrie , comme faisant partie de son cours de mathématiques aux écoles centrales.

On a vu dans la première partie que Monge , en expliquant à M. Lacroix les théories de l’analyse appliquée à la géométrie , setait interdit de lui exposer les méthodes graphiques de la géométrie descrip-

(i) Un vol in-8°. Paris , 1795.

igo

tive. Cette reserve piqua la curiosité duu élève éprisd’un ardent amour de la science. M. Lacroix tenta de traduire l’analyse appliquée en géométrie pure, et prit dès lors une idée nette de l’esprit et des avantages de la méthode des projections ; il s’appliqua , par cette méthode , à résoudre les questions qui forment la base de la géométrie descriptive. Le résultat de ce travail fut le traité sur les plans et les surfaces courbes que nous venons de citer.

M. Hachette , élève de Monge , son adjoint à 1 école normale d’abord , ensuite à l’école polytechnique , et enfin professeur de géométrie descriptive dans ce dernier établissement, est auteur d’un supplément à la géométrie descriptive (i).

Ce supplément offre l’explication de plusieurs questions dont les épures étaient

(i) Nous citerons avec d’autant plus de plaisir et de détail les travaux de ce professeur , qu’il a justement à se plaindre aujourd’hui de la fortune et des hommes. Après trente années de service rendus à l’enseignement, il s’est

données dans le cours d’instruction de lecole polytechnique ; des considérations générales sur les surfaces tirées des feuilles d’analyse ou des mémoires de Monge ; l’exposition des théorèmes trouvés sur le contact des sphères , et dont nous avons déjà parlé, etc. (i).

Depuis lepoque où ce supplément a paru , M. Gauthier, ancien élève de l’école polytechnique et professeur de géométrie descriptive au conservatoire des arts et métiers, a présenté à l’institut de France un

vu tout à coup écarté de lecole polytechnique par l’effet d’une organisation nou\eIIe,et cela sans qu’on ait daigné lui payer .la dette de ses services i il n’a pas obtenu la moindre retraite.

(0 M. Vallée, ancien élève de l’école polytechnique, ingénieur des ponts et chaussées , a présenté, cette année , à l’académie des sciences le manuscrit d’un traité de géométrie descriptive, où il a compris tout ce que les travaux de Monge et la tradition de l’école polytechnique offrent d important dans ce genre ; son ouvrage a reçu l'approbation de l’académie d’après un rapport de M. Arago. Ce rapport fait désirer aux amis de la géométrie de voir l’ouvrage de M. Vallée paraître le plus tôt possible.

mémoire dans lequel il considère , sous un jour entièrement nouveau , les problèmes qui se rapportent à ce contact des sphères ou des cercles : il développe un moyen général de solution qui le conduit, à la connaissance de plusieurs propriétés intéressantes de l’étendue.

M. Hachette a publié, sous le titre d éléments de géométrie à trois dimensions ( i ), un résumé des connaissances géométriques dont jpous avons ici fait l’analyse ; il y donne la solution de plusieurs problèmes relatifs à la courbure des lignes courbes. Il présente sur les contacts des surfaces gauches un théorème immédiatement dérivé des principes exposés par Monge sur la génération des surfaces par osculations ; il se sert de ce théorème pour déterminer la grandeur et la direction de la courbure des lignes à double courbure. Ce moyen est rigoureux, mais trop compliqué : on a

(0 Un vol. in-8°. Paris , 1817

donné, pour les questions de ce genre, des solutions plus faciles et plus simples.

On a dit avec une affectation remarquable dans le Bulletin de la société philomathique (i), dans le Moniteur et même à l’Institut , que M. Hachette avait le premier résolu les questions de ce genre, non-seulement pour les lignes, mais encore pour les surfaces. Une note écrite en 1 8 l6, qui ne put pas être insérée dans le Bulletin de la société philomathique, mais qui parut dans les Annales de mathématiques (2), a démontré l’erreur de ces assertions qu’on n’aurait pas dû reproduire en 1817 et en 1818, avec le même degré d’assurance.

M. Hachette a rendu d’utiles services à la géométrie , comme éditeur de la Géométrie descriptive de Monge , imprimée pendant

(1) Bulletin de la société philomathique, 1816, page 89.

(2) Annales de mathématiques publiées par M Gcrgonne.

que ce savant était en Égypte ; et surtout comme rédacteur de Récrit périodique publié sous le titre de Correspondance polytechnique. Cet ouvrage paraissait par numéros , d’un prix modique , à des époques beaucoup moins éloignées que les cahiers du Journal de l’école polytechnique. Par son format, il permettait d’y mettre à côté de l’extrait d’écrits importants, des recherches utiles en elles-mêmes, mais point assez marquantes pour entrer dans les grandes collections scientifiques. Cet ouvrage , redisons-le , mérite à son auteur la reconnaissance des amis de la géométrie; il a, pendant douze années, offert aux anciens et aux nouveaux élèves de l’école polytechnique, un moyen de publier les résultats de leurs recherches mathématiques; il a, pour plusieurs, été l’occasion de travaux auxquels ils n’auraient pas songé à se livrer sans l’espoir de les voir prochainement offerts au public. La Correspondance polytechnique renferme en outre des travaux nombreux et variés sur les sciences phy-

siques et chimiques. Enfin , elle offre sur les services des anciens ëlèves de l’école polytechnique , une foule de renseignements qui deviendront avec le temps d’un interet toujours plus grand.

Parmi les recherches que les élèves et les professeurs de l’école polytechnique ont consignées dans le Journal et dans la Correspondance polytechniques , il faut considérer ici spécialement les travaux dûs à Monge.

Nous indiquerons, en premier lieu, sa démonstration d’un beau théorème, qui est la clef du changement des coordonnées rectangulaires. Cette démonstration mérite detre distinguée, indépendamment de son mérite intrinsèque , parce quelle est un exemple de cet amour pour la science, qui ne quittait jamais l’illustre professeur: il a donné cette démonstration dans un des courts instants de loisir que lui laissaient, à Rome, la recherche et l’envoi des monuments des arts.

Nous citerons ensuite des considérations

remarquables par leur originalité , i0. sur la pyramide triangulaire circonscrite par un parallelipipède dont les six faces ont respectivement pour une de leurs diagonales les six arêtes de la pyramide ; i°. sur la pyramide conjuguée, formée par les six autres diagonales; 3°. enfin, sur les surfaces du second degré touchées à la fois par toutes les arêtes de la pyramide primitive et de sa conjuguée.

Les autres recherches de Monge, consignées dans les deux collections polytechniques , se rapportent spécialement à l’application de l’analyse à la géométrie; partie vers laquelle il est temps de tourner nos regards.

Si le temps nous le permettait, pour compléter l’énumération des travaux de l’école de Monge , il faudrait indiquer les recherches géométriques publiées dans les Annales de mathématiques. Cet intéressant ouvrage , entrepris loin de la capitale , et soutenu avec autant de zèle que de talent par M. Gergonne, ancien officier d’ar-

tillerie(i), et maintenant professeur au lycée de Montpellier, a beaucoup contribué à conserver, à propager dans nos provinces l’amour et l’étude des sciences mathématiques.

(l) D’abord professeur de mathématiques à l’académie de Nismes. Il serait à désirer que l’auteur, pour récompense de ses longs travaux dans l’enseignement , fût appelé à l’une des chaires des écoles de la capitale , et qu’il y consacrât ses loisirs à la continuation d’un ouvrage qu’il rendrait alors beaucoup plus fructueux pour la science.