J 66 ESSAI PHILOSOPHIQUE

en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné, aux résultats de ses réflexions et de son expérience; et sous ce rapport, une longue habitude d’interroger et de juger les accusés, donne beaucoup d’avantages pour saisir la vérité au milieu d’indices souvent contradictoires.

La question précédente dépend encore de la grandeur de la peine appliquée au délit; car on exige naturellement pour prononcer la mort, des preuves beaucoup plus fortes que pour infliger une détention de quelques mois. C’est une raison de proportionner la peine au délit, une peine grave appliquée à un 'léger délit devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Une loi qui donne aux juges la faculté, de modérer la peine dans le cas de circonstances atténuantes, est donc conforme à la fois aux principes d’humanité envers le coupable , et à l’intérêt de la société. Le produit de la probabilité du délit par sa gravité étant la mesure du danger que l’absolution de l’accusé peut faire éprouver à la société, on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité. C’est ce que l’on

fait indirectement dans les tribunaux où l’on

retient pendant quelque temps l’accusé contre lequel s’élèvent des preuves très fortes, mais in-

suffisantes pour le condamner : dans la vue d’acquérir de nouvelles lumières , on ne le remet point sur-le-champ au milieu de ses concitoyens qui ne le reverraient pas sans de vives alarmes. Mais l’arbitraire de cette mesure et l’abus qu’on jxîut en faire l’ont fait rejeter dans les pays où l’on attache le plus grand prix à la lil^erté individuelle.

Maintenant , quelle est la probabilité que la décision d’un tribunal qui ne peut condamner qu’à une majorité donnée , .sera juste, c’est-àdire conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessus? Ce problème important bien résolu , donnera le moyen de comparer entre eux les tribunaux divers. La majorité d’une seule voix dans un nombreux tribunal , indique que l’affaire dont il s’agit est à fort peu près douteuse; la condamnation de l’accusé serait donc alors contraire aux principes d’humanité, protecteurs de l’innocence. L’unanimité des juges donnerait une très grande probabilité d’une décision juste ; mais en s’y astreignant , trop de coupables seraient absous. 11 faut donc , ou limiter le nombre des juges si l’on veut qu’ils soient unanimes , ou accroître la majorité nécessaire pour condamner, lorsque le tribunal devient plus nombreux. Je vais essayer d’appliquer le calcul

l68 ESSAI PHILOSOPHIQUE

à cet objet , persuadé qu’il est toujours le meilleur, guide lorsqu’on l’appuie sur les données que le bon sens nous suggère.

La probabilité que l’opinion de chaque juge est juste, entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si dans un tribunal de mille et im juges, cinq cent-un sont d’une opinion, et cinq cents sont de l’opinion contraire, il est visible que la probabilité de l’opinion de chaque juge surpasse bien peu car en la supposant sensiblement plus grande , une seule voix de différence serait un évènement invraisemblable. Mais si les juges sont unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraîne la conviction ; la probabilité de l’opinion de chaque juge est donc alors très près de l’ unité ou de la certitude, à moins que des passions ou des préjugés communs n’égarent à la fois tous les juges. Hors de ces cas , le rapport des voix pour ou contre l’accusé doit seul déterminer cette probabilité. Je suppose ainsi qu’elle peut varier depuis - jusqu’à l’unité , mais qu’elle ne peut être au-dessous de Si cela n’était pas , la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort : elle n’a de valeur qu’ autant que l’opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu’à l’erreur. C’est en-

SUR LES PROBABILITES. 169

suite par le rapport des nombres de voix favorables et contraires à l’accusé , que je détermine la probabilité de cette opinion.

Ces données suffisent pour avoir l’expression générale de la probabilité que la décision d’un tribunal jugeant à une majorité connue, est juste. Dans les tribunaux où , sur huit juges, cinq voix seraient nécessaires pour la condamnation d’un accusé , la probabilité de l’erreur à craindre sur la justesse de la décision , surpasserait Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu’à la pluralité de quatre voix , la probabilité de l’erreur à craindre serait au-dessous de j ; il y aurait donc pour l’accusé un avantage à cette réduction du tribunal. Dans l’un et l’autre cas , la majorité exigée est la meme et égale à deux. Ainsi cette majorité demeurant . constante , la probabilité de l’erreur augmente

avec le nombre des juges : cela est général, quelle

que soit la majorité requise , pourvu qu’elle reste la meme. En prenant donc pour règle le rapport arithmétique , l’accusé se trouve dans une position de moins en moins avantageuse , à mesure que le tribunal devient plus nombreux. On pourrait croire que dans un tribunal où l’on exigerait une majorité de douze voix , quel que fût le nombre des juges , les voix de la minorité , neu-

l-yo ESSAI PHILOSOPHIQUE

tralisant un pareil nombre des voix de la majorité, les douze voix restantes représenteraient runanimité d’un jury de douze membres, requise en Angleterre pour la condamnation d’un accusé; maison serait dans une grande erreur. Le bon sens fait voir qu’il y a différence entre la décision d’un tribunal de deux cent-douze juges dont cent-douze condamnent l’accusé, tandis que cent l’absolvent, et celle d’un tribunal de douze juges unanimes pour la condamnation. Dans le premier cas, les cent voix favorables à l’acciisé autorisent à penser que les preuves sont loin d’atteindre le degré de force qui enti'aîne la conviction ; dans le second cas, l’unanimité des juges porte à croire qu’ elles ont atteint ce degré. Mais le simple bon sens ne suffit point pour apprécier l’extrême différence de la probabilité de l’erreur dans ces deux cas. Il faut alors recourir au calcul, et l’on ti’ouve un cinquième à peu près pour la probabilité de l’erreûr dans le premier cas, et seulement pour cette probabilité

dans le second cas , probabilité qui n’est pas un millième de la première. C’est une confirmation du principe que le rapport arithmétique est défavorable à l’accùsé quand le nombre des juges augmente. Au contraire, si l’on prend pour règle le rapport géométrique, la probaliilité de l’erreur

SUK LES PROBABILITÉS.

de la décision diminue quand le nombre des juges s’accroît. Par exemple, dans les tribunaux qui ne peuvent condamner qu’à la pluralité des deux tiers des. voix, la probabilité de l’erreur à craindre est à peu près un quart, si le nombre des juges est six : elle est auKlessous de y, si ce nombre s’élève à douze. Ainsi, l’on ne doit se régler, ni sur le rapport arithmétique , ni sur le rapport géométrique , si l’on veut que la probabilité de l’erreur ne soit jamais au-dessus ni au-dessous d’une fraction déterminée.

Mais à quelle fraction doit-on se fixer? c'est ici q[ue l’arbitraire commence , et les tribunaux offrent à cet égard de grandes variétés. Dans les tribunaux spéciaux où cinq voix sur huit suffisent pour la condamnation de l’accusé, la probabilité de l’erreur à craindre sur la bonté du jugement] est ou au-dessus de La gr«Tndeur de cette fraction est effrayante; mais ce qui doit rassurer un peu, est la considération que le plus souvent le juge qui absout un accusé ne le regarde pas comme innocent : il prononce seules ment qu’il n’est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu’il soit condamné. On est surtout rassuré par la pitié que la nature a mise dans le cœur de l’homme, et qui dispose l’esprit à voir difficilement un coupable dans l’accusé soumis

à son jugement. Ce sentiment, plus vif dans ceux qui n’ont point l’habitude des jugemens criminels, compense les inconvéniens attachés à l’inexpérience des jurés. Dans un jury de douze membres , si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douze, la probabilité de l’errêur à craindre est ^7^, ou un peu plus grande qu’un huitième ; elle est à peu près ~ , si cette pluralité est de neuf voix. Dans le cas de r imanimité , la probabilité de l’erreur à craindre est ÿ-ïV?» c’est-à-dire plus de mille fois moindre que dans nos jurys. Cela suppose que l’unanimité résulte uniquement des preuves favorables ou contraires à l’accusé ; mais des motifs entièrement étrangers doivent souvent concourir à la produire, lorsqu’elle est imposée au jury comme une condition nécessaire de son jugement. Alors ses décisions dépendant du tempérament , du ca: ractère, des habitudes des jurés, et des circonstances où ils se trouvent, elles sont quelquefois contraires aux décisions que la majorité du jury aurait prises s’il n’eût écouté que les preuves; ce qui me paraît être un grand défaut de cette manière de juger.

La probabilité des décisions est trop faible dans nos jurys, et je pense que pour donner une ga-

rantie suffîsante à l’innocence , on doit exiger au moins la pluralité de neuf voix sur douze.

Des Tables de mortalité, et des durées mojermes * de la vie, des mariages et des associations quelconques,

La manière de former les Tables de mortalité est fort simple. On prend dans les registres civils un grand nombre d’individus dont la naissance et la mort soient indiquées. On détermine combien de ces individus sont morts dans la première année de leur âge , combien dans là seconde année, et ainsi de suite. On en conclut le nombre d’individus vivans au commencement de chaque année, et l’on, écrit ce nombre dans la table à côté de celui qui indique l’année. Ainsi l’on écrit à côté de zéro le nombre des naissances ; à côté de l’année i , le nombre des enfans qui ont atteint une année ; à côté de l’année 2 , le nombre des enfans qui ont atteint deux années, et ainsi du reste. Mais comme. dans les deux premières années de la vie , la mortalité est très rapide , il faut , pour plus d’exactitude , indiquer dans ce premier âge le nombre des survivans à la fin de chaque demi-année.

Si l’on divise la somme des années de la vie de

1^4 PHILOSOPHIQUK

tous les individus inscrits dans une table de mortalité par le nombre de ces individus , on aura la durée moyenne de la vie .qui correspond à ' cette Table. Pour cela, on multipliera par une demi-année le nombre des morts dans la première année, nombre égal à la différence des nombres d’individus inscrits à côté des années o et I . Leur mortalité devant être répartie sur l’année entière , la durée moyenne de leur vie n’est qu’une demi-année. Oir multipliera par une année et demie le nombre des' morts dans la seconde année ; par deux années et dèmie , le nombre des morts dans la troisième année , et ainsi de suite. I.a somme de ces produits , divisée pai’ le nombre des naissances , sera la durée moyenne de la vie. 11 est facile d’en conclure

que l’on aura cette durée , en formant la somme des nombres inscrits dans la Table à côté de chaque année, en la divisant par le nombre des naissances , et en retranchant un demi du quotient, l’année étant prise pour unité. La durée moyenne de ce qui reste à vivre , en partant d’un âge quelconque, se détermine de la meme manière , en opérant sur le nombre des individus qui sont parvenus à cet âge , comme on vient de le faire sur le nombre des naissances. Ce n’est point au moment de la naissance que la durée

SUR LES FkOBARlLITÉS. 17^)

moyenne de la vie est la plus grande ; c’est loi'squ’on a échappé aux dangers de la première enfance, et alors elle est d’environ quarante-trois ans. XjSl probabilité d’arriver à un âge quelconque en partant d’un âge donné , est égale au rapport des deux nombres d’individus indiqués dans la table à ces deux âges.

La précision de ces résultats exige que pour la formation des tables on emploie un très grand nombre de naissances. L’analyse donne aloi-s des formules très simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces tables ne s’écarteront de la vérité que dans d’étroites limites. On voit par ces formules , que l’intervalle des limites diminue et que la probabilité augmente à mesure que l’on considère plus de naissances; en sorte que les tables représenteraient exactement la vraie loi de la mortalité si le nombre des naissances employées devenait inhni.

Une table de mortalité est donc une table des probabilités de la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque année , au nombre des naissances, est la probabilité qu’un nouveau -né 'atteindra cette année. Comme on estime la valeur de l’espérance, en faisant une somme des * produits de chaque bien espéré par la probabilité de l’obtenir, on peut également

évaluer la durée moyenne de la vie, en ajoutant les produits de chaque année , par la demi-somme des probabilités d’en atteindre le commencement et la fin ; ce qui conduit au résultat trouvé cidessus. Mais cette manière d’envisager la durée moyenne de la vie, a l’avantage de faire voir que dans une population stationnaire, c’est-à-dire telle que le nombre des naissances égale celui des morts, la durée moyenne de la vie est le rapport même de la population aux naissances annuelles; c-ar la population étant supposée stationnaire,

I le nombre des individus d’un âge compris entre

deux années consécutives de la table est égal au nombre des naissances annuelles, multiplié par la demi- somme des probabilités d’atteindre ces années; la somme de tous ces produits sera donc la population entière : or il est aisé de voir que cette somme , divisée par le nombre des naissances annuelles, coïncide avec la durée moyenne de la vie , telle que nous venons de la définir.

Il est facile, au moyen d’une table de mortalité, de former la table correspondante de la population supposée stationnaire. Pour cela, on prend des moyennes arithmétiques entre les nombres de la table de mortalité correspondans aux âges zéro et un an , un et deux ans, deux et trois ans, etc. La somme de toutes ces moyennes

est la population entière : on récrit à coté de l’âge zéro. On retranche de cette somme la première moyenne , et le reste est le nombre des individus dHin an et au-dessus : on l’écrit à côté de l’année i. On retranche de ce premier reste la seconde moyenne ; ce second reste est le nombre des individus de deux années et au-dessus : on l’écrit à côté de l’année 2 , et ainsi de suite.

Tant de causes variables influent sur la mortalité, que les tables qui la représentent doivent changer suivant les lieux et les temps. læs divers états de la vie offrent à cet égard des différences sensibles relatives aux fatigues et aux dangers inséparables de chaque état , et dont il est indispensable de tenir compte dans les calculs fondés sur la durée de la vie. Mais ces différences n’ont pas été suffisamment observées. Elles le seront un jour : alors on saura quel sacrifice de la vie chaque profession exige , et l’on profitera de ces connaissances pour en diminuer les dangers.

salubrité plus ou moins grande du sol , son élévation , sa température , les moeurs des habitans , et les opérations des goiivernemens ont sur la mortalité une influence considérable. Mais il faut toujours faire précéder la recherche de la cause des différences observées par celle de la probabilité avec laquelle cette cause e^t indiquée.

Ainsi le rapport de la population aux naissances annuelles , que Ton a vu s’élever en France à vingt-huit et un tiers , n’est pas égal à vingt-cinq dans l’ancien duché de Milan. Ces rapports, établis l’un et l’autre sur un grand nombre de naissances , ne permettent pas de révoquer en doute l’existence, dans le Milanès, d’une cause spéciale de mortalité , qu’il importe au gouvernement de ce pays de rechercher et de faire disparaître.

Le rapport de la population aux naissances s’accroîtrait encore si l’on parvenait à diminuer ou à éteindre quelques maladies dangereuses et très répandues. C’est ce que l’on a fait heureusement pour la petite vérole, d’abord par l’inoculation de cette maladie , ensuite , d’une manière beaucoup plus avantageuse, par l’inoculation de la vaccine, découverte inestimable de Jenner, qui par là s’est rendu l’un des plus grands bienfaiteurs de l’humanité.

La petite vérole a cela de particulier, savoir : que le meme individu n’en est pas deux fois atteint, ou du moins, ce cas est si rare, que l’on peut en faire abstraction dans le calcul. Cette maladie à laquelle peu de monde échappait avant la découverte de. la vaccine', est souvent mortelle et fait périr un • septième environ de ceux qu’elle attaque. Quelquefois elle est bénigne , et l’expé-

SUR LES PRORABlLITés. IjQ

rience a fait connaître qu’on lui donnait ce dernier caractère en l’inoculant sur des personnes saines, préparées par un bon régime, et dans une saison favorable. Alors le rapport des individus qu’elle fait périr, aux inoculés, n’est pas un trois-centième. Ce grand avantage de l’inoculation , joint à ceux de ne point altérer la beauté , et de préserver des suites fâcheuses que la petite vérole- naturelle entraîne souvent après elle, la ût, adopter par un grand nombre de personnes. Sa pratique hit vivement recommandée; mais, ce qui arrive presque toujours dans les choses sujettes à des inconvéniens , elle fut vivement combattue. Au milieu de cette dispute , Daniel Bernoulli se proposa de soumettre au calcul des probabilités l’influence de l’inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant de données [irécises sur la mortalité produite par la petite vérole aux divers âges de la vie , il supposa que le danger d’avoir cette maladie et celui d’en périr sont les mêmes à tout âge. Au moyen de ces suppositions, il parvint par une analyse délicate à convertir une table ordinaire de mortalité dans celles qui auraient lieu si la petite vérole n’exis^ tait pas , ou si elle ne faisait périr qu’un très petit nombre de malades , et il en conclut que l’inoculation augmenterait de trois ans au moins

l8o ESSAI, PHILOSOPHIQUE

la durée moyenne de la vie; ce qui lui parut mettre hors de doute l’avantage de cette opération. D’Alembert attaqua l’analyse de Bernoidli; d’abord sur l’incertitude de ses deux hypothèses^ ensuite sur son insuffisance , en ce que l’on n’y faisait point entrer la comparaison du danger prochain , quoique très petit , de périr par l’inoculation > au danger beaucoup plus grand , mais plus éloigné , de succomber à la petite vérole naturelle. Cette considération, qui disparaît lorsque l’on considère un grand nombre d’individus , est par là indifférente aux gouvernemens, et laisse subsister pour eux les avantages de l’inoculation ; mais elle est d’un grand poids pour un père de famille qui doit craindre, en faisant inoculer ses enfans , de voir périr ce qu’il a de plus cher au monde , et d’en être cause. Beaucoup de parens étaient retenus par cette crainte que la découverte de la vaccine a heureusement dissipée. Par un de ces mystères que la nature nous offre si fréquemment , le vaccin est un préservatif de la petite vérole, aussi sûr que le virus variolique, et il n’a aucun danger : il n’expose à aucune maladie et ne demande que très peu de soins. Aussi

sa pratique s’est-elle promptement répandue ; et pour la rendre universelle il ne reste plus à vaincre que l’inertie naturelle du peuple, contre la-

^ SUR LES PROBABILITÉS. l8l

quelle il faut lutter sans cesse , même lorsqu’il s’agit de ses plus chers intérêts.

Le moyen le plus simple de calculer l’avantage que produirait l’extinction d’une maladie, consiste à déterminer par l’observation le nombre d’individus d’un âge donné qu’elle fait périr chaque année , et à le retrancher du nombre des morts au même âge. Le rapport de la différence au nombre total d’individus de l’âge donné , serait la probabilité de périr dans l’année à cet âge , si la maladie n’existait pas. En faisant donc une somme de ces probabilités depuis la naissance jusqu’à un âge quelconque , et retranchant cette somme de l’unité, le reste sera la probabilité de vivre jusqu’à cet âge, correspondante à l’extinction de la maladie. La série de ces probabilités sera la table de mortalité relative à cette hypothèse , et l’on en conclura , par ce qui précède, la durée moyenne de la vie. C’est ainsi que Duvilard a trouvé que l’accroissement de la durée moyenne de la vie , dû à l’inoculation de la vaccine , est de trois ans au moins. Un accroissement aussi considérable en produirait un fort grand dans la population , si d’ailleurs elle n’était pas restreinte par la diminution relative des subsistances.

C’est principalement par le défaut des subsis-

|8‘2 essai niILOSOPHlQUE

tances , que la inarcht; progressive de la population est arrêtée. Dans toutes les espèces d’animaux et de végétaux , la nature tend sans cesse à augmenter le nombre des individus , jusqu’à ce qu’ils soient au niveau des moyens de subsister. Dans l’espèce bumaine , les causes morales ont une grande influence sur la population. Si. le sol , par de faciles défrichemens , peut fournir une nourriture abondante à des générations nouvelles , la certitude de faire vivix^ une nombnmse famille , encourage les mariages et les rend plus précoces et plus féconds. Sur un sol pareil ^ la population et les naissances doivent croître à la fois en progression géométrique. Mais quand les défrichemens deviennent plus difficiles et plus rares , alors l’accroissement de la population diminue : elle se rapproche continuellement de

l’état varialile des subsistances, en faisant autour *

de lui des oscillations à peu près comme un pendule dont on promène, d’un mouvement retardé, le point de suspension , oscille autour de ce point par sa pesanteur. Il est difficile d’évaluer le maximian d’accroissement de la population ; il parait , d’après quelques observations , que dans de favorables circonstances la population de l’espèce humaine pourrait doubler tous les quinze ans. On estime* que dans l’Amérique sep-

leiitriouaJe la j^ériode de ce doublement est de vin^-deiix années. Dans cet état de choses, la population , les naissances , les mariages , la mortalité , tout croît suivant la même progression géohiétrique dont on a le raj)port constant des termes consécutifs, par l’observation des naissances annuelles à deux époques.

Une table de mortalité représentant les probabilités de la vie humaine, on peut déterminer à son moyen la durée des mariages. Supposons pour simplifier, que la mortalité soit la meme pour les deux sexes , on aura la probabilité que le mariage subsistera un an , ou deux , ou trois , etc. , en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la table correspondans aux âges des conjoints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondans à ces âges augmentés d’une , de deux , de trois , etc. années. La somme de ces fractions, augmentée d’un demi , sera la durée moyenne du mariage , l’année étant prise pour unité. Il est facile d’étendre la meme règle à la durée moyenne d’une association formée de trois ou d’un plus grand nombre d’individus.

Des bénéfices des établissemens qui dépendent de la probabilité des évènemens.

Rappelons ici ce que nous avons dit en pai'lant de l’espérance. On a vu que pour obtenir l’avantage qui résulte de plusieurs évènemens simples dont les uns produisent un bien et les autres une perte , il £aut ajouter les produits de la probabilité de chaque évènement favorable par le bien qu’il procure, et retrancher de leur somme celle des produits de la probabilité de chaque évènement défavorable , par la perte qui y est attachée. Mais quel que soit l’avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul évènement composé de ces évènemens simples ne garantit point de la crainte d’éprouver une perte. On conçoit que cette crainte doit diminuer lorsque l’on multiplie l’évènement composé. L’analyse des probabilités conduit à ce théorème général.

Par la répétition d’un évènement avantageux , simple ou composé , le bénéfice réel devient de plus en plus probable et s’accroît sans cesse : il devient certain dans l’Iiypothèse d’un nombre infini de répétitions; et en le divisant par ce nombre , le quotient ou le bénéfice moyen de chaque évènement est l’espérance mathématique elle-

même 9 ou l’avantige relatif à révènement. Il en est de meme de là perte qui devient certaine à la longue, pour peu que Tévènement soit désavantageux.

Ce théorème , sur les bénéfices et les pertes , est analogue à ceux que nous avons donnés précédemment sur les rapports qu’indique la répétition indéfinie des évènemens simples ou composés ; et, comme eux , il prouve que la régularité finit par s’établir dans les choses memes les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.

Lorsque les évènemens sont en grand nombre, l’Analyse donne encore une expression fort simple de la probabilité que le bénéfice sera compris dans des limites déterminées , expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité , que nous avons donnée ci-dessus , en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des évènemens.

C’est de la vérité du théorème précédent que dépend la stabilité des établissemens fondés sur les probabilités. Mais pour qu’il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissemens, par de nombreuses affaires, multiplient les évènemens avantageux.

On a fondé sur les probabilités de la vie bu-

l86 ESSAI PHILOSOPHIQUE

maille divers établissemeiis, tels que les reiiU^ viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissemens , consiste à les réduire en capitaux actuels. L’intérét annuel de l’unité est ce que l’on nomme taux de Vintérët. A la fin de chaque année , un capital acquiert pour facteur l’unité, plus le taux de l’intérêt; il croît donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la raison. Ainsi , par l’effet du temps, il devient immense. Si, par exemple, le taux de l’intérét est " ou de cinq pour ceait , le capital double à fort peu près en quatoi’ze ans , quadniple en vingt-neuf ans , et dans moins de trois siècles , il devient deux millions de fois plus considérable.

' Un accroissement aussi prodigieux a fait naître l’idée de s’en servir pour amortir la dette publique. On forme pour cela une caisse d’amoi^ tissement à laquelle on consacre un fonds annuel employé au rachat des effets publics , et sans cesse accru de l’intérêt des effets rachetés. Il est clair qu’à la longue, cette caisse absorbera une grande partie de la dette nationale. Si , lorsque les besoins de l’État obligent à faire un emprunt, on consacre une partie de cet emprunt à l’accroissement du fonds annuel d’amortissement ,

les variations des effets publics seront moindres ;» la confiance des prêteurs, et la probabilité de retirer sans perte le capital prêté , quand on le

desire, en seront augmentées, et rendront les

conditions de l’emprunt moins onéreuses. D’heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagemens et la stabilité , si nécessaires au succès de pareils établissemens , ne peuvent être bien garanties que par uu gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs indépendans. La confiance qu’inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs , double la force de l’État; et le souverain lui-même gagne alors en' puissance légale beaucoup plus qu’il ne perd en puissance arbitraire. • ’

. Il résulte de ce qui précède, que le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être payée qu’après un certain 'nombre d’années, est égal à cette somme multipliée par la probabilité qu’elle sera payée à cette époque et divisée par l’unité augmentée du taux de l’intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.

Il est facile d’appliquer ce principe aux rentes viagères- sur une ou sur plusieurs têtes, et aux cais^s d’épargne et d’assurance d’une nature

l88 ESSAI PHILOSOPHIQUE

quelconque. Supposons que Ton se propose de former une table de rentes viagères, d’après une table donnée de mortalité. Une rente viagère, payable au bout de cinq ans , par exemple , et réduite en capital actuel , est , par ce principe , égale au produit des deux quantités suivantes, savoir : la rente divisée par la cinquième puissance de l’unité augmentée du taux de l’intérêt , et la probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individus inscrits dans la table , vis-à-vis de l’âge de celui qui constitue la rente , au nombre inscrit vis-à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant donc une suite de fractions dont les dénominateurs soient les produits du nombre de personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes à râge de celui qui constitue la rente, par les puissances successives de l’unité augmentée du taux de l’intérêt , et dont les numérateurs soient les produits de la rente, par le nombre des personnes vivantes au même âge augmenté successivement d’une^ année, de deux années, etc., la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge.

Supposons maintenant qu’une personne veuille, au moyen d’une rente viagère, assurer à ses héritiers un capital payable à la fin de l’année de

SUR LES PROBABlLiTÉS. f8g

sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne empnuite en viager à une caisse ce capital , et qu’elle le place à intérêt perpétuel à la meme caisse. Il est clair que ce capital sera dû par la caisse, à ses héritiers, à la fin de l’année de sa mort; mais elle n’aura payé, chaque année, que l’excès de l’intérét viager sur l’intérêt perpétuel. La table des rentes viagères fera donc connaître ce que la personne doit payer annuellement à la caisse , pour assurer ce capital après sa mort.

Les assurances maritimes, celles contre les incendies et les orages, et généralement tous les établissemens de ce genre , se calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux en mer, il veut assurer leur valeur et celle de leur cargaison, contre les dangers qu’ils peuvent courir ; pour cela , il donne une somme à une compagnie qui lui répond de la valeur estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux. Le rapport de cette valeur à la somme qui doit être donnée pour prix de l’assurance , dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés, et ne peut > être apprécié que par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.

Si les personnes assurées ne donnaient à la

KSSAl PHILÜSOPHIQIJK .

IQÜ

coiD|>agnic d’assurance que la somme indiquée par le calcul des probabilités, cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement ; il faut donc qu’elles paient d’une

somme plus forte le prix de leur assurance. Mais «

alors quel est leur avantage? C’est ici que la considération du désavantage moral attaché à l’incertitude , devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus égal devenant , comme on l’a vu précédemment , désavantageux , parce que le joueur éciiange une mise certaine contre un bénéfice incertain ; l’assurance par laquelle on échange l’incertain contre le certain, doit être avantageuse. C’est en effet ce qui résulte de la règle que nous avons donnée ci-dessus pour déterminer l’espérance morale, et par laquelle on voit de plus jusqu’où peut s’étendre le sacrifice que l’on doit faire à la compagnie d’assurance, en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc , en procurant cet avantage , faire elle-même un grand bénéfice , si le nombre des assurés est très considérable, condition nécessaire à son existence durable. Alors son bénéfice, devient certain, et so^ espérances n\athématiques et morales coïncident; car l’Analyse conduit à ce théorème général, savoir, que si les expecta^ tives sont très nombreuses , les deux espérances

approchent sans cesse l’une de l’autre, et finissent par coïncider dans le cas d’un nombre infini d’expectatives.

Nous avons dit, en parlant des espérances mathématique et morale, qu’il y a un avantage ino-, ral à répartir les risques d’un bien que l’on attend sur plusieurs de ses parties. Ainsi, pour faire parvenir une somme d’argent d’un port éloigné, il vaut mieux la répartir sur plusieurs vaisseaux , que de l’exposer sur un seul. C’est ce. que l’on fait au moyen des assurances mutuelles. Si deux personnes ayant chacune la même somme sur deux vaisseaux différens, partis du meme port pour la meme destination , conviennent de partager également tout l’argent qui leur arrivera, il est clair que par cette convention chacune d’elles répartit également sur les deux vaisseaux la somme qu’elle attend- A la vérité,- ce genre d’assurance laisse toujours de l’incertitude sur la perte que l’on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre des associés augmente : l’avantage moral s’accroît de plus en plus, et finit par coïncider avec l’avantage mathématique, sa limite naturelle. Cela rend l’association d’assurances mutuelles, lorsqu’elle est très nombreuse, plus avantageuse aux assurés , que les compagnies d’assurances qui , à

IQ-2 ESSAI PHILOSOPHIQUE

raison du bénéfice qu’elles font, donnent un avantage moral toujours inférieur à l’avantage mathématique. Mais la surveillance de leur administration peut balancer l’avantage des assurances mutuelles. Tous ces résultats sont, comme on l’a vu précédemment , indépendans de la loi. qui exprime l’avantage moral.

On peut envisager un peuple libre, comme une grande association dont les membres se garantissent mutuellement leurs propriétés, en supportant proportionnellement les charges de cette garantie. La confédération de plusieurs peuples leur donnerait des avantages analogues à ceux que chaque individu retire de la société. Ün congrès de leurs représentans discuterait les objets d’une utilité commune à tous , et sans doute le système des poids, des mesures et des monnaies , proposé par les savans français, serait adopté dans ce congrès , comme une des choses les plus utiles aux relations commerciales.

Parmi les établissemens- fondés sur les probabilités de la vie humaine, les meilleurs sont ceux dans lesquels, au moyen d’un léger sacrifice de son revenu , on assure son existence et celle de sa famille pour un temps où l’on doit craindre de ne plus suffire à ses besoins. Autant le jeu e^t immoral, autant ces établissemens sont avanta-

SUR LKS PROBABILITÉS. 1^3

geiix aux mœxxi's, en favorisant les plus doux penchans de la nature. Le Gouvernement doit donc les encourager et les respecter dans les vicissitudes de la fortune publique , car les espérances qu’ils présentent J portant sur un avenir éloigné, ils ne peuvent prospérer qu’à l’abri de toute inquiétude sur leur durée. C’est un avantage que l’institution du Gouvernement représentatif leur assure.

Disons un mot des emprunts. Il est clair que jK>ur emprunter en perpétuel, il faut payer, chaque année, le produit du capital par le taux de l’intérêt. Mais on peut vouloir acquitter ce capital en paiemens égaux faits pendant un nombre déterminé d’années, paiemens que l’on nomme annuités y et dont on obtient ainsi la valeur. Chaque annuité, pour être réduite au moment actuel, doit être divisée par une puissance de l’unité augmentée du taux de l’intérét , égale au nombre des années après lesquelles on doit payer cette annuité. En formant donc une progression géométrique dont le premier terme soit l’amuiité divisée par l’unité augmentée d u taux de l’intérêt, et dont le dernier soit cette annuité divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au nombre des années pendant lesquelles le paiement doit avoir lieu, la somme de ce^ progres-

Ig4 ESSAI PHILOSOPHIQUE*

sioii sera équivalente au capital emprunté; ce qui détermine la valeur de l’annuité. Une caisse d’amortissement n’est au fond qu’un moyen de convertir en annuités une rente perpétuelle, avec Ifi seule différence que , dans le cas d’un emprunt par annuités, l’intérêt est supposé constant , au lieu que l’intérêt des rentes acquises par la caisse d’amortissement est variable. S’il était le meme dans ces deux cas, l’annuité correspondante aux rentes acquises serait formée de ces rentes, et de ce que l’État donne annuellement à la caisse.

Si l’on veut faire un emprunt viager, on ol>servera que les tables de rentes viagères donnant le capital requis pour constituer une rente viagère à un âge quelconque , une simple proportion donnera la rente que l’on doit faire à l’individu dont on emprunte un capital. On peut calculer par ces principes tous les modes possibles d’emprunt.

Les principes que nous venons d’exposer sur les bénéfices et sur les pertes des établissemens, peuvent servir à déterminer le résultat moyen d’un nombre quelconque d’observations déjà faites , lorsqu’on veut avoir égard aux écarts des résultats correspondans aux diverses observations. Désignons par x la correction du résultat

SUR LES PnOBABILÏTÉS. IqS

ïe plus faible, et par x augmenté successivement de q, q', q", etc., les . corrections des résultats suivans. Nommons 5, t, t", etc., les erreurs des observations dont nous supposerons la loi dé probabilité connue. Chaque observation étant une fonction du résultat, il est facile de voir qu’en supposant très petite la correction x de ce résultat, l’erreur € de la première observation sera égale au produit de x par un coefficient déterminé. Pareillement l’erreur g' de la seconde observation sera le produit de la somme q plus a?, par un coefficient déterminé, et ainsi du reste. La probabilité de l’erreur g étant donnée par une fonction connue, elle sera exprimée par la meme fonction du premier des produits précédons. I.a probabilité de g' sera exprimée par la même fonction du second de ces produits , et ainsi des autres. La probabilité de l’existence simultanée des erreurs g , g', g", etc. , sera donc proportionnelle au produit de ces diverses fonctions, produit qui sera une fonction de x. Cela posé, si l’on conçoit une courbe dont x soit l’abscisse, et dont l’ordonnée correspondante soit ce produit, cette courbe représentera la probabilité des divei'ses valeurs de x , dont les limites seront déterminées par les limites des erreurs f , g', etc. Maintenant, désignons par X l’abscisse qu’il faut choisir; X

ig6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

diminué de x sera l’erreur que l’on commettrait si l’abscisse x était la véritable correction. Cette erreur, multipliée par la probabilité de x bu par l’ordonnée correspondante de' la courbe , sera le produit de la perte par sa probabilité , en regardant , comme on doit le faire , cette erreur comme une perte attachée aux choix de X. En multipliant ce produit par la différentielle de x , Fintégrale prise depuis la première extrémité de la courbe jusqu’à X, sera le désavantage de X, résultant des valein^ de x inférieures à X. Pour les valeurs de x supérieures à X, moins X serait l’erreur de X si était la véritable correction ; l’intégrale du produit de x par l’ordonnée correspondante de la courbe et par la différentielle de X sera donc le désavantage de X , résultant des valeurs de x supérieures à x , cette intégrale étant prise depuis x égal à X jusqu’à la dernière extrémité de la courbe» Eh ajoutant ce désavantage au précédent, la somme sera le désavantage attaché au choix de X^ Ce choix doit être déterminé par la condition que ce désavan- ' tage soit un minimum; et un calcul fort simple montre que pour cela, X doit être l’abscisse dont l’ordonnée divise la courbe en deux parties égales, en sorte qu’il est aussi probableque la vraie valeur de x tombe en-deçà qii’au-delà de X*.

Des géomètres célèbres ont choisi pour X la valeur de x la plus probable , et par conséquent celle qui correspond à la plus grande ordonnée de la courbe; mais la valeur précédente me paraît être évidemment celle que la théorie des probabilités indique.

Des illusions dans V estimation des Probabilités.

L’esprit a ses illusions, comme le sens de la vue; et de même que le toucher corrige celles-ci \ la réflexion et le calcid corrigent les premières. La probabilité fondée sur une expérience journa- Jière, ou exagérée par la crainte et par Tespérahce, nous frappe plus qu’une probabilité supérieure, mais qui n’est qu’un simple résultat du calcul. Ainsi' nous ne craignons point pour de .faibles avantages , d’exposer notre vie à des’ dangers }>eaucoup moins invraisemblables que la sortie d’un quine à la loterie de France; et) cependant personne ne voudrait .se -procurer .les mêmes avantages, avec la certitude de perdre Ja vie si ce qitine arrivait.

Nos passions, no^ préjugés et le$ opinions dominantes, en exagérant les probabilités qui leur sont favorables, et en atténuant les. probabilités

contraires, sont des sources abondantes d’illusions dangereuses.

J^s maux présens et la cause qui les fait naître, nous affectent beaucoup plus que le souvenir des maux produits par la cause contraire; ils nous empêchent d’apprécier avec justesse les inconvéniens des uns et des autres, et la probabilité des moyens propres à nous en préserver. C’est ce qui porte alternativement vers le despotisme et vers l'anarchie les peuples sortis de l’état de repos, dans lequel ■ ils ' ne rentrent jamais qu’après de longues et cruelles agitations.

Cette impression vive que nous recevons de la présence des évènemens , et qui nous laisse k |>eine remarquer les évènemens contraires observés par d’autres, est une cause principale d’erreur dont on ne peut trop se garantir.

C’est principalement au jeu qu’une foule d’illusions entretient l’espérance et la soutient conti’e les chances défavorables. I..a plupart de ceux qui mettent aux loteries , ne savent pas combien de chances sont à leur avantage , combien leur sont contraires. Ils n’envisagent que la possibilité , pour une mise légère , de gagner une somme considéralde; et les projets que leur imagination enfante, exagèrent à leurs yeux la probabilité de , l’obtenir : le pauvre surtout , excité par le désir

d’un meilleur sort, expose à ce jeu son nécessaire, en s’attachant aux combinaisons les plus défavorables, qui lui promettent un grand l>éiiéfice. Tous seraient sans doute effrayés du nombre immense des mises perdues, s’ils pouvaient les connaître ; mais on prend soin , au contraire , de donner aux gains une grande publicité, qui devient une nouvelle cause d’excitation à ce jeu funeste.

Ix)rsqu’à la loterie de France un numéro n’est pas sorti depuis long-temps , la foide s’empresse de le couvrir de mises. Elle juge que le numéro resté long- temps sans sortir doit, au prochain tirage , sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me paraît tenir à une illusion par laquelle on se reporte involontairement à l’origine des évènemens. Il est, par exemple , très peu vraisemblable qu’au jeu de croix ou pile on amènera croix dix fois de suite. Cette invraisemblance, qui nous frappe encore lorsqu’il est arrivé neuf fois , nous porte à croire qu’au dixième coup pile arrivera. CiCpendant le passé, en indiquant dans la pièce une plus grande pente pour cro/a: que pour pile, rend le premier de ces évènemens plus probable que l’autre :

il augmente, comme on l’a vu, la probabilité d’amener croix dA\ coup suivant. Une illusion

semblable persuade à beaucoup de monde que l’on peut gagner sûrement à la loterie, en plaçant chaque fois, sur un meme numéro jusqu’à sa sortie, une mise dont le produit surpasse la somme de toutes les mises. Mais quand meme de semblables spéculations ne seraient pas souvent arretées par l’impossibilité de les soutenir, elles ne diminueraient point le désavantage mathématique des spéculateurs, et elles accroîtraient leiir désavantage moral , puisqu’ à chaque tirage ils exposeraient une plus grande partie de leur fortune.

J’ai vu des hommes désirant ardemment d’avoir un fils , n’apprendre qu’avec peine les naissances des garçons dans le mois où ils allaient devenir pères. S’imaginant que le rapport de ces naissances à celles des filles devait être le meme à la fin de cliaque mois , ils jugeaient que les garçons déjà nés rendaient plus probables les naissances prochaines des filles. Ainsi. Fextrao tion" d’une boule blanche d’une urne qui' renferme un nombre limité de boules Manches. et, de boules noires, accroît la probabiUfeé d’extraire une boule noire au tirage suivant. -Mais cela cesse d’avoir lieu quand le nombre des boules de l’urne est illimité,' comideron doit le supposer, pour assimiler ce cas à celui des

aOl

naissances. Si dans le cours d’un mois il était né beaucoup plus de garçons que de filles , on poiu^* rait soupçonner que vers le temps de leur conception , une cause générale a favorisé les conceptions masculines ; ce qui rendrait la naissance prochaine d’un garçon plus probable. Les évèuemens irréguliers de la nature ne sont pas exactement comparables à la sortie des numéros d’une loterie dans laquelle tous les numéros sont mêlés à chaque tirage , de manière à rendre les chances de leur sortie parfaitement égales. La fréquence d’un de ces évènemens semble indiquer une cause un peu durable qui le favorise, ce qui augmente la probabilité de son prochain retour; et sa répétition long- temps prolongée , telle qu’une longue suite de jours pluvieux, peut développer des causes inconnues de son changement; en sorte qu’à chaque évènement attendu, nous ne sommes point, comme à chaque tirage d’une loterie, ramenés au même état d’indécision sur ce qui doit arriver. Mais à mesure que l’on multiplie les observations de ces évènemens, la comparaison de leurs résultats avec ceux des loteries devient plus exacte.

Par une illusion contraire aux précédentes, on cherche dans les tirages passés de la loterie de France les numéros le plus souvent sortis, pour

a02 ESSAI PHILOSOPHIQUE

en former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise avec avantage. Mais vu la manière dont le mélange des numéros se fait à cette loterie , le passé ne doit avoir sur l’avenir aucune influence. Les sorties plus fréquentes d’un numéro ne sont que des anomalies du hasard : j’en ai soumis plusieurs au calcul, et j’ai constamment trouvé qu’elles étaient renfermées dans des limites que la supposition d’une égale possibilité de sortie de tous les numéros , permet d’admettre sans invraisemblance.

Dans une longue série d’évènemens du meme genre , les seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de bonheur ou de malheur, que la plupart des joueurs ne manquent pas d’attribuer à une sorte de fatalité. Il arrive souvent dans les jeux qui dépendent à la fois du hasard et de l’habileté des joueurs, que celui qui perd , troublé par sa perte , cherche à la réparer par des coups hasardeux qu’il éviterait dans une autre situation : il aggrave ainsi son propre malheur, et il en prolonge la durée. C’est cependant alors que la prudence devient nécessaire, et qu’il importe de se convaincre que le désavantage moral attaché aux chances défavorables ‘ s’accroît par le malheur même.

Le sentiment par lequel l’homme s’est placé

SUR LES PROBABILITÉS. r»o3

long- temps au centre de Tunivers, en se considérant comme Tobjet spécial des soins de la nature , porte chaque individu à se faire le centre d’une sphère plus ou moins étendue , et à croire que le hasard a pour lui des préférences. Soutenus par cette opinion , les joueurs exposent souvent des sommes considérables à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie , une semblable opi* nion peut quelquefois avoir des avantages; mais le plus souvent elle conduit à des entreprises funestes. Ici, comme en tout, les illusions sont dangereuses, et la vérité seule est généralement utile.

Un des grands avantages du calcul des probabilités est d’apprendre à se défier des premiers aperçus. Comme on reconnaît qu’ils trompent souvent, lorsqu’on peut les soumettre au calcul , on doit en conclure que sur d’autres objets il ne faut s’y livrer qu’avec une circonspection extrême. Prouvons cela par des exemples.

Une urne renferme quatre boules noires ou blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même couleur. On a extrait une de ces boules , dont la couleur est blanche, et que l’on a remise dans l’urne pour procéder encore à de semblables tirages. On deinande la probabilité de n’extraire

2o4 essai philosophique

que des boules noires dans les quatre tirages suivans.

Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal, cette probabilité serait la quatrième puissance de la probabilité ^ d’extraire une boule noire à chaque tirage; elle serait donc Mais l’extraction d’une boule blanche au premier tirage indique une supériorité dans le nombre des boules blanches de l’urne; car si l’on suppose dans l’urne trois boules blanches et une noire, la probabilité d’en extraire une boule blanche est j ; elle estf , si l’on suppose deux boules blanches et deux noires; enfin, elle se réduit à j, si l’on suppose trois boules noires et une blanche. Stiivant le principe de la probabilité des causes, tirée des évènemens , les probabilités de ces trois suppositions sont entre elles comme les quantités J, elles sont par conséquent égales à Il y a ainsi cinq contre un à parier que le nombre des boules noires est inférieur, ou tout au plus égal à celui des blanches. 11 * semble donc que d’après l’extraction d’une boule blanche au premier tirage, la probabilité d’extraire de suite quatre boules noires , doive être moindre que dans le cas de l’égalité des couleurs, ou plus petite qu’un seizième. Cependant cela n’est pas, et l’on trouve par un calcul fort simple, cette pro*

SUR LES PROBABILITES. 3o5

habilité plus grande qu’un quatorzième. En effet, elle serait la quatrième puissance de | , de j et

de J dans la première , la seconde et la troisième

des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de Fume. En multipliant respectivement chaque puissance par la probabilité de la supposition correspondante, ou par f et la somme des produits sera la probabilité d’extraire de suite quatre boules noires. On a ainsi pour cette probabilité ^4 , fraction plus grande que Ce paradoxe s’explique en considérant que l’indication de la supériorité des boules blanches sur les noires par le premier tirage , n’exclut point la supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu’exclut la supposition de l’égalité des couleurs. Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable , doit rendre la probabilité d’amener de suite un nombre donné de . boules noires , plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable ; et l’on vient de voir que cela commence , lorsque le nombre donné est égal à quatre.

Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules blanches et noires. Supposons d’abord qu’il n’y ait qu’une lj||||iüe blanche et une noire. On peut alors parier avec égalité , d’extraire une boule blanche dans un tirage. Mais il

semble que pour l’égalité du pari , on doive donner à celui qui parie d’extraire la boule blanche deux tirages, si l’urne renferme deux boules noires et une blanche ; trois tirages , si elle renferme trois boules noires et une blanche , et ainsi du reste : on suppose qu’après chaque tirage la boule extraite est remise dans l’urne.

Mais il est facile de se convaincre que ce premier aperçu est erroné. En effet , dans le cas de deux boules noires sur une blanche, la probabilité d’extraire de l’iirne deux boules noires en deux tirages, est la seconde puissance de f ou J-; mais cette probabilité ajoutée à celle d’amener une boule blanche en deux tirages, est la certitude ou l’unité , puisqu’il est certain que l’on doit amener deux boules noires, ou au moins une boule blanche; la probabilité de ce dernier cas est donc *1, fraction plus grande que j. Il y aurait plus d’avantage encore à parier d’amener une boule blanche en cinq tirages, lorsque l’urne contient cinq boules noires et une blanche ; ce pari est même avantageux en quatre tirages : il revient alors à celui d’amener six en quatre coups avec un seul dé.

chevalier ded^Iéré , ami de Pascal , et qui fit naître le calcul des probabilités, en excitant ce grand géomètre à s’en occuper, lui disait :

« ■ qu*il avait trouvé fausseté dans les nombres » par cette raison. Si Ton entreprend’ de faire » six avec un dé, il y a de l’avantage à l’entre- » prendre en quatre coups, comme de 67 1 à 625. » Si l’on entreprend de faire sonnez avec deux » dés , il y a désavantage à l’entreprendre en » 24 coups. Néanmoins 24 est à 36 , nombre de » faces de deux dés , comme 4 est à 6 , nombre » des faces d’un dé. Voilà, écrivait Pascal à » Fermât, quel était son grand scandale qui lui » faisait dire hautement, que les propositions » n’étaient pas constantes et que l’Arithmétique

» se démentait Il a très bon esprit, mais il

» n’est pas géomètre : c’est , comme vous savez , » un grand défaut. » Le chevalier de Méré, trompé par une fausse analogie, pensait que dans le cas de l’égalité des paris , le nombre des coups doit croître proportionnellement au nombre de toutes les chances possibles, ce qui n’est pas exact, mais ce qui approche d’autant plus de l’étre, que ce nombre est plus grand.

On a essayé d’expliquer la supériorité des naissances des garçons sur les naissances des filles, par le désir général de^ pères, d’avoir un fils qui perpétue leur nom. Ainsi, en imaginant une urne remplie d’une infinité de boules blanches et de boules noires , en nombre égal , et supposant

2o8 essai philosophique

un grand nombre de personnes dont chacune tire une boule de cette urne, et continue ce tirage avec l’intention de s’arrêter quand elle aura extrait une boule blanche, on a cru que cette intention devait rendre le nombre des boules blan-'

ches extraites supérieur à celui des noires. En eflfet, elle donne nécessairement, après tous les tirages, un nombre de boules blanches égal à celui des personnes ; et il est possible que ces tirages n’amènent aucune boule noire. Mais il est facile de reconnaître que cet aperçu n’est qu’une illusion ; car si l’on conçoit que dans un premier tirage , toutes les personnes tirent à la fois une boule de l’ume , il est évident que leur intention ne peut avoir aucune influence sur la couleur des boules qui doivent sortir à ce tirage. Son unique effet sera d’exclure du second tirage les personnes qui auront amené une boule blanche ' au premier. Il est pareillement visible que l’intention des personnes qui prendront part au nouveau tirage, n’influera point sur la couleur des bouler qui sortiront, et qu’il en sera de même des tirages suivans. Cette intention n’influera donc point sur la couleur des boules extraites dans l’ensemble des tirages ; seulement , elle fera participer plus ou moins de personnes à chacun d’eux. rapport des boules blanches extraites

SUR LES PROBABILITÉS. aog

aux noires, sera ainsi très peu différent de Tunité. Il suit de là que le nombre des personnes étant supposé fort grand , si Tobservation donne entre les couleurs extraites un rapport qui diffère sensiblement de Tunité, il est très probable que la meme différence a lieu à fort peu près entre l’unité et le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans Turne.

Je mets encore au rang des illusions -l’application que Leibnitz et Daniel Bernoulli ont faite du calcul des probabilités à la sommation des séries. Si l’on réduit la fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est l’unité plus une variable dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de cette variable , il est facile de voir qu’en supposant la variable égale àTunité, la fraction devient -j, et la suite devient pbis un, moins un, plus un, moins un, etc. En ajoutant les deux premiers termes, les deux suivans, et ainsi du reste, on transforme la suite dans une autre dont chaque terme est zéro.

Grandi , jésuite italien , en avait conclu la possibilité de la création ; parce que la suite étant toujours égale à Y , il voyait cette fraction naître d’une

infinité de zéros, ou du néant. Ce fut ainsi que %

Leibnitz crut voir l’image de la création dans son Arithmétique binaire , où il n’employait que les

aiO‘ ESSAI PHILOSOPHIQUE

deux caractères zéro et Tunité. 11 imagina que Dieu pouvant être représenté par l’unité, et le néant par zéro , l’Être suprême avait tiré du néant tous les êtres, comme l’unité avec le zéro exprime tous les nombres dans ce système d’arithmétique. Cette idée plut tellement à Leibnitz, qu’il en fit part au jésuite Grimaldi, président du tribunal de Mathématiques à la Chine , dans l’espérance que cet emblème de la création convertirait au christianisme l’empereur d’alors , qui aimait par» ticulièrement les sciences. Je ne rapporte ce trait que pour montrer jusqu’à quel point les préjugés de l’enfance {peuvent égarer les plus grands hommes.

Leibnitz, toujours conduit par une métaphysique singulière et très déliée , considéra que la suite plus un, moins un, plus un, etc. , devient l’unité ou zéro , suivant que l’on s’arrête à un nombre de termes impair ou pair; et comme dans l’infini il n’y. a aucune raison de préférer le nombre pair à l’impair, on doit, suivant les règles des probabilités , prendre la ‘moitié des résultats relatifs à ce.s deux espèces de nombres, et qui sont zéro et l’unité; ce qui donne ^ pour la valeur de la série. Daniel Bernoulli a étendu depuis ce raisonnement à la sommation des séries formées de termes périodiques. Mais toutes

SUR LES PROD\RILITÉS. I

ces séries n’ont point , à proprement parler, de valeurs ; elles n’en prennent que dans le cas où leurs termes sont multipliés par les puissances successives d’une variable moindre que l’unité. Alors, ces séries sont toujours convergentes, quelque petite que l’on suppose la dififérence de la variable à l’unité ; et il est facile de démontrer que les valeurs assignées par Bernoulli, en vertu de la règle des probabilités, sont les valeurs memes des fractions génératnces des séries , lorsque l’on suppose dans ces fractions la variable égale à l’unité. Ces valeurs sont encore les limites dont les séries approchent de plus .en plus, à mesure que la variable approche de l’unité. Mais lorsque la variable est exactement égale à l’unité, les séries cessent d’ètre convergentes : elles n’ont de valeurs qu’autant qu’on les arrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul des probabilités avec les limites des valeurs des séries périodiques , suppose que les termes de ces séries sont multipliés par toutes les puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuvent résulter du développement d’une infinité de fractions différentes dans lesquelles cela n’a pas lieu. Ainsi , la série plus un, tnoins un, plus un y etc. , peut naître du développement d’une fraction dont le numérateur est runité plus la variable , et dont

le dénominateur est ce numérateur augmenté du carré de la variable. En supposant la variable égale à l’unité , ce développement se change dans la série proposée , et la fraction génératrice devient égale à I ; les règles des probabilités donne- . raient donc alors un faux résultat, ce qui prouve combien il serait dangereux d’employer de semblables raisonnemens, surtout dans les sciences mathématiques que la rigueur de leurs procédés doit éminemment distinguer.

Nous sommes portés naturellement à croire que l’ordre suivant lequel nous voyons les choses se renouveler sur la terre , a existé de tout temps, et subsistera toujours. En effet , si l’état présent de l’univers était entièrement semblable à l’état antérieur qui l’a produit , il ferait naître à son tour un état pareil; la succession de ces états serait donc alors étemelle. J’ai reconnu par l’ap-^ plication de l’Analyse à la loi de la pesanteur universelle , que les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites , et la position de leurs orbites et de leurs équateurs, ne sont assujétis qu’à des inégalités périodiques. En comparant aux anciennes éclipses la théorie de l’équation séculaire de la Lune, j’ai trouvé que depuis Hipparque, la durée du jour n’a pas varié d’un centième de seconde, et que la tempé-

rature moyenne de la Terre n’a pas diminué dTin centième de degré. Ainsi la stabilité de Tordre actuel paraît établie à la fois par la tliéorie et par les observations. Mais cet ordre est troublé par diverses causes qu’un examen attentif fait apercevoir, et qiTil est impossible de soumettre au calcul.

Les actions de TOcéan , de l’atmosphère et des météores , les tremblemens de terre , et les éruptions de volcans, agitent sans cesse la surface terrestre, et doivent y opérer à la longue des changemens considérables. La température des climats , le volume de l’atmosphère , et la proportion des gaz qui la constituent, peuvent varier d’une manière insensible. Les instrumens et les moyens propres à déterminer ces variations étant nouveaux , l’observation n’a pu jusqu’ici rien nous apprendre à cet égard. Mais il est très peu vraisemblable que les causes qui absorbent et renouvellent les gaz constitutifs de notre air, en maintiennent exactement les quantités respectives. Une longue suite de siècles fera connaître les altérations qu’éprouvent tous ces élémens si essentiels à la conservation des êtres organisés. Quoique les monumens historiques ne remontent pas à une très haute antiquité, ils nous offrent cependant d’assez grands changemens survenus

2i4 essai philosophique

par Taction lente et continue des agens naturels. En fouillant dans les entrailles de la terre, on découvre de nombreux débris d’une nature jadis vivante et toute différente de la nature actuelle. D’ailleurs , si la terre entière a été primitivement fluide, comme tout paraît l’indiquer, on conçoit qu’en passant de cet état à celui qu’elle a main> tenant, sa surface a dû éprouver de prodigieux changemens. Le ciel même , malgré l’ordre de ses mouvemens, n’est pas inaltérable. La résistance de la lumière et des autres fluides étliérés et l’attraction des étoiles , doivent , aprés un très grand nombre de siècles, considérablement altérer les mouvemens planétaires. Les variations déjà observées dans les étoiles et dans la forme des nébuleuses, font pressentir celles que le temps développera dans le système de ces grands corps. On ' peut repré^senter les états successifs de l’univers par une courbe dont le temps serait l’abscisse, et dont les ordonnées exprimeraient ces div«^ états. Connaissant à peine un élément de cette courbe, nous sommes loin de jKuivoir remonter à son origine f et si , pour reposer l’imagination , toujours inquiète d’ignorer la cause des phénomènes qui l’intéressent, on hasarde quelques conjectures, il est sage de ne les représenter qu’avec une extrême réserve.

SUR LES PROBABILITÉS. 2l5

Il existe dans Testiination des probabilités, un genre d'illusions qui, dépendant s[>écialement des lois de l'organisation intellectuelle , exige , pour s’en garantir, un examen approfondi de ces lois. Le désir de pénétrer dans l’avenir, et les rapports de quelques évènemens remarquables avec les prédictions des astrologues, des devins et des augures, avec les pressentimens et les songes, avec les nombres et les jours réputés heureux-, ou malheureux , ont donné naissance à une foule de préjugés encore très répandus. On ne réflécliil point au grand nombre de non-coïncidences qui n’ont fait aucune impression ou que l’on ignore. Cependant, il est nécessaire de les connaître, pour apprécier la probabilité des causes auxqudles on attribue les coïncidences. Cette connaissance confirmerait , sans doute , ce que la raison nous dicte à l’égard de ces préjugés. Ainsi, le philosophe de l’antiquité, auquel on montrait dans un temple, pour exalter la puissance du dieu qu’on y adorait, les ex veto de tous ceux ^ qui, après l’avoir invoqué, s’étaient sauvés du naufrage, fit une remarque conforme au calcul des probabilités , en observant qu’il ne voyait point inscrits les noms de ceux qui , malgré cette invocation , avaient péri. Cicéron a réfuté tous ces préjugés avec, beaucoup de raison et d’éloquence, dans son

ai6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Traité de la Divination, qu’il termine par un . passage que je vais citer; car on aime à retrouver chez les anciens, les traits de la raison universelle qui, après avoir dissipé tous les préjugés par sa lumière , deviendra l’unique fondement des institutions humaines.

a 11 faut , dit l’orateur romain , rejeter la di- » vination par les songes et tous les préjugés » semblaldes. La superstition , partout répandue, » a subjugué la plupart des esprits et s’est empa- » rée de la faiblesse des hommes. C’est ce que » nous avons développé dans nos livres sur la » nature des dieux ^et spécialement dans cet ou- » vrage, persuadé que nous ferons une chose » utile aux autres et à nous-méme, si nous pan- » venons à détruire la superstition. Cependant » (et je désire surtout qu’à cet égard ma pensée D soit bien comprise), en détruisant la supersti- » tion, je suis loin de vouloir ébranler la religion. » La sagesse nous prescrit de maintenir les ins- » titutions et les cérémonies de nos ancêtres, » touchant le culte des dieux. D’ailleurs, la » beauté de l’univers et l’ordre des choses cé- » lestes nous forcent à reconnaître quelque na- » ture supérieure qui doit être remarquée et » admirée du genre humain. Mais autant il con- » vient de propager la l'eligion qui f^st jointe à

SUR LES PROBABILITES. 2.1 J

» la connaissance de la nature, autant il faut » travailler à extirper la superstition ; car elle » vous tourmente , vous presse et vous poursuit » sans cesse en tous lieux. Si' vous consultez un » devin ou un présage , si vous immolez une vio- » time, si vous regardez le vol d’un oiseau, si » vous rencontrez un chaldéen ou un aruspice , » s’il éclaire, s’il tonne , si la foudre tombe, enfin » s’il naît ou se manifeste une espèce de prodige, » toutes choses dont souvent quelqu’une doit » arriver ; alors la superstition qui vous domine » ne vous laisse point de repos. Le sommeil » meme , ce refiige des mortels dans leurs peines » et dans leui’s travaux , devient par elle un nou- » veau sujet d’inquiétudes et de frayeurs. »

Tous ces préjugés et les frayeurs qu’ils inspirent, tiennent à des causes physiologiques qui continuent quelquefois d’agir fortement, après que la raison nous a désabusés. Mais la répétition d’actes contraires à ces préjugés peut toujours les détruire. C’est ce que nous allons établir par les considérations suivantes.

Aux limites de la Physiologie visible, commence une autre Physiologie dont les phénomènes , beaucoup plus variés que ceux de la première, sont comme eux, assujettis à des lois qu’il est très important de connaiti*e. Cette Physiologie,

ESSAI PHIIX)SOPIlIQÜE .

que nous désignerons sous le nom de Psjcholo^ giCy est sans doute une continuation de la Physiologie visible. Les nerfs, dont les filamens se perdent dans la substance médullaire du cerveau, y propagent les impressions qu’ils reçoivent des objets extérieurs , et ils y laissent des impressions permanentes qui modifient d’une manière inconnue le sensorium ou siège de la sensation et de la pensée, (i) Les sens extérieurs ne peuvent rien apprendre sur la nature de ces modifications étonnantes par leur infinie variété , et par la distinction et l’ordre qu’elles conservent dans le petit espace qui les renferme; modifications dont les phénomènes si variés de la lumière et de l’électricité nous donnent quelque idée. Mais en appliquant aux observations du sens interne, qui peut seul les apercevoir, la méthode dont on a fait usage pour les observations des sens externes , on pourra porter dans la théorie de l’entendement humain , la meme exactitude que dans les autres branches de la Philosophie naturelle.

Déjà quelques-uns des principes(2^ dePsycho-

, ( 1 ) Les considérations suivantes sont entièrement indépen- * • * * * dantes du lieu de ce siège et de sa nature.

* (2) Je désigne ici pai* la dénomination de principes, les

rapports généraux des phénomènes.

SUR LES PROHABILITI^S. aiQ

logie ont été reconnus et développés avec succès. Telle est la tendance de tous les êtres semblable-

ment organisés, à se mettre entre eux en harmonie. Cette tendance , qui constitue la sympathie, existe même entre des animaux d'espèces diverses : eUe diminue à mesure que leur organisatiôn est plus dissemblable. Parmi ies êtres doués d’une même organisation, quelques-uns se coordonnent plus promptement entre eux qu’avec les autres. La nature inorganique nous olïre de semblables phé*- Qomènes : deux pendules ou deux montres dont la marche est très peu différente, étant placées sur un même support, finissent par avoir exactement la même marche, et dans un système de cordes sonores, les vibrations de l’une d’elles font résonner toutes ses harmoniques. Ces effets, dont les causes bien connues ont été soumises au calcul^ donnent une idée juste de la sympathie qui dépend de causes bien* plus compliquées. ■

Un sentiment agréable accompagne * presque toujours les mouvemens sympathiques. Dans la plupart des espèces d’animau'x, les individus s’attachent ainsi lés uns aux autres* et’ se réunissent en sociétés. Dans l’espèce humaine, les imaginations fortes ressentent un vrai bonheur à dominer les imaginations faibles , qui n’en ressentent pas moins à leur obéir. Les sentimens

sympathiques excités à la fois dans un grand nombre d’individus , s’accroissent par leur réaction mutuelle , comme on l’observe au théâtre. Le plaisir qui en résulte, rapproche les personnes d’opinions semblables , que leur réunion exalte quelquefois jusqu’au fanatisme. Delà naissent les sectes , la ferveur qu’elles excitent , et la rapidité de leur propagation. Elles offrent dans l’histoire les plus étonnans et les plus funestes exemples du pouvoir de la sympathie. On a souvent lieu de remarquer la facilité avec laquelle les mouvemens sympathiques, tels que le rire, se conununiquent parla simple vue, sans le concours d’aucune autre cause dans ceux qui les reçoivent. L’influence de la sympathie sur le sensorium est incomparablement plus puissante ; les vibrations qu’elle y excite, lorsqu’elles sont extrêmes, produisent, en réagissant sur l’économie animale, des effets extraordinaires que l’on a, dans les siècles de superstition , attribués à des agens surnaturels, et qui, par leur singularité, méritent l’attention des observateurs.

La tendance à l’imitation existe meme à l’égard des objets de l’imagination. Placés dans une voiture qui nous parait se diriger vers un obstacle, nous imitons involontairement le mouvement qu’elle doit prendre pour l’éviter. On j>eut conce-

Voir que l’idée de ce mouvement et la tendance à l’imiter correspondent à des mouvemens du sensorium , dont le premier produit le second ^ à peu près comme les vibrations d’une corde sonore font vibrer ses harmoniques. On explique ainsi comment l’idée de la chute dans un précipice fortement imprimée par la peur, peut y fairé tomber celui qui le traverse sur une planche étroite qu’il parcourrait d’un pas ferme , si elle était posée dans toute sa longueur sur la terre. Je connais des personnes qui éprouvent une telle excitation à se précipiter d’une grande hauteur où elles se voient élevées, qu’elles sont forcées, pour y résister, d’augmenter les précautions prises pour les retenir, et cependant bien propres à les ras- • surer.

Par une noble prérogative de l’espèce humaine, le récit d’actions grandes et vertueuses nous enflamme et nous porte à les imiter. Mais quelques individus tiennent de leur organisation ou de pernicieux exemples, des penchans funestes qu’excite vivement le récit d’une action criminelle devenue l’objet de l’attention publique. Sous ce rapport, la publicité des crimes n’est pas sans danger.

l^a commisération, la bienveillance et beaucoup d’autres sentimens dérivent de la sympathie.

aaa Ef«AI PHItOSOFHlQUlî

Par elle, on ressent les maux d’autrui, et l’on partage le contentement du malheureux qu’on soulage. Mais je ne veux ici qu’exposer les principes de Psychologie, sans entrer dans le développement de leurs conséquences (i).

L’un de ces principes, le plus fécond de tous, est celui de la liaison de toutes les choses qui ont eu dans le sensorium une existence simultanée ou régulièrement successive; liaison qui, par le retour de l’iine d’elles, rappelle les autres. Les objets que nous avons déjà vus, réveillent les traces des choses qui, dans la première vue, leur étaient associées. Ces traces réveillent semblablement celle des autres objets, et ainsi de suite; en sorte qu’à l’occasion d’une chose présente, nous pouvons en rappeler une infinité d’autres, et arrêter notre attention sur celles que nous voulons considérer. A. ce principe se rattache l’emploi des signes et des langues pour le rappel des sensations et des idées, pour la formation de l’analyse des idées complexes , abstraites et générales , et pour le raisonnement. Plu-

(i) L.1 narration que Montagne fait dans ses Kssais, de l’amitié qui existait entre lui et la Boëtie, offre un exemple bien remarquable d’un genre de sympathie extrêmement

rare.

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sieurs philosophes ont bien développé cet objet qui, jusqu’à présent, constitue la partie réelle de la Métaphysique.

C’est en vertu de ce principe que l’on parvient à estimer les distances à la simple vue. Une comparaison souvent répétée du mètre avec diverses distances qui en contiennent des nombres entiers, imprime dans la mémoire ces traces associées aux nombres de mètres qui leur corresportdent.

La vue d’une distance que l’on veut apprécier réveille ces traces; et si l’une d’elles s’adapte exactement ou à fort peu près à l’impression de la distance que l’on a sous les yeux , on juge que cette distance renferme le nombre de mètres associé dans la mémoire à la trace qui parait lui être égale. C’est encore ainsi que l’on parvient à estimer le poids des corps , en les soupesant.

On peut établir en principe de Psychologie, qüe les impressions souvent répétées d’un ménie objet sur divers sens , modifient le sensorium , de manière que l’impression intérieure correspondante à l’impression extérieure de l’objet sur un seul sens , devient très différente de ce qu’elle était à l’origine. Développons ce principe ^ et pour cela , considérons un aveugle de naissance auquel* on vient d’abaisser la cataracte. L’image de l’objet qui se peint sur sa’ rétine, produit dans son sen- ^

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sorium une impression que je nommerai seconde image y sans prétendre l’assimiler à la première, ni rien affirmer sur sa nature. Cette seconde image n’est pas d’abord une représentation fidèle de l’objet; mais la comparaison habituelle des impressions de cet objet par le tact, avec celles qu’il produit par la vue, finit, en modifiant le sensorium , par rendre la seconde image conforme à la nature représentée fidèlement par le toucher. L’image peinte sur la rétine ne change point; mais l’image intérieure qu’elle fait naître n’est plus la meme , comme les expériences faites sur plusieurs aveugles de naissance auxquels on avait rendu la vue, l’ont prouvé.

C’est principalement dans l’enfance que le sensorium acquiert ces modifications. L’enfant, com- ]>arant sans cesse les impressions qu’il reçoit d’un meme objet, par les organes de la vue et du toucher, rectifie les impressions de la vue. Il dispose son sensoriiim à donner aux objets visibles la forme indiquée par le tact dont les impressions s’associent intimement avec celles de la vue , qui les rappellent toujours. Alors les objets visibles sont aussi fidèlement représentés que les objets tactiles. Un rayon lumineux devient pour la vue ce qu’est un bâton pour le toucher. Par ce moyen, le premier de ces sens étend beaucoup plus loin

que le second , la sphère des objets de ses impressions. Mais la voûte céleste elle-mèine, à laquelle nous attachons les astres, est encore très bornée; et ce n’est que par une longue suite d’observations et de calculs que nous sommes parvenus à reconnaître les grandes distances de ces corps , et à les éloigner indéfiniment dans l’immensité de l’espace.

Il paraît que dans plusieurs espèces d’animaux la disposition du sensorium , qui nous fait apprécier les distances, est naturelle. Mais l’homme, pour lequel la nature a remplacé presque en tout l’instinct par l’intelligence, a besoin, pour le suppléer, d’observations et de comparaisons qui servent merveilleusement à développer ses facultés intellectuelles et à lui assurer, par ce développement, l’empire de la terre.

Les images intérieures ne sont donc pas les effets d’une cause unique : elle résultent, soit des impressions reçues simultanément par le même sens ou par des sens différens, soit des impressions intérieures rappelées par la mémoire.. L’influence réciproque de ces impressions est un principe psychologique fécond en conséquences. Développons quelques-unes des principales.

Qu’un observateur, placé dans une profonde obscurité, voie à des distances différentes deux

aa6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

globes lumineux d’un même diamètre, ils lui paraîtront d’inégale grandeur. I^ui’s images intérieures seront proportionnelles aux images correspondantes , peintes sur la rétine. Mais si l’obscurité venant à cesser, il aperçoit en même temps que les globes, tout l’espace intermédiaire, cette vue agrandit l’image intérieure du globe le plus éloigné et la rend presque égale à celle de l’autre globe. C’est ainsi qu’un homme, vu aux distances de deux et de quatre mètres, nous paraît de la même grandeur : son image intérieure ne varie point, quoique l’une des images peintes sur la rétine soit double de l’autre. C’est encore par l’impression des objets intermédiaires que la lune à l’horizon nous semble plus grande qu’au zénith. On aperçoit au-dessus d’une branche voisine de l’œil , un objet que l’on rapporte au loin et qui paraît fort grand. On vient ensuite à reconnaître le lien qui l’unit à la branche : sur-le<hamp, la perception de ce lien cliange l’image intérieure et la réduit à une dimension beaucoup moindre. Toutes ces choses ne sont point de simples jugemens, comme quelques métaphysiciens l’ont pensé : elles sont des effets physiologiques dépendans des dispositions que le sensorium a contractées par la comparaison habituelle des impressions d’un même objet sur les organes de plu- *

sieurs sens, et spécialement sur ceux du toucher' et de la vue.

L’influence des traces rappelées par la mémoire, sur les impressions qu’excitent les objets extérieurs, se fait remarquer dans un grand nombre de cas. On voit de loin des lettres , sans pouvoir distinguer le mot qu’elles expriment. Si quelqu’un prononce ce mot, ou si quelque circonstance en rappelle la mémoire, aussitôt l’image intérieure de ces lettres ainsi rappelées se superpose, si je puis ainsi dire, à l’image confuse produite par l’impression des caractères extérieurs, et la rend distincte. La voix d’un acteur que vous entendez confusément , devient distincte lorsque vous lisez ce qu’il récite. La vue des caractères rappelle les traces des sons qui leur répondent ; et ces traces se mêlant aux sons confus de la voix, les font distinguer. La peur transforme souvent de cette manière les objets qu’une trop faible lumière ne fait j>as reconnaître, en objets effrayans, qui ont avec eux de l’analogie. L’image de ces derniers objets, fortement retracée dans le sensorium par la crainte , se rend propre l’impression des objets extérieurs. Il est important de se garantir de cette cause d’illusion , dans les conséquences que l’on tire d’observations de choses (jui ne font qu’une impression très légère r

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telles sont les observations de la dégradation de la lumière à la surface des planètes et des sateb lites, d’où l’on a conclu l’existence et l’intensité de leurs atmosphères, et leurs mouvemens de rotation. Il est souvent à craindre que des images intérieures ne s’assimilent ces impressions et le penchant qui nous porte à croire à l’existence des choses que représentent les impressions reçues par les sens.

Ce penchant remarquable tient à un caractère particulier qui distingue les impressions venant du dehors, des traces produites par l’imagination ou rappelées par la mémoire. Mais il arrive quelquefois par un désordre du sensorium ou des organes qui agissent sur lui, que ces traces ont le caractère et la vivacité des impressions extérieures : alors, on juge présens leurs objets, on est visionnaire. Le calme et les ténèbres de la nuit favorisent ces illusions qui , dans le sommeil , sont complètes et forment les rêves dont on aura une juste idée, si l’on conçoit que les traces des objets qui se présentent à notre imagination dans l’obscurité, acquièrent une grande intensité pendant le sommeil.

Tout porte à croire que dans les somnambules quelques-uns des sens ne sont pas complètement endormis. Si le sens du toucher, par exemple.

reste encore un peu sensible au contact des objets extérieurs, les impressions faibles qu’il en reçoit, transmises au sensorium , peuvent , en se combinant avec les images du rêve d’un somnambule, les modifier et diriger ses moiivemens. En examinant, d’après cette considération , les récits bien avérés des choses singulières opérées par les somnambules, il m’a paru que l’on pouvait en donner une explication fort simple.

Quelquefois les visionnaires croient entendre parler les personnages qu’ils se figurent, et ils ont avec eux une conversation suivie : les ouvrages des médecins ' sont remplis de faits de ce genre.

Charles Bonnet cite, comme l’ayant souvent observé, son aïeul maternel, « vieillard, dit-il, » plein de santé, qui, indépendamment de toute » impression du dehors, aperçoit de temps en » temps devant lui des figures d’hommes , de fem- » mes, d’oiseaux, de voitures, debâtimens, etc. » Il voit ces figures se donner différens mouve- » mens, s’approcher, s’éloigner, fuir, diminuer » et augmenter de grandeur, paraître, disparaî- » tre, reparaître. Il voit lesbâtimens s’élever sous » ses yeux , etc. Mais il ne prend point ses visions » pour des réalités : sa raison s’en amuse. Il » ignore d’un moment à l’autre quelle vision va

a3o ESSAI PHILOSOPHIQUE

» s’ofifrir à lui. Son cerveau est un théâtre qui » exécute des scènes d’autant plus surprenantes » pour le spectateur, qu’il ne les a point prévues. » En lisant l’histoire de Jeanne d’Arc, on est forcé de reconnaître une visionnaire de bonne foi dans cette fille admirable, dont l’exaltation courageuse contribua si puissamment à délivrer la France de ses ennemis. Il est vraisemblable que plusieurs de ceux qui se sont annoncés comme ayant reçu leurs doctrines d’un être surnaturel, étaient visionnaires : ils ont d’autant mieux persuadé les autres, qu’ils étaient eux-inémes persuadés. Les fraudes pieuses et les moyens violens dont ensuite ils ont fait usage, leur ont paru justifiés par l’intention de propager ce qu’ils jugeaient être des vérités nécessaires aux hommes.

Un caractère particulier distingue des produits de l’imagination, les traces rappelées par la mémoire , et qui sont dues aux impressions des objets extérieurs. Il nous porte comme par instinct, à reconnaître l’existence passée de ces objets, dans l’ordre que la mémoire nous présente. Les expériences que nous faisons à chaque instant, de la vérité des conséquences que nous en tirons pour nous conduire , fortifient ce penchant. Quel est le mécanisme qui, dans cette opiération du sensorium, détermine notre jugement? nous l’i-

guorous , et nous ne pouvons en observer que les effets. En vertu de ce mécanisme, les traces de la mémoire, quoique faibles, nous font apprécier leur intensité primitive, que nous pouvons ainsi comparer aux impressions semblables d’objets présens. Nous jugeons de cette manière, qu’une couleur que nous avons vue la veille j était plus vive que celle qui frappe maintenant notre vue.

Les impressions qui accompagnent les traces de la mémoire, servent à nous en rappeler les causes. Ainsi, lorsqu’au souvenir d’une chose qui nous a été dite, se joint le souvenir de la con-. fiance que nous avons donnée au narrateur ; si son nom nous échappée, nous le retrouvons, en rappelant successivement les noms de ceux qui nous ont entretenus, jusqu’à ce que nous parvenions au nom qui nous a inspiré cette confiance.

Les impressions reçues dans l’enfance se conservent jusque dans l’extrême vieillesse, et se renouvellent alors même que des impi'essions profondes de l’âge mûr sont entièrement effacées. Il semble que les premières impressions gravées profondément dans le sensorium, n’attendent, pour reparaître, que l’affaiblissement des impressions subséquentes, par l’âge ou par la maladie, à peu près comme les astres qu’effaçait la clarté

du jour, se montrent dans ia nuit ou dans les éclipses de soleil.

Les traces de la mémoire acquièrent de l’intensité, par l’effet du temps et à notre insu. Les choses que l’on apprend le soir, se gravent dans le sensorium pendant le sommeil, et se retiennent facilement par ce moyen. J’ai obsers^é plusieurs fois , qu’en cessant de penser pendant quelques jours à des matières très compliquées, elles me devenaient faciles lorsque je les considérais de nouveau.

Si nous revoyons un objet qui nous avait frappé par sa grandeur, long-temps après que la Vue fréquente d’objets du même genre, beaucoup, plus grands, a diminué l’impression de grandeur qu’ils font éprouver, nous sommes surpris de le trouver fort au-dessous de son impression conservée dans la mémoire.

Quelques hommes sont doués d’une mémoire prodigièuse. L’exactitude avec laquelle ils répètent de longs discours qu’ils viennent d’entendre, nous étonne. Mais lorsqu’on réfléchit à tout ce que renferme la mémoire de la plupart des hommes , on est bien plus étonné que tant de choses y soient placées sans confusion. Considérez un chanteur sur la scène : sa mémoire lui rappelle chaque mot de son rôle , le ton , la mesure et le

SUR LES PROBABILITÉS. a33

geste qui doivent l’accompagner. Un nouveau rôle succède- 1- il au premier, celui-ci semble comme effacé de sa mémoire qui retrace dans l’ordre convenable toutes les parties du second rôle, et qui rappellerait de la meme manière les divers rôles que le chanteur a étudiés. Ces traces dont le nombre est immense, ou du moins les dispositions propres à les faire naîtr^, existent à la fois dans son sensorium sans se confondre , et l’acteur peut les rappeler à sa volonté. Je dois répéter ici , que par les mots trace, image, vi~ brations, etc. , je n’entends exprimer que des phénomènes du sensorium, sans rien affirmer sur leur nature et sur leurs causes; comme en mécanique , on n’exprime que des effets , par les mots force, attraction, affinité, etc.

Les opérations du sensorium et les mouvemens qu’il fait exécuter, deviennent plus faciles et comme naturels, par de fréquentes répétitions.

De ce principe psychologique découlent nos ha- • bitudes. En se combinant avec la sympathie , il ' produit les coutumes, les moeurs et leurs étranges variétés. Il fait qu’une chose généralement reçue chez un peuple , est regardée par un autre avec horreur. Les combats de gladiateurs, dont les Romains aimaient passionnément le spectacle, et les sacrifices humains qui souillent les annales

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des nations, nous paraîtraient horribles. Quand on considère l’état déplorable des esclaves , l’avilissement des Parias dans l’Inde, et l’absurdité de tant de croyances contraires à la raison et au témoignage de tous nos sens, on est affligé de voir jusqu’à quel point l’habitude de l’esclavage et les préjugés ont dégradé l’espèce humaine.

Cette disposition, que la fréquence des répétitions donne au sensorium , rend très diûicile la distinction des habitudes acquises d’avec les penchans qui , dans l’homme , tiennent à son organisation ; car il est naturel de penser que l’instinct, si étendu et si puissant chez les animaux, n’est pas nul dans l’espèce humaine , et que l’attachement d’une mère à son enfant en dérive. La double influence de l’habitude et de la sympathie modifle ces penchans : souvent elle les fortifie, quelquefois elle les dénature au point de leur substituer des penchans contraires.

Plusieurs observations faites sur l’homme et sur les animaux , et qu’il est bien important de continuer, portent à croire que les modifications du sensorium, auxquelles l’habitude a donné une grande consistance, se transmettent des pères aux ^nfans par voie de génération , comme plusieurs dispositions organiques. Une disposition originelle à tous les mouvemens extérieurs et intérieurs

SUR LES PROBABILITÉS. a35

qui accompagnent les actes habituels , explique , de la manière la plus simple, l’empire que Jes habitudes enracinées par les siècles exercent sur tout un peuple , et la facilité de leur communication aux enfans^ lors même qu’elles sont les plus contraires à la raison et aux droits imprescriptibles de la nature humaine.

La facilité qu’un exercice fréquent donne aux organes, est telle qu’ils continuent souvent d’euxmémes les mouvemens que la volonté leur imprime. Lorsqu’on marchant, nous sommes fortement occupés d’une idée, la cause qui renouvelle à chaque instant notre mouvement, agit sans le concours de notre volonté et sans que nous en ayons la conscience. On a vu des personnes surprises en marchant par le sommeil, continuer leur route et ne se réveiller que par la rencontre d’un obstacle. 11 paraît qu’en vertu d’une disposition que la volonté de marcher donne au système moteur, la. marche continue, à peu près comme le mouvement d’une montre est entretenii par le développement de son ressort spiral. Un dérangement dans l’économie animale peut produire cette disposition. Alors la marche est involontaire; et je tiens d’un médecin éclairé, que dans une maladie de ce genre qu’il avait traitée , le malade ne pouvait s’arrêter qu’en se retenant

à un point fixe. Les observations des maladies peuvent ainsi répandre un grand jour sur la Psychologie, quand les médecins joignent aux connaissances de leur art et des sciences accessoires, l’esprit d’exactitude et de critique que donne l’étude des Mathématiques, et spécialement de la science des probabilités.

Le sensorium peut recevoir des impressions trop faibles pour être senties, mais suffisantes pour déterminer des actions dont nous ignorons la cause. Barbeu-Dubourg, traducteur français des Œuvres de Franklin , rapporte dans sa traduction le fait suivant, qu’il tenait d’un marchand de Paris : « Un jour, dit- il , que cet hon- » néte homme marchait dans les rues de Saint- » Germain , songeant à des affaires fort sérieuses, » il ne put s’empêcher de moduler tout bas, che- » min faisant, l’air d’une ancienne chanson qu’il « avait oubliée depuis bien des années. Arrivé à » deux cents pas de là, il commença à entendre, » dans la place publique, un aveugle jouer ce » même air sur son violon ; et il s’imagina que » c’était une perception légère, une semi-per- » ception du son de cet instniment , affaibli par » l’éloignement, qui avait monté ses organes sur » ce ton , d’une manière insensible à lui-même. » 11 assure que depuis ce temps il s’est donné

SUR LES PROBARILITÉS. . 287

» souvent le plaisir de suggérer des airs à son » gré à un atelier d’oiivrières , sans pouvoir être » entendu d’elles. Lorsqu’il cessait un moment « de les entendre chanter, il fredonnait tout bas » l’air qu’il voulait qu’elles chantassent , et cela » ne manquait presque jamais de leur arriver » sans qu’elles l’eussent sensiblement entendu, » ou qu’aucune d’elles s’en doutât. »

D’après ce que nous avons dit sur l’influence réciproque des traces du sensorium , on conçoit que la musique, par de fréquentes répétitions, peut communiquer à nos mouvemens la régularité de sa mesure. C’est ce que l’on observe dans la danse et dans divers exercices où la précision des mouvemens ainsi régidarisés, nous semble extraordinaire. Par cette régularité, la musique rend généralement plus faciles les mouvemens que plusieurs personnes exécutent à la fois.

Un phénomène psychologique très remarquable , est la grande influence de l’attention sur les traces du sensorium : elle les grave profondément dans la mémoire , et elle en accroît la vivacité en même temps qu’elle affaiblit les impressions concomitantes. Si nous regardons fixement un objet, pour y démêler quelques particularités , l’attention peut nous rendre insensibles aux

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impressions que d’autres objets font en même temps sur la rétine. Par elle, les images des choses que nous voulons com|kirer acquièrent l’intensité nécessaire pour que leurs rapports occupent seuls notre pensée. Elle réveille les traces de la mémoire qui peuvent servir à cette comparaison, et par là elle devient le plus puissant ressort de l’intelligence humaine.

L’attention donnée fréquemment à une qualité particulière des objets, finit par douer les organes d’une exquise sensibilité , qui fait reconnaître cette qualité lorsqu’elle devient insensible au commun des hommes.

Ces principes expliquent les singidiers effets des panoramas. Quand les règles de la perspective y sont bien observées, les objets se peignent sur la rétine, comme s’ils étaient réels. Le spectateur est donc alors dans l’état que ferait naître la réalité des objets. Mais la perspective n’est jamais assez exacte pour que l’identité soit parfaite. D’ailleurs, les impressions étrangères, quoique faibles , se mêlant aux sensations principales que produit la perspective , nuisent d’abord à l’illusion. L’attention donnée au panorama les efface ; mais il faut pour cela un temps plus ou moins long, dépendant des dispositions du sensorium et de la perfection du panorama. Dans fous ceux

SUR LES PROBABILITÉS. 3l39

que j’ai vus, un intervalle de quelques minutes m’a été nécessaire pour acquérir une illusion complète.

Le principe suivant de Psychologie explique un grand nombre de phénomènes qui ont un rapport direct avec l’objet de cet ouvrage. « Si » l’on exécute ft^quemment les actes qui décou- » lent d’une modification particulière du senso- » rium , leur réaction sur cet organe peut , non- » seulement accroître cette modification, mais » quelquefois lui donner naissance. » Ainsi, le mouvement de la main qui tient une longue chaîne suspendue, se propage le long de la chaîne jusqu’à son extrémité inférieure; et si la chaîne étant parvenue au repos , on met en mouvement cette extrémité, la vibration remonte jusqu’à la main qu’celle fait mouvoir à son tour. Ces mouvemens réciproques deviennent faciles par la fréquence de leurs réj>étitions.

Les effets de ce principe sur la croyance sont remarquables. La croyance ou l’adhésion que nous donnons à une proposition est ordinairement fondée sur l’évidence, sur le témoignage des sens ou sur des probabilités : dans cè dernier cas, son degré de force dépend de celui de la probabilité qui dépend elle- meme des données

que chaque individu peut avoir sur l’objet de son jugement.

Nous agissons souvent en vertu de notre croyance, sans avoir besoin d’en rappeler les preuves. I>a croyance est donc une modification du sensorium , qui subsiste indépendamment de ces preuves quelquefois entièrement oubliées , et qui nous détermine à produire les actes qui en sont les conséquences. Suivant le principe que nous venons d’exposer, une répétition fréquente de ces actes peut faire naître cette modification , surtout s’ils sont répétés à la fois par un grand nombre de personnes; car alors, à la force de leur réaction, se joint le pouvoir de l’imitation, suite nécessaire de la sympathie. Quand ces actes sont un devoir que les circonstances nous imposent, la tendance de l’économie animale à prendre l’état le plus favorable à notre bien-être, nous dispose encore à la croyance qui les fait exécuter avec plaisir. Peu d’hommes résistent à l’action de toutes ces causes.

Pascal a bien développé ces effets , dans un article de ses Pensées , qui a ce singulier titre : quil est difficile de démontrer V existence de Dieu par les lumières naturelles y mais que le plus sûr est de la croire. 11 s’exprime ainsi en s’adressant à un incrédule. « Vous voulez aller à la foi, et

n VOUS ii’en savez pas le chemin; vous voulez » guérir de TinOdélité , et vous en demandez le » remède. Apprenez- le de ceux qui ont été tels » que vous, et qui n’ont présentement aucun » doute. Ils savent ce chemin que vous voudriez » suivre , et ils sont guéris d’un mal dont vous » voulez guérir. Suivez la manière par où ils ont » commencé. Imitez leurs actions extérieures, » si vous ne pouvez encore entrer dans leurs dis- » positions intérieures; quittez ces vains amur » semens qui vous occupent tout entier. J’aurais » bientôt quitté ces plaisirs, dites-vous, si j’avais » la foi. Et moi je vous dis que vous auriez » bientôt la foi si vous aviez quitté ces plaisirs. » Or c’est à vous à commencer. Si je pouvais , » je vous donnerais la foi : je ne le puis , ni » par conséquent éprouver la vérité de ce que » vous dites; mais vous pouvez bien quitter ces » plaisirs , et éprouver si ce que je vous dis est » vrai.

» Il ne faut pas se méconnaître : nous sommes » corps autant qu’ esprit ; et de là vient que l’ins- » trument par lequel la persuasion se fait , n’est » pas la seule démonstration. Combien y a-t-il » peu de choses démontrées? Les preuves ne con- » vainquent que l’esprit : la coutume fait nos » preuves les plus fortes. Elle incline les sens

a4^ ESSAI PHILOSOPHIQUE

» qui entraînent l’esprit sans qu’il y pense. Qui » a démontré qu’il fera demain jour, et que nous » mourrons? et qu’y a-t-il de plus universelle- » ment cru? C’est donc la coutume qui nous en » persuade ; c’est elle qui fait tant de turcs et de » païens; c’est elle qui fait les métiers, les » soldats, etc. 11 est vrai qu’il ne faut pas com- » mencer par elle pour trouver la vérité; mais » il faut avoir recours à elle quand une fois l’es- » prit a vu où est la vérité, afin de nous abreuver » et de nous teindre de cette croyance qui nous » échappe à toute heure; car d’en avoir toujours » les preuves présentes, c’est trop d’affairés. Il » faut acquérir une croyance plus facile, qui est » celle de l’habitude qui , sans violence, sans art, » sans argument, nous fait croire les choses, et » incline toutes nos puissances à cette croyance , » en sorte que notre âme y tombe naturellement. » Ce n’est pas assez de ne croire que par la force » de la conviction , si les sens nous portent à » croire le contraire. 11 faut donc faire marcher » nos deux pièces ensemble : l’esprit, par les rai- » sons qu’il suffit d’avoir vues une fois en sa vie ; » et les sens, par la coutume, et en ne leur per- » mettant pas de s’incliner au contraire. »

Le moyen que propose Pascal pour la conversion d’un incrédule, peut être employé avec

succès pour détruire un préjugé reçu dès l’enfance et enraciné par l’habitude. Ces sortes de préjugés naissent souvent de la plus faible cause, dans les imaginations actives. Qu’une personne , attachant au mot gauche une idée de malheur, fasse journellement de la main droite une chose . que l’on puisse exécuter indifféremment de Tune ou de l’autre main ; cette habitude peut accroître la répugnance à se servir pour cela de la main gauche , au point de rendre la raison impuissante contre ce préjugé. Il est naturel de croire qu’ Auguste, doué d’une raison supérieure à tant d’égai'ds , s’est reproché quelquefois sa faiblesse de n’oser se mettre en route le lendemain d’un jour de foire , et qu’il a voulu la surmonter. Mais au moment d’entreprendre un voyage dans l’un de ces jours réputés malheureux , il a pu se dire que le plus sûr était de le différer, augmentant ainsi sa répugnance par l’habitude d’y céder. répétition fréquente d’actes contraires à ces préjugés doit, à la longue, les affaiblir et les faire entièrement disparaître.

L’attachement que l’on porte aux personnes qu’on a souvent obligées, découle du principe que nous venons .de développer. La répétition fréquente d’actes en leur faveur, accroît et fait meme naître quelquefois le sentiment dont ils

sont la suite naturelle. Les actes que le goût d’une chose nous fait exécuter fréquemment, augmentent l’intensité de ce goût, et le transforment souvent en passion.

On voit par ce qui précède, combien notre croyance dépend de nos habitudes. Accoutumés à juger et à nous conduire d’après un certain genre de probabilités , nous donnons à ces probabilités notre assentiment , comme par instinct, et elles nous déterminent avec plus de force que des probabilités bien supérieures , résultats de la réflexion ou du calcul. Pour diminuer autant qu’il est possible cette cause d’illusion , il faut appeler l’imagination et les sens au secours de la raison. Que l’on figure par des lignes les probabilités respectives , on sentira beaucoup mieux leur différence. Une ligne qui représenterait la probabilité du témoignage sur lequel un fait extraordinaire est appuyé , placée à coté de la ligne qui représiente-^ rait l’invraisemblance de ce fait , rendrait très sensible la probabilité de l’erreur du témoignage; comme un tableau dans lequel les hauteurs des montagnes sont rapprochées , donne une idée frap pante des rapports de ces hauteurs. Ce moyen peut être employé dans plusieurs cas avec succès. Pour rendre sensible l’immensité de l’univers , que l’on représente par une quantité presque impercep-

SUR LES PROBABlLiTÉS. ^45

tible, par un dixième de millimètre^ la plus grande étendue de la France en longueur, la distance du Soleil à la Terre sera de quatorze mètres : celle de Fétoile la plus proche surpassera un million et demi de mètres, c’est-à-dire sept ou huit fois le rayon du plus grand horizon que l’œil puisse embrasser du point le plus élevé. On n’aura encore ainsi qu’une très faible image de la grandeur de l’univers qui s’étend infiniment au-delà des plus brillantes étoiles, comme le * prouve ce nombre prodigieux d’étoiles placées les unes au-delà des autres , et se dérobant à la vue dans la profondeur des cieux. Mais toute faible qu’elle est, cette image suffit pour nous faire sentir l’absurdité des idées de prééminence de l’homme sur toute la nature , idées dont on a tiré de si étranges conséquences.

Nous étabhrons enfin , comme principe de Psychologie, l’exagération des probabilités par les passions. La chose que l’on craint ou que l’on désire vivement , nous semble , par cela meme , plus probable. Son image, fortement retracée dans le sensorium , affaiblit l’impression des probabilités contraires , et quelquefois les efface au point de faire croire la chose arrivée. La réflexion et le temps , en diminuant la vivacité de ces sen-

a46 ESSAI PHILOSOPHIQUE

timens, rendent à l’esprit le calme nécessaire pour bien apprécier la probabilité des choses.

Les vibrations du sensorium doivent être, comme tous les mouvemens , assujélies aux lois de la Dynamique , et cela est confirmé par l’expérience. Les mouvemens qu’elles impriment au système musculaire , et que ce système communique aux corps étrangers, sont , comme dans le développement des ressorts , tels , que le centre commun de gravité de notre corps et de ceux qu’il fait mouvoir reste immobile. Ces vibrations se superposent les unes aux autres, comme on voit les ondulations des fluides se mêler sans se confondre. Elles se communiquent aux individus, comme les vibrations d’un corps sonore aux corps qui l’environnent, lues idées complexes se forment de leurs idées simples , comme le flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le Soleil et la Liuie. L’hésitation entre des motifs opposés est un équilibre de forces égales. Les changemens brusques que l’on produit dans le sensorium , éprouvent la résistance qu’un système matériel oppose à des changemens semblables; et si l’on veut éviter les secousses et ne pas perdre de force vive, il faut agir, comme dans ce système, par nuances insensibles. Une attention forte et continue épuise le sensorium , comme

une longue suite de commotions épuise une pile voltaïque, ou l’organe électrique des poissons. Presque toutes les comparaisons que nous tirons des objets matériels, pour rendre sensibles les cho- . ses intellectuelles, sont, au fond, des identités.

Je désire que les considérations précédentes, tout imparfaites qu’elles sont, puissent attirer l’attention des observateurs philosophes sur les lois du sensorium ou du monde intellectuel, lois qu’il nous importe autant d’approfondir que celles du monde physique. On a imaginé des hypothèses à peu près semblables pour expliquer les phénomènes de ces deux mondes. Mais les fondemens de ces hypothèses échappant à tous nos moyens d’observation et de calcul , on peut à leur égard, dire avec Montaigne, que Vignorance et V incuriosité sont un mol et doux chevet, pour reposer une tête bien faite.

. Des divers moyens d approcher de la certitude.

L’induction, l’analogie, des hypothèses fondées sur les faits et rectifiées sans cesse par de nouvelles observations, un tact heureux donné par la nature et fortifié par des comparaisons nombreuses de ses indications avec l’expérience; tels sont les principaux moyens de parvenir à la vérité.

ü48 ' ESSAI PHILOSOPHIQUE

Si l’on considère avec attention la série des objets de meme nature, on aperçoit entre eux', et dans leurs changemens, des rapports qui se manifestent de plus en plus à mesure que la série se prolonge , et qui , en s’étendant et se généralisant sans cesse , conduisent enfin au principe dont ils dérivent. Mais souvent ces rapports sont enveloppés de tant de circonstances étrangères, qu’il faut une grande sagacité pour les démêler et pour remonter à ce principe : c’est en cela que consiste le véritable génie des sciences. L’Analyse et la Philosophie naturelle doivent leurs plus importantes découvertes à ce moyen fécond que l’on nomme induction. Newton lui a été redevable de son théorème du binôme , et du principe de la gravitation universelle. Il est difficile d’apprécier la probabilité des résultats de l’induction , qui se fonde sur ce (fue les rapports les plus simples sont les plus communs : c’est ce qui se vérifie dans les formules de l’Analyse , et ce que l’on retrouve dans les phénomènes naturels, dans la cristallisation et dans les combinaisons chimiques. Cette simplicité de rapports ne paraîtra point étonnante, si l’on considère que tous les effets de la nature ne sont que les résultats mathématiques d’un petit nombre de lois immuables..

Cependant l’induction, en faisant découvrir les principes généraux des sciences , ne suffit pas , pour les établir en rigueur. Il faut toujours les confirmer par des démonstrations, ou par des expériences décisives ; car l’histoire des sciences nous montre que l’induction a quelquefois conduit à des résultats inexacts. Je citerai pour exemple, un théorème de Fermât sur les nombres premiers. Ce grand géomètre , qui avait profondément médité sur leur théorie, cherchait une formule qui, ne renfermant que des nombres premiers, donnât directement un nombre premier plus grand qu’aucun nombre assignable. L’in- . duction le conduisit à penser que deux , élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec l’unité un nombre premier. Ainsi deux , élevé au carré , plus un , forme le nombre premier cinq : deux, élevé à la seconde puissance de deux, ou seize, forme avec un le nombre premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux , augmentées de l’unité ; et cette induction, appuyée de plusieurs considérations arithmétiques , lui fit regarder ce résultat comme général. Cependant il avoua qu’il ne l’avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse d’avoir lieu pour la trente-deuxième puis-

sance de deux, qui, augmentée de Tunité, donne 4294967297, nombre divisible par 64 1 .

Nous jugeons par induction, que si des évènemens divers, des mouvemens par exemple, paraissent constamment et depuis long-temps liés par un rapport simple, ils continueront sans cesse d’y être assujétis; et nous en concluons par la théorie des probabilités, que ce rapport est dû, non au hasard , mais à une cause régulière. Ainsi l’égalité des mouvemens de rotation et de révolution de la Lune ; celle des mouvemens des nœuds * de l’orbite et de l’équateur lunaire, et la coïncidence de ces nœuds ; le rapport singulier des mouvemens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant lequel la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est égale à deux angles droits; l’égalité de l’intervalle des marées à celui des passages de la I^une au méridien ; le retour des plus grandes marées avec les syzygies , et des plus petites avec les quadratures ; toutes ces choses, qui se naaintiennent depuis qu’on les observe , indiquent avec une vraisemblance extrême l’existence de causes constantes que les géomètres sont heureusement parvenus à rattachera la loi de la pesanteur universelle, et dont la connaissance rend certaine la perpétuité de ces rapports.

SUR LES PROBABILITÉS. 'a5i

Le chancelier Bacon , promoteur si éloquent de la vraie méthode philosophique , a fait de Tinduction un abus bien étrange, pour prouver rimmobilité de la Terre. Voici comme il raisonne dans le Novum Organum, son plus bel ouvrage.

« Le mouvement des astres , d’orient en occident, est d’autant plus prompt, qu’ils sont plus éloignés de la Terre. Ce mouvement est le plus rapide pour les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne, un peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite, jusqu’à la Lune et aux comètes les moins élevées. 11 est encore perceptible dans l’atmosphère, surtout entre les tropiques, à cause des grands cercles que les molécules de l’air y décrivent; enfin il est presque insensible pour l’Océan; il est donc nul pour la Terre.» Mais cette induction prouve seulement que Saturne et les astres qui lui sont inférieurs ont des mouvemens propres , contraires au mouvement réel ou apparent qui emporte toute la sphère céleste d’orient en occident ,* et que ces mouvemens paraissent plus lents pour les astres plus éloignés; ce qui est conforme aux lois de l’Optique. Bacon aurait dû être frappé de l’inconcevable vitesse qu’il faut supposer aux astres, pour accomplir leur révolution diurne, si la Terre est immobile , et de l’extrême simplicité avec laquelle sa rotation explique comment

a5a ESSAI PHILOSOPHIQUE

des corps aussi distans les uns des autres que les étoiles, le Soleil , les planètes et la Lune, sem» blent tous assujétis à cette révolution. Quant à rOcéan et à l’atmosphère, il ne devait point assimiler leur mouvement à celui des astres, qui sont détachés de la terre ; au lieu que l’air et la mer faisant partie du globe terrestre , ils doivent participer à son mouvement ou à son repos. Il est singulier que Bacon , porté aux grandes vues par son génie , n’ait pas été entraîné par l’idée majestueuse que le système de Copernic ofire de l’univers. Il pouvait cependant trouver, en faveur de ce système, de fortes analogies dans les découvertes de Galilée, qui lui étaient connues. Il a donné , pour la recherche de la vérité , le précepte et non l’exemple. Mais en insistant avec toute la force de la raison et de l’éloquence, sur la nécessité d’abandonner les subtilités insignifiantes de l’école, pour se livrer aux observations et aux expériences, et en indiquant la vraie méthode de s’élever aux causes générales des phénomènes , ce grand philosophe a contribué aux progrès immenses que l’esprit humain a faits dans le beau siècle où il a terminé sa carrière.

L’analogie est fondée sur la probabilité que les choses semblables ont des causes du meme

gente. et produisent les mêmes effets. Plus la similitude est parfaite, plus cette probabilité augmente. Ainsi nous jugeons sans aucun doute que des êtres pourvus des mêmes organes , exécutant les mêmes choses , éprouvent les mêmes sensations et sont mus par les mêmes désirs.

La probabilité que les animaux qui se rapprochent de nous par leurs organes, ont des sensations analogues aux nôtres, quoiqu’un peu inférieure à celle qui est relative aux individus de notre espèce, est encore excessivement grande; et il a fallu toute l’influence des préjugés religieuxpour faire penser à quelques philosophes que les animaux sont de purs automates. La probabilité de l’existence du sentiment décroît à mesure que la similitude des organes avec les nôtres diminue ; mais elle est toujours très forte , même pour les insectes. En voyant ceux d’une même espèce exécuter des choses fort compliquées , exactement de la même manière , de générations en générations et sans les avoir apprises, on est porté à croire qu’ils agissent par une sorte d’affinité , analogue à celle qui rapproche les molécules des cristaux, mais qui , se mêlant au sentiment attaché à toute organisation animale, produit , avec la régularité des combinaisons chimiques , des combinaisons beaucoup plus singu-

lières : on pourrait peut-être nommer affinité animale ce mélange des affinités électives et du sentiment. Quoiqu’il existe beaucoup d’analogie entre l’organisation des plantes et celle des animaux , elle ne me paraît pas cependant suffisante pour étendre aux végétaux la faculté de sentir; mais rien n’autorise à la leur refuser.

• I.,e Soleil faisant éclore par l’action bienfaisante de sa lumière et de sa chaleur les animaux et les plantes qui couvrent la terre, nous jugeons par l’analogie qu’il produit des effets semblables sur les autres planètes; car il n’est pas naturel de pen^r que la matière dont nous voyons l’activité se développer en tant de façons, soit stérile sur une aussi grosse planète que Jupiter qui , comme le globe terrestre, a ses joui's, ses nuits et ses années, et sur lequel les observations indiquent des changemens qui supposent des forces très actives. Cependant, ce serait donner trop d’extension à l’analogie que d’en conclure la similitude des habitans des planètes et de la Terre. L’homme , fait jxmr la température dont il jouit et pour l’élément qu’il respire, ne pourrait pas, selon toute apparence, vivre sur les antres planètes. Mais ne doit-il pas y avoir une in£inité d’organisations relatives aux diverses constitutions des globes de cet univers? Si la seule diffé-

SITR LES PROBABILITÉS. a55

reiice des élémens et des climats met tant de variété dans les productions terrestres, combien plus doivent di£férer celles des diverses planètes et de leurs satellites! L’imagination la plus active ne peut s’en former aucune idée ; mais leur existence est très vraisemblable.

Nous sommes conduits par une forte analogie à regarder les étoiles comme autant de soleils doués, ainsi que le nôtre, d’un pouvoir attractif proportionnel à la masse et réciproque au carré des distances; car ce pouvoir étant démontré pour tous les corps du système solaire et pour leurs plus petites molécules , il paraît appartenir à toute la matière. Déjà les mouvemens des petites étoiles que l’on a nommées doubles à cause de leur rapprochement, paraissent l’indiquer : un siècle au plus d’observations précises, en constatant leurs mouvemens de révolution les unes autour des autres, mettra hors de doute leurs attractions l’éciproques.

L’analogie qui nous porte à faire de chaque étoile le centre d’un système planétaire est beaucoup moins forte que la précédente; mais elle acquiert de la vraisemblance par l’hypothèse que* nous avons proposée sur la formation des étoiles et du Soleil; car, dans cette hypothèse, chaque étoile ayant été comme le Soleil , primitivement

a56 ESSAI PHILOSOPHIQUE

environnée d’une vaste atmosphère, il est naturel d’attribuer à cette atmosphère les memes effets qu’à l’atmosphère solaire , et de supposer qu’elle a produit, en se condensant, des planètes et des satellites.

Un grand nombre de découvertes dans les sciences sont dues à l’analogie. Je citerai, comme une des plus remarquables, la découverte de l’électricité atmosphérique, à laquelle on a été conduit par l’analogie des phénomènes électriques avec les effets du tonnerre.

La méthode la plus sûre qui puisse nous guider dans la recherche de la vérité , consiste à s’élever, par induction, des phénomènes aux lois et des lois aux forces. Les lois sont les rapports qui lient entre eux les phénomènes particuliers : quand elles ont fait connaître le principe général des forces dont elles dérivent, on le vérifie soit par des expériences directes, lorsque cela est possible, soit en examinant s’il satisfait aux phénomènes connus; et si par une rigoureuse analyse on les voit tous découler de ce principe jusque dans leurs moindres détails ; si d’ailleurs ils sont très variés et très nombreux, la science alors acquiert le plus haut degré de certitude et de perfection qu’elle puisse atteindre. Telle est devenue l’Astronomie par la découverte de la pe-

sauteur universelle. L’histoire des sciences fait voir que cette marche lente et pénible de Tindiiction n’a pas toujours été celle des inventeurs. L’imagination impatiente de remonter aux causes , se plaît à créer des hypothèses ; et souvent elle dénature les faits , pour les plier à son ouvrage : alors, les hypothèses sont dangereuses. Mais quand on ne les envisage que comme des moyens de lier entre eux les phénomènes pour en découvrir les lois; lorsqu’en évitant de leur attribuer de la réalité, on les rectifie sans cesse par de nouvelles observations , elles peuvent conduire aux véritables 'causes , ou du moins , nous mettre à portée de conclure des phénomènes observés, ceux que des circonstances données doivent faire éclore.

Si l’on essayait toutes les hypothèses que Ton peut former sur la cause des phénomènes , on parviendrait, par voie d’exclusion, à la véritable. Ce moyen a été employé avec succès : quelquefois on est arrivé à plusieurs hypothèses qui 'expliquaient également bien tous les faits connus, et entre lesquelles les savans se sont partagés, jusqu’à ce que des observations décisives aient fait connaître la véritable. Alors il est intéressant pour l’histoire de l’esprit huni£Ün, de revenir sur ces hypothèses, de voir comment elles parve-

naient à expliquer un grand nombre de faits, el de rechercher les changemens qu’elles doivent subir pour rentrer dans celle de la nature. C’est ainsi que le système de Ptolémée, qui n’est que la réalisation des apparences célestes, se transforme dans l’hypothèse du mouvement des planètes autour du Soleil , en y rendant égaux et parallèles à l’orbe solaire , les cercles et les épicycles que Ptolémée fait décrire annuellement et dont il laisse la grandeur indéterminée. Tl suffit ensuite, pour changer cette hypothèse dans le vrai système du nionde , de transporter en sens contraire à la Terre , le mouvement apparent du Soleil»

11 est presque toujours impossible de soumettre au calcul la probabilité des résultats obtenus par ces divers moyens : c’est ce qui a lieu pareillement pour les faits historiques. Mais l’ensemble des phénomènes expliqués ou des témoignages est quelquefois tel , que sans pouvoir en apprécier la probabilité , on ne peut raisonnablement se permettre aucun doute à leur égard. Dans les autres cas , il est prudent de ne les admettre qu’ave-c beaucoup de réserve.

SUR LES PKOBAlilLITÉS. •

Notice historique sur le Calcul des Probabilités.

Depuis long-temps on a déterminé dans les jeux les plus simples, les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d’après ces rapports. Mais personne , avant Pascal et Fermât , n’avait donné des principes et des méthodes pour soumettre cet objet au calcul , et n’avait résolu des questions de ce genre un peu compliquées. C’est donc à ces deux grands géomètres qu’il faut rapporter les premiers élémens de la science des probabilités , dont la découverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustré le XVII® siècle, celui de tous qui fait le plus d’honneur à l’esprit humain. Le principal problème qu’ils résolurent par des voies différentes , consiste, comme on l’a vu précédemment, à partager équitablement l’enjeu entre des joueurs dont les adresses sont égales, et qui conviennent de quitter une partie avant qu’elle finisse, la condition du jeu étant que pour gagner la partie, il faut atteindre, le premier, un nombre donné de points différent pour chacun des joueurs. Il est clair que le partage doit se faire proportionnellement aux pro-‘ habilités respectives des joueurs de gagner cette

[à6o ESSAI PHILOSOPHIQUE

partie, probabilités dépendantes des nombres de ' points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal est fort ingénieuse , et n’est au fond que l’équation aux différences partielles de ce problème, appliquée à déterminer les probabilités successives des joueurs, en allant des nombres les plus petits aux suivans. Cette méthode est limitée au cas de deux joueurs : celle de Fermât, fondée sur les combinaisons, s’étend à un nombre quelconque de joueurà. Pascal crut d’abord qu’elle était, comme la sienne, restreinte k deux* joueurs; ce qui établit entre eux une discussion à. la fin de laquelle Pascal reconnut la généralité de la méthode de Fermât.

Huygens réunit les divers problèmes que l’on avait déjà résolus, et en ajouta de nouveaux, dans un petit Traité, le premier qui ait paru sur cette matière, et qui a pour titre : De Ratiociniis in ludo aleœ. Plusieurs géomètres s’en occupèrent ensuite : Hudde, le grand pensionnaire Witt en Hollande, et Halley en Angleterre, appliquèrent le calcul aux probabilités de la vie humaine, et Halley publia pour cet objet, la première table de mortalité. Vers le meme temps , Jacques Bernoulli proposa aux géomètres divers problèmes de probabilité dont il donna depuis des solutions. Enfin il composa son bel ouvrage intitidé : Ars

sim LES PROBABILITÉS.

conjectandi, qui ne parut que sept ans après sa mort, arrivée en 1 706. science des probabilités^ est beaucoup plus approfondie dans cet ouvrage que dans celui d’Huygens : Fauteur y donne une théorie générale des combinaisons et des suites, et l’applique à plusieurs questions difficiles, concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par la justesse et la finesse des vues, par l’emploi de la formule du binôme dans ce genre de questions, et par la démonstration de ce théorème , savoir : qu’en multipliant indéfiniment les observations et les expériences , le rapport des évènemens de diver^s natures approche de celui de leurs possibilités re^ectives, dans des limites dont l’intervalle se resserre de plus en plus, à mesure qu’ils se multiplient, et devient moindre qu’aucune quantité assignable. Ce théorème est très utile pour reconnaître par les observations , les lois et les causes des phénomènes. Bernoulli attachait avec raison une grande importance à sa démonstration qu’il dit avoir méditée pendant vingt années.

Dans l’intervalle de la mort de Jacques Bernoulli à la publication de son ouvrage. Montmort et Moivre firent paraître deux traités sur le calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre : Essai sur les Jeiuc de hasard; il cou-

•aÔi essai philosophique

tient de nombreuses applications de ce calcul aux divers jeux. L’auteur y a joint dans la seconde édition , quelques lettres dans lesquelles Nicolas Bernoulli donne des solutions ingénieuses de plusieurs problèmes difficiles. Le traité de Moivre , postérieur à celui de Montmort, parut d’abord dans les Transactions philosophiques de l’année 1 7 1 1 . Ensuite l’auteur le publia séparément, et il l’a perfectionné successivement dans les trois éditions qu’il en a données. Cet ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme, et les problèmes qu’il contient ont, ainsi que leurs solutions, une grande généralité. Mais ce qui le distingue , est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette théorie est l’intégration des équations linéaires aux différences finies à coefficients constans , intégration à laquelle Moivre parvient d’une manière très heureuse.

Moivre a repris dans son ouvrage le théorème de Jacques Bernoulli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d’observations. Il ne se contente pas de faire voir, comme Bernoulli, que le rapport des évènemens qui doivent arriver approche sans cesse de celui de leurs possibilités respectives; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabilité que

SUR LES probabilités. u63

la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela, il détermine le rapport du plus grand terme du développement d’une puissance très élevée du binôme à la somme de tous ses termes, et le logarithme hyperbolique de l’excès de ce terme sur les termes qui en sont très voisins. plus grand terme étant alors le produit d’un nombre considérable de facteui's , son calcul numérique devient impraticable. Pour l’obtenir par une approximation convergente, Moivre fait usage d’un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remarquable, surtout en ce qu’il introduit la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon, dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut-il extrêmement frappé de ce résultat que Stirling avait déduit del’expression de la circonférence en produits infinis, expression à laquelle Wallis était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies.

Plusieurs savans, parmi lesquels on doit distinguer Deparcieux, K,ersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure, Simpson,* Sussmilch, Messène , Moheau , Price , Baily et Duvillard ,

a64 ESSAI PHILOSOPHIQUE

ont réuni un grand nombre de données précieuses- sur la population, les naissances,* les mariages et la mortalité. Ils ont donné des formules et des tables relatives aux rentes viagères, aux tontines, aux assurances, etc. Mais dans cette courte notice , je ne puis qu’indiquer ces travaux utiles , pour m’attacher aux idées originales. De ce nombre est la distinction des espérances mathématique et morale, et le principe ingénieux que Daniel Bernoulli a donné pour soumettre celle-ci à l’analyse. Telle est encore l’application heureifise qu’il a faite du calcul des probabilités à l’inoculation. On doit surtout placer au nombre de ces idées originales, la considération directe des possibilités des évènemens, tirées des évènemens observés. Jacques Bernoulli et Moivre supposaient ces possibilités connues, et ils cherchaient la probabilité que le résultat des expériences à faire approchera de plus en plus de les représenter. Bayes , dans les Transactions philosophiques l’année 1 763, a cherché directement la probabilité que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites sont comprises dans des limites données; et il y est parvenu d’une manière fine et très ingénieuse, quoique un peu embarrassée. Cet objet se rattache à la théorie de la probabilité des causes et des évènemens futurs ,

SUR LES PROBABILITÉS. ^i65

conclue des évènemens observés; théorie dont j’exposai , quelques années après , les principes , avec la remarque de l’influence des inégalités qui peuvent exister entre les chances que l’on suppose égales. Quoique l’on ignore quels sont les évènemens simples que ces inégalités favorisent, cependant cette ignorance même accroît souvent la probabilité des évènemens composés.

En généralisant l’Analyse et les problèmes concernant les probabilités , je fus conduit au calcul des différences flnies partielles que Lagrange a traité depuis , par une méthode fort simple , et dont il a fait d’élégantes applications à ce genre de problèmes. La théorie des fonctions génératrices, que je donnai vers le même temps, comprend ces objets parmi ceux qu’elle embrasse, et s’adapte d’elle-même et avec la plus grande généralité aux questions de probabilité les plus "difficiles. Elle détermine encore par des approximations très convergentes, les valeurs des fonctions composées d’un grand nombre de termes et de facteurs ; et en faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon entre le plus souvent dans ces valeurs , elle montre qu’une infinité d’autres transcendantes peuvent s’y introduire.

On a encore soumis au calcul des probabilités

'lee

les témoignages, les votes et les décisions des assemblées électorales et délibérantes , et les jugemens des tribunaux. Tant de passions , d’intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu’elles sont presque toujours insolubles. Mais la solution de problèmes plus simples, et qui ont avec elles beaucoup d’analogie , peut souvent répandre sur ces questions difficiles et importantes, de grandes lumières que la sûreté du calcul rend toujours préférables aux raisonnemens les plus spécieux.

L’une des plus intéressantes applications du calcul des probabilités concerne les milieux qu’il faut choisir entre les résultats des observations. Plusieurs géomètres s’en sont occuj>és, et Lagrange a publié, dans les Mémoires de Turin , une belle méthode pour déterminer ces milieux , quand la loi des erreurs des observations est connue. J’ai donné pour le même objet , une méthode fondée sur un artifice singulier qui peut être employé avec avantage dans d’autres questions d’analyse, et qui en permettant d’étendre indéfiniment dans tout le cours d’un long calcul, des fonctions' qui doivent être limitées par la nature du problème, indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. On a vu précédemment

SUR LKS PROBABILITÉS. 267

que chaque observation fournit une équation de condition du premier degré., qui peut toujoui's être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre , le second étant zéro. L’usage de ces équations est une des causes principales de la grande précision de nos tables astronomiques , parce que l’on a pu ainsi faire concourir un nombre immense d’excellentes observations à la fixation de leurs élémens. Lorsqu’il n’y a qu’un seul élément à déterminer, Côtes avait prescrit de préparer les équations de condition de sorte que le coefficient de l’élément inconnu fut positif dans chacune d’elles; et d’ajouter ensuite toutes ces équations, pour former une équation finale d’où l’on tire la valeur de cet élément. La règle de Côtes fut suivie par tous les calculateurs. Mais quand il fallait déterminer plu- * sieurs élémens , on n’avait aucune règle fixe pour combiner* les équations de condition de manière à obtenir les équations finales nécessaires ; seulement, on choisissait pour chaque élément les observations les plus propres à le déterminer. Ce fut pour obvier à ces tâtonnemens que MM. Legendre et Gauss imaginèrent d’ajouter les carrés des premiers membres des équations de condition, et d’en rendre la somme im minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu : par ce

a68 ESSAI PHILOSOPHIQÜE

moyen on obtient directement autant d’équations finales qu’il y a d’élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations méritent-elles la préférence sur toutes celles que l’on peut obtenir par d’autres moyens? C’est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l’appliquai donc à cet objet important, et je parvins, par une analyse délicate, à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit à l’avantage de donner par un procédé régulier les élémens cherchés, celui de les faire sortir avec le plus d’évidence de l’ensemble des observations , et d’en déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

On n’a cependant encore qu’une connaissance imparfaite des résultats obtenus , tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles n’est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données; ce qui revient à déterminer ce que j’ai nommé poids d’un résultat. L’Analyse conduit à des formules générales et simples pour cet objet. J’ai appliqué cette Analyse aux résultats des observations géodésiqiies. Le problème général consiste à déterminer les probabilités que les valeurs d’une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs d’un très grand nombre d’observa-

lions, sont renfermées dans des limites quelconques. •

La loi de possibilité des erreurs des observations , introduit dans les expressions de ces probabilités une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toujours inconnue. Heureusement, cette constante peut être déterminée par les observations memes. Dans la recherche des élémens astronomiques, elle est donnée par la somme des carrés des différences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant proportionnelles à la racine carrée de cette somme , on peut par la comparaison de ces carrés, apprécier l’exactitude relative des diverses tables d’un même astre. Dans les opérations géodésiques , ces carrés sont remplacés par les carrés des erreurs des sommes observées des trois angles de chaque triangle. La comparaison des carrés de ces erreurs fera donc juger de la précision relative des instrumens avec lesquels on a mesuré les angles. On voit par cette comparaison, l’avantage du cercle répétiteur sur les instrumens qu’il a remplacés dans la Géodésie.

Il existe souvent dans les observations, plusieurs sources d’erreurs : ainsi les positions des astres étant déterminées au moyen de la lunette

méridienne et du cercle , tous deux susceptibles d’erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la meme , les élémens que l’on dtV duit de ces positions, sont affectés de ces erreurs. Les équations de condition que l’on forme pour avoir ces élémens, contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficiens différens. Le système le plus avantageux des facteurs par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations , pour obtenir par la réunion des produits autant d’équations finales qu’il y a d’élémens à déterminer, n’est plus alors celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition. L’analyse dont j’ai fait usage conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d’erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels une même erreur est moins probable que dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues qu’il y a de sources d’erreur, et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreurs. On a vu que dans le cas d’une source unique, on peut déterminer cette constante en formant la somme des carrés des résidus de chaque équation de condition, lorsqu’on

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y a substitué les valeurs trouvées pour les élémens. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes, quel que soit leur nombre ; ce qui complète l’application du calcul des probabilités aux résultats des observations.

Je dois ici faire une remarque importante. La • p>etite incertitude que les observations, quand elles ne sont pas très multipliées , laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l’analyse. Mais il suffît presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats obtenus sont renfermées dans d’étroites limites, approche extrêmement de l’unité; et quand cela n’est pas, il suffît de savoir jusqu’à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle, qu’il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet; et sous ce rapport, elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sur un ensemble d’observations susceptibles d’erreur. Elles sont même indispensables pour résoudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent, ou

inconnues, ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les évènemens produits par toutes ces causes , et elle y apporte des modifications qu’une longue suite d’observations peut déterminer. L’analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes , et elle indique les moyens d’accroître de plus en plus cette probabilité. Ainsi, au milieu des causes irrégulières qui agitent l’atmosphère, les changemens périodiques de la chaleur solaire , du jour à la nuit , et de l’hiver à l’été , produisènt dans la pression de cette grande masse fluide , et dans la hauteur correspondante du baromètre, des oscillations diurnes et annuelles que de nombreuses observations barométriques ont fait connaître avec une probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains. C’est encore ainsi que la série des évènemens historiques nous montre l’action constante des grands principes de la morale , au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous

sens les sociétés. Il est remarquable qu’une

science qui a commencé par la considération des

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jeux, se soit élevée aux plus importans objets des connaissances humaines. :

J’ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma Théorie analytique des Probabilités , où je me suis proposé d’exposer de la manière la plus générale, lés principes et l’Analyse du Calcul des Probabilités , ainsi que les solutions des problèmes les plus intéressans et les plus diféciles que ce calcul présente.

On voit par cet £ssai , que la théorie des probabilités n’est au fond , que le bon sens ré<luit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d’instinct, sans qu’ils puissent souvent s’en rendre compte. Elle ne laisse rien d’arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l’on peut , à son moyen , déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux à l’ignorance et à la faiblesse de l’esprit humain. Si l’on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base, la logique fine et délicate qu’exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissemens d’utilité publique qui s’appuient sur elle , et l’extension qu’elle a reçue et qu’elle peut recevoir encore,. par son

essai philos, sur les probabilités.

application aux questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si l’on observe ensuite que dans les choses memes qui ne peuvent être soumises au calcul , elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugemens , et qu’elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent, on verra qu’il n’est point de science plus digne de nos méditations, et qu’il soit plus utile de faire entrer dans le système de l’iiistniction publique.