E3SAI PHILOSOPHIQUE

aux observations de ce phénomène , j’ai trouvé qu’il y a plus de trois cent mille à parier contre un, qu’une cause régulière le produit. Je ne cherche point à déterminer cette cause : je me borne à constater son existence. La période de la variation diurne , réglée sur le jour solaire , indique évidemment que cette variation est due à l’action du Soleil. L’extrême petitesse de l’action attractive du Soleil sur l’atmosphère, est prouvée par la petitesse des effets dus aux attractions réunies du Soleil et de la Lune. C’est donc par l’action de sa chaleur que le Soleil produit la variation diurne du baromètre; mais il est impossible de soumettre au calcul les effets de cette action sur la hauteur du baromètre et sur les vents.

La variation diurne de l’aiguille aimantée est certainement un effet de l’action du Soleil. Mais cet astre agit-il ici comme dans la variation diurne du baromètre , par sa chaleur ou par influence sur l’électricité et sur le magnétisme, ou enfin par la réunion de ces influences? C’est ce qu’une longue suite d’observations faites dans divers pays pourra nous apprendre.

L’un des phénomènes les plus remarquables du système du monde est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites, dans le sens de la rotation du

Soleil , et à peu près dans le plan de son équateur. Un phénomène aussi remarquable n’est point l’efifet du hasard : il indique une cause gé- /lérale qui a déterminé tous ses mouvemens. Pour avoir la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée, nous observerons que le système planétaire, tel que nous le connaissons aujourd’hui, est composé d’onze planètes et de dix-huit satellites, du moins si l’on attiibue avec Herschel six satellites à la planète Uranus. On a reconnu les mouvemens de rotation du Soleil, de six planètes, de la Lune, des satellites de Jupiter, de l’anneau de Saturne et d’un de ses satellites. Ces mouvemens formant, avec ceux de révolution, un ensemble de quarante-trois mouvemens dirigés dans le même sens ; or on trouve , par l’analyse des probabilités, qu’il y a plus de quatre mille milliards à parier contre un , que cette disposition n’est pas l’effet du hasard ; ce qui forme uné probabilité bien supérieure à celle des évènemens historiques sur lesquels on ne se permet aucun doute. Nous devons donc croire , au moins avec la même confiance, qu’une cause primitive a dirigé les mouvemens planétaires , surtout si nous considérons que l’inclinaison du plus grand nombre de ces mouvemens à l’équateur solaire est

fort petite.

Un autre phénomène également remarquable du système solaire est le peu d’excentricité des orbes des planètes et des satellites , tandis que ceux des comètes sont très allongés, les orbes de ce système n’offrant point de nuances intermédiaires entre une grande et une petite excentricité. Nous sommes encore forcés de reconnaître ici l’effet d’une cause régulière : le hasard n’eût point donné une forme presque circulaire aux orbes de toutes les planètes et de leurs satellites; il est donc nécessaire que la cause qui a déterminé les mouvemens de ces corps , les ait rendus presque circulaires. Il faut encore que les grandes excentricités des orbes des comètes résultent de l’existence de cette cause , sans qu’elle ait influé sur les directions de leurs mouvemens ; car on trouve qu’il y a presque autant de comètes rétrogrades , que de comètes directes , et que l’inclinaison moyenne de tous leurs orbes à l’éclip tique , approche très près d’un demi-angle droit , comme cela doit être , si ces corps ont été lancés au hasard.

Quelle que soit la nature de la cause dont il s’agit , puisqu’elle a produit 6u dirigé les mouvemens des planètes , il faut qu’elle ait embrassé tous ces corps, et vu les distances qui les séparent, elle ne pæut avoir été qu’un fluide d’une

SUR LES PROBABILITÉS. lüS

immense étendue : jx)ur leur avoir donné dans le même sens un mouvement presque circulaire . autour du Soleil f il faut que ce fluide ait environné cet astre comme une atmosphère. I^a considération des mouvemens pkuiétaires nous conduit donc à penser qu’en vertu d’une chaleur excessive l’atmosphère du Soleil s’est primitivement étendue au-delà des orbes de toutes les planètes, et qu’elle s’est resserrée successivement jusqu’à ses limites actuelles.

Dans l’état primitif où nous supposons le Soleil , il ressemblait aux nébuleuses que le télescope nous montre composées d’un noyau plus ou moins brillant , entouré d’une nébulosité qui, en se condensant à la surface du noyau , doit le transformer un jour en étoile. Si l’on conçoit par analogie toutes les étoiles formées de cettè manière , on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité , précédé lui-méme par d’autres états dans lesquels la matière nébuleuse était de plus en plus difîuse, le noyau étant de moins en moins lumineux et dense. On arrive ainsi, en remontant aussi loin qu’il est possible, à une nébulosité tellement diffuse , que l’on pourrait à peine en soupçonner l’existence.

Tel est, en effet, le premier état des nébuleuses que Herschel a observées avec un soin

ia6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

particulier, au inoyeii de ses puissans télescopes, et dans lesquelles il a suivi les progrès de la condensation , non sur une seuft , ces progrès ne pouvant devenir sensibles pour nous qu’après des siècles, mais sur leur ensemble, à peu près comme on peut, dans une vaste foret, suivre Faccroisseraent des arbres , sur les individus de divers âges qu’elle renferme. Il a d’abord observé la matière nébuleuse répandue en amas divei’s dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande étendue. Il a vu dans quelques-uns de ces amas , cette matière faiblement condensée autour d’un ou de plusieurs noyaux peu brillans. Dans d’autres iiébuleusi^s , ces noyaux brillent davantage relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères de chaque noyau venant à se séparer par une condensation idtérieure , il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux brillans très voisins et environnés chacun d’une atmosphère : quelquefois, la matière nébuleuse , en se condensant d’une manière uniforme , a produit les nébuleuses que l’on nomme planétaires. Enfin , un plus grand degré de condensation transforme toutes ces nébuleuses en étoiles. Les nébideuses classées d’après cette vue philosophique , indiquent avec une extrême vraisemblance leur transformation future en étoi-

SUR LES PROBABILITES. 1 27

les, et l’état antérieur de nébulosité des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent à l’appui des preuves tirées de ces analogies.

Depuis long-temps, la disposition particulière de quelques étoiles visibles à la vue simple a frappé des observateurs phUosophes. Mitchel a déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles des Pléiades , par exemple , aient été resserrées dans l’espace étroit qui les renferme, par les seules chances du hasard ; et il en a conclu que ce groupe d’étoiles et les groupes semblables que le ciel nous présente, sont les effets d’une cause primitive ou d’une loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire de la cou- • densation des nébuleuses à plusieurs noyaux; car il est visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ces noyaux divers, ils doivent former à la longue un groupe d’étoiles pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux noyaux forme semblablement des étoiles très rapprochées , tournant Tune autour de l’autre , pareilles à celles dont Herschel a déjà considéré les mouvemens respectifs*. Telles sont encore la soixante-unième du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de reconnaître des mouvemens propres,^ si considérables et si peu différens, que la proximité de ces astres

128 ESSAI PHIU>SOPniQUE

entre eux, et leur mouvement autour de leur centre commun de gravité , ne doivent laisser aucun doute. Ainsi , l’on descend par les progrès de condensation delà matière nébuleuse à la considération du Soleil environné autrefois d’une vaste atmosphère, considération à laquelle on remonte, comme on l’a vu , par l’examen des phénomènes du système solaire. Une rencontre aussi remarquable donne à l’existence de cet état antérieur du Soleil une probabilité fort approchante de la certitude.

Mais comment l’atmosphère solaire a- 1- elle déterminé les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites? Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère , sa résistance les aurait fait tomber sur le Soleil ; on est donc conduit à croire avec beaucoup de vraisemblance que les planètes ont été formées aux limites successives de l’atmosphère solaire qui, en se resserrant par le refroidissement, a dû abandonner dans le plan de son équateur des zones de vapeurs que l’attraction mutuelle de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes. Les satellites ont été pareillement formés par les atmosphères de leurs planètes respectives.

J’ai développé avec étendue, dans mon Expo-

sîtion du Sjrstème du monde, cette hypothèse qui me paraît satisfaire à toifs les phénomènes que ce système nous présente. Je me bornerai ici à considérer que la vitesse angulaire de rotation du Soleil et des planètes s’étant accélérée par la condensation successive de leurs atmosphères à • leurs surfaces, elle doit surpasser la vitesse an- * de révolution des corps les plus voisins qui circulent* autour d’eux. C’est, en effet, ce que l’observation confirme à l’égard des planètes et des satellites, et même par rapport à l’anneau de Saturne dont la diirée de révolution est 0 ^, 438 , tandis que la durée de rotation de Saturne est o',427.

Dans cette hypothèse., les comètes sont étrangères au système planétaire. En attachant leur formation à celle des nébuleuses, on peut les regarder comme de petites nébuleuses à noyaux , errantes de systèmes en systèmes solaires, et formées par la condensation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion dans l’univers.

comètes seraient ainsi par rapport à notre système, ce que les aérolithes sont relativement à la Terre , à laquelle ils paraissent étrangers. Tvorsque ces astres deviennent visibles pour nous , ils offrent une ressemblance si parfaite avec les ’ nébuleuses, qu’on les confond souvent avec elles;

l3o ESSAI PHILOSOPHIQUE

et ce n’est que par leur inonveinent , ou par la connais^nce de toutes les nébuleuses renfermées dans la partie du ciel où ils se montrent , qu’on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d’une manière heureuse la grande extension que prennent les têtes et les queues des

comètes à mesure qu’elles approchent du Soleil , et l’extrême rareté de ces queues qui, malgré leur immense profondeur, n’affaiblissent point sensiblement l’éclat des étoiles que l’on voit à travers.

I.K)rsque de petites nébuleuses parviennent dans la partie de l’espace où l’attraction du Soleil est prédominante, et que nous nommerons sphère et activité de cet astre , il le.s force à décrire des orbes elliptiques ou hyperboliques. Mais leur vitesse étant également possible suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir indifféremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons à l’écliptique ; ce qui est conforme à ce que l’on observe.

La grande excentricité des orbes cométaires résulte encore de l’hypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont elliptiques, ils sont très allongés, puisque leurs grands axes sont au moins égaux au rayon de la sphère d’activité du Soleil. Mais ces orbes peuvent être hyperboliques ; et si les

SUR LES PR^ARILIT^S. l3l

axes de ces hyperboles ne sont pas très gi'ands par rapport à la moyenne distance du Soleil à la Terre, le mouvement des comètes qui les décrivent paraîtra sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent, comètes dont on a déjà les élémens , aucune n’a paru certainement se mouvoir dans une hyperbole ; il faut donc que les chances qui donnent une hyperbole sensible , soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.

Les comètes sont si petites, que pour devenir visibles , leur distance périhélie doit être peu considérable. Jusqu’à présent cette distance n’a surpassé que deux fois le diamètre de l’orbe terrestre, et le plus souvent elle a été au-dessous du rayon de cet orbe. On conçoit que pour approcher si près du Soleil , leur vitesse , au moment de leur entrée dans sa sphère d’activité, doit avoir une grandeur et une direction comprises dans d’étroites limites. En déterminant par l’analyse des probabilités le rapport des chances qui, dans ces limites, donnent une hyperbole sensible aux chances qui donnent un orbe que l’on puisse confondre avec une parabole , j’ai trouvé qu’il y a six mille au moins à parier contre l’unité, qu’une nébuleuse qui pénètre dans la

sphère d’activité ,du Soleil, de manière à pouvoir

ESSAI PB^OSOPllIQUE

être observée, décrira ou une ellipse très allongée, ou une hyperbole qui, par la grandeur de son axe, se‘ confondra sensiblement avec une parabole dans la partie que l’on observe; il n’est donc pas surprenant que jusqu’ici l’on n’ait point reconnu de mouvemens hyperboliques.

L’attraction des planètes, et peut-être encore la résistance des milieux éthérés , a du changer plusieurs orbes cométaires dans des ellipses dont le grand axe est moindre que le rayon de la sphère d’activité du Soleil ; ce qui augmente les chances des orbes elliptiqües. On peut croire que ce changement a eu lieu pour la comète de i ySq , et pour la comète dont la période n’est que de douze cents jours , et qui reparaîtra sans cesse dans ce court ' intervalle , à moins que l’évaporation qu’elle éprouve à chacun de ses retoui’s au périhélie ne finisse par la rendre invisible.

On peut encore, par l’analyse des probabilités, vérifier l’existence ou l’influence de certaines causes dont on a cru remarquer l’action sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature, les plus sensibles sont les nerfs, surtout lorsque des causes particulières exaltent leur sensibilité. C’est par leur moyen qu’on a découvert la faible électricité que déve-

loppe le contact de deux métaux hétérogènes; ce qui a ouvert un champ vaste aux recherches des physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui résultent de l’extrême sensibilité des nerfs dans quelques individus, ont donné naissance à diverses opinions sur l’existence d’un nouvel agent que l’on a nommé magnétisme animal, sur l’action du magnétisme ordinaire, et sur l’influence du Soleil et de la Lune dans quelques affections nerveuses; enfin sur les impressions que peut faire éprouver la proximité des métaux ou d’une eau courante. Il est naturel de penser que l’action de ces causes est très faible , et qu’elle peut être facilement troublée par des circonstances accidentelles; ainsi, parce que dans quelques cas. elle ne s’est point manifestée , on ne doit pas rejeter son existence. Nous sommes si loin de connaître tous les agens de la nature et leurs divers modes tl’action, qu’il serait peu philosophique de nier les phénomènes , uniquement parce qu’ils sont inexplicables dans l’état actuel de nos connaissances.

Seulement, nous devons les examiner avec une

attention d’autant plus scrupuleuse , qu’il paraît plus difficile de les admettre ; et c’est, ici que le calcul des probabilités devient indispensable , pour déterminer jusqu’à quel point il faut mul-

l34 ESSAI PiflLOSOPHIQUE

tiplier les observations ou les expériences , afin d’obtenir en faveur des agens qu’elles indi- i^ent, Une probabilité supérieure aux raisons tjue l’on peut avoir d’ailleurs de ne pas les admettre.

Le calcul des probabilités peut faire apprécier les avantages et les inconvéniens des méthodes employées dans les sciences Conjecturales* Ainsi, pour reconnaître le meilleur des traitemetis en usage dans la guérison d’une maladie , il suffît d’éprouver chacun d’eux sur un meme nombre de malades , en rendant toutes les circonstances parfaitement semblables : la supériorité du traitement le plus avantageux se manifestera de plus en plus à mesure que ce nombre s’accroîtra; et le calcul fera connaître la probabilité correspondante de son av^antage, et du rapport suivant lequel il est supérieur aux autres.

Application du Calcul des Probabilités aux

sciences morales.

On vient de voir les avantages de l’analyse des probabilités dans la recherche des lois des phénomènes naturels dont les causes sont inconnues OU trop compliquées pour que leurs effets puissent être soumis au calcul. C’est le cas de près-

que tous les objets des sciences morales. Tant de causes imprévues, ou cachées, ou inappréciablés, influent sur les institutions humaines, quMl est impossible d’en juger à priori les résultats. La série des évènemeus que le temps amène développe ces résultats , et indique les moyens de remédier à ceux qui sont nuisibles. On a sou* vent fait à cet égard des lois sages; mais, parce que l’on avait négligé d’en conserver les motif s , plusieurs ont été abrogées comme inutiles, et il a fallu pour les rétablir que de fâclieuses expériences en aient fait de nouveau sentir le besoin. 11 est donc bien important de tenir dans chaque branche de l’administration publique, un registre exact des effets qu’ont produit les divers moyens dont ou a fait usage , et qui sont autant d’expériences faites en grand par le^ gouvernemens. Appliquons aux sciences politiques et mondes la méthode fondée sur l’observation et sur le calcul, méthode qui nous a si bien servis dans les' sciences naturelles. N’opposons point une résistance inutile et souvent dangei’euse aux effets inévitables du progrès des lumières; mais ne changeons qu’avec une circonspection extrêmenos institutions et les usages auxquels nous sommes depuis long- temps pliés. Nous connaissons bien par l’expérienoe du passé, les inoonvéniens ,

l36 ESSAI PHlLOSOPUigUE

quHls présentent ; mais nous ignorons quelle est l’étendue des maux que leur changement peut produire. Dans cette ignorance, la tliéorie des probabilités prescrit d’éviter tout changement : surtout il faut éviter les changeinens brusques .qui , dans l’ordre moral commé dans l’ordre physique, ne s’opèrent jamais sans une grande perte de force vive.

Déjà, le calcul des probabilités a été appliqué avec succès à plusieurs objets des sciences morales. Je vais en présenter • ici les principaux résultats.

De la Probabilité des témoignages.

La plupart de nos jugemens étant fondés sur la probabilité des témoignages, il est bien important de la soumettre au calcul. La chose, il est vrai, devient souvent impossible, par la difficulté d’apprécier la véracité des témoins, et par le grand nombre de circonstances dont les faits qu’ils attestent sont accompagnés ; mais on peut dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont* beaucoup d’analogie avec les questions qu’on se propose, et dont les solutions peuvent être regardées comme des approximations propres à nous guider et à nous garantir des erreurs et des

SUR LES PROBABÏLITÉS. 1 37

dangers auxquels de mauvais raisonnemeiis nous exposent. Une approximation de ce genre, lorsqu’elle est bien conduite , est toujours préférable aux raisonnemens les plus spécieux. Essayons donc de donner quelques règles générales pour y parvenir.

On a extrait un seul numéro d’une urne qui en renferme mille. Un témoin de ce tirage annonce que le n® 79 est sorti ; on demande la probabilité de cette sortie. Supposons que l’expérience ait fait connaître que ce témoin trompe une fois sur dix, en sorte qOe la probabilité de son témoignage soit Yÿ. Ici , l’évènement observé est le témoin attestant que le n° 79 est sorti. Cet évènement peut résulter des deux hypothèses suivantes , savoir : que le témoin énonce la vérité , ou qu’il trompe. Suivant le principe que nous avons exposé sur la probabilité des causes, tirée des évènemens observés, il faut d’abord déterminer ^ priori la probabilité de l’évènement dans chaque hypothèse. Dans la première, la probabilité que le témoin annoncera le n® 79, est la probabilité meme de la sortie de ce numéro , c’est-à-dire fÿ-j-. Il faut la multiplier par la probabilité ~ de la véracité du témoin; on aura donc ^ pour la probabilité de l’évènement observé dans cette hypothèse. Si le témoin trompe, le n° ‘79

l38 ESSAI PHILOSOPHIQUE

n’est pas sortie et la probabilité de ce cas est Mais pour annoncer la sortie de ce numéro, le témoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis; et comme il est supposé n’avoir aucun motif de préférence pour les uns plutôt que pour les autres , la probabilité qu’il choisira le n® 79 est ; en multipliant donc cette probabilité par la précédente , on aura pour la probabilité que le témoin annoncera le n® 79 dans la seconde hypothèse. 11 faut encore multiplier cette probabilité par la probaliilité de l’hypothèse ellemême; ce qui donne 70^770 pour la probabilité de l’évènement relative à cette hypothèse. Présentement , si l’on forme une fraction dont le numérateur soit la probabilité relative à la première hypothè^ , et dont le dénominateur soit la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses, on aura, par le sixième principe, la probabilité de la première hypothèse, et cette probabilité sera ~ , c’est-à-dire la véracité meme du témoin; C’est aussi la probabilité de la sortie du n® 79. La probabilité du mensonge du témoin et de la non-sortie de ce numéro est

Si le témoin, voulant tromper, avait quelque intérêt à choisir le n° 79 parmi les numéros non sortis; s’il jugeait, par exemple, qu’ayant placé sur ce numéxo une mise considérable, l’aiinonce

SUR LES PROBABILITES. 1 3q

de sa sortie augmentera son crédit; la probabilité qu'il choisira ce numéro ne sera plus, comme auparavant, ; elle pourra être alors 7 , , etc. , suivant Tintérêt qu'il aura d'annoncer sa sortie. En la supposant il faudra multiplier par cette fraction la probabilité pour avoir dans

l'hypothèse du mensonge la probabilité de l'évènement observé, qu’il faut encore multiplier par ce qui donne |x>ur la probabilité

de l'évènement dans la seconde hypothèse. Alors la probabilité de la première hypothèse, ou de la sortie du n® 79 , se réduit , par la règle précédente , à . Elle est donc très affaiblie par’ la considération de l'intérêt que le témoin peut avoir à annoncer la sortie du n® 79. A la vérité, ce hiême intérêt aujgmente la probabi\^té que le témoin dira la vérité , si le n® 79 sort. Mais cette probabilité ne peut excéder l’unité ou -ff ; ainsi la probabilité de la sortie du n® 79 ne surpassera pas Le bon sens nous dicte que cet intérêt doit inspirer de la défiance; mais le calcul en apprécie l’influence.

La probabilité à priori du numéro énoncé par le ténioin est l’unité divisée par le nombre des numéros de l’iime; elle se transforme en vertu du témoignage dans la véracité même du témoin; elle peut donc être affaiblie par ce témoi-

l4o ESSAI PHILOSOPHIQUE

gnage. Si, par exemple, riirne ne renferme que deux numéros , ce qui donne ^ pour la probabilité à priori de la sortie du n® i , et si la véracité d’un témoin qui l’annonce est cette sortie en devient moins probable. En effet , il est visible ‘ que le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté , toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse Mais s’il y a trois numéros dans l’urne , la probabilité à priori de la sortie du n° i est accrue par l’affirmation d’un témoin dont la véracité surpasse - 1 -.

Supposons maintenant que l’urne renferme 999 boules noires et une boule blanche , et qu’une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l’évènement observé, déterminée à priori dans la première h}q)othèse, sera ici, comme dans Ja question précédente, égale à fôsTjô* Mais dans l’hypothèse où le témoin trompe , la boule blanche n’est pas sortie , et la probabilité de ce cas est -n^. Il faut la multiplier par la probal^ilité du mensonge , ce qui donne pour la probabilité de l’évènement observé relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n’était que ù oô question précédente :

SUR LES PROBABILITES. I^I

cette grande différence tient à ce qu’une boule noire étant sortie y^^^émoin qui veut tromper n’a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pouij^nnoncer la sortie d’une boule blanche. Maintenant, si l’on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités , on pour la probabilité de la première hypotlièse et de la sortie d’une boule blanche , et Yi/ïV probabilité de la seconde hypo-

thèse et de la sortie d’une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait iVoVoVs > si l’iirne renfermait un million de boules dont une seule serait blanche , la sortie d’une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi comment la probabilité du mensonge croît à mesure que le fait devient plus extraordinaire.

Nous avons supposé jusqu’ici que le témoin ne se trompait point; mais si l’on admet encore la chance de son erreur, le fait extraordinaire devient plus invraisemblable. Alors au lieu de deux hypothèses, on aura les quatre suivantes, savoir: celle du témoin ne trompant point et ne se trompant point; celle du témoin ne trompant point

et se trompant; l’hypotlièse tlii témoin trompant et ne se trompant point; edk celle du témoin trompant et se trompant. En^reterminant à priori dans chacune de ces hypothèses, la [probabilité de l’évènement observé, on trouve par le sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux, égale à une fraction dont le numérateur est le nombre* des boules noires de l’urne , multiplié par la somme des probabilités que le témoin ne trompe point et se trompe , ou qu’il trompe et ne se trompe point , et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de la somme des pro* habilités que le témoin ne trom[îe point et ne se trompe point, ou qu’il trompe et se trompe à la fois. On voit par là que si le nombre des boules noires de l’urne est très grand, ce qui rend extraordinaire la sortie de la boule blanclie , la pirobabilité que le fait attesté n’est pas , approche extrêmement de la certitude.

£n étendant cette conséquence à tous les faits extraordinaires , il en résulte que la probabilité de l’erreur ou du mensonge du ténioin devient d’autant plus grande , que le fait attesn^ e^t plus extraordinaire. Quelques auteurs ont avancé le contraire, en se fondant sur ce que la vue d’vm fait extraordinaire étant parfaitement semblable à celle d’un fait ordinaire, les memes motifs doi-

, SUR LES PROBABILITES. l43

vent nous porter à croire également le témoin ,

quand il affirme l’un ou l’autre de ces faits. simple bon sens repousse une aussi étrange assertion; mais le calcul des probabilités, en confirmant l’indication du sens commun , apprécie de plus l’invraisemblance des témoignages sur les faits extraordinaires.

Ces auteurs insistent et supposent deux témoins également dignes de foi , dont le premier atteste qu’il a vu mort, il y a quinze jours, un individu que le second témoin affirme îivoir vu hier plein

de vie. T/un ou l’autre de ces faits n’ofii;e rien d’invraisemblable. La résurrection de l’individu est une conséquence de leur ensemble ; mais les témoignages ne portant point directement sur elle , ce qu’elle a d’extraordinaire ne doit point affaiblir la croyance qui leur est due. {Encjrclo^ pédie, art. Certitude.)

Cependant, si la conséquence qui résulte de l’ensemble des témoignages était impossible, l’un d’eux serait nécessairement faux ; or, une conséquence impossible est la fimite des conséquences extraordinaires , comme l’erreur est la limite des invraisemblances ; la valeur des témoignages , qui devient nulle dans le cas d'une conséquence impossible, doit donc ^tre très affaiblie dans ce-

l44 ESSA.I PHILOSOPHIQUE

lui d’une conséquence extraordinaire. C’est en effet ce que le calcul des probabilités confirme.

Pour le faire voir , considérons deux urnes A et B, dont la première contienne un million de boules blanches, et la seconde un million de boules noires. On tire de l’une de ces urnes une boule que l’on remet dans l’autre urne dont on extrait ensuite une boule. Deux témoins, l’un du premier tirage , l’autre du second , attestent que la boule qu’ils ont vu extraire est blanche , sans indiquer l’iirne dont elle a été extraite. Chaque témoignage pris isolément n’a rien d’invraisembl&ble ; et il est facile de voir que la probabilité du fait attesté est la véracité meme du témoin. Mais il suit de l’ensemble des témoignages , qu’une boule blanche a été extraite de l’urne A au premier tirage , et qu’ensuite , mise dans l’urne B , elle a reparu au second tirage , ce qui est fort extraordinaire ; car cette seconde urne renfermant alors une boule blanche sur un million de boules noires, la probabilité d’en extraire la boule blanche est tôôoôoT* Pour déterminer l’affaiblissement qui en résulte dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins , nous remarquerons que l’évènement observé est ici l’affirmation par chacun d’eux que la boule qu’il a VII extraire est blaflche. Représentons par

la probabilité qu’il énonce la vérité , ce qui peut avoir lieu dans le cas présent, lorsque le témoin ne trompe point et ne se trompe point , et lorsqu’il trompe et se trompe à la fois. On peut former les quatre hypothèses suivantes :

I®. Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d’abord été extraite de l’ume A , et la probabilité de cet évènement est ^ , puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de l’une ou de l’autre urne. Ensuite , la boule extraite mise dans l’urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet évènement est -tô~ üu ü ô i » probabilité du fait énoncé est donc Yüo'oôôT* multipliant par

le produit des probabilités et ~ que les témoins disent la vérité , on aura yô ûoVo ï r ùo P^^r la probabilité de l’évènement observé , dans cette première hypothèse.

a®. Le premier témoin dit la vérité; et le second ne la dit point , soit qu’il trompe et ne se trompe point, soit qu’il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l’urne A au premier tirage , et la probabilité de cet évènement est Ensuite cette boule ayant été mise dans l’urne B, une boule noire en a été extraite : la probabilité de cette extraction est f unsû f ; O" » àûooorà pour la probabilité

lO

i46 essai philosophique

de l’évènement composta En la multipliant par le produit des deux probabilités ~ et ^ que le premier témoin dit la vérité el que le second ne

la dit point , on aura ô o ' o ' S ' S ' o Toô' probabi-

lité de l’évènement observé dans la seconde hvpotlîèse.

3 ®. î-ie premier témoin ne dit pas la vérité , et le second l’énonce. Alors une boule noire est sortie de l’iirne B au premier tirage , et après avoir été mise dans Furne A , une boule blanche a été extraite de celte urne. La probabilité du premier de ces évènemens est et celle du second est probabilité de l’évènement

composé est donc En la multipliant par

le produit des probabilités -jV niier témoin ne dit pas la vérité , et que le second l’énonce , on aura a - nb ' oo âvlo pour la probabilité de l’évènement observé relative à cette hypothèse.

4 ”. Enfin, aucun /les témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de l’urne B au premier tirage ; ensuite ayant été mise dans l’urne A , elle a reparu au second tirage : la probabilité de cet évènement composé est 2000002 ' En la multipliant par le produit des probabilités ^ que chaque témoin ne dit pas la vé-

rilé , on aura g ôo 000200 F^iir la probabilité de l’évènement observé dans cette hypothèse.

Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins , savoir , qu’une boule blanche a été extraite à chacun des tirages, il faut diviser la probabilité correspondante à la première hypotlièse par la somme des probabilités relatives aux quatre hypothèses ; et alors on a pour cette probabilité — éo o ooHà ^ tion extrêmement petite.

Si les deux témoins affirmaient, le premier, qu’une boule blanche a été extraite de l’une de.s deux urnes A et B ; le second , qu’une boule blanche a été pareillement extraite de l’une des deux urnes A' et B', en tout semblables aux premières , la probabilité de la chose énoncée pai' les deux témoins serait le produit des probabilités de leurs témoignages ou -f— î serait donc cent quatre-vingt mille fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien, dans le premier cas, la réapparition au second tirage de la boule blanche extraite aü premier, conséquence extraordinaire des deux témoignages, en affaiblit la valeur.

Nous n’ajouterions point foi au témoignage d’un homme qui nous attesterait qu’en projetant cent dés en l’air, ils sont tous retombés sur la

l48 • ESSAI PHILOSOPHIQUE

même face. Si nous avions été nous-mêmes spec* tate'urs de cet évènement, nous n’en croirions nos propres yeux qu’après en avoir scrupuleusement examiné toutes les circonstances , et après en avoir rendu d’autres yeux témoins, pour être bien sûrs qu’il n’y a eu ni hallucination ni prestige. Mais après cet examen, nous ne balancerions point à l’admettre, malgré son extrême invraisemblance; et personne ne serait tenté, pour l’expliquer, de recourir à un renversement des lois de la vision. Nous devons en conclure que la probabilité de la constance des lois de la nature est pour nous supérieure à celle que l’évènement dont il s’agit ne doit point avoir lieu , probabilité supérieure elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous regardons comme incontestables. On peut juger par là du poids immense de témoignages nécessaire pour admettre ime suspension des lois naturelles , et combien il serait abusif d’appliquer à ce xas les règles ordinaires de la critique. Tous ceux qui , sans offrir cette immensité de témoignages, étayent ce qu’ils avancent de récits d’évènemens contraires à ces lois, affaiblissent plutôt qu’ils n’augmentent la croyance qu’ils cherchent à inspirer; car alors ces récits rendent très probable l’erreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue la croyance

sua LES PRODABlLlTis. 1 40

des hommes éclairés, accroît souvent celle du vulgaire, toujours avide du merveilleux.

11 y a des choses tellement extraordinaires , que rien ne peut en balancer l’invraisemblance. Mais celle-ci , par l’effet d’une opinion dominante, peut être affaiblie au point de paraître inférieure à la probabilité des témoignages ; et quand cette opinion vient à changer, un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui lui a donné naissance, n’offre aux siècles suivans qu’une nouvelle preuve de l’extrême influence de l’opinion générale sur les meilleurs esprits. Deux grands hommes du siècle de Louis XIV, llacine et Pascal , en sont des exemples frappans; Il est affligeant de voir avec quelle complaisance Racine, ce peintre admirable du cœur humain et le poète le plus parfait qui fut jamais ,. rapporte comme miraculeuse la guérison de la jeune Perrier, nièce de Pascal et pensionnaire à l’abbayé de Port-Royal : il est pénible de lire les raisonnemens par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle devenait nécessaire à la religion, pour justifier la doctrine des religieuses de cette abbaye ,, alors persécutées par les Jésuites. La jeune Perrier était, depuis trois ans et demi,* affligée d’une fistule lacrymale : elle toucha de son œil malade une relique que l’on prétendait, être une

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des épines de la couronne du Sauveur, et elle se crut à Tinstant guérie. Quelques jours après, les médecins et les chirurgiens constatèrent la guérison , et ils jugèrent que la nature et les remèdes n’y avaient eu aucune part. Cet évènement, arrivé en i656, ayant fait grand bruit , « tout Paris se » porta, dit Racine, à Port-Royal. La foule crois- » sait de jour en jour, et Dieu même semblait » prendre plaisir à autoriser la dévotion des |>eu- » pies , par la quantité de miracles qui se firent » en cette église. » A cette époque , les miracles et les sortilèges ne paraissaient pas encore invraisemblables , et l’on n’hésitait point à leur attribuer les singularités de la nature, que l’on ne pouvait autrement expliquer.

Cette manière d’envisager les effets extraordinaires, se retrouve dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Ix)uis XIV, dans V Essai même sur V entendement humain , du sage Locke, qui dit , en parlant des degrés d’assentiment : « Quoique la commune expérience et le » cours ordinaire des choses aient avec raison » une grande influence sur l’esprit des hommes , » pour le^ porter à donner ou à refuser leur rt conseù.tement à une chose qui leur est proposée » à croire, il y a pourtant im cas où ce qu’il y a » d’étrange dans un fait, n’affaiblit point l’assen-

SUR LES PROUAOILlTés. l5l

» liment que nous devons donner au témoignage » sincère sur lequel il est* fondé. Lorsque des » évènemens surnaturels sont conformes aux » fins que se propose celui qui a le pouvoir de » changer le cours de la nature , dans uii tel » temps et dans de telles circonstances, ils peu- » vent être d'autant plus propres à trouver » créance dans nos esprits, qu’ils sont plus au- » dessus des observations ordinaires , ou même » qu’ils y sont plus opposés. » Les vrais principes de la probabilité des témoignages ayant été ainsi méconnus des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de ses progrès, j’ai cru devoir exposer avec étendue les résultats du calcul sur cet important objet.

Ici se présente naturellement la discussion d’un argument fameux de Pascal, que Craig',' mathé* maticien anglais, a reproduit sous une forme géométiique. Des témoins attestent qu’ils tiennent'de la Divinité même, qu’en se conformant à telle chose , on jouira , non pas d’une ou* de demE , mais d’une infinité de vies heureuses. Quelque faible que soit la probabilité des témoignages, pourvu qu’elle ne soit' pas infiniment petite, il est clair que l’avantage de ceux qui* se conforment à la chose prescrite, est infini, puisqu’il est le produit de cette probabilité par un

l5a ESSAI PHILOSOPHIQUE

bien infini ; on ne doit donc point balancer à se procurer cet avantage. . •

Cet argument est fondé sur le nombre infini des vies heureuses promises au nom de la Divinité j>ar les témoins; il faudrait donc faire ce qu’ils prescrivent, précisément parce qu’ils exagèrent leurs promesses au-delà de toutes limites , conséquence qui répugne au bon sens. Aussi le calcul nous fait-il voir que cette exagération meme affaiblit la probabilité de leur témoignage , au point delà rendre infiniment petite ou nulle. En effet, ce cas revient à celui d’un témoin qui annoncerait la sortie du numéro le plus élevé d’une urne remplie d’un grand nombre de numéros dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à annoncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien cet intérêt affaiblit son témoignage. En n’évaluant qu’à \ la probabilité que si le témoin trompe il choisira le plus grand numéro, le calcul donne la probabilité de son annonce plus petite qu’une fraction dont le numérateur est l’unité ,et dont le dénominateur est l’unité plus la moitié du produit du nombre des numéros , par la probabilité du mensonge considérée à priori ou indépendamment de l’annonce. Pour assimiler ce cas à celui .de l’argument de Pascal , il suffit de représenter par les numéros de

SUR LES PROBABILITÉS. . l53

l’iirnetous les nombres possibles déviés heureuses, ce qui rend le nombre de ces numéros infini ; et d’observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand intérêt, pour accréditer leur mensonge, à promettre une éternité de bonheur. L’expression de la probabilité de leur témoignage devient alors infiniment petite. En la multipliant par le nombre infini de vies heureuses promises , l’infini disparaît du produit qui exprime l’avantage résultant de cette promesse , ce qui détruit l’argument de Pascal.

Considérons présentement la probabilité de l’ensemble de plusieurs témoignages sur un fait déterminé. Pour fixer les idées, supposons que ce fait soit la sortie d’un numéro d’une urne qui en renferme cent et dont on a extrait un seul numéro. Deux témoins de ce tirage annoncent que le n° 2 est sorti , et l’on demande la probabilité résultante de l’ensemble de ces témoignages. On peut former ces deux hypothèses ; les témoins disent la vérité; les témoins trompent. Dans la première hypothèse, le n® 2 est sorti, et la pro;babilité de cet évènement est H la multiplier par le produit des véracités des témoins, véracités que nous supposerons être et : on aura donc* yo f, 0 o poiii* la probabilité de l’évènement observé dans cette hypothèse. Dans la se-

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conde , le r>. n’est pas sorti , et la probabilité de cet évènement est Mais l’accord des témoins exige alors qu’en cherchant à tromper, ils choisissent tous deux le numéro 2 sur les 99 numéros non sortis : la probabilité de ce choix , si les témoins ne s’entendent point , est le produit de la fraction par elle-même ; il faut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble, et par le produit des probabilités 7V A témoins trompent; on aura ainsi ^ ^ pour la

probabilité de l’évènement observé dans la seconde hypothèse. Maintenant on aura la probabilité du fait attesté ou de la sortie du n® 2, en divisant la probabilité relative à la première hypothèse par la somme des probabilités relatives aux deux hypothèses ; cette probabilité sera donc et la probabilité de la non-sortie de ce numéro et du mensonge des témoins sera ottsô*

Si l’urne ne renfermait que les numéros 1 et 2, on trouverait de la meme manière pour la probabilité de la sortie du n° 2 , et par conséquent ^ pour ia probabilité du mensonge des témoins^ probabilité quatre-vingt-quatorze fois au moins plus grande que la précédente. On voit par là combien la probabilité du mensonge des témoins diminue , quand le fait qu^ils attestent est moins probable en lui-ménie. En effet, on conçoit qu’a-

SUR LES PROBABILITÉS. l5v5

lors l’accord des témoins, lorsqu’ils trompent, devient plus difficile , à moins qu’ils ne s’entendent , ce que nous ne supposons pas ici.

Dans le cas précédent où l’urne ne renfermant que deux numéros , la probabilité à prion du fait attesté est , la probabilité résultante des témoignages est le produit des véracités des témoins , divisé par ce produit ajouté à celui des probabilités ^Respectives de leur mensonge. .

Il nous reste à considérer l’influence du temps sur la probabilité des faits transmis par une chaîné traditionnelle de témoins. Il est clair que cette probabilité doit diminuer à mesure que la chaîne se prolonge. Si le fait n’a aucune probabilité par lui-méme,tel que la sortie d’un numéro d’une urne qui en renferme une infinité , celle qu’il acquiert par les témoignages décroît suivant le produit continu de la véracité des témoins. Si le fait a par lui-même une probabilité ; si , par exemple, ce lait est la sortie du n® 2 d’une urne qui en renferme un nombre fini , et dont il est certain qu’on a extrait lui seul numéro; ce que la chaîne traditionnelle ajoute à cette probabilité décroît suivant un produit continu, dont le premier facteur est le rap port du nombre des numéros dé Turne moins un à ce même nombre, et dont chaque autre facteur est la véracité de chaque témoin ,, diminuée du

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rapport de la probabilité de son mensonge au nombre des numéros de T urne moins un ; en sorte que la limite de la probabilité du fait est celle de ce fait considérée â priori ou indépendamment des témoignages , probabilité égale à T unité divisée par le nombre des numéros de l’urne.

I/action du temps affaiblit donc sans cesse la probabilité des faits historiques , comme elle altère les monumens les plus durables. On peut , à la vérité , la ralentir en multipliant et conservant les témoignages et les monumens qui les étayent. L’imprimerie offre pour cet objet un grand moyen malheureusement inconnu des anciens. Malgré les avantages infinis qu’elle procure, les révolutions physiques et morales dont la surface de ce globe sera toujours agitée, finiront, en se joignant à l’effet inévitable du temps, par rendre douteux , après des milliers d’années , les faits historiques aujourd’hui les plus certains.

Craig a essayé de soumettre au calcul l’affaiblissement graduel des preuves de la religion chrétienne : en supposant que le monde doit finir à l’époque où elle cessera d’étre probable , il trouve que cela doit arriver i454 ans après, le moment où il écrit. Mais son analyse est aussi fautive que son hypothèse sur la durée du monde, est bizarre.

Des choix et des décisions des assemblées.

La probabilité des décisions d’nne assemblée dépend de la pluralité des voix , des lumières et de l’impartialité des membres qui la composent. Tant de passions et d’intérêts particuliers y mêlent si souvent leur influence, qu’il est impossible de soumettre au calcul cette probabilité. Il y a cependant quelques résultats généraux dictés par le simple bon sens , et que le calcul confirme. Si , par exemple , l’assemblée est très peu éclairée sur l’objet soumis à sa décision ; si cet objet exige des considérations délicates, ou si la vérité sur ce point est contraire à des préjugés reçus , en sorte qu’il y ait plus d’un contre un à parier que chaque votant s’en écartera; alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise , et la crainte à cet égard sera d’autant plus fondée , que l’assemblée sera plus nombreuse. Il importe donc à la chose publique que les assemblées n’aient à prononcer que sur des objets à la portée du plus grand nombre : il lui imjwrte que l’instruction soit généralement répandue, et que de bons ouvrages fondés sur la raison et sur l’expérience éclairent ceux qui sont appelés à décider du sort de lenrs semblables» ou à les gouverner, et les

prciminissent d’avance contre les faux aperçus et les préventions de l’ignorance. Les savans ont de fréquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus trompent souvent, et que le vrai n’est pas toujours vraisemblable.

Il est diffidle de connaître et même de définir le vœu d’une assemblée , au milieu de la variété des opinions de ses membres. Essayons de donner sur cela quelques règles , en considérant les deux cas les plus ordinaires , l’élection entre plusieurs candidats , et celle entre plusieurs propositions relatives au meme objet.

lorsqu’une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui se présentent pour une ou plusieurs places du même genre, ce qui paraît le plus simple est de faire écrire à chaque votant , sur un billet, les noms de tous les candidats, suivant l’ordre du mérite qu’il leur attribue. En supposant qu’il les classe* de bonne foi, l’inspection de ces billets fera connaître les résultats des élections , de quelque manière que les candidats soient comparés entre eux ; en sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus à cet égard. Il s’agit présentement d’en conclure l’ordre de préférence , que les billets établissent entre les candidats. Imaginons que l’on donne à chaque électeur une urne qui contienne

SUR LFS PROBABILITÉS. 1 5c)

une infinité de boules, au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de mérite des candidats : concevons encore qu’il tire de son urne un nombre de boules proportionnel au mérite de chaque candidat, et supposons ce nombre écrit sur un billet, à coté du nom du candidat. Il est clair qu’en faisant une somme de tous les nombres relatifs à chaque candidat sur chaque billet , celui de tous les candidats qui aura la plus grande somme sera le candidat que l’assemblée préfère; et qu’en général , l’ordre de préférence des candidats sera celui des sommes relatives à chacun d’eux. Mais les billets ne marquent point le nombre des boules que chaque électeur donne aux candidats; ils indiquent seulement que le premier en a plus que le second, le second plus que le troisième, et ainsi de suite. En supposant donc au premier, sur un billet donné , un nombre quelconque de boules , toutes les combinaisons des nombres inférieurs qui remplissent les conditions précédentes, sont également admissibles; et l’on aura le nombre de boules relatif à chaque candidat , en faisant une somme de tous les nombres que chaque combinaison lui donne , et en la divisant par le nombre entier des combinaisons. Une analyse fort simple fait voir que les nombres qu’il faut écrire . sur chaque billet à côté du dernier nom, de l’a-

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vant-dernier, etc. , sont proportionnels aux. termes de la progression arithmétique i, 2 , 3 , etc. En écrivant donc ain.si sur chaque billet les termes de cette progression, et ajoutant les termes relatifs à chaque candidat sur ces billets, les diverses sommes indiqueront par leur grandeur Tordre de préférence qui doit être établi entre les candidats. Tel est le mode d’élection qu’indique la Théorie des Probabilités. Sans doute, il serait le meilleur si chaque électeur inscrivait su» son billet les noms des candidats dans Tordre du mérite qu’il leur attribue. Mais les intérêts particuliers et beaucoup de considérations étrangères au mérite doivent troubler cet ordre , et faire placer quelquefois au dernier rang le candidat le plus redoutable à celui que Ton préfère ; ce qui donne trop d’avantage aux candidats d’un médiocre mérite. Aussi l’expérience a-t-elle fait abandonner ce mode d’élection dans les établissemens qui l’avaient âdopté.

L’élection à la majorité absolue des suffrages réunit à la certitude de n’admettre aucun des candidats que cette majorité rejette, l’avantage d’exprimer le plus souvent le vœu de l’assemblée. Elle coïncide toujours avec le mode précédent lorsqu’il n’y a que deux candidats. A la vérité , elle expose à l’inconvénient de rendre les élec- •

SUR LES PROBABILITÉS. l6f

tions interminables. Mais l’expérience a fait voir que' cet inconvénient est nul , et que le désir général de mettre fin aux élections réunit bientôt la majorité des suffrages sur un des candidats.

Le choix entre plusieurs propositions relatives au meme objet, semble devoir être assujetti aux memes règles que l’élection entre plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas cette différence, savoir : que le mérite d’un candidat n’exclut point celui de ses concurrens; au lieu que si les propositions entre lesquelles il faut choisir sont contraires, la vérité de l’une exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.

•Donnons à chaque votant une urne qui renferme un nombre infini de boules , et supposons qu’il les distribue sur les diverses propositions, en raison des probabilités respectives qu’il leur attribue. 11 est clair que le nombre total des boules exprimant la certitude , et le votant étant, par l’hypothèse , assuré que l’une des propositions doit être vraie , il répartira ce nombre en entier sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties de manière qu’il y en ait plus sur la première proposition du billet que sur la seconde , plus sur la seconde que

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sur la troisième, etc. ; à faire les sommes de tous les nombres de boules relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons , et à diviser cette somme par le nombre des combinaisons : les quotiens seront les nombres de boules que Ton doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve par Tanalyse , qu’en partant de la dernière proposition pour remonter à la première , ces quotiens sont entre eux comme les quantités suivantes: 1° l’unité divisée par le nombre des propositions; 2° la quantité précédente augmentée de l’unité divisée par le nombre des propositions moins une ; 3 ® cette seconde quantité augmentée de l’unité divisée par le nombre des propositions moins deux , et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet ces quantités à coté des propositions correspondantes; et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition sur les divers billets, les sommes indiqueront par leur grandeur Tordre de préférence que l’assemblée donne à ces propositions.

Disons un mot de la manière de renouveler les assemblées qui doivent changer en totalité, dans un nombre d’années déterminé. Le renouvellement doit-il se faire à la fois , ou convient-il de le partager entre ces années? D’après ce dernier mode, l’assemblée serait formée sous Tin-

Huence des divei'ses opinions dominantes pendant la durée de son renouvellement ; l’opinion qui y régnerait alors serait donc très probablement la moyenne de toutes ces opinions. L’assemblée recevrait ainsi du temps le même avantage que lui donne l’extension des élections de ses membres à toutes les parties du territoire qu’elle repré^sente. Maintenant, si l’on considère ce que l’expérience n’a que trop fait connaître , savoir : que les élections sont toujours dirigées dans le sens le plus exagéré des opinions dominantes; on sentira combien il est utile de tempérer ces opinions les unes par les autres , au moyen d’un renouvellement partiel.

De kl probabilité des Jugernens des tribunaux.

L’analyse confirme ce que le simple bon sens nous dicte , savoir : que la bonté des jugernens est d’autant plus probable, que les juges sont plus nombreux et plus éclairés. Il importe donc que les tribunaux d’appel remplissent ces deux conditions. Le^ tribunaux de première instance, plus rapprochés des justiciables, leur offrent l’avantage d’un premier jugement déjà probable, et dont ‘ils se contentent souvent, soit en transigeant, soit en se désistant de leurs prétentions.

l64 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Mais si l’incertitude de l’objet en litige et son importance déterminent un plaideur à recourir au tribunal d’appel, il doit trouver dans une plus grande probabilité d’obtenir un jugement équitable, plus de sûreté pour sa fortune , et la compensation des embarras et des frais qu^une nouvelle procédure entraîne. C’est ce qui n’avait point lieu dans l’institution de l’appel réciproque des tribunaux de département , institution par là très préjudiciable aux intérêts des citoyens. Il serait peut-être convenable et conforme au calcul des probabilités,' d’exiger une majorité de deux voix au moins, dans un tribunal d’app^, pour infirmer la sentence du tribunal inférieur. On obtiendrait ce résultat si le tribunal d*appel étant composé d’un nombre pair de juges , la sentence subsistait dans le cas de l’égalité des voix.

Je vais considérer particulièrement les juge- , mens en matière criminelle.

Il faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé , les plus, fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n’est jamais qu’une probabilité; et l’expérience n’a que trop fait connaître les erreurs dont les jugemens criminels, ceux mêmes qui paraissent être les plus justes , sontencore susceptibles. L’impossibilité de réparer

SliR LES PROBABILITES.

ces erreurs est le plus solide argument des philosophes qui ont voulu proscrire la peine dé mort. Nous devrions donc nous abstenir de juger, s’il nous fallait attendre l’évidence mathématique. Mais le jugement est commandé par le danger qui résulterait de l’impunité du crime. Ce jugement se réduit, si je ne me trompe, à la solution de la question suivante. La preuve du délit de l’accusé a- 1- elle le haut de^é de probabilité nécessaire pour que les citoyens aient moins k redouter les erreurs des tribunaux , s’il est innocent et condamné , que ses nouveaux attentats et ceux des malheureux qu’enhardirait l’exemple de son impunité s’il était coupable et absous? La solution de cette question dépend de plusieurs élémens très difficiles à connaître. Telle est l’imminence du danger qui menacerait la société si l’accusé criminel restait impuni. Quelquefois ce danger est si grand, que le magistrat se voit contraint de renoncer aux formes sagement établies pour la sûreté de l’innocence. Mais ce qui rend presque toujours la question dont il s’agit insoluble, est l’impossibilité d’apprécier exactement la probabilité du délit et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l’accusé. Chaque juge , à cet égard , est forcé de s’en rapr porter à son propre tact. Il forme son opinion,