SUR

Cet Essai philosophique est le développement d’une leçon sur les probabilités , que je donnai en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange, par un décret de la Convention nationale. J’ai publié depuis peu sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici , sans le secours de l’Analyse, les principes et les résultats généraux de cette théorie , en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. On peut meme dire , à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons

a ESSAI PHILOSOPHIQUE

savoir avec certitude , dans les sciences mathé^ matiques elles-mêmes, les principaux moyens de parvenir à la vérité , l’induction et l’analogie se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines se rattache à la théorie exposée dans cet Essai. On y verra sans doute avec intérêt , qu’en ne considérant même dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l’humanité , que les chances heureuses qui leur sont constamment attachées , il y a un grand avantage à suivre ces principes , et de graves inconvéniens à s’en écarter : leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les réflexions répandues dans cet Essai , puissent mériter l’attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne de les occuper.

De la Probabilité.

Tous les événemens, ceux mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature , en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du Soleil. Dans l’ignorance des liens qui les unissent au système entier de l’iiTiivers , on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu’ils ar-

SUR LES PROBADILITKS. 3

Hvaient et se succédaient avec régularité , ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires ont été successivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l’expression de l’ignorance où nous

sommes des véritables causes.

IjCs évéïiemens actuels ont , avec les précédens, une liaison fondée sur le principe évident, qu’une chose ne peut pas commencer d’étre , sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffi-sanie, s’étend aux actions memes que l’on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant, leur donner naissance ; car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables , elle agissait dans l’une et s’abstenait d’agir dans l’autre , son choix serait un effet sans cause : elle serait alors , dit Leibnitz , le hasard aveugle des épicuriens. L’opinion contraire est une illusion de l’esprit qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes , se persuade qu’elle s’est déterminée d’elle-méme et .sans motifs.

Nous devons donc envisager l’état présent de l'iinivers , comme l’effet de son état antérieur.

'4 fssaï philosophique

et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui , pour un instant donné , connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse , embrasserait dans la même formule les mouvemens des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir comme le passé, serait présent à sès yeux.

‘ L’esprit humain offre , dans la perfection qu’il a su donner à l’Astronomie , une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointe^s à celle de la pesanteur universelle, l’ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques , les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à queJques autres objets de ses connaissances , il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés , et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vénté , tendent à le rapprocher sans cesse de l’intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance , propre à l’espèce humaine, est ce qui la rend supé-

rieure aux animaux ; et ses progrès en ce genre , distinguent les nations et les siècles , et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu’ autrefois, et à une époque qui n’est pas encore bien reculée , une pluie ou une sécheresse extrême , ‘ une comète traînant après elle une queue fort étendue , les éclipses , les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste.

On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours (les planètes et du Soleil : l’observation eût bientôt fait sentir l’inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles , semblaient contrarier l’ordre de la nature, on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre , les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de i456 répandit la terreur dans l’Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre , après quatre de ses révolutions, a excité panni nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde , acquise dans cet intervalle , avait dissi|)é les craintes enfantées par l’igno-

rance des vrais rapports de l’homme avec riiiiivers ; et Halley ayant reconnu l’identité de cette comète, avec celles des années i 53 i, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience, ce retour qui devait confirmer l’une des plus grandes découvertes que l’on eût faites dans les sciences , et accomplir la prédiction de Sénèque , lorsqu’il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d’une énorme distance : « Le jour viendra que par une étude suivie, de » plusieurs siècles , les choses actuellement ca- » chées paraîtront avec évidence ; et la postérité » s’étonnera que des vérités si claires nous aient » échappé. » Clairaut entreprit alors de soumettre à l’analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l’action des deux plus grosses planètes , Jupiter et Saturne : après d’immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d’avril 17^9, ce que l’observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l’Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d’air ou de vapeurs , est réglée d’une manière aussi certaine.

que les orbites planétaires : il n’y a de difiFérences entre elles, que celle qu’y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette

ignorance , en partie à nos connaissances. Nous

savons que sur trois ou un plus grand nombre

d’évènemens, un seul doit’ arriver ; mais rien ne

porte à croire que l’un d’eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d’indécision , il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. 11 est cependant probable qu’un de ces évènemens pris à volonté , n’arrivera pas , parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence, tandis qu’un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les évènemens du même genre , à un certain nombre de cas également possibles , c’est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence , et à déterminer le nombre de cas favorables à l’évènement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles , est la mesure de cette probabilité qui n’est ainsi qu’une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables , et dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.

La notion précédente de la probabilité suppose qu’en faisant croître dans le même rapport, le nombre des cas favorables, et celui de tous les cas possibles , la probabilité reste la même. Pour s’en convaincre, que l’on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires , et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne , attachées à un fil qui se rompt au moment où l’on saisit l’une d’elles pour l’extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l’une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l’on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules, ne se rompent point, il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l’extraction des boules noires; seulement, on tirera de l’urne deux boules à la fois; la probabilité d’extraire une boule noire de l’urne sera donc la même qu’ auparavant. Mais alors on a évidemment le cas de l’urne B, avec la seule différence, que les trois boules de cette dernière urne soient remplacées par trois systèmes de deux boules iu-, variablement unies.

Quand tous les cas sont favorables à un évènement, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égale à l’unité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu’il y ait une différence essentielle entre les deux états de l’esprit, lorsqu’une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu’il aperçoit encore une petite source d’erreur.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles, est une des causes principales de la diversité des opinions que l’on voit régner sur les memes objets. Supposons, par exemple, que l’on ait trois urnes A, B, C, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches , on doit tirer une boule de l’urne C , et l’on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si l’on ignore quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires , en sorte que l’on n’ait aucune raison de croire qu’elle est plutôt C que B ou A; ces trois hypothèses paraîtront également possibles, et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l’extraire est égale à un tiers. Si l’on sait que l’urne A ne

lO ESSAI PHILOSOPHIQUE

contient que des boules blanches , Tindécision ne porte plus alors que sur les urnes B et G , et la probabilité que la boule extraite de Turne C sera noire est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude , si Ton est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

C’est ainçi que le meme fait , récité devant une nombreuse assemblée , obtient divers degrés de croyance , suivant l’étendue des connaissances des auditeurs. Si l’homme qui le rapporte en est intimement persuadé , et si , par son état et par son caractère , il inspire une grande confiance ; son récit, quelque extraordinaire qu’il soit, aura, pour les auditeurs dépourvus de lumières , le meme degré de vraisemblance qu’un fait ordinaire rapporté par le meme homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu’un d’eux sait que le meme Élit est rejeté par ^d’autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire, soit à des faits bien avérés , soit aux lois immuables de la nature.

C’est à l’influence de Topinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a

coutume de donner sa confiance sur les plus im- • portails objets de la vie, qu’est due la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d’ignorance , ont couvert la face du monde. La Magie et l’Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l’enfance , adoptées sans examen, et n’ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très longtemps, jusqu’à ce qu’enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l’esprit des hommes éclairés,

dont ensuite l’opinion les a fait disparaître chez

le peuple meme, par le pouvoir de l’imitation et de l’habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral , établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu’il maintient ailleurs avec le meme empire. Quelle indulgence ne devons -nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des |K)ints de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits; mais auparavant, examinons sévèrement nos propres opinions , et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de

Principe.

II* Principe.

la manière dont on détermine l’influence des données qui sont connues. La tliéorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu’il n’est pas surprenant qu’avec les memes données , deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très compliquées. Expliquons ici les principes généraux de cette Théorie.'

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui , comme on l’a vu , est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles. '

Mais cela suppose les divers cas également possibles. S’ils ne le sont pas, on déterminera d’abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que l’on projette en l’air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées , que nous nommerons croix et pile^ soient parfaitement semblables. Cherclions la

SUR LES PROBABILITiS.

probabilité d’amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu’il peut arriver quatre cas également possibles , savoir, cwix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups.

Les trois premiers cas sont favorables à l’évènement dont on cherche la probabilité, qui, par * conséquent, est égale à -J ;*en sorte qu’il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu que trois cas dilférens , savoir : croix au premier coup , ce qui dispense d’en jouer un second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à -|, si l’on considérait, avec d’Alembert, ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d’amener croix au premier coup est , tandis que celle des deux autres cas est ^ ; le premier cas étant un évènement simple qui correspond aux deux évènemens composés , croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant , si , conformément au second principe , on ajoute la possibilité \ de croix au premier coup, à la possibilité j de pile arri-

111* Priucipc.

î4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

vant au premier coup et croix au secontl , oh aura -y pour la probabilité cherchée , ce qui s’accorde avec ce que l’on trouve dans la supposition où l’on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas à des cas également possibles.

Un des points les plus importans de la théorie des Probabilités , et celui qui prête le plus aux illusions , est la manièi'e dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les évènemens sont indépendans les uns des autres , la probabilité de l’existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d’amener un as avec un seid dé, étant un sixième ; celle d’amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trente- sixième. En effet , chacune des faces de l’un pouvant se combiner avec les six faces de l’autre , il y a trente- six cas également possibles , parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu’un évènement simple dans les méme^ circonstances , arrivera de suite un nombre donné de fois, est égale k la probabilité de cet événement simple , élevée à une puissance indiquée [>ar ce nombre. Ainsi les puis-

SUR LES PROBABILITÉS.' l5

sances successives d’une fraction moindre que l’unité , diminuant sans cesse , un évènement qui dépend d’une suite de probabilités fort grande , peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu’un 'fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l’ait transmis au second , le second au troisième , et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à : celle du fait , résultante des témoignages , sera moindre qu’un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu’à l’extinction de la clarté des objets , par l’interposition de plusieurs morceaux de verre; un nombre de morceaux peu considérable , sufiSsant pour dérober la vue d’un objet qu’un seul morceau laisse apercevoir d’une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d’attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu’ils sont vus à travers’ un grand nombre de générations successives : plusieurs événemens historiques, réputés certains, seraient au moins douteux , si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques , les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent.

l6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Dans les applications de l’Analyse à la Physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n’est déduite de ce qui la précède , que d’une manière vraisemblable ; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l’erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences très éloignées du principe.

IV® Principe. Quand deux évènemens dépendent l’un de l’autre, la probabilité de l’évènement composé est le produit de la probabilité du premier évènement , par la probabilité que cet évènement étant arrivé , l’autre arrivera. Ainsi , dans le cas précédent de trois urnes A , B , C , dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires , la probabilité de tirer une boule blanche de l’urne C est | , puisque sur trois urnes , deux ne contiennent que des boules de cette couleur.

Mais lorsqu’on a extrait une boule blanche de l’urne C, l’indécision relative à celle des urnes qui ne renferment que des boules noires , ne portant plus que sur les urnes A et B , la probabilité d’extraire une boule blanche de l’iirne B est i, le produit de | par -j, ou est donc la

■ SUR LES PRORARILITÉS. I7

probabilité d’extraire à la fois des urnes B et C , deux boules blanches. En effet , il est nécessaire pour cela , que l’iirne A soit celle des trois urnes qui contient des boules noires ; et la probabilité de ce cas est évidemment -j.

On voit par cet exemple , l’influence des évènemens passés sur la probabilité des évènemens futurs. Car la probabilité d’extraire une boule blanche de l’urne B , qui primitivement est ^ , devient | lorsqu’on a extrait une boule blanche de l’urne C : elle se changerait en certitude si l’on avait extrait une boule noire de la meme urne. On déterminera cette influence , au moyen du principe suivant, qui est un corollaire du précédent.

Si l’on calcule à priori, la probabilité de l’évè- v® Principe, nement arrivé , et la probabilité d’un évènement composé de celui-ci et d’un autre qu’on attend ; la seconde probabilité , divisée par la première , sera la probabilité de l’événement attendu , tirée de l’événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l’influence du passt* sur la probabilité de l’avenir. Supposons qu’au jeu de cwix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul, nous serons portés k croire que dans la constitution de la pièce , il '

VI« Principe.

existe une cause constante qui le favorise. Ainsi , dans la conduite de la vie , de bonheur constant est une preuve d’habileté , qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l’instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l’état d’iine indécision absolue ; si , par exemple , on change de pièce à chaque coup , au jeu de croix ou pile,' le passé ne peut répandre aucune lumière sur l’avenir, et il serait absurde d’en tenir compte.

Chacune des causes auxquelles un évènement observé peut être attribué , est indiquée avec d’autant plus de vraisemblance , qu’il est plus probable que cette cause étant supposée exister, l’évènement aura lieu ; la probabilité de l’existence d’une quelconque de ces causes est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l’évènement , résultante de cette cause , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes : si ces diverses causes , considérées à priori, sont inégalement probables , il faut , au lieu de la probabilité de l’évenement , résultante de chaque cause , employer le produit de cette probabilité , par la possibilité de la cause elle-même. C’est le principe fondamental, de cette branche de l’ana-

SUR ’ LFS PROBABILITÉS.

lyse des hasards , qui consiste à remonter des évènemens aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évènemens réguliers , à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces évènemens sont moins possibles que les autres, et qu’au jeu de croix ou pile^ par exemple, la combinaison dans laquelle croix arrive vingt fois de suite , est moins facile à la nature , que celles où cntix et pile sont entremêlés d’une façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les évènemens passés influent sur la possibilité des évènemens futurs, ce qui n’est point admissible. Les combinaisons régulières n’arrivent plus rarement, que parce qu’elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause , là où nous apercevons de la symétrie , ce n’est pas que nous regardions un évènement symétrique , comme moins possible que les autres ; mais cet évènement devant être l’effet d’une cause régulière, ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table, des caractères d’imprimerie disjxisés dans cet ordre , Constantinople; et nous jugeons que cet arrangement n’est pas l’effet du hasard , non |>orce qu’il est moins possible que les aiitres,

•^o ESSAI PHILOSOPHIQUE

puisque si ce mot n’était employé dans aucune langue , nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière; mais ce mot étant en usage parmi nous , il est incomparablement plus probable qu’une personne aura disposé ainsi les caractères précédens, qu’il ne l’est que cet arrangement est dû au hasard.

C’est ici le lieu de définir le mot extraordiflaire. Nous rangeons par la pensée , tous les évènemens possibles en diverses classes ; et nous regardons comme extraordinaires ceux des classes qui en comprennent un très j>etit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile^ l’arrivée de croix cent fois de suite nous parait extraordinaire, j>arce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups , étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d’une boule blanche , d’une urne qui , sur un million de boules , n’en contient qu’une seule de cette couleur, les autres étant noires , nous parait encore extraordinaire , parce que nous ne formons que deux classes d’évènemens , relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n® 47581 3 , par exemple, d’une urne qui reii-

SUR LES PRORABILITJÉS.

ferme un- million de numéros, nous semble un évènement ordinaire ; parce que comparant individuellement les numéros, les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n’avons aucune raison de croire que l’un d’eux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède , nous devons généralement conclure que plus un fait est extraordinaire , plus il a besoin d’étre appuyé de fortes preuves. Car ceux qui l’attestent, pouvant ou tromper, ou avoir été trompés , ces deux causes sont d’autant plus probables, que la réalité du fait l’est moins en elle-même. C’.est ce que l’on verra particulièrement , lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

La probabilité d’un évènement futiu* est la vu® Principe, somme des produits de la probabilité de chaque cause , tirée de l’évènement observé , par la prohabilité que cette cause existant , l’évènement futur aura lieu. L’exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche, ou noire. •

On extrait une de ces boules , que l’on remet en- ^ suite dans l’urne , pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages , on ftit amené des boides blanches ; on

demande la probabilité d’amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses : ou Tune des boules est blanche , et l’autre noire; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l’événement observé est J : elle est l’unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, en regardant. ces hypothèses comme autant de causes, on aura pour le sixième principe, -g- et pour leurs probabilités- respectives. Or, si la première hypothèse a lieu , la probabilité d’extraire une boule blanche au troisième tirage est \ : elle égale l’unité dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités, par celles des hypothèses correspqndantes, la somme des produits ou 7^ sera la probabilité d’extraire une boulé blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d’un événement simple est inconnue, on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu’à l’ unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses , tirée de l’évènement observé , est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l’évènement dans cette hypo- Üièse , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les

SUR LES PROBABILITES.

hyjK)thèses. Ainsi la probabilité que la possibilité de Tévènenient est comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant , si l’on multiplie chaque fraction par la probabilité de l’évènement futur, déterminée dans l’hypothèse correspondante, la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe , la probabilité de l’évènement futur, tirée de l’évènement observé. Qn trouve ainsi qu’un évènement étant arrivé de suite un nombre quelconque de fois , la probabilité qu’il arrivera encore la fois - suivante est égale à ce nombre augmenté de l’unité, divisé par le meme nombre augmenté de deux unités. En faisant , par exemple ,*remonter la plus ancienne époque de l’histoire à cinq mille ans, ou à 18269. 1 3 jours, et le soleil s’étant levé constamment dans cet intervalle , à chaque révolution de vingtquatre heures , il y a 1 8262 1 4 à parier contre un qu’il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui connaissant par l’ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des sai^ns, voit que rien dans le moment actuel ne peut en arrêter le cours.

Buffon , dans son Arithmétique politique , cal-

cule différemment la probabilité précédente. 11 suppose qu’elle ne diffère de l’unité que d’une fraction dont le numérateur est l’unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l’époque. Mais la vraie manière de remonter des évènemeus passés à la probabilité des «

causes et des évènemens futurs, était inconnue à cet illustre écrivain.

De V Espérance.

La probabilité dés évènemens sert à déterminer l’espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime •généralement l’avantage de celui qui attend un bien quelconque , dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée , par la probabilité de l’obtenir : c’est la somme partielle qui doit revenir lorsqu’on ne veut pas courir les risques de l’évènement , en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette réj)artition est la seule équitable , lorsqu’on fait abstraction de toutes circonstances étrangères ; parce qu’un égal degré de probabi-

SUR LES PROBABILITÉS. aj

lité donne un droit égal sur la somme espérée.

Nous nommerons cet avantage espérance mathématique.

Lorsque l’avantage dépend de plusieurs évè- Vlli* Principe, nemens, on l’obtient en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque évènement , par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu’au jeu de croix ou pile y Paul reçoive deux francs s’il amène croix au premier coup, et cinq francs s’il ne l’amène qu’au second. En multipliant deux francs par la probabilité \ du premier cas, et cinq francs par la probabilité ^ du second cas, le somme des produits, ou deux francs et un quart, sera l’avantage de Paul. C’est la somme qu’il doit donner d’avance à celui qui lui a fait cet avantage ; car pour l’égalité du jeu , la mise doit être égale à l’avantage qu’il procure.

Si Paul reçoit deux francs en amenant croix au premier coup , et cinq francs en l’amenant au second coup, dans le cas meme où il l’aurait amené au premier; alors la probabilité d’amener croix au second coup étant en multipliant deux francs et cinq francs par \ , la somme de ces produits donnera trois francs et demi pour

l’avantage de Paul , et par conséquent pour sa mise au jeu.

IX® Principe. Dans une série d’évènemens probables , dont les uns produisent un bien , et les autres une perte , on aura l’avantage qui en résulte en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque évènement favorable par le bien qu’il procure , et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque évènement défavorable par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l’emporte sur la première, le bénéfice devient perte , et l’espérance se change en crainte.

On doit toujours, dans la conduite de la vie , faire en sorte d’égaler au moins le produit du bien que l’on espère , par sa probabilité , au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir d’apprécier exactement les avantages , les pertes et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela une grande justesse d’esprit , une tact délicat , et une grande expérience des choses : il faut savoir se garantir des préjugés , des illusions de la crainte et de l’espérance , et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amourpropre.

L’application des principes précédens à la

question suivante, a beaucoup exercé les géomètres. Paul joue k 'cwix ou pile, avec la condition de recevoir deux francs s’il amène cmix au premier coup; quatre francs s’il ne l’amène qu’au second ; huit francs s’il ne l’amène qu’au troisième , et ainsi de suite. Sa mise au jeu doit être , par le huitième principe , égale au nombre des coups ; en sorte que si la partie continue à r infinie , la mise doit être infinie. Cependant , aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique , cinquante francs , par exemple. D’où vient cette différence entre le résultat du calcul et l’indication du sens commun? On reconnut bientôt qu’elle tenait à ce que l’avantage moral qu’un bien nous procure n’est pas proportionnel à ce bien , et qu’il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la* plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet , il est visible qu’un franc a beaucoup plus de prix pour celui n’en a que cent, que pour un millionnaire. On doit donc distinguer dans le bien espéré sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer, au lieu que la première en est indépendante. On ne jieut donner de principe général , pour apprécier cette valeur relative.

KSSAi PHILOSOPHIQUE

En voici cependant iin . projK)sé par Daniel Bernoidli , et qui peut servir dans beaucoup de cas.

X« Principe. La valeur relative d’une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne j>eut jamais être supposée nulle. En efifet , celui meme qui ne possède rien , donne toujours au produit de son travail et à . ses espérances une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si Ton applique l'analyse au principe que nous venons d’exposer, on obtient la règle suivante.

En désignant par l’unité la partie de la fortune d’un individu , indépendante de ses expectatives ; si l’on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives et leurs probabilités , le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à l’individu le meme avantage moral qu’il reçoit de la partie de sa .fortune , prise pour unité , et de ses expectatives; en retranchant donc l’unité de ce

SUR LES PRORARILIT^S. 29

produit, la différence sera l’accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement, espérance morale, 11 est facile de voir qu’elle coïncide avec l’espérance mathématique, lorsque la fortune prise jxmr unité, devient infinie par rapport aux variations qu’elle reçoit des expectatives.

Mais lorsque ces variations sont une partie sen-

sible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun , que l’on peut par ce moyen, apprécier avec quelque exactitude. Ainsi dans la question précédente, on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs , il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger sur plusieurs parties d’un bien que l’on attend , plutôt que d’exposer ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu’au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant par exemple, qu’un joueur ayant Une fortuné de cent francs , en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune, après sa mise au jeu , sera réduite à quatre-vingt-sept francs, c’est-à-dire que cette der-

3o FSSAl PHILOSOPHIQUE

nière somme procurerait au joueur le meme avantage moral, que l’état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où-la mise est égale au produit de la somme espérée , par sa probabilité. Ou j>eut juger par-là de l’immoralité des jeux dans les- . quels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et p»ar la cupidité qu’ils fomentent j-et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont il est hors d’état d’apprécier l’invraisemblance, sont- la source d’une infinité' de maux.

1^ désavantage des jeux , l’avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu’on attend , et tous les résultats seinblabl€^ indiqués par le bon sens, subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport dé l’accroissement de cette fonction à f accroissement de la fortune physique f diminue à mesure que celle-ci augmente.

SUR LES PROBABILITlés.

Des méthodes analytiques du Calcul des

Probabilités.

L’application des principes que nous venons

d’exposer aux diverses questions de probabilité,

exige des méthodes dont la recherche a donné

naissance à plusieurs branches de l’Analyse , et

spécialement à la théorie des combinaisons et

au calcul des difTérences finies.

Si l’on forme le produit des binômes , l’unité plus une première lettre , l’unité plus une seconde lettre, l’unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu’à n lettres; en retranchant l’unité de ce produit développé , on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux , trois à trois, etc. , chaque combinaison ayant l’unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises s k j , on observera que si l’on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binôme, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises J à .9 , sera le coefficient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binôme ; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison , en observant que si l’on joint une seconde lettre à la première , on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinîiisons.

Si l’on joint à ces combinaisons une troisième lettre , on peut lui donner dans chaque combinaison , le premier, le second et le troisième rang ; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangemens dont s lettres sont susceptibles , est le produit des nombres depuis l’unité jusqu’à s ; il faut donc |)our avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises sa j; ce qui revient à supprimer le dénominateur, du coefficient du terme du binôme, qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numé^ ros dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, ou des combinaisons des n numéros pris r à r, et dont le numéra*teur sera le nombre de toutes ces combinaisons

SUR LES PRORARILITÉS. 33

qui contiennent les s numéros donnés. Cæ dernier nombre est évidemment celui des combinaisons des autres numéros pris n moins s k n moins s. Cette fraction sera la probabilité demandée, et l’on trouvera facilement qu’elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pris .y à 5“, et dont le dénominateur est le nombre des combinaisons des /^ numéros pris semblablement ^ à . 9 . Ainsi , dans la loterie de France, formée , comme on sait , de 90 numéros dont cinq sortent à chaque tirage , la probabilité de la sortie d’un extrait donné est ^ ou ; la loterie devrait donc aloi’s pour l’égalité du jeu , rendre dix-huit fois la mise. nombre total des combinaisons deux à deux , de 90 numéros est 4 oo 5 , et celui des combinaisons deux à deux, de cinq numéros, est dix. La probabilité de la sortie d’un ambe donné est donc Xiî l h et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie , la mise : elle devrait la rendre 11748 fois pour un terne, 5iio38 fois pour un quateme , et 48949^^8 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux joueurs , ces avantages.

Supposons dans une urne , a boules blanches et b boules noires , et qu’après en avoir extrait

une houle , on la remette dans l’urne; on demande la probabilité que dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et n moins m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus b. Chaque cas du second tirage , pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages , est le carré du binôme a plus b. Dans le développement de ce carré , le‘ carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels' on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par b, exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées ; enfin le carré de b exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi , on voit généralement que la puissance n du binôme a plus b , exprime le nombre de tous les cas possibles dans n tirages ; et que dans le développement de cette puissance , le terme multiplié par la puissance m de a y exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener m boules blanches , et n moins m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme , on aura la probabilité d’amener m boules blanches et n moins m boules noires. Le rapport des nombres a, et a plus b ,

étant la probabilité d’amener une boule blanche . dans un tirage ; et le rapport des nombres b , et a plus b, étant la probabilité d’amener une boule noire ; si l’on nomme p et q ces probabilités , la probabilité d’amener m boules blanches dans n tirages , sera le terme multiplié par la puissance mde P y dans le développement de la puissance n du binôme p plus q : on peut observer que la ^ somme p phis q est l’unité. Cette propriété remarquable du binôme, est très utile dans la théo* rie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe , pour résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d’équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité , lorsque l’on fait croître les variables , de leurs différences respectives ; la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l’on nomme equà*tion cuuc différences ordinaires ou partielles ; ordinaires, lorsqu’il n’y a qu’une variable; partielles , lorsqu’il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces - sont supposées' les memes , jouent ensemble aux conditions suivantes. C^lui des deux premiers joueurs, qui

gagne son adversaire , joue avec le troisième, et s’il le gagne, la partie est finie. S’il est vaincu, . le vainqueur joue avec l’autre , et ainsi de suite , jusqu’à ce que l’un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, ce qui termine la partie : on demande la probabilité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d’abord la probabilité qu’elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n moins un , et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si au lieu de gagner le coup n moins un , il était vaincu par son adversaire , celui-ci venant de gagner l’autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu’un des joueurs entrera au jeu au coup n moins un , et le gagnera , est égale à celle que la partie finira préciséiyent à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au coup n , la probabilité de ce dernier cas ne sera qu’un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre n\ cette fonction est donc égale à la moitié de la meme fonction, lorsqu’on y diminue n de l’unité. Cette égalité forme une de ces équations que l’on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement- à son moyen, la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qif au second coup ; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire, gagne au second coup le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc De là , en vertu de l’équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont \ pour le troisième coup, pour le quatrième, etc.; et généralement élevé à la puissance n moins un , pour le coup. La somme de toutes ces puissances, de est l’unité moins la dernière de ces puissances; c’est la probabilité que la partie ^ra terminée , au plus tard , dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile , que l’on ait résolu sur les probabilités et que Pascal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B , dont les adresses sont égales , jouent ensemble avec la condition que celui qui, le premier, aura vaincu l’autre un nombre donné de fois , gagnera la partie , et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups , les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande

de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort , pourvu qu’après ce nouveau coup, le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie); alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas , le nombre des points qui lui manquent, serait diminué d"une unité; ou le joueur B le gagnerait , et dans ce cas , le nombre des points nianquans à ce dernier joueur deviendrait moindre d’une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est \ ; la fohction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction, dans laquelle on diminue de l’unité le premier indice ; plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l’unité. Cette égalité est une de ces équations que l’on nomme équations aux dijférences partielles.

On peut déterminer à son moyen les probabilités de A, en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l’exprime est égale à l’unité , lorsqu’il ne manque aucun point au joueur A , ou lorsque le premier indice est nul , et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu’il ne manque qu’un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est f , J, etc., suivant qu’il manque à B un point, ou deux, ou trois , etc. Généralement , elle est alors l’unité , moins la puissance de ~ égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu’il manque deux points au joueur A , et l’on trouvera sa probabilité égale à | , etc., suivant qu’il manque à B, un point ou deux , ou trois , etc. On supposera encore qu’il manque trois points au joueur A , et ainsi de suite.

Cette manière d’obtenir les valeurs successives d’une quantité, au moyen de son équation aux différences, est longue et pénible. Les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices , qui satisfait à cette équation , en sorte que l’on n’ait besoin pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes des.

4ü ESSAI PHILOSOPHIQUE

indices. Considérons cet objet d’une manière générale. Pour cela , concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizontale, et tels que chacun d’eux dérive des précédens , suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs , et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu’ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme éijiiation aux dijférences finies à un seul indice. L’ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à soft moyen, déterminer successivement les termes de la série

et la continuer indéliniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série,' égal au degré de l’équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l’expression du terme général de la série, ou de l’intégrale de l’équation aux différences.

Concevons maintenant , au-dessus des termes de la série précédente , une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale, et ainsi de suite à l’infini; et supposons les termes de toutes ces séries liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs , pris tanf dans le sens

SUR LES PRORARILITÉS. . l\\

horizontal que dans le sens vertical , et les nombres qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équa-tion aux différences finies partielles à deux indices.

Concevons pareillement au-dessus du plan des séries précédentes , un second plan de séries semblables dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan : concevons ensuite au-dessus de ce second plan , un troisième plan de séries semblables , et ainsi à Tinfini : supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin , en considérant la chose d’une manière abstraite et indépendante des dimensions de l’espace , concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d’un nombre quelconque d’indices, et supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices, et les indices eux-mémes , autant d’équations qu’il y a de ces grandeurs; ces équations seront

aux différences finies partielles à un nombre quelconque d’indices.

On peut à leur moyen déterminer successivement ces grandeurs. Mais de meme que l’équation à un seul indice exige pour cela que l’on connaisse un certain nombre de termes de la . série ; de meme l’équation à deux indices exige que l’on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d’un des indices. Pareillement , l’équation à trois indices exige que l’on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices ; ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra , par des éliminations successives , déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine, étant comprises dans un même système d’équations , toutes les expressions des termes successifs que l’on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale , fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l’intégrale de l’équation proposée aux différences, et sa recherche est l’objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui dans son ouvrage

SUR LES PROBABILITI^S. 4^

intitulé Methodus incrcmentorupi, ait considéré les équations linéaires aux diflférences finies. Il y donne la manière d’intégrer celles du premier ordre, avec un coi^fficient et un dernier terme, fonctions de l’indice. A la vérité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que l’on a considérées de tout temps, sont les cas les plus simples des équations linéaires aux différences ; mais on ne les avait pas envisagées «ous ce point de vue, l’un de ceux qui se rattachant à des théories générales , conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.

Vers le meme temps , Moivre conridéra , sous la dénomination de suites récurrentes, les équations aux différences finies d’un ordre quelconque , à coefîîciens constans. Il parvint à les intégrer d’une manière très ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suiVre la marche des inventeurs , je vais exposer celle de Moivre , en l’appliquant à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D’abord , il considère la relation entre les termes consécutifs d’une progression géométrique , ou l’équation à deux termes qui l’exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d’une unité, il la multiplie dans cet état par un facteur cons-

44 KSSAI PHILOSOPHIQUE

tant, et il retranche le produit de Téquatioii primitive. Par là, il obtient une équation eiitre trois termes consécutifs de la progression géométrique. Moivre considère ensuite une seconde progi'ession dont la raison des termes est le facteur meme qu’il vient d’employer. Il diminue pareillement d’une unité l’indice des termes de l’équation de cette nouvelle progression : dans cet état , il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le produit de l’équation de la seconde progression , ce qui lui donne , entre trois termes consécutifs de cette progression , une relation entièrement semblable à celle qu’il a trouvée pour la première progression. Puis il observe que si l’on ajoute terme à terme les deux progressions, la meme relation subsiste entre trois quelconques de ces sommes consécutives. 11 compare les coefficiens de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée , et il trouve , pour déterminer les raisons des deux progressions géométriques , une équation du second degré dont les racines sont ces raisons. Par là , Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques multipliées, chacune par une constante arbitraire qu’il détermine au / moyen des deux premiers termes de la suite ré-

currente. Ce procédé ingénieux est au fond celui que d’Alembert a depuis employé pour l’intégration des équations linéaires aux différences infiniment petites à coefficiens constans , et que * Lagrange a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j’ai considéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d’abord sous la dénomination de suites récurro-récurrentes ^ et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d’intégrer toutes ces équations, me paraît être celle que j’ai fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l’idée.

Si l’on Conçoit une fonction V d’une variable t, développée suivant les puissances de cette variable , le coefficient de l’une quelconque de ces puissances sera une fonction de l’exposant ou indice de cette puissance , indice que je désignerai par Æ*. V est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient ou de la fonction de l’indice.

Maintenant , si l’on multiplie la série du développement de V par une fonction de la même variable , telle , par exemple , que l’unité plus deux fois cette variable , le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le

/|6 ESSAI PHiLOSOPHIQliE

coefficient de la puissance x de ia variable t sera égal au coefficient de la même puissance dans V, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d’une unité. Ainsi la fonction de l’indice x , dans le produit , égalera la , fonction de l’indice x dans V , plus le double de . cette même fonction dans laquelle l’indice est diminué de l’unité. Cette fonction de l’indice X est ainsi une dérivée de la fonction du même indice dans le développement de V, fonction que je nommerai Jonction primitive de l’indice. Désignons la fonction dérivée par la caractéristique placée devant la fonction primitive. La dérivation indiquée par cette caractéristique dépendra du multiplicateur de V, que nous nommerons T, et que nous supposerons développé , comme V, par rapport aux. puissances de la variable t.

Si l’on multiplie de nouveau par T le produit de V par T, ce qui revient à imdtiplier V par le carré de T, on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x de < sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent ; on pourra doncrexprimei' pai’ la même caractéristique cT, placée devant la dérivée précédente;-

et alors cette caractéristique sera deux fois écrite

devant la fonction primitive de æ. Mais au lieu de l’écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant le nombre 2.

En continuant ainsi , on voit généralement que si l’on multiplie V par la puissance n de T, on aura le coefficient de la puissance x àe t dans le produit de V par la puissance n de T, en plaçant devant la fonction primitive la caractéristique cT avec n pour exposant.

Supposons, par exemple, que T soit l’unité divisée par t ; alors dans le produit de V par T le coefficient de la puissance x àet sera le coefficient de la puissance supérieure d’une unité dans V; ce coefficient dans le produit de V par la puissance n de T sera donc la fonction primitive dans laquelle x est augmenté de n unités.

Considérons maintenant une nouvelle fonction Z de ^ , développée , comme V et T, suivant les puissances de t : désignons par la caractéristique A placée devant la fonction primitive , le coefficient de la puissance^ x àe t dans le produit de V par Z ; ce coefficient , dans le produit de V par la puissance n de Z, sera exprimé par la caractéristique A affectée de l’exposant n et placée devant la fonction primitive de X.

Si, par exemple, Z est égal à l’unité divisée

ESSAI PHII.OSOPHIQUE

par t moins un, le coefficient de la puissance ^ de ^ dans le produit de V par Z sera le coefficient de la puissance x plus un de t dans V, moins le coefficient de la puissance x. Il sera donc la différence finie de la fonction primitive de Tindice X. Alors la caractéristique A indique une différence finie de la fonction primitive , dans le cas où l’indice varie de l’unité ; et la puissance n de cette caractéristique , placée devant la fonction primitive , indiquera la différence finie de cette fonction. Si l’on suppose que T soit l’imité divisée par t , on aura T égal au binôme Z plus un. Le produit de V par la puissance n de T sera donc égal au produit de V par la puissance de n du binôme Z plus un. En développant cette puissance par rapport aux puissances de Z , les produits de V par les divers termes de ce développement seront les fonctions génératrices de ces mêmes termes , dans lesquels on substitue , au lieu des puissances de Z , les différences finies correspondantes de la fonction primitive de l’indice.

Maintenant le produit de V par la puissance 72 de T est la fonction primitive , dans laquelle l’indice x est augmenté de n unités; ‘en repassant donc des fonctions génératrices à leurs coefficiens , on aura cette fonction primitive

SUR LES l*R01l.\niLITÉS. ‘

ainsi aiignieiitôe , égale au développement de la puissance n du binôme Z plus un ; pourvu que dans ce développement on substitue , au lieu des puissances de Z, les .différences correspondantes de la fonction primitive, et que l’on multiplie le terme indépendant de ces puissances par la fonction primitive. On aura ainsi la fonction primitive dont l’indice est augmenté d’un nombre (juelconque n , au moyen de ses différences.

En supposant toujours à T et à Z les valeurs précédentes , on aura Z ég«al au binôme T moins un ; le produit de V par la puissance n de Z sera donc égal au produit de V par le développement de la puissance n du binôme T moins un. En repassant tles fonctions génératrices à leurs çoefticiens , comme on vient de le faire, on aura la différence it*"'* de la fonction primitive , exprimée par le développement de la puissance n du binôme T moins un , dans lequel on . substitue aux puissances de T cette même fonction dont l’indice est augmenté de l’exposant de la puissance, et au terme indépendant de t et qui est l’unité, la fonction primitive: ce qui donne cette différence au moyen des termes consécutifs de cette fonction.

S' placé devant la fonction primitive , expri-

mant la dérivée de cette fonction , qui multiplie la puissance x de i dans le produit de V par T, et A exprimant la même dérivée dans le produit de V par Z, on e^t conduit, par ce qui précède, à ce résultat général : quelles que soient les fonctions de la variable t, représentées par T et Z, on peut, dans le développement de toutes les équations identiques susceptibles d’être formées entre ces fonctions, substituer les caractéristiques et A, au lieu de T et de Z, pourvu que Ton écrive la fonction primitive de l’indice à la suite des puissances et des produits de puissances des caractéristiques, et que l’on multiplie par cette fonction les termes indépendans de ces caractéristiques.

On peut, au moyen de ce résultat général, transformer une puissance quelconque d’une différence de la fonction primitive de l’indice x, dans laquelle x varie d’une unité , en une série de différences de la même fonction , dans lesquelles X varie d’un nombre quelconque d’ imités, et réciproquement. Supposons en effet que T soit la puissance i de l’unité divisée p>ar t moins un , et que Z soit toujours l’unité divisée par t moins un ; alors le coefficient de la puissance X de dans le produit de V par T, sera le coefficient de la puissance x plus i de t dans

V, moins le coefficient tie la puissance .r de ^ ; il sera donc la différence finie de la fonction primitive de findice a: , dans laquelle on fait varier cet indice du nombre /. Il est facile de voir que T est égal à la différence entre la puissance i du binôme Z plus un et runité; la puissance n de T est donc égale à la puissance n de cette différence. Si, dans cette égalité, on substitue au lieu de T et de Z les caractéristiques cT et A , et qu’après le développement on place à la fin de chaque terme la fonction primitive de l’indice x, on aura la différence cette fonction , dans laquelle x varie de i unitt^s, exprimée par une suite de différences de la même fonction, dans laquelle x varie’ d’une unité. Cette suite n’est qu’une transformation de la différence qu’elle exprime et qui lui est identique ; mais c’est dans de semblables transformations que réside le pouvoir de l’analyse.

La généralité de l’analyse permet de supposer dans cette expression n négatif. Alors les puissances négatives de «f' et de A indiquent des intégrales. En effet , la différence de la fonction

primitive ayant pour fonction génératrice le produit de V par la puissance 7^ du binôme , un' divisé par moins l’unité; la fonction primitive

5a ESSAI PHILOSOPHIQUE

qui est l’intégrale de cette différence , a pour fonction génératrice celle de la même différence , multipliée par la puissance n prise en moins du binôme, un divisé par moins l’imité, puissance à laquelle répond la même puissance de la caractéristique A; cette puissance indique donc une intégrale du même ordre , l’indice x variant de l’unité; et les puissances négatives de cT indiquent également des intégrales, x variant de i unités. On voit ainsi de la manière la « •

plus claire et la plus simple, la raison de l’analogie observée entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales.

Si la fonction indiquée par la caractéristique placée devant la fonction primitive est nulle, on aura une équation aux différences finies , et V sera la fonction génératrice de son intégrale. Pour avoir cette fonction génératrice , on observera que dans le produit de Y par T toutes les puissances de t doivent disparaître, excepté les puissances inférieures à l’ordre de l’équation aux différences; V est donc égal à une fraction dont T est le dénominateur, et dont le numérateur

est un polynôme dans lequel la puissance la

plus élevée de t est moindre d’une unité que l’ordre de l’équation aux différences. Les coeffi-

SUR LES PRORARILITÉS.

cieiis arbitraires des diverses puissances de t dans ce poJynonie, en y comprenant la pidssance zéro, seront déterminés par autant de valeurs de la fonction primitive de l’indice, lorsqu’on y fait successivement x égal à zéro, à l’unité, à deux, etc., Quand l’équation aux différences est donnée, on détermine T en mettant tous ses termes dans le premier membre, et zéro dans le second ; en substituant dans le premier membre , l’unité au lieu de la fonction qui a le plus grand indice; la première puissance de t au lieu de la fonction primitive dans laquelle cet indice est diminué d’une unité; la seconde puissance de à la fonction primitive où cet indice est diminué de deux unités, et ainsi de suite. Le coefficient de la puissance x de <, dans le développement (le l’expression précédente de V, sera la fonction primitive de jc, ou l’intégrale de l’équation aux différences finies. L’analyse fournit pour ce développement, divers moyens parmi lesquels on peut choisir celui qui est le plus propre à la question, proposée; ce qui est un avantagé de cette méthode d’intégration.

Concevons maintenant que V soit une fonction des deux variables t et développée suivant l(îs puissances et les produits de ces variables; le coefficient d’un produit quelconcpie d(îs puis-

54 ESSAI I*IIILOSOPIIIQliE

sauces x et jc' de t et de sera une fonction des ex|K>sans ou indices x af de ces puissances; fonction que je nommerai fonction primitive, et dont V est la fonction génératrice.

Multiplions V par une fonction T des deux variables t et t\ développée, comme V, par l'apport aux puissances et aux produits de ces variables; le produit sera la fonction génératrice d’une dérivée de la fonction primitive : si T , par exemple, est égal à la variable t, plus à la variable V moins deux , cette dérivée sera la fonction primitive dont on diminue de l’imité l’indice X, plus celte meme fonction primitive dont on diminue de l’unité l’indice x', moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel que soit T, par la caractéristique S' placée devant la fonction .jirimitive cette dérivée, le produit de V par la puissance // de T sera la fonction généraü'ice de la dérivée de la fonction primitive, devant laquelle on place la puissance n de la caractéristique d'. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont œlatifs aux fonctions d’une seule variable.

Supposons que la fonction indiquée par la caractéristique cT soit zéro; on aura une équation aux différences partielles : .si, par exemple, on fait, comme ci-dessus, T égal à la variable t.

plus à la variable i' moins deux, on a zéro égal à la fonction primitive dont on diminue de runité l’indice »r, plus la meme fonction dont on diminue de l’unité l’indice J?', moins deux fois la fonction primitive. La fonction génératrice V de cette fonction primitive ou de l’intégrale de, cette équation , doit donc être telle que son produit par T ne renferme point les produits de i par tf ; mais V |3eut renfermer séparément les ' puissances de i, et celles de l\ c’est-à-dire une fonction arbitraire de t et une fonction arbitraire de y est donc une fraction dont le numérateur est la somme de ces deux fonctions arbitraires, et dont T est le dénominateur. I^e coefficient du produit de la puissance x de par la puissance x' de dans le développement de cette fraction , sera donc l’intégrale de l’équation précédente aux différences partielles. Cette méthode d’intégrer ce genre d’équations me paraît être la plus simple et la plus facile , par l’emploi des divers procédés analytiques pour le développement des fractions rationnelles.

De plus amples détails sur cette matière seraient difficilement entendus sans le secours du calcul.

En considérant les équations aux différences partielles infiniment petites comme des équations

aux différences partielles finies dans lesquelles rien n’est négligé, on peut éclaircir les points obscurs de leur calcul , qui ont été le sujet de grandes discussions parmi les géomètres. C’est ainsi que j’ai démontré la possibilité d’introduire des fonctions discontinues dans leiu's intégrales, pourvu que la discontinuité n’ait lieu que pour les différentielles de l’ordre de ces équations ou d’un ordre supérieur. Les résultats transcenda ns du calcul sont comme toutes les abstractions de l’entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue qu’en remontant, par l’analyse métaphysique , aux idées élé-* mentaires qui y ont conduit : ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l’esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu’à se replier sur lui-méme.

La comparaison des différences infiniment petites avec les différences finies peut semblabiement répandre un grand jour sur la métaphysique du calcul infinitésimal.

On prouve facilement que la * différence finie d’une fonction, dans laquelle l’accroissement de la variable est E, étant divisée par la puisvSance /z de E; le quotient réduit en série par rapport aux puissances de l’accroissement E , est formé d’un premier terme indépendant de E. A

SUR LES i’RORABILITÉS.

mesure que E diminue, la série approche de plus en plus de ce premier terme, dont elle peut ainsi ne différer que de quantités moindres que toute grandeur assignable. Ce terme est donc la limite de la série, et il exprime, dans le calcul différentiel , la différence infiniment petite de la fonction , divisée par la puissance n de Eaccroissemenl infiniment petit.

En considérant sous ce point de vue les différences infiniment petites , on voit que les diverses 0|)érations du calcul différentiel reviennent à comparer séparément dans le développement d’expressions identiques, les ternies finis ou indépendans des accroissemens des variables que l’on regarde comme infiniment petits; ce qui est rigoureusement exact, ces accroissemens étant indéterminés. Ainsi le calcul différentiel a toute l’exactitude des autres opérations algébriques.

La meme exactitude a lieu dans les applications du Calcul différentiel à la Géométrie et à la Mécanique. Si l’on conçoit une courbe coupée par une sécante dans deux points voisins; en nommant E l’intervalle des ordonnées de ces deux points , E sera l’accroissement de l’abscisse depuis la première jusqu’à la seconde ordonnée. Il est facile de voir que l’accroissement correspondant de l’ordonnée sera le produit de E par

la première ordonnée divisée par sa soiis-sécante : en augmentant donc dans Téquatioh de la courbe, la première ordonnée de cet accroissement, on. aura l’équation relative à la seconde ordonnée* : la diftérence de ces deux équations sera une troisième équation qui, développée par rapport aux puissances de E, et divisée par E, aura son premier terme indépendant de E, et qui sera la limite de ce développement. Ce terme , égalé à zéro, donnera donc la limite des sous-sécantes, limite qui est évidemment la sous- tangente.

Celle manière singulièrement heureuse d’obtenir les sous-tangentes est due à Fermât , qui l’a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique E l’accroissement de l’abscisse; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement , il détermine exactement, comme on le fait parle calcul différentiel , les sous-tangentes des courbes , leurs points d’inflexion, les inaxima et mininui de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit meme, par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes y qu’il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles , en se débarrassant des irrationnalités, j>ar l’élévation des radicaux aux

SUR LES ERODADILITËS.

puissances. On doit donc regarder Fermât comme le véritable inventeur du Calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce calcul plus analytique, dans sa Méthode, des Fluxions ; et il en a simplifié et généralisé les procédés par son beau théorème du binôme. Enfin, presqu’en meme temps, T^ibnitz a enrichi le Calcul différentiel d*une notation qui, en indiquant le passage du fini à Tinfiniment petit, réunit à l’avantage d’exj>rimer les résultats généraux de ce calcul, celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités ; notation qui s’est adaptée d’elle-inéme au calcid des différentielles partielles.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de teimes et de facteurs , que les substitutions numériques y sont impraticables. C’est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque l’on considère un grand nombre d’évènemens. Cependant il importe alors d’avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité les résultats que les évènemens développent en se multipliant, sont indiqués. Il importe surtout d’avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu’elle finirait par atteindre , si le nombre des évènemens devenait infini. Pour

F.SSAI PHILOSOPHIQUE

y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l’intégration, des formules composées d’un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l’idée de transformer dans de semblables intégrales, les expressions compliquées de l’analyse, et les intégrales des équations aux différences. J’ai rempli cet objet par une métliode qui donne à la fois la fonction com- \ prise sous le signe intégral , et les limites de l’intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées ; ce qui rattache cette méthode à la théorie des fonctions génératrices dont elle est ainsi le complément. Il ne s’agissait plus ensuite que de réduire l’intégrale définie en série convergente. C’est ce que j’ai obtenu par un procédé qui fait converger la série avec d’autant plus de rapidité, que la formule qu’elle représente est plus compliquée ; en sorte qu’il est d’autant plus exact, qu’il devient plus nécessaire. Le plus souvent , la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre ; quelquefois ell<‘ dépend d’autres transcendantes dont le nombre est infini.

SUR LES PROBARILITÉS.

Une remarque importante qui tient à la grande généralité de l’Analyse, et qui permet d’étendre cette méthode aux formules et aux équations à différences , que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient en supposant réelles et positives les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l’équation qui détermine ces limites n’a que des racines négatives ou imaginaires. Ces passages du positif au négatif, et du réel à l’iinaginairë, dont j’ai le premier fait usage, m’ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j’ai ensuite démontrées directement. On peut donc considérer ces passages comme un moyen de découverte, pareil à rinduction et à l’analogie employées depuis long-temps par les géomètres, d’abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance, un grand nombre d’exemples en ayant justifié l’emploi. Cependant il est toujours nécessaire de confirmer, par des démonstrations directes, les résultats obtenus par ces divers moyens.

J’ai nommé Calcul des fonctions génératrices l’ensemble des méthodes précédentes; ce calcul sert de fondement à l’ouvrage que j’ai publié sous titre : Théorie analytique des Pi'obahi-

lités^ Il SC rattache à Fidée simple d’indiquer les multiplications répétées d’une quantité par ellemême , ou ses puissances entières et positives , en écrivant vers le haut de la lettre qui l’exprime , les* nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation employée par Descartes , dans sa Géométrie , et généralement adoptée depuis la publication de cet important ouvrage, est peu de chose, surtout quand on la compare à la théorie des courbes et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre a posé les fondemens des calculs modernes. Mais la langue de l’Analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes, ses notations, lorsqu’elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calcids. C’est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis qui, dans son ouvrage intitulé Aritlmie^ tica infuûtorum, l’un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l’Analyse, s’est attaché spécialement à suivre le fil de l’induction et de l’analogie , considéra que si l’on divise l’exposant d’une lel^e par deux, trois, etc.; le quotient sera suivant la notation cartésienne, et lorsque la division est possible, l’exposant de la racine carrée, cubique, etc. , de la quantité que repré-

SUR LES PRORARILITÉS. 63

sente la lettre élevée à l’exposant dividende. En étendant par analogie ce résultat au cas où la division n’est pas possible, il considéra une quantité élevéeà un exposant fractionnairecomme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction , de la quantité élev^ à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite que suivant la notaHon cartésienne, la multiplication de deux puissances d’une meme lettre revient à ajouter leurs exposans, et que leur division revient à soustraire l’exposant de la puissance diviseur de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposans surpasse le premier^ Wallis étendit ce résultat au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second; ce qui rend la différence nulle ou négative. 11 supposa donc qu’un exposant négatif indique l’unité divisée par la quantité élevée au meme exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monomes; d’où il copclut les intégrales définies d’un genre particulier de différentielles binômes dont l’exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment çes intégrales, une série d’interpolations et d’inductions heureuses où l’on aperçoit le germe du calcul des intégrales

KSSVI PIIflX)S01»HIQUF.

définies, qui a tant exercé les géomètr(*s, et Tune des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités ^ lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, loi’sqifon l’arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus raj>prochées; résultat run des plus singuliers de l’Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposans fractionnaires des puissances radicales, ait continué • de noter ces puissances comme on l’avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldembour'g ^ la notation de ces puissances par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l’induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binôme avec les coefficiens des termes de son développement, dans le cas où cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficiens, et il rétendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l’Analyse. Elle a encore l’avantage de donner l’idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet que les exposans d’une grandeur dont les puissances suc-

SUR LKS PROBABILITÉS. 65

cessives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l’extension la plus importante que cette notation ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui' constitue le calcul exponentiel, l’une des branches les plus fécondes de l’Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables, et par-là, il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être coinposée ; car toute fonction finie explicite d’une variable se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d’addition , de soustraction , de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formœs de ces élémens, sont des fonctions implicites de la variable. C’est ainsi qu’une variable ayant pour logarithme l’exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, le logarithme d’une variable en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique * différentielle les memes exposans qu’aux grandeurs; mais alors ces exposans, au lieu d’indiquer les multiplications répétées d’une même grandeur, indiquent les dilfcrentiations répétées

66 KSSAI PHILOSOPHIQUE

d’une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à l’analogie des puissances positives avec les différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière dans tous ses développemens ; et par une suite d’inductions , qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de la méthode d’induction , il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu’uüles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers, et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n’en a ppint donné les démonstrations qu’il jugeait difficiles. La théorie des fonctions généraj trices étend à des caractéristiques quelconques,

^ • la notation cartésienne : elle montre avec évi-

^ dence, l’analogie des puissances et des opéra-

tions indiquées par ces caractéristiques; en sorte qu’elle .peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui ^ concerne les séries et l’intégration des équations aux différences, en décoide avec une exti’ême facilité.

SliK LUS PRODABILITÉS.