PPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

Des jeua\

Les combinaisons que les jeux présentent ont été l’objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l’infinie , variété de ces combinaisons, plusieurs d’entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d’autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées , le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus ce genre d’analyse. On a vu précédemment que l’on pouvait facilement déterminer, par la théorie des combinaisons, les bénéfices d’une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on jxîiit parier un contre im, par exemple, que tous les numéros seront sortis , n étant le nombre des numéros, r celui . des numéros sortons à chaque tirage, et i le nombre inconnu des tirages . l’expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros

dépend de la différence finie w'*"' de la puissance /

d’un j)roduit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable , la recherche de la valeur de /, qui rend cette [irobabilité égale à

devient impossible , à moins qu’on ne convertisse cette différence dans une série très convergente. C’est ce que l’on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombries. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage ; il y a du désavantage à parier un contre un , que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l’avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari e-st désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile , de manière qu’à chaque coup , si croix arrive , A donne un jeton à B , qui lui en donne un si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité , celui des jetons de A est illimité, et la partie ne doit finir que lorsque B n’aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier un contre un que la partie sera terminée. L’expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups , est donnée par une suite qui renferme lui grand nombre de termes et de facteurs , si le nombre des jetons de B est considérable, la recherche de la valeur de l’inconnue/, qui rend

cette suite égale à serait donc alors impossible si Ton ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler , on trouve une expression fort simple de l’inconnue , de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons, il y a un peu moins d’un contre un à parier que la partie sera finie en 23780 coups , et un peu plus d’un contre un à parier qu’elle sera finie dans 28781 coups.

Ces deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés , suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l’Analyse.

Pes inégalités inconnues qui peuvent exister entre

les chances que Uon suppose égales,

inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités ime influence sensible qui mérite une attention particidière. Considérons le jeu de croix ou pile^ et supposons qu’il soit également facile d’amener l’une ou l’autre face de la pièce. Alors la probabilité d’amener croix au premier coup est ~ , et celle de l’amener deux fois de suite est Mais s’il existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l’autre, sans que l’on connaisse quelle est la

face favorisée par cette inégalité , la probabilité d’amener croix au premier coup sera toujours ^ ; parce que dans l’ignorance où l’on est de la face que cette inégalité favorise , autant la probabilité de l’évènement simple est augmentée si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée si l’inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance meme, la probabilité d’amener cn)ix deux fois de suite est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d’amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l’ayant amené au premier coup, on l’amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l’inégalité de la pièce le favorise; l’inégalité inconnue augmente donc alors la proba^ bilité d’amener croix au second coup ; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d’un vingtième la probabilité de l’évènement simple qu’elle favorise. Si cet évènement est croix, sa probabilité sera plus âV lo ? probabilité de l’amener deux fois de suite sera le carré de ou Si l’évènement favorisé est pile, la probabilité de croix sera ^ moins âV À > probabilité de l’amener deux fois de suite sera Cômme on ii’a d’avance aucune raison de croire que l’inégalité fa-

SUR LES PROBARILITÉS.

vôrise Tiin de ces évènemens plutôt que l’autre, il est clair que pour avoir la probabilité de l’évè* nement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne pour cette probabilité qui surpasse j, de ou du carré de l’accroissement ^ que l’inégalité ajoute à la possibilité de l’évènement qu’elle favorise. La probabilité d’amener pile pile est pareillement mais les probabilités d’amener cwix pile, on pile croix ne sont chacune que car la somme de ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou l’iinité. On trouve ainsi généralement que. les causes constantes et inconnues qui favorisent les évènemens simples que l’on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d’un meme évènement simple.

Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de chacun de ces cas est si les possibilités des deux faces sont égales; mais s’il existe entre elles une inégalité inconnue , cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs dont on suppose les adresse.s égales, jouent avec les conditions qu’à chaque coup , celui qui j^erd donne un jeton à son adver-