I^^ ESSAI PHILOSOPHIQUE

raison du bénéfice qu'elles font, donnent un avantage moral toujours inférieur à l'av^uitage mathématique. Mais la surveillance de leur administration peut balancer l'avantage 4^ dssur rances mutuelles. Tous ces résultats sont, conune. on Ta vu précédemment , indépendans de la lot qui exprime l'avantage moral.

On peut envisager un peuple libre, cpoun^ ^^ grande association dont les membres se ga^ç^tissent mutuellement leurs propriétés , eujsfipport^git proportionnellement les charges ffç ççtjte garantie. La confédération de plusieurs, pç^unlfyt leur donnerait des avantages analogues, À f^^f^^. que chaque individu retire de 1^ société.. UnL.Ç9Pr, grès de leurs représentans discuterait 1^^ f^jets d'une utilité commune à tous , et sans doute le système des poids , des mesures et des monnaies • proposé par les savans français, serait adopté dans ce congrès , comme une des choses \e& plus

utiles aux relations commerciales.

Il I ,

Parmi les établissemens fondés sur les probabilités de la vie humaine , les meilleurs sont ceux dans lesquels, au moyen d'im léger sacrifice de. son revenu^ on assure son existence et celle de, sa famille ppur i^n temps où l'on doit crainjc^ de ne plus suffire à $es besoins. Autant le jeu .est immoral, autant ces. é^bU^semen^ sont avanta-.

SÛR LÈS PROBÀBILlt:és. I^

geiix iatfx' tnœuts, en fevorisaiit lei pltis dôvk p&tîàhàix& Vie Ik ùàttife- Le Gouvernement doit doïic'lés eiicourafgèt' et les respecter dans les vicissittrdeâ^ de là ftyrtune publique , car tes esipéfàûcëà qtfflspréfeeiltéiit, portant sur un aveiiir éloigtiiê, ife Wpèd^hti lîrôs^éfer ^'à rabri de toute itiquiétude sur leur durée.* C'est un avantage qiié ViSi^^iMiû dû (jouvernetûent représentatif leur

tJfstftistfti'ihôtdefeempruttts. H est diair que pftîap ékijpîTïMët éû per^^ il faut j^àyet-V

dEiaS^ëlaiiriéè, le produit du capital par le ÏMit étàTi\iiététV Mkià on ^ut vouloir acquitter ce capÙlàïéh ^àlètiiëiis é^aùx faitd pendant tin nombre èkëktiné A'^fenhéesi, pàlenicftià que Ton nommé éinrii^ëà, et tfoiit oh obtient kltisi la valeur. Clia-^ qrfc^àiiiïttlté, j^àxxt êti^è réduite au iiiôméntâétuel, dkittf être diVîiée-pâr ttné ptrissarfcé de l'unité aiug-* lùèûtéètto tkrii de rî*itèrêt,'ëgàle au nônibre dès* années après lesquelles on doit pajfer èêtte ah^' nttÀé: !Ert fdrinant dottc iiné jirbgréiiidii géometHc^tie dont lé pretaiei* tërtne Soit Tânnuité <jBfviiée^îar Tunîté augmentée du taux de l'intérêt, établit le demîef soit cétte'ànhùité diviiséé pâi* là mfttoé quantité élevée à Une puissance ér^alé au liôiubl^ de» années' pèiid^t tesSc^élIes 1è/ pâiè^ tMtà dbit'^oir Ketï; fa ^ôtiiùié d^ 'cette pi*ogiSé^'

194 TSSAl PHILOSOPHIQUE

sion sera équivalente au capital emprunté; ce qui détermine la valeur de l'annuité. Une caisee d'amortissement n'est au fond qu'un moyen de convertir en annuités une rente perpétuelle, avec la seule différence que, dans le cas d'un emprunt par annuités^ l'intérêt est supposé constant ^ au lieu que l'intérêt des rentes acquises par la caisse d'amortissement est variable. S'il était le même dans ces deux cas, l'annuité correspondante aux rentes acquises semit fonné^ de ces rentes, et de ce que l'État donne onoudlement à la caisse. i: . . . i 1,

Si l'on veut &ire un emprunt, viagffî, ; 4>n, observera que les tables de rentes vi^èr^s i4onnant le capital requis pour constituer unarante. viagère à un âge quelconque, une suQplei propoi^ tion donnera la rente que l'on doit fairQ. à Vittdividu dont on emprunte un capitaL On peut calculer par ces principes tous les modes possibles d'emprunt.

Les principes que nous venons d'exposer Mir les bénéfices et sur les pertes des étahlissemensi, peuvent servir à déterminer le résultat .may«n d'un nombre quelconque d'observation^ dé^k faites , lorsqu'on veut avoir égard aux écarts, des résultats correspondans aux diverses- pbaervations. Désignons par x la correction du résultai

SUR liiES PROBABILITÉS. igS

te plus faibte, et par x augmenté successivement de'^, ((^ q"j etc., les corrections des résultats suivans. Nommons g, fc', i", etc., les erreurs des observations dont nous supposerons la loi de probabilité connue. Chaque observation étant une fonction du résultat, il est facile de voir -qu'en supposant très petite la correction x de ce ^ résultat, l'erreur i de la première observation sera égale au produit de x par un coefficient déter- ' idiné; Pareillement Terreur g' de la seconde ob- ^H>atioti sera le produit de la somme q plus x , par un coefficient déterminé , et ainsi du reste. La probabilité de Ferreur î étant donnée par une fotiction conaue , elle sera exprimée par la même fonction du' premier des produits précédens. La probabilité de g' sera exprimée par la même fonction du second de ces produits , et ainsi des autres. La probabilité de l'existence simultanée des erreurs îy €', g", etc. , sera donc proportionnelle au produit de ces diverses fonctions, produit qui sera une fonction de a:. Cela posé, si Ton conçoit une courbe dont x soit l'abscisse , et dont l'ordonnée correspondante soit ce produit, cette •courbe représentera la probabilité des diverses valeurs de x , dont les limites seront déterminées par les limites des erreurs g, g', etc. Maintenant, désignons par X l'abscisse qu'il faut choisir; X

diminué de x sera l'erreur que Ton commettrait si l'abscisse x était la véritable correction. Cette erreur, multipliée par la probabilité de x ou par l'ordonnée correspondante de la courbé , sei-a le produit de la perte par sa probabilité , en regardant , comme on doit le faire , cette erreur comme une perte attachée aux choix de X. En multipliant ce produit par la difféi'entielle de^x^ Tifttégrale prise depuis la première extrémité de la courbe jusqu'à X, sera le désavantage de X, résultant des valeurs de x inférieures à X . Pour les valeurs de x supérieures à X , a* mûiiis i serait l'erreur de X si a: était la vérîtàfcle coi'rection ; l'intégrale du produit de oc par "Tôrdoiiiyée correspondante de la courbe et par la diîBfèrehtielle de x sera donq le désavantage de X , résultant des valeurs de x supérieures à x ^ cette intégrale étant prise depuis x égal à X jùsqù^à la demièrç extrémité de la courbe. En ajoutant ce désavantage au précédent, la somme sera le di^savantage attaché au choix de X. Ce choix clôit être déterminé par la condition que ce rfé'sàVâiitage soit un minimum; et lin calcul fort simple montre que pour cela, X doit être l'abscissé dont l'ordonnée divise la courbe en deux parties ^* les , en sorte qu'd est aussi probable que la vraie valeur de x tombe en-deçà qu'au-delà de X.

SUR t£S PROBABILITES. I97

Des géomètres célèbres ont choisi pour X la valeur de x la plus probable , et par conséquent celle qui correspond à la plus grande ordonnée de la courbe; mais la valeur précédente me paraît être évidemment celle que la théorie des probabilités indique.

Des illusions dans Vestimation des Probabilités.

L'esprit a ses illusions , comme le sens de la vue ; et de même que le toucher corrige celles-ci , la réflexion et le calcul corrigent les premières. La prpbabilité fondée sur une expérience journalière^ ou exagérée par la crainte et par l'espérance, nous frappe plus qu'une probabiUté supérieure , mais qui n'est qu'un simple résultat du calcul. Ainsi nous ne craignons point pour de faibles avantages, d'exposer notre vie à des dangers beaucoup moins invraisemblables que la sortie d'un quine à la loterie de France; et cependant personne ne voudrait se procurer les mêmes avantages^ avec la certitude de perdre la vie si .pe quine arrivait.

Nos passions , nos préjugés et les opinions dominantes , en exagérant les probabilités qui leur sont favorables , et en atténuant les probabilités

198 ESSAI PHliX)SOPHIQUC

contraires, sont des sources abondantes d'illu-' sions dangereuses.

Les maux présens et la cause qui les fait naître, nous affectent beaucoup plus que lé souvenir des maux produits par la cause contraire ; ils nous empêchent d'apprécier avec justesse les.incoBvéniens des uns et des autres , et la probabilité des moyens propres à nous en préserver. C'est ce^i porte alternativement vers le despotisme et ^ërs l'anarchie les peuples sortis de Tétât de repos, dans lequel ils ne rentrent jamais qu'à^ftés dei longues et cruelles agitations. »;•.)!

Cette impression vive que nous !*ecevobs?'d€f la présence des évènemens^ et quitus laisse 'À* peine remarquer les évènemens contraires obse^^ vés par d'autres, est une cause principale^d'ert^tit dont on ne peut trop se garantir.

C'est principalement au jeu qu'une foule d'illusions entretient l'espérance et la soutient ^ûtotrt! les chances défavorables. La plupart de ceux qui mettent aux loteries , ne savent pas ooBâ)ie|i''de^ chances sont à leuràvantage ^ combien leur 8on(contraires. Ils n'envisagent que la possibilité^fi pour une mise légère, de gagner une sommecOD^j sidéra}>le; et les projets que leur imagination enfante , exagèrent à leurs yeux la probabilité de l'obtenir : le pauvre surtout , excité par le désir

d'Mn meilleur sort, expose à ce jeu son nécessaire, en s' attachant aux combinaisons les plus défavo* rs^i>j[Q^, qui lui promettent un grand bénéfice. Tq\i3 , ^raiejit sans doute efira3rés du nombre immense des mises perdues, s'ils pouvaient les CQunaUre ; mais on prend soin, au contraire^ de daaneiiiaux gains une grande publicité, qui devient une nouvelle cause d'excitation à ce jeu fiimestei .s- . • - -

^XorsqUi àt la loterie de France un numéro n'est p|^,4$Qrti depujsr longrtemps , la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge que le numéro r0sté.)<(mg)«>teinps'sajD§ sortir doit, au prochain tiiri^i;! sortir d^ ^préférence aux autres. Une enreur aussi commune' me parait tenir à une illusion par laquelle on se reporte involontairement à l'origine des évènemens. Il est, par exemple!, b'ès^.peu vraisemblable qu'au jeu de crai^, PU pile, on amènera crmx dix £oi« de suite. G^tte iavraisemMai^ce , qui nous frappe encore lorsqa'id ^t arrivé neuf fois, nous^ ^orte à croire qu'au* dixième coup pile arriverai. Cependant le passée en indiquant dans^ la pièceune plus grande pente pour eroioc que>pour pile^ rend le premier de ces évènemens plus probable que l'autre :

il) augmente, comme on l'a vu, la probabilité d'amener croia: au coup suivant. Une fusion

semblable per&uade à beaucoup de man^e^^u^ Ijcm peut gagner.'SÙremeot àla lotm»p en^f^U^çaol chaque foi$^, sur un même ^mlmél!o>j^8qu'àif9fil sortie y une mise dont, le produit ^surpasse; la somme .de toutes les >mises. MsM quand^m^^ de semblables spécdktiodos ne seraiient/pas; acHi^ vent arréjbées par l'impossibilité de les,sou4»e«ir> elles ne diminueraient point le désayantagejma*thématique des spéculateurs» et ^es ^^Qoroîtvaîettt leur désavantage moral , pui^u'i^ ; çi»Aq}^ Xitig^ Ui e]^p<;^raienii une plu^.frandç^paiiflîe^^^

J'ai vu des.hoxameA désirant ardammei^t rdi'n^ voir un^lflf n'apprwdjre qu'avec :p&m> le^wiêr sMiçes des, gar^^ns dans le ii^is> qù ils .allaicirt: devenir père$M S'impgioant que le rapppi^deees nais^as^ces . à qelles «des fiUes^ devait léti'e. le mètm à la fin d^ çjb^ique m^ 9. ils jugeaient quoîl^^ gsvrçQu^ déj^L nés rendaiei^^t plus p^ablesi,les Xi^i^w^oef pix>Qhainei^ des filles. Ainsi ilIexfnaQT j^Oï{i.)d''Une -boule: hlaach(a d^unq urne qui, repir

ferme ,un>:i¥>mlwe J«ui*4 de boul^.biawcheRi/rt d#, boui^s npirea^: 1 ftpcroit , J^ î j^^pb^bilit^ ,^!^7

traire une boule noir^au ^^eiïSuii^îftnt. Mai*

cela oe^ ,4'^oif.);lieu tq^apd( leinombre des Iwule^? de I'^tp^ s»t jiljiwitié!, , çomipe 9» dflît le supposer 9 pp^i: Âssin^iler ce c^.à oeku des

SUR LES PROfiA.BILIT]ÉS. 20I

naissances. Si d^s ie cours d'un mois il était né beaucoup plus de garçons que de filles , on pmirrait soupçonner que vers le temps de leur conception , une cause générale a favorisé les conc^tiops mâjsculines ; ce qui rendrait la naissalice prochaipe d'un garçon plus probable. Les^vènemens irréguliers de la nature ne sont pas exac» tement comparables à la sortie des numéros d'tine lot€^ dans laquelle tx>u8 les numéros scnM tiiéléà à^jcheique tirage , de manière à rendre les cbalnces de leur sortie parfaitement égalés. lia fréquence d'un de ces évènemens semble indiquer une cause un peu'durable qui le favorise, ce'^m augmente la probabilité de son prochain retour; et sa répétition long- temps prolongée , telle qu'une longue suite de jours pluvieux , peut dévdopper dès causes inconnue» de son changement; en sorte -qu^à chaque événement attendu > nous ne isonunes point, comme à chaque tiràfgè d'une loterie, ramenés au même état d'indédsibïi wr ce qui doit arriver. Maiis à' mesure qtte l^rti multiplie }es observations dé ces évènemens , la oomparaisoii de leurs résultats avec ceux des loteries devient plus, exacte. ■'*

Par une illusion contraire aiix précédentes , "oh cherche dans les tirages pâssés^ • de ia loterie de f^rance les numéros le {^lus souvent sortis, pour

2012 EëSÂI PHILOSOPHIQUE

en foFiner ^es combinaisons sur lesquelles ^o» croit placer sa mise avec avantage. Mais 'vu là' manière dont le^ mélange des nuniiéros 'Sq Êâtàf cette loterie , le passé ne doit avoir sar l'arrenir aucune influence. Les sorties plus fréquente^ d'un numéro ne sont que des anomalies dq ha^ sard : j'en ai soumis plusieurs au calcul^^'iettjlaif constamment trouvé qu'elles étaient reîiferxiée^i dans des limites que la supposition d'une' égall» possibilité de sortie de tous les numéros ^'permet^ d'admettre sans invraisemblance. • • ' ' ? ' » ' »J

Dans une longue série d'évènemens du-ménvêi genre , les seules chances du hasard doivent (|pel^' quefois offrir ces veines singulières de bonhéiàri ou de. malheur^ que la plupart deS' joueurs ' he manquent pas d'a,ttribuer à line'SQvteidel latalitëJ II arrive souvent dans les jeux qui dépendent' à la fois du hasard et de l'habileté des^joueuirs', que celui: qui perd y troublé par sa perte , chefebe k ï^jféfamr {Kir des coups hasardeux qufil évitieitaft* dans une aiitire fiitualion : il aggrave ainsi «bn-i propre; malheur^iètii en prolonge la durée. >G?«s( cependant alavSiiqUieiJa! prudence vdevient néœrt^; sairet, et qu'il impose de se «convaincre que te» désavantage 'morall att^ché'atlx chances défavo*-rablesîs'âdcroitjkar le malheur mémci >

Le sentiment. par lequel l'homme s'est placé

SUR LES PROBABILITES. 2o3

long -temps au œntre de Tunivers, en se considérant comme l'objet spécial des soins de la na-^ ture , porte chaque individu à se- faire le centre d'une sphère plus ou moins étendue , et à croire que le hasard a pour lui des préférences. Souter nus par cette opinion y les joueurs exposent sou* vent des sommes considérables à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la çqnduite de la vie ^ une semblable opi-» nion peut quelquefois avoir des avantages; mais le plus souvent elle conduit à des entreprise^ fi«nestes. Ici, comme en tput^ les illusions sotnt dangereuses 7 et la vérité seule est généralement utile.: • »•■■

Un des grands avantages du calcul des prôba*^ bilités est d'apprendre à se d^ier des premiers apdrçùs. Comme on reconnaît qu'ils trompent souvent^ lorsqu'on peut les soumettre^iu calcul y on doit en conclure que sur d'autres» objets il ne.£9iut s'y livrer qu'avec une ck*oonspectioi^ esc^^ * tnême. Prouvons cela par des exemples . • > ^ '

Une urne renferme quatre boules- noires ou/ blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même coideur. On a extrait une de ces botUes^ dontla couleur est blanche, et^que Von a ' remise' datis l'urne pour procéder encore à -dp semblables^ tirages. On demande la probabilité de n'extraire

ao4 BSSAI PHILOSOPHIQUE

que des boules noires dans les quatre tirages suivans.

Si les boules blanches et noirett étaient en non»» bre égal 9 cette probabilité serait la <{uatrième puissance de la probabilité ^ d'extrairel une boule noire à chaque tirage; elle serait donc ^V- ^^ l'extraction d'une boule blanche au premier iJmgQ indique une supériorité dans le nombre des boules blanches de l'urne; car si l'on suppose dan»

l'urne trois bouler blanches et une noire , la probabilité d'en extraire une boule blanche est -f ; elle est f, si l'on suppose deux boules blanches et deux noires ; enfin, elle se réduit à. -j-, si l'on suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de la probabilité des causes, tirée des éyènemens , les probabilités de ces trois aup» positions sont entre elles comme les quantités ^^ j9^i elles sont par conséquent égales à >!, f , -^« Il y a ainsi cinq contre un à parier que le nombne des boules noires est inférieur, ou tout au plu& égal à celui des blanches. Il semble donc que d'après l'extraction d'une boule blanche au prer mier tirage , la probabilité d'extraire de suite quatre boules noires , doive être moindre que dans le casdèFégaUté des couleurs, ou plus pe** tite qu'un seizième. Cependant cela n'est pas, et l'on trouve par un calcul fort simple, cette pro-

StTR Lftft PROBABILITES. ao5

habilité plus grande qu'un quatorzième. En effets elle serait la quatrième puissance de j , de f et de f dans la première , la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l'urne^ En multipliant respectivement chaque puissance par la probabilité de la sup^ position correspondante , ou par f , f et ^ , la somme des produits sera la probabilité d'extraire d^ ^uite qi;atre boules noires; On a < ainsi pour c^de probabilité^^ ^ fraction plttfsfgrande tpace yï« Gè paradoxse ^'ex^dique en considérant queM'in« dicatioti delastipériorité des boules blanches sur les noires par le premier tirage , n'exclut point la supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu^exclut la supposition de l'égalité des oouleuTS^ Or cette supériorité, quoique peu vraisemblable , doit rendre la probabilité d'amener de suite un nombre donné de boules' boires, l^lus grande que dans^ cette supposition, «i ce nombre est considérable; et l'on Tienrf'de^vmr que cela commence , lorsque^ le nombre ddnné est égala quatre. iv

Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules blanches et noires; Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une tboulèblancfae et mie noire. On peut alors parier scvea égalité^ d'ex>traire une boule blanche dans un tirage* Mais il

^o6 ESSAI PIÏItOSaPHlQl/É

semble que pour l'éigalîté an pari , cm 'doîvè' donner à cekii qqi'pâde d^éxtï*aii*è la bolilë blàihicliie deux ttragte, «î i-urae î^enfertile' deux* boules noires et une blanche; trois tirages ,iàî eîlé-Weriferme trois bcMiles noires et' urie blaïithey'et i^lrisi du reste : pnsujipose'qu^âprès chaque* tii^gè Ksi boule extsfaitè eit remise dans Tume. * S ' ' ^ *

Mais il est fetctte'de se convaihdi^ que (5é tiremier aperçu est erroné: En efFèt/'dâûà'fe têts dte deux boides noires • \^at' une blatièRte -, la j^Wbâbilité dfextraii^ de Ftirhé' dteui boiiléi îibtres en deux tirages, est la^condë puidtoiïcé dW|' oti f ; niais cette probabilité ajoutée à t^Ué^d'^faiënel* une boulC' blanche en deux>fitâge^'f^ei3t;l* certitude' owi ' l'unité y puisqu'il eSt* cértàtiv dpie Ton doit amefoer ' deui ferlés noires y ■ 6ù * àhi " tnbîià udoeboiile blanche; la probabiU^'iâë cèxlérniél* casest donc^f 9 fracltow pltri grèfridfe tjtie? |. ^U'^f aurait plus d- avantage encore à paHer d'ameùèr ui^e boidé blandhe en cinq tirages , lorsque l'urnè contient cinq boules noires et une bl^itchè ; Ce pari est même avântageui en quatre tirages : il revient alors à celui d'amener six en quatre coups avec *un seul dé^ ' î

Le chevalier de Mér^é , ami de Pascal , et qui fit naître le^ calcul ^s probabilités , en excitant ce: grand géomètre à' s'^n occuper, lui disait:

SUR MS PROBABILITBS. 207

^ qu'il avait trpuyé fausseté dans i les nombres » par c^tte rai^ou. Si l'on eatreprend de faire ^^j§ix;ayec,un dé., U y ada l'ayantageà l'entre- V .preiadre en .quatre CQups ^ commet de 67 1 4 6â 5 . »,,}^ .l'on lepitrpprend de.^re soone:^^ avec deux y» 4^.,- il.y . a^ désavantage >à l}qntr!q)rendre en » 24 coups, .i^éannioin^ 24?^ à 36)iJiombre de >;^^,^cqs de,d,^i|?^,dés,, comine ,4 est à 6, nombre ^^ djes i^p^?t: d'w dé*^, Ypilà;, .écrivait Pascal à f^ jf ern^Éjt , . quel ^tait . sou .grawl scandale; qui lui ^)j>^.,J^i3aitj4i!>;? ti^utjen^i^t , que les propositions ,^ n'éJpieijIijtjP^jCoo^taates et que l'Arithmétique ;»^,;^ dé^çptf^^^r^ff I^ a très bon esprit, mais il x>^.lQ^'^s^ipfts»géc|U^èit^ev:. cfest^ comme vous savez, ^:f nn^^graff^y^é£^j^. «î^j :I>Çii<jhevalier;de Méré, jj^pi^p^^ar nnei faii^e^.^alQ!gie^' pensait que dans )j^,p4^i4e,Vé£AlM4id^^iP^yîs;i le^liQmbre des coups doit crqîtFe P?îop^tiQ*^P6ll^P*ent a>i nombre de toufe^ le$ çhaujçes possil^l^s, ce qui n'est ][>^s exact, .n^^is ce qui approche d'autant (^us<dâ Kètre^ que ce nombre est plus, gra^d• -, : p.. :»/îtîM) ; . On a essayé d'expliqu^^ la.çf^riQrité des naisf- ^iipes des garçons su^. les puissances des ifilles , par le désir général des pères, d'avoir un fils qui perpétue leur nom./^Aiflsi, en iniaginant une firne remplie d'une infinité de boules blanches et de boules noiri^, en nombre ^gajL^ et supposant

ao8 ESSAI PAILOSOPHIQUB

un grand nombre de personnes dont chacune tire une boule de cette urne , et continue ce tirage avec l'intention de s'arrêter quand elle aura extrait une boule blanche , on a cru que cette intention devait rendre le nombre des boules blan* ches extraites supérieur à celui des noires^ £n' effet , elle donne nécessairement y après tous les tirages, un nombre de boules blanches égal à celui des personnes ; et il est possiUe que ce» ti-^ rages n'amènent aucune boule noire.' Ma)s îà est facile de reconnaître que cet aperçu n*esfc qu'une^ illusion; car si l'on conçoit que dans un premîelp tirage , toutes les personnes tirent à la fois une» boule de l'urne , il est évident que leur ititentioni de peut avoir aucune influence sur la couleur; des boules qui doivent sortir à ce tirage. Son unique e£fet sera d'exclure du second tirage les personnes qui auront amené une boule blancbèf au premier. Il est pareillement visible que l'in^ temion des personnes qui prendront part au nou^ veau tirage , n'influera point sur la couleur des boules qui tortiront^ et qu'il en sera de même des tirages suivans. Cette intention n'influéM donc point sur la couleur des boules extraites dans l'ensemble des tirages; seulement, èlleferti participer plus ou moins de personnes à chacùii d'eux. Le rapport des boules blanches extraites

SUR LES PROBABILITES. 209

aux noires, se^ aiiisi très peu différent deTunité. Il suit de là que le nombre des pei^onnes étant suj^posé fort grand, si l'observation dotthe entre 1^ couleurs extraites un rapport qui diffère sensi-* blement de Funité , il est très probable que la màoie différence a lieu à fort peu près entre l'unité et le rapport des boules blanches aux boules noir^ contenues dans Tume.

le mets 'encore au rang des illusions l'applicatidn <{ue LeibnitE Bt Daniel Bernou^li ont faite du calcid des probabilités à la toinmàtion des séries, ^i l'on réduit la fraction dont le nuirié^ mteup est l'unité, et dont le . dénominateur -est l'unité plus une variable dans une suite ordonnée parTapport aux puissances de cette variable , il est &cile de voir qu'en supposant là variable égale à l'unité, la fraction devient -|- , et la suite devient plus wiy moins un^ plus un^ moins un^ etc. En ajoutant les deux premiers termes , les deux s^i** '■ vans, et ainsi du reste., on transfonpe la suite dans une autre dont chaque 'terme -est 'i^érov Grandi, jésuite italien, en avait conclu la possi«> bîlité de la création ; parce que la suite étant tou« jours égale.à 1^, il voyait cette fraction naître d'une infinité de 2(éros, ou du néant. Ce ftit ainsi que Leibnitz crut voir l'image de la création dans son Aritbipétique binaire , où il n'employait que les

ir»

alO ESSAI PHILOSOimiQUÉ

deux caractères zéro et l'unité. Il imagina que Dieu pouvant être représenté par l'Unité ^ et le néant par zéro , l'Etre suprême avait tiré du néant tous les êtres , comme l'unité avec le zéro exprinie tous les nombres dans ce système d'arithmétique. Cette idée plut tellement à Leibnitz , qu'il en fit part au jésuite Grimaldi, président du tril^unsil de Mathématiques à la Chine , dans l'espérante que cet emUème de la création convertirait eu christianij^ilie l'empereur d'alors , qui aimait pâlfticulièrement les sciences. Je ne rapporte ce tr^iit que pour montrer jusqu'à quel point lés pféjtt^ gés de l'enfance peuvent éganer tes plus gr&tiàs hommes. ' ■

Leibnitz^ toujours conduit par une métapfaji'sique singulière et très déliée , considéra que la suite plM un, moins un, plus un, etc. j devient l'unité ou zéro, suivant que l'on s'arrête à un nombre de termes impair ou pair ; et oomitt dans l'infini il n'y a aucune raison de préfélhSir le nombre pair à l'impair, on doit^ suivant les règles des probabilités ^ prendre la moitié dies résultats relatifs là ces deux espèces de nombres, et qui sont zéro et l'unité;, ce qui donne {- pôtir la valeur de la «érie. Danid Bemoulli a étendti depuis ce raisonnement à la «sommation dès séries formée^ de termes périodiques. Mais tx>ute8

StJR LES PROBÂ.BILIT£S. 21 t

ces séries n'ont point , à proprement parler, de valeurs ; elles n'en prennent que dan3 le cas où l^urs termes sont multipliés par les puissances siMïOQSsives d'une variable moindre que l'unité. Alors ^ ces séries sont toujours convergentes, quelque petite que l'on suppose la différence de Ig. variable à l'unité ; et il est fadle de démontrer que les, valeurs assignées par Bernoulli, en vertu de la règle des probabilités, sont les valeurs mêmes des fractions génératrices des séries , lors* que l'on suppose dans ces fractions la variable éç^le à l'unité. Ces valeurs sont encore les limites dçnt les séries approchent de plus en plus, à mesure que la variable approche de l'unité. Mais lorsque la variable est ^exactement égale à l'unité , les séries cessent d'être convergentes : elles n'ont de valeurs qu'autant qu'on les arrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul desprobabilités avec les limites d^ valeurs des séries périodiques, supposa que les termes de ces sâdas spnt multipliés par toutes les puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuvent résulter du développement d'une infinité de fractions différentes dans lesquelles cela n'a pas lieu. Ainsi , la série plus un, moins un^ plus un, etc. , peut naître du développement d'iune fraction dont le numérateur est l'unité plus la variable , «t dont

ï^ia ESSAI PHILOSOPHIQUE

le dénominateur est ce numérateur augmenté du carré de la variable. En supposant la variable égale à l'unité , ce développement se change dans la série proposée , et la fraction génératrice devient égale à -| ; les règles deâ probabilités donneraient donc alors un faux résultat, ce qUi ptouve combien il serait dangereux d'emplbyèi* de semblables raisonnemens, surtout dans les sciences mathématiques que la rigueur de leuirs procédés doit éminemment distinguer «

Nous sommes portés naturellement à croire que l'ordre suivant lequel nous voyons les choses se renouveler sur la terre , a existé de tout temps, et subsistera toujours. En efifet j si l'état présent de l'univers était entièrement semblable à l'état antérieur qui l'a produit , il fei'ait naître à son tour un état pareil; la succession de ces états serait donc- alors étemelle. J'ai reconnu pai* Tapplication de l'Analyse à la loi de la pesanteur universelle , que les mouvemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites , et la po* sition de leurls orbites et de leurs équateurs, ne sont assujétis qu'à des inégalités périodiques:- En comparant aux anciennes édipses la théorie de l'équation séculaire de la Lune, j'ai trouvé que depuis Hipparque, la durée du jour n'a pas varié d'un centième de seconde, et que la tempé^

ratiire moyenne de la Terre n'a pas diminué d'un centième de degré. Aii^si la stabilité de l'ordre actuel parait établie à la fois par la théorie et par les observations. Mais cet ordre est troublé par diverses causes qu'un examen atteptif fait apercevoir, et qu'il est iinpo^ible de soumettre au calcul.

lies actions de l'Océan , de l'atmosphère et des météores , les tremblemens de terre , et les éruptions de volcans, agitent sans cesse la surface terrestre, et doivent y opérer à la longue des changemens considérables. La température des climats , le volume de l'atmosphère , et la proportion des gaz qui la constituent, peuvent varier d'une manière insensible. Les instrumens et les moyens propres à déterminer ces variations étant nouveaiiix, l'observation n'a pu jusqu'ici rien nouB apprendre à cet égard. Mais il est très peu vraisemblable que les causes qui absorbent et renouvellent les gaz constitutifs de notre air, en maintiennent exactement les quantités respectives. Une longue suite de siècles fera connaître les altérations qu'éprouvent totis ces élémens si essentiels à la conservation des êtres organisés. Quoique les monumens historiques ne remontent pas à une très haute antiquité , il^ i^ous offrent cependant d'assez grands changemens survenu^

2l4 SSSAl PHILOSOPHIQUE

par ractioïi lente et côtititiue des agen^ naturels. En fouillant dans les etitrailleii de la tet*re , on découvre de nombreux dâ>ris d'une nature jadis vivante et toute dififéiHente de là nature actuelle. D'ailleurs , si la terre entière a été prittiitivement fluide , comttie tout paraît l'indiquer, on cdftçoit qu'en passant de cet état à celui qu'elle a maititenant, sa surface a dû éprouver de prodigieux changemens. Le ciel même, malgré Tordre de ses mouvemens , n'est pas inaltérable. La réfeistance de la lumière et des autres fluides éthérés et l'attraction dès étoiles , doivent , après' un très gràhd nombre de siècles, considérablement altérer fes mouvemèïis planétaires. Les variations déjà observées dans les étoiles et dans la forme des nébuleuises , font pressentir celles que le temps développera dans le système de ces grands corps. On peut reprélsenter les états successifs de l'univers par une courbe dont le temps serait l'abscisse , et dont les ordonnées exprimeraient ces divers états. Conna:issant à pleine un élément de cette courbe, nous sommes loin de pouvoir remonter à son origine; et si , pour reposer l'imagination , toujours inquiète d'ignorer la cause des phénomènes qui l'intéressent , on hasarde quelques conjectures , il e^t sage de ne les représenter qu'avec une extrême réserve.

SUR LES PROBABILITES. ai 5

Il existe dans l'estimation des probabilités , un genre d'illusions qui, dépendant spécialement des lois de l'organisation intellectuelle , exige , pour s'en garantir, un examen approfondi de ces loi^. Le désir de pénétrer dans l'avenir, et les rapports de quelques évènemens remarquables avec les prédictions des astrologues, des devins et des augures, avec les pressentimens et les songes, avec les nombres et les jours réputés heureux ou malheiu^eux , ont donné naissance à uqc foule de préjugés encore très répandus. On ne réflécjiit point au grand nombre de non-coïncidences qui n'ont fait aucune impression ou que l'on ignore. Cependant, il est nécessaire de les connaître, pour apprécier la probabilité des causes auxquelles on attribue les coïncidences. Cette connaissance <:onfirmerait , sans doute , ce que la raison nous dicte à l'égard de ces préjugés. Ainsi, le philosophe de l'antiquité , auquel on montrait dans un temple, pour exalter la puissance du dieu qu'on y adorait , les ea: veto de tous ceux qui , après l'avoir invoqué, s'étaient sauvés du naufrage, fit une remarque conforme au calcul des probabilités , en <)bservaiît qu'il ne voyait point inscrits Jes noms de ceux qui , malgré cette invocation , avaient péri. Cicéron a réfuté tous ces préjugés avec beaucoup de raison et d'éloquence, dans son

2l6 ESSAI PHItiOSOPniQdE

Traité de la DivineUion'^ qu'il tenHiifvé pai^ un pa$sage que je^ vads piter^ c$pr pu ^nie ft k^tràuVéi* ohezlçsjaBtfiens^leS' traits de'la raison ùiiitê^elle qm>>&lprà>avoH> dlteipé' tbui^ les^^ "^r sà

luuûène , deviendra l'unique fondement diésinstif tutions humaine^.

« Il faut, dit l'orateur romain,- regcte!* lï dit D vination par- les songes et tous lèi^ pré^gés » semblables. La super stiti^m, partout ré^àndiie, » a subjugué la plupart des. esprits ét'sf^est èttipac^ » rée de la faiblesse des *hourtneS:'*C'è^*tiëquS^ » nou^ avons développé daQs tioé li^t'èi^ sur la jk nature des dieux et spédaleâà'éiltMàni'cèt bu^ » vrage, persuadé que iï<Hïâr'ftr6hfe;irttë cftôsë » utile aux autres et à nouss-mêtté', ^àS^ifotls jiar- » venons à( détruire la superslitloïl^ Cependant p (et j/^ jd/é^ire surtout qu'à cet égard ma* pensée » soit bien'.eompris^)f bn détriaisatït la 'sùpersti* » tipli^ jet sruisloin dé vouloir ébranler la réligiotii. î>JUi,sî^e$6epQus; prescrit de maintenir les insi j^ , )tiit«<i$tfl$ ot )ei| .cérémonies de nos ancêtires;' » touchant le qulte^^i^s dieux. D'ailleurs^ îa' » l^wut^.de! l'uB^v^i» eC l'ordre des choseï^ céf » lestp^ n<;)(ua<fohcent à reconnaître quelque nà-^ 3» X\iT^ sUpéi^'^ieurOf iquit t doit ^ être i^marquée et Xi admirée du g^tirsi humain i Mais autant il con- 30 vieat de . profMLger liai religion qui est jointe à

SUR LES PROBABILITES. ^17

» .la .connaissance die )a nature, autant il faut ^ . ^^y.^iller à extirper la superstition ; car elle » , y^pixs^ ^XQ\\v^le^t^^ vous .pres^e.^ t ivous < poursuit 9 sans ^esj^.^^tpus lieux. Sl.vousconsqltezruii » jd^yip, ÇiU un présage^ si vous inusnolez une vio » time, si vous regardez le vol d'un oiseau, si i> vçu^ f^ejpçontre^ ^n çhaldéen ou un aruspice, » s'il épls^re, s'i) tonne , sila foudre tombe, ëiifin » ,Si'iJ,f;^ait ou s^ n^ai;ufeste une espèce de prodige, » tpjULtes çl](Os^ dont cuvent quelqu'une doit ?> arriver; alorsija superstition qui vous domine » i^^ . vc)|U$ . iqië^ point 4^ repos. Le Siommeil » ,^l(^J;ae,(Çe i^iuge des ni^Qrtels dans leurs peines », et| 4aps lejy[i:§ tiravaux^ 4^^ïit par elle uu'nouT » , ve^u sujet d'iioquiétudea et de frayeurs. »

Tous ces préjugés et le^ frayeurs qu'ils in^ir rept, tiennent à des pauses physiologiques qui coiutinuent quelquefois, d'agir fortement, après que la.raiscm lious a désabusés; Mais la répétition d'actes contraire^ à ces préjugés» peut toajoéirs les détruire. C'est ce que nous alloAs établie ^^af les considérations suivantes. ■ ' '

Aux limites de la Physiologie visible, commence une autre Physiologie dont les phénomènes, beaucoup plus Variés que ceui de la première, sont comme eux, assujettis à des lois qu'il est très important de connaître. Cette Physiologie,

Ï2il8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

que nous désignerons sous le nom de Psjrcholo^ giCy est sans doute une continuation de la Phy^ siologie visible. Les nerfs , dont les filamens se perdent dans la substance médullaire du cerveau, y propagent les impressions qu'ils reçoivent des objets extérieurs , et ils y laissent des impressions permanentes qui modifient d'une manière inconnue le sensorium ou siège de la sensation et de la pensée, (i) Les sens extérieurs ne peuvent rien apprendre sur la nature de ces modifications étonnantes par leur infinie variété , et par la distinction et l'ordre qu'elles conservent dans le petit espace qui les renferme; modifications dont les phénomènes si variés de la lumière et de l'électricité nous donnent quelque idée. Mais en appliquant aux observations du sens interne , qui peut seul les apercevoir, la méthode dont on a fait usage pour les observations des sens externes , on pourra porter dans la théorie de l'entendement humain j la même exactitude que dans les autres branches de la Philosophie naturelle.

Déjà quelques-uns des principes (a) de Psyclio-

(i) Les considérations suivantes sont entièrement indépendantes du lieu de ce siège et de sa nature.

(2) Je désigne ici par la dénomination de principes, les rapports généraux des phénomènes.

SUR LES PROBABILITléS. îilQ

logie ont été reconnus et développés avec succès. Telle est la tendance de tous les êtres semblablement organisés, à se mettre entre eux en harinonie. Cette tendance , qui constitue la sympathie y existe même entre des animaux d'espèces diverses : elle diminue à mesure que leur oi^anisation est plus dissemblable. Parmi les êtres doués d'une même organisation, quelques-uns se coordonnent plus J)romptement entre eux qu'avec les autres. La nature inorganique nous offre de semblables phénomènes : deux pendules ou deux montres dont la marche est très peu différente, étant placées sur im même support, finissent par avoir exactement la même marche , et dans un système de cordes sonores , les vibrations de l'une d'elles font résonner toutes ses harmoniques. Ces effets, dont les causes bien connues ont été soumises au calcul, donnent une idée juste de la sympathie qui dépend de causes bien plus compliquées.

Un sentiment agréable accompagne presque»

toujours les mouvemens sympathiques. Dans la plupart des espèces d'animaux, les individus s'attachent ainsi les uns aux autres et se réunissent en sociétés. Dans l'espèce humaine, les imaginations fortes ressentent un vrai bonheur à dominer les imaginations faibles , qui n'en res- ^ntent pas moins à leur obéir. Les sentimens

aaO ESSAI PHILOSOPHIQUE

sympathiqueiB excités à la fois dans un' grand nombre d'individuô , s'accroiss^t par leur réaction mutuelle , comme on l'observe au théâtre. Le plaisir qui en résulte, raj^roche les personnes d'opinion^ semblables , que leur réunion exalte quelquefois jusqu'au fanatisme. Delà naissent les sectes , la ferveur qti'elles excitent , et la rapidité de leur propagation. Elles offrent dans l'histoire les plus étonnans et léâ pluis funestei^' exemples du pouvoir de la Sympathie. On a sou* vent lieu de remarquer la facilité bvee laquelle lés mouvemens sympathiques, tels que le rire, se communiquent parla simple vue, 3ai^s le concours d'aucune «mtre cause dans ceux qui les reçoivent. Jj'influênçede.la sympathie sur -le sïehsd^iùtti est incomparablement plus puissante : les vibrations qu'Ole jr iexcite ,' lorsqu'elles isonit extrêmes , produisent, en réagissant sur l'économie animale, des effets extraordinaires que l'on a, dans les siècles de superstition 9 attribués à des agens surnajturels ,■ et qtii , par leur singularité , méritent l'attention des observateurs. ^

X4 tendance à Timitàtion existe même à l'^anl' des objets de l'imagination. Placés dans une Voî^ ture qui nous paraît se diriger vers un obstacle , nous imitons iÀvt>lt(yntaîrement le mouvement qu'elle doit prendre* pour l'éviter. On peut conce-

SUB L£S PBOBABILITES. âSlt

Voir que Tid^ de ce mouvement et la tendance à rimiter corre^^ip^dent k dea^ mouvemetiâ du sensorium^ doQtle premier produit lé si^Cotid, à peu pr^ çomiii^.Ies vibrations: dfunecordeâonor^ font vibrer se» harmoniques. On explique ainsi comment . ridée de la chute dans un précipice fortement imprimée par la peur, peut y faire tom<ber Celui qui le traverse sur une planche étix>ite qu'il parcot^rrait d'un pas ferme , si elle était posée dans .toute S£| longueur sur la terre. Je connais des piersonnes qui éprouvent une telle excitation à se précipiter d'une grande hauteur où 6lleà se voient élevées, qu'elles sont forcées, poulr y résister, d'avtgmenjLer les précautions prises pour les retenir, et cependant bien propres à les ras« sureri

Par une nobleprérogative de l'espèce huma^ine^ le récit d'actions grandes et vertueuses nous^n* flamme et nous porte à les imiter. Mais quelques individus tiennent de leur organisation ou depet^ ipicieux exem|des, des penchans funestes 'qu'ien** cite vivement le récit d'une action criminelle devenue l'objet de l'attentipp .publique* Sous ce rapport, la publicité des.c;riGp^.n'e$t.pas;$anfi^ danger. ■•. -,. i!-. •;.; •i.-.>f «u, > .

la commisération, la ^nveillance ^et^ beaucoup d'autres sentimens dérivent ^e la sympathie.

Ilà2 £SSAI PmtOSOPHiQUE

Par elle 9 on ressent les maux d'autrui^ et l'on partage le contentement du malheureux qu'on soulage. Mais je ne veux ici qu'exposer les principes de Psychologie, sans entrer dans le développement de leurs conséquences ( i ).

L'un de ces principes, le plus fécond de tous ^ est celui de la liaison de toutes les choses qui ont eu dans le sensorium une existence simultanée ou régulièrement successive;, haisoa qui, par le retour de l'une d'elles, rappelle les autres. Les objets que nous avons déjà vu9, réveillent les traces des choses qui, dans la premtène vue^ leur étaient associées. Ces traces réveillent seiih blablement celle des autres objets, et ainsi de suite; en sorte qu'à l'occasion d'une chose présente, nous pouvons en rappeler une infinité d'autres, et arrêter notre attention sur cdles que nous voulpns considérer. A. ce principe se rattache l'emploi des signes et des langues pour le rappel des sensations et des idées, pour la formation de l'analyse des idées complexes , abstraites et générales , et pour le.raisonixement. Vhir

(i) La narration que Montagne fait dans ses Essais, de Tamitié qui existait ètitre lui et la Boetie , offre un exemple bien i^marquable d'un genre de sympathie extrêmement rare.

SUR LES PHOBABILITIÉS. 1^23

sieurs philosophes ont bien développé cet objet qui, jusqu'à présent, constitue la partie réelle de la Métaphysique.

C'est en vertu de ce principe que l'on parvient à estimer les distances à la simple vue. Une com* paraison souvent répétée du mètre avec diverses distances qui en contiennent des nombres entiers, imprime dans la mémoire ces traces associées aux nombres de mètres qui leur correspondent. La vue d'une distance que l'on veut apprécier réveille ces traces; et si l'une d'elles s'adapte exactement ou à fort peu près à l'impression dé la distance que l'on a sous les yeux , on juge que cette distance renferme le nombre de mètres associé dans la mémoire à la trace qui paraît lui être égale. C'est encore ainsi que l'on parvient à estimer le poids des corps , en les soupesant.

On peut établir en principe de Psychologie, que les impressions souvent répétées d'un même objet sur divers sens, modifient le sensorium^ ;de mà^ nière que l'impression intérieure correspondante à l'impression extérieure de l'objet sur un seul sens , devient très différente de ce qu'elle était à l'origine. Développons ce principe, et pour cela, considérons un aveugle de naissance auquel on vient d'abaisser la cataracte. L'image de l'objet qui se peint sur sa rétine , produit dans son sen^

^a4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

sorium une iinpi:ession que je nommerai seconde image ^ sans prétendre l'assimiler à la première ^ ni rien affirmer sur sa nature. Cette seconde image n'est pas d'abord une représentation fidèle tie l'objet ; mais la comparaison habituelle des impressions de cet objet par le tact, avec celles qtf îF produit par la vue, finit, en modifiait le sensorium , par rendre la seconde image confbnâé' îi la nature représentée fidèlement par lé toucher. L'image peinte sur la rétine ne change ptfiift'^ mais l'image intérieure qu'elle fait naître ti'ëè^ plus la même, comme les expériences £iites^^1^' plusieurs aveugles de naissance autqiièls on aviiit' rendu la vue, l'ont prouvé.

C'est principalement dans l'enfance <jue le sén^ sorium acquiert ces modifications. L'enfant, comparant sans cesse les impressions qu^il reçoit d'un même objet, par les organes de la vue et du toucher, rectifie les impressions de la vue. Il dispoèiè son sensorium à donner aux objets viëibles la forme indiquée par le tact dont les impression^ s'associent intimement avec celles de la vue , qui les rappellent toujours. Alors les objets visibles sont aussi fidèlement représentés que les objets tactiles. Un rayon lumineux devient pour la vue ce qu'est un bâton pour le toucher. Parce moyen, le premier de ces sens étend beaucoup plus loin

SUR LES PROBABILITES. a^S

que le second , la sphère des objets tle ses impressions. Mais la Yoùte céleste ^e-méme , à laquelle nous attachons les astres, est encore très bornée; et ce n-est que par une longue suite d'observations et de calculs que nous sommes parvenus à reconnaître les grandes distances de ces corps y et à les éloigner indéfiniment dans l'immensité de l'espace.

Il paraît que dans plusieurs espèces d'animaux la disposition du sensorium y qui nous fait apprécia les distances j est naturelle. Mais l'homme y pour lequel la nature a remplacé presque en tout l'instinct par l'intelligence, a besoin, pour le suppléer, d'observations et, de comparaisons qui servent merveilleusement à développer ses facultés intellectuelles et à lui assurer, par ce développement, l'empire de la terre.

.Les images intérieures ne sont donc pas les effets d'une cause unique : elle résultent , soit des impressions reçues simultanément par le même sens ou par des sens différens^ soit des impressions intérieures rappelées par la mémoire. L'influence réciproque de ces impressions eat un principe psychologique fécond en conséquences. Développons quelques-unes des principalies.

Qu'un observateur, placé . dans • une profonde obscurité , voie à des distances différentes deux

globes lumineux d'un même diamètre, ils lui paraîtront d'inégale grandeur. Leurs images intérieures seront proportionndles aux images correspondantes , peintes sur la rétine. Mais si l'obscurité venant à cesser, il aperçoit en même temps que les globes, tout l'espace intermédiaire, cetle Tue agrandit l'image intérieure du globe le plus éloigné et la rend presque égale à celle de l'autre globe. C'est ainsi qu'un homme, vu aux distances de deux et de quatre mètres, nous parait de la même grandeur : son image intérieure ne varie point, quoique l'une des images peînteft sur k rétine soit double de l'autre. C'est encore par l'impression des objets intermédiaires que la lune à l'horizon nous semble plus grande qu'au s^nitfa. On aperçoit au-dessus d'une branche voisine de l'œil , xui objet que l'on rapporte au loin et qui parait fort grand. On vient ensuite à reconnaître le Uen qui l'unit à la branche : sun-le-champ, la perception de ce lien change l'image intérieure et la réduit à ime dimension beaucoup moindre. Toutes ces choses ne sont point de simples juge* mens, comme quelques métaphysiciens l'ont peoh se : elles sont des effets physiologiques dépendaila des dispositions que le sensorium a contractées par la comparaison habituelle des impres* sions d'un même objet sur les oi|;anes de plu-^

SUR LES PROBABILITÉS. IVf]

sieurs sens , et spécialeinent sur ceux du toucher et de la vue.

L'influence des traces rappelées par la mémoire , sur les impressions qu'eicitent les objets extérieurs , se feit remarquer dans un grand ïiombre de cas. On voit de loin des lettres, sans pouvoir distinguer le mot qu'elles expriment. Si quelqu'un prononce ce mot, ou si quelque circonstance en rappelle la mémoire, aussitôt l'image intérieure de ces lettres ainsi rappelées se superpose , si je puis ainsi dire , à l'image confuse produite par Fimpression des caractères extérieurs, et la rend distincte. La voix d'un acteur que vous entendez confusément , devient distincte lorsque vous lisez ce qu'il récite. La vue des caractères rappelle les traces des sons qui leur répondent ; et ces traces se mêlant aux sons confus de la voix , les font distinguer. La peur transforme souvent de cette manière les objets qu'une trop faible lumière ne fait pas reconnaître, en objets effrayans , qui ont avec eux de l'analogie^ L'image de ces derniers objets , fortement retracée dan9 le sensorium par la crainte , se rend propre l'impression des objets extérieurs. Il est important de se garantir de cette cause d'illusion , dans les conséquences que l'on tire d'observations de choses qui ne font qu'une impression très légère :

telles sont les observations de la dégradation de la lumière à la surface des planètes et des satellites, d'où l'on a conclu l'existence et l'intensité de leurs atmosphères, et leurs mouvemens de rotation. Il est souvent à craindre que des images intérieures ne s'assimilent ces impressions et le penchant qui nous porte à croire à l'existence des choses que représentent les impressions reçues par les sens.

Ce penchant remarquable tient à un caractère particulier qui distingue les impressions venant du dehors, des traces produites par l'imagina-' tion ou rappelées par la mémoire. Mais il arrive quelquefois par un désordre du sensorium ou des organes qui agissent sur lui , que ces traces ont le caractère et la vivacité des impressions extérieures : alors, on juge présens leurs objets, on est visionnaire. Le calme et les ténèbres de la nuit favorisent ces illusions qui, dans le sommeil, sont complètes et forment les rêves dont on aura une juste idée, si Ton conçoit que les traces des objets qui se présentent à notre imagination dans l'obscurité , acquièrent une grande intensité pendant le sommeil.

Tout porte à croire que dans les somnambules quelques-uns des sens ne sont pas complètement endormis. Si le sens du toucher, par exemple,

SUR LES PROBABILITES. 229

reste encore un peu sensible au contact des objets extérieurs, les impressions faibles qu'il en reçoit, transmises au sensorium , peuvent, en se combinant avec les images du rêve d'un somnambule, les modifier et diriger ses mouvemens. En examinant , d'après cette considération , les récits bien avérés des choses singulières opérées par les somnambules , il m'a paru que l'on pouvait en donner une explication ^rt simple.

Quelquefois les visionnaires croient entendre parler les personuages qu'ils se figurent, et ils ont avec ;eux, une conversation suivie : les ouvrages des ipédecins sont remplis de faits de ce genre. , . :

Charles Bonnet cite,, comme l'ayant couvent observé, son aïeul maternel, «vieillard, dit-il, » plein de santé , qui , indépendamment de toute » impression, du dehors, aperçoit de temps en » temps devant lui des figures d'hommes , de fem- » mes, d'oiseaux, de voitures, debAtimens; etc. » Il voit ces. figures se donner dififérens mouve- » mens, s'approcher, s'éloigner, fiiir,. diminuer » et augmenter de grandeur, paraître, disparaî- » tre, reparaître. Il voit les bâtimens s'élever sous ». ses yeux , etc. Mais il ne prend point ses visions » pour des réalités : sa raison s'en amuse. Il » ignore d'un moment à l'autre quelle vision va

23o ESSAI PHILOSOPHIQUE

» s'offiîr à lui. Son cerveau est un théâtre qui » exécute des scènes d'autant plus surprenantes y> pour le spectateur, qu'il ne les a point prévues. » En lisant l'histoire de Jeanne d'Arc, on est forcé de reconnaître une visionnaire de bonne £ch dans cette fille admirable, dont l'exaltation courageuse contribua si puissamment à délivrer la France de ses ennemis. Il est vraisemblable que plusieurs de ceux qui se sont annoncés qpnme ayant reçu leurs doctrines d'un être surnaturel, étaient visionnaires : ils ont d'autant mieux persuadé les autres, qu'ils étaient eux-mêmes persuadés. Les finaudes pieuses et les moyens violens dont ensuite ils ont fait usage, leur ont paru justifiés par l'intention de propager ce qu'ils jugeaient être des vérités nécessaires aux hommes.

Un caractère particulier distingue des produits de l'imagination , les traces rappelées par la mémoire, et qui sont dues aux impressions des objets extérieurs. Il nous porte comnœ par iiutinct, à reconnaître l'existence passée de ces objets, dans l'ordre que la mémoire nous présente. Les expériences que nous fisdsons à diaque instant, de la vérité des conséquences que nous en tirons pour nous conduire , fortifient ce penchant. Quel est le mécanisme qui, dans cette opération du sensorium, détermine notre jugement? noosTi-

SUR LES P&OBABILITjÉS. »3l

gnorons , et bous ne pouvons en observer que les effets. En vertu de ce mécanisme, les traces de la mémoire y quoique faibles, nous jbilt apprécier leur intensité primitive^ que nous pouvons i9insi comparer aux impr^sipns semblables d'ob* jets présens. NcHis jugeons de cette inanière, qu'une couleur qua nous avons vue Ibl veiUe, était pbis vive que celle qui frappe maintenant notre vue.

Les impressions qui accompagnent les traces de la mémoire, servent à nous en rappeler les causes. Ainsi , lorsqu'au souvenir d'une cbose qui nous a été dite, se joint le souvenir de la confiance que nous avons donnée au narraJteur ; si son nom nous échappe , nous le retrouvons , ^n rappelant successivement les noms de ceux qui nous ont entrejteuiuâ, jusqu'à ce que^ous parvenions au nom qui nous a inspiré cett^ confiance^

Les impressioa» reçues dans l'enfance se conservent jusque dans l'ex&éme vieill^se, «et se renouvejilent alors même que des impre^H>ns pr^o- /Ebndes de l'âge mur sont entièrement effacées. Il seml>le que les premières impressions gavées pro&mdém^t dans le .sensorÀun» f n'attendenit , pour Deparaîtne , qu<e Y^^jiBiiAi^mme^t des j^npressiom subséquentes, pstr l'â^ ou par 1^. m^axj|j«, à peu près çomv^ 1^? a^trei^ qu'eff^Lçait ^a clarté

du jour, se montrent dans la nuit ou dans les éclipses de soleil.

Les traces de la mémoire acquièrent de Tintensité, par VeSet du temps et à notre insu. Les choses que Ton appi'end le soir, se gravent dans le sensorium pendant le sommeil, et se retiennent facilement par ce moyen. J'ai observé plusieurs fois , qu'en cessant de penser pendant quelques jours à des matières très compliquées , elles me devenaient Êiciles lorsque je les ooûsidérais de nouveau.

Si nous revoyons un objet qui nous avait frappé par sa grandeur, long-temps après que la Vue fréquente d'objets du même genre, beaucoup plus grands , a diminué l'impression de grandeur qu'ils font éprouver, nous sommes surpris de le trouver fort au-dessous de son impression conservée dans la mémoire.

Quelques hommes sont doués d'une mémoire prodigieuse. L'exactitude avec laquelle ils répètent de longs discours qu'ils viennent d'entendre, nous étonne. Mais lorsqu'on réfléchit à tout ce que renferme la mémoire de la plupart des hommes , on est bien plus étonné que tant de choses y soient placées sans confusion. Ck)nsidérez un chanteur sur la scène : sa mémoire lui rappelle chaque mot de son rôle , le ton , la mesure et le

SUR LES PROBABILITES. ^33

geste qui doivent raccompagner. Un nouveau rôle succède- 1- il au premier, celui-ci semble comme e£facé de sa mémoire qui retrace dans l'ordre convenable toutes les parties du second rôle, et qui rappellerait de la même manière les divers rôles que le chanteur a étudiés. Ces traces dont le nombre est immense, ou du moins les dispositions propres à les faire naître , existent à la fois dans son sensorium sans se confondre , et l'acteur peut les rappeler à sa volonté. Je dois répéter ici , que par les mots trace ^ image ^ vibrations, etc. , je n'entends exprimer que des phénomènes du sensorium, sans rien affirmer sur leur nature et sur leurs causes ; comme en mécanique , on n'exprime que des effets ,• par les moXsforcej attraction, affinité, etc.

Les opérations du sensorium et leà mouvemens qu'il fait exécuter, deviennent plus faciles et comme naturels, par de h^uentes répétitions. De ce principe psychologique découlent nos habitudes. En se combinant avec la sympathie , il produit les coutumes, les moeurs et leurs étranges variétés. Il fait qu'une chose généralement reçue chez un peuple , est regardée par un autre avec horreur. Les combats, de gladiateurs, dont les Romains aimaient passionnément le spectacle, et les sacrifices humains qui souillent les annales

a34 CSSAl PHIIâOSOPHIQUE

des nations, nous paraîtraient faombles. Quand on considéra Tétat d^lorable des esclaves y Tavilissement des Parias dans Tlnde, et rabsordité de tant de croyances contraires à la ra^n et au témoignage de tous nos sens, on est afiSigé de voir jusqu'à quel point l'habitude de Tesdavage et les préjugés ont dégradé l'espèce humaine.

Cette disposition, que. la fréquence des répétitions donne au sensorium , rend très difficile la distinction des habitudes acquises d'avec les penchans qui , dans l'homme , tiennent à son organisation ; car il est naturel de penser que l'instinct, si étendu et si puissant chez les animaux, n'est pas nul dans l'espèce humaine , et <pie rattachement d'une mère à son en&nt en dérive. La doii^ ble influence de l'habitude et de la sympadiie modijBe ces penchons ; souvent elle les £Drtifie, quelquefois elle les dénature au point de leur sid>stitiier des penchons contraires.

Plusieurs observations Eûtes sur l'homme et sur les animauK , et qu'il est bien important de continuer, portent à cnoire que les modifications du sensorium, auxquelles l'habitude n donné une grande consistaooe^ se tran^mi^ttent éi» pères aux edo£ans par voie .df^ génér^tîoi) ^ comme plusieurs dispositions org^anÂques. Uxie diiq^itian oiîgi* nalle à tous les mouvem^os ei^tîérîeurs^t intéiieurs

SUR LES PROBABILITÉS. !l35

qui accompagnent les actes habituels j explique , de la manière la plus simple y l'empire que les habitudes enracinées par les siècles exercent sur tout xm peuple , et la facilité de leur communication aux enfans , lors même qu'elles sont les plus contraires à la raison et aux droits imprescriptibles de la nature humaine.

La facilité qu'un exercice fréquent donne aux organes^ est telle qu'ils continuent souvent d'euxmêmes les mouvemens que la volonté leur imprime. Lorsqu'en marchant, nous sommes fortement occupés d'une idée , la cause qui renouvelle à chaque instant notre mouvement, agit sans le xx>nçours de notre volonté et sans que nous en ayons la conscience. On a vu des personnes surprises' en marchant par le sommeil, continuer leur route et ne se réveiller que par la rencontre d'un obstacle. Il paraît qu'en vertu d'une disposition que la volonté de marcher donne au système moteur, la marche continue, à pea près comme le mouvement d'une montre est entine* tenu par le développement de son ressort spiral. Un dérangement dans l'économie animale peut produire cette dispojBÎtion. Alors la marche est involontaire ; et je tiens d'un médecin éd£^, que dans une maladie de ^e genre qu'il avait traitée , le malade ne pouvait s'an^éter qu'en se retenant

à un point fixe. Les observations des maladies peuvent ainsi répandre un grand jour sur la Psychologie 9 quand les médecins joignent aux connaissances de leur art et des sciences accessoires, l'esprit d'exactitude et de critique que donne l'étude des Mathématiques, et spécialement de la science des probabilités.

Le sensorium peut recevoir des impressions trop faibles pour être senties, mais suffisantes pour déterminer des actions dont nous ignorons la cause. Barbeu-Dubourg , traducteur français des Œuvres de Franklin, rapporte dans sa traduction le fait suivant, qu'il tenait d'un marchand de Paris : « Un jour, dit- il , que cet hon* » néte homme marchait dans les rues de Saint- » Germain , songeant à des afiaires fort sérieuses, » il ne put s'empêcher de moduler tout bas, che- » min faisant, l'air d'une ancienne chanson qu'il » avait oubliée depuis bien des années. Arrivé à » deux cents pas de là, il commença à entendre, » dans la place publique, un aveugle jouer oe » même air sur son violon ; et il s'imagina que » c'était une perception légère, une semi^per' » ception du son de cet instrument , afiiBdbli par » l'éloignement , qui avait monté ses organes sur » ce ton , d'une manière insensible à lui-même. » Il assure que depuis ce temps il s'est donné

» souvent le plaisir de suggérer des airs à son ». gré à un atelier d'ouvrières, sans pouvoir être » entendu d'elles. Lorsqu'il cessait un moment » de les entendre chanter, il fredonnait tout bas » l'air qu'il voulait qu'elles chantassent, et cela » ne manquait presque jamais de leur arriver » sans qu'elles l'eussent sensiblement entendu^ » ou qu'aucune d'elles s'en doutât. »

D'après ce que nous avons dit sur l'influence réciproque des traces du sensorium , on conçoit que la musique^ par de fréquentes répétitions^ peut communiquer à nos mouvemens la régularité de sa mesure. C'est ce que l'on observe dans la danse et dans divers exercices où la précision des mouvemens ainsi régularisés, nous semble extraordinaire. Par cette régularité, la musique rend généralement plus faciles les mouvemens que plusieurs personnes exécutent à la fois.

Un phénomène psychologique très remarquable, est la grande influence de l'attention sur les traces du sensorium : elle les grave profondément dans la mémoire , et elle en accroît la vivacité en ménie temps qu'elle affaiblit les impressions concomitantes. Si nous regardons fixement un objet, pour y démêler quelques particularités , l'attention peut nous rendre insensibles aux

a3B ESSAI PHILOSOPHIQUE

impressions que d'autres objets font en même temps sur la rétine. Par elle^ les images des choses que nous voulons comparer acquièrent Tintensité nécessaire pour que leurs rapports occupent seuls notre pensée. Elle réveille les traces de la mé* moire qui peuvent servir à cette comparaison ^ et par là elle devient le plus puissant ressort de l'intelligence humaine.

L'attention donnée fréquemment à une qualité particulière des objets , finit par douer les organes d'une exquise sensibilité ^ qui fait reconnaître cette qualité lorsqu'elle devient insensible au commun des hommes.

Ces principes expliquent les singuliers efiFets des panoramas. Quand les règles de la perq>ective y sont bien observées, les objets se peignent sur la rétine , comme s'ils étaient réels. Le spectateur est donc alors dans l'état que ferait naitre la réalité des objets. Mais la perspective n'est jamais assez exacte pour que l'identité soit parfaite. D'ailleurs, les impressions étrangères, quoique faibles , se mêlant aux sensations principales qae produit la perspective , nuisent d'abord à TiUii^ sion. L'attention donnée au panorama les efface; mais il faut pour cela un temps plus ou moins long, dépendant des dispositions du sensoriinn et de la perfection du panorama. Dans tous ceux

SUR L^S PROBABILITÉS. aSg

que j'ai vus, un intervalle de quelques minutes m'a été nécessaire pour acquérir une illudion complète.

Le principe suivant de Psychologie explique un grand nombre de phénomènes qui ont un rapport direct avec l'objet de cet ouvrage. « Si » l'on exécute fréquemment les actes qui décou- » lent d'une modification particulière du senso- » rium , leur réaction sur cet organe peut , non- » seulement accroître cette modification , mais » quelquefois lui donner naissance. » Ainsi, le mouvement de la main qui tient une longue chaîne suspendue, se propage le long de la chaîne jusqu'à son extrémité inférieure; et si la chaîne étant parvenue au repos , on met en mouvement cette extrémité , la vibration remonte jusqu'à la main qu'elle fait mouvoir à son tour. Ces mouvenvens réciproques deviennent faciles par la frô* quence de leurs répétitions^

Les effets de ce principe sur la croyance sont remarquables. La croyance ou l'adhésion que nous donnons à une proposition est ordinaire^ ment fondée sur l'évidence, sur le témoignage des sens ou sur des probabilités : dans ce dernier cas, son degré de force dépend de celui de la probabilité qui dépend elle-même des données

24o ESSAI PHILOSOPHIQUE

que chaque individu peut avoir sur l'objet de son jugement.

Nous agissons souvent en vertu de notre croyance , sans avoir besoin d'en rappeler leô preuves. La croyance est donc une modification du sensorium , qui subsiste indépendamment de ces preuves quelquefois entièrement oubliées , et qui nous détermine à produire les actes qui €n sont les conséquences. Suivant le principe que nous venons d'exposer^ une répétition fréqnei^te de ces actes peut (aire naître cette modifioalimi j surtout s'ils sont répétés à la fois par un ^rahd nombre de personnes ; car alors , à là force de leur réaction , se joint le pouvoir dé l'imitatkÂi , suit^ nécessaire de la sympathie. Qaand 'oes aètes sont un devoir que les circonstances nosts imposent y la tendance de l'économie animale à prendre l'état le plus favorable à notre bien«élre, nous dispose encore à la croyance qui les hit exécuter avec plaisir. Peu d'hommes résistent à l'action de toutes ces causes. > •■ '*

.Pascal a l;>ien développé ces effets j dans un article de ftes Pensées, qui a ce singulier titres qu'il e^t difficile de, démontrer V existence de Dieu par lef. lumières na^uréllee^ mais que. le plus sûr est de la croire. Il ^'exprime ainsi en s'adressant à un .incrédule.. M Yous voulez aller à la foi, et

» VOUS n'en savez pas le chemin; vous voulez » guérir de l'infidélité , et vous en demandez le » remède. Apprenœ-le de ceux qui ont été tels » que vous , et qui n'ont présetitement aucun » doute. Ils savent ce chemin que vous voudriez )» suivre y et ils sont guéris d'un mal dont vous » voulez guérir. Suivez la manière par où ils ont » commencé. Imitez leurs actions extérieures, A si vous ne pouvez encore entrer dans leurs disj» positions intérieures; quittez ces vahis amu- » s^nfiQS qui vous occupent tout entier. J'aurais » bientôt quitté ces plaisirs, dites-vous, si j'avais » la foi. Et moi je vous dis que vous auriez » bientôt la foi si vous aviez quitté ces plaisirs. » Or c'est à vous à commencer. Si je pouvais , )> je vous donnerais la foi : je ne le puis , ni » par conséquent éprouver la vérité de ce que » vous dites; mais vous pouvez bien quitter ces » plaisirs , et éprouver si ce que je vous dis est » vrai.

D II ne faut pas se méconnsutre : nous sommes » corps autant qu'esprit ; et de là vient que l'ins- )> trument par lequel la persuasion se fait, n'est » pas la seule démonstration. Combien y a-t-il » peu de choses démontrées? Les preuves ne con- » vainquent que l'esprit : la coutume fait nos » preuves les plus fortes. Elle incline les sens

a4a £S^l PHILOSOPHIQUE

» qui entraînent Tesprit sana qu'il y pense. Qui » a démontré qu'il fera demain jour, et que nous » mourrons? et qu'y a-t-il de plus luûverselle^ » jment cru ? C'est donc la coutume qui n<pnift eA » persuade^ c'est elle qui fût tant de turcs et de » païens; c'est elle qui fait les métiers ,. lea » soldats, etc. Il est vrai qu'il ne faut pas ^(mff 9 mencer par elle pour trouver 1^ vérité ( mais » il faut avoir recours à elle quand un^ fpis l'esH » prit a vu où est la vérité, afin d^ nous abreuver » et de nous teindre de cette croyance qui nous » échappe à toute heure; car d'en avoir tjoujoturft ». les preuves présentes , c'est trop d'a£faire$^ Ijt » faut acquérir une croyance plus facîlre , 4|ui esà » , ceUe de l'habitude qui , sans violence^ sana Àrt^> »,; sans argument, nous fait croire les choses^, el »,. incline toutes nos puissances à cette ûnoya^ce., )^ . .^ Qorte que notre âme y tombe natuFeUementw'. A. .Ce n'^t pas assez de ne croire que par la force ^ ,4^'. 1^^ ^ conviction , si les sens nous portent ià » croire Je. contraire,- U faut donc &ire marcheb » nos deux pièces ensemble : l'esprit ^ pcir les ra»-t ». SQX^ qji^'il^^Hffit d'î^vQir vues une fois en sa vie ; »„ et les ,sQn^ r 9^ \^ coutume , et en ne leur pei]- », . jttf^n\ psis de;, p'^inoliner au contraire. x> ; • i ; . , .i.a mpy W ,quQ prppose Pascal pouf la cc»iveir^« sipnid'.un.imçn^çlMlle^i pei«. f*re .emploij^é avec

SUR LSS PROBABILITÉS. ^43

succès pour détruire un préjugé reçu dès Tenfanoe et enraciné par Thabitude. Ces sortes de préjugés naissent souvent de la plus &ible cause, dans les imaginations actives. Qu'une personne , attachant au mot gauche une idée de malheur, fesse journellement de la main droite une chose qi*e l'on puisse exécuter îndifieremment de Tune ou 'de raûtre main ; cette habitude peut accroître la répugnance k se servir pour cela de la main gauche , au point de rendre la raison impuissante contré cfe préjugé. Il est naturel de croire qu'Auguste \ doué d'une raison supérieure à tant d'é- ^àrds , s'est reproché quelquefois sa faiblesse de A'osep se meltre cm route le lendemain d'un jour de^ ftnre , et qu'il a voulu la surmonter. Mais au ittoment d'entreprendre un voyage dans l'un de ces jours réputés malheureux , il a pu se dire que lé^plus^ sûr était de le différer, augmentant ainsi sa* répiignance par l'habitude d'y céder. La répétition' fréquente d'actes contraires à (Tes pi^jûgés doit) à ia longue, les afiaibUr et les'&ire entièrement disparaître.

>L'altachement que l'on ^porte aux personnes qu'çn a souvent oMigées, décMtJe du principe que nous «venons de dévelèipper'. La répétition fréquente d'actes en leurûiveur, accroît et foit même naître quelquefois le sentiment dont ils

a44 ESSAI PHILOSOPHIQUE

sont la suite naturelle. Les actes que le ^ôûl d'une chose nous fait exécuter fréquemnient , augmentent l'intensité de ce goût, et le tt^tisforment souvent en passion .

On voit par ce qui précède, combiien notre croyance dépend de nos habitudes. Accoutumés à juger et à nous conduire d'après un certcôn genre de probabilités , nous donnons à ces pror habilita notre assentiment , comme par iiïstincti, et elles nous déterminent avec plus dç force que des probabilités bien supérieures, résulta^,4ç.Ui réflexion ou du calcul . Pour diminuer autant qu'il est possible cette cau^e d'iUusipn , il faut appeler l'imagination et les sens au secours d^e la raispi^. Que l'on figure par des lignes les probabilités respectives , on sentira beaucoup mieux leur différence. Une ligne qui représenterait la pro):)'abiliîé du témoignage sur lequel un fait extràordînaîréiElit appuyé , placée à côté de la ligne qtlt rept^^hte*fait rîrivtaisemblance de ce fait , rendrait'tré^ iék- ^lé là probabilité de Terreur du témôigiiagé'; cbtame tin' tëbleari dans lequel les hautethM^dtus montagnes §drit x^pprochées , donne une idéeiW]^ pfdtité dfesi^fJpôWs die bes hâiîrteurs; Ce thoyètipékt être employa dkiiS plusieurs cas avec succès. Porir rendre séniiblé riiîiiiiiiÉfnsité de Ttinivers, qué'rôfa représente par' une quantité presque imperdep-

SUR LES PBOBABIUTÉS. ^45

tible, par un dixième de millimètre, la plus grande étendue de la France en longueur, la distance du Soleil à la Terre sera de quatorze mètres : celle de l'étoile la plus proche surpassera un million et demi de mètres^ c'est-à-dire sept onhiiit fois le rayon du plus grand horizon que Fceil puisse embrasser du point le plus élevé. On n^aura encore aiînsi qu'une très faible image de Ik grafedeiit idè l'univers qui s'étend infiniment àù-délà dès filus brillantes étoiles, comme le •prouve '(îè nombre prodigieux d'étoiles placées les unies âu-dèïà âes antres , et se dérobant à la vue dans la profondeur des cieux. Mais toute faible qu'elle est,, cette image suffit poiir nous fair^ sentir 1 absurdité des. idées de prééminence

..■.«//il- . I •

de l'hQmme sur toute la nature, idqes dont on a .tiré,4^.4.ç.trange^çpnséq^^^ , ^. .:•: mî

,^9\i§ , ét^Jîlirons , çnfin , , , comme , m inçi^p ^ de P^^ypl^plçgie , l!exagérat^on, dç^.pr9bî^^4^^é|StBw%r L^ipas^ions. Ls^ chose quej'o^ qrfiint qu q|ue l'on 4ésii:^ vivmieQt,; nous ,si9i]|bl^^.,pik^. 9§^l ^^çxpua, plijs probable. Son. image , ^ ^^rfpnçyant ç^fti^i^ dans le sensorium ^ laJQEaibUt If wpç^fftiji. f^ips; .pf^p- Jbahdlités contraire» , €;t , q^fi^iv^pi? Jç^ ; ^^€5 . ^ point de faire çroir^. la, pJjjO^^nivçfç, , I^ iréfle^ipn ejt Je. temps, ^^ndimw^i^tja y^yaçif^ 4? <^:esi.spft-.

a46 E^AI PHILOSOPHIQire

timens, rendent à Tesprit le calme nécessaire ponr bien apprécier la probabilité des choses.

Les vibrations du sensorium doivent être, comme tous les mouvemens , assujéties aux lois de la Dynamique , et cela est confirmé par Texpérience. Les mouvemens qu'elles impriment au système musculaire , et que ce système communique aux corps étrangers, sont, comiUe danè te développement des ressorts , tels , que le centre commun de gravité de notre corps et de! ceux qu'il fait mouvoir reste immobile. Ces vibrations se superposent les unes aux autres ^ comftnei oh voit les ondulations des fluides se mél^ sâps se confondre. Elles se communiquent aux i^idivldus, comme les vibrations d*un corps sottorfeaiax corps qui Tenvironnent. Les idées complexées se foî^ ment de leurs idées simples , comme lé flux de la mer se compose des flux partiels que produisent le Soleil et la Lune. L'hésitation entre des motifs opposés est un équilibre de forces égales. Les changemens brusques que l'on produit dans le sensorium , éprouvent la résistance qu^un Système matériel dppose à des changemens éembkblés; et si l'on VeÀt 'éviter ies seconsseset nepas perdre de force Vive, il^feut agir, comme dans ce système , par nuances insensibles. 'Une att^ition forte et continue épuise le sensorium , comme

SU& LES PROBABILIXJSS. ^47

une longue suite de commotions épuise une pile voltaïque^ ou l'organe électrique des poisson. Presque toutes les comparaisons que nous tirons des objets matériels^ pour rendre sensibles les choses intellectuelles , sont, au fond 9 des identités.

J^ désire que les considérations précédentes, tput, imparfaites qu'elles sont, puissent attirer Tattention des observateurs philosophes sur les lois du sen^rium ou du monde intellectuel , loi» qu'il BOUS Importe autant d'approfondir que xelle^'du monde physique. On a imaginé d^ .hypçkthèsQs à peu près semblables poiu* expUquer le&.fphé90menes de ces deux mondes. Mais les fondedieos de (Q€^< hypothèses échappant à tous nos moyens d'observation et de calcul , on peut à leur égard^ dire avec Montaigne, que V ignorance et Vinouriosité sont un mol et doux cheyat^ pour reposer, une tête bien faite.

Des dii^rs mcgrens d€^pprocher de la certitude ^u

L'induction, l'analogie, des hypothèses fondée$ sur lesiaits et rectifiées sans c;esse par de nouvelles observations^ un tact heureux donné pur la natuk^^ et fortifié par des comparaisons nombreuses: de ses indications avec l'ej^érleace ;;, tels somt. le$ principaux moyens de parvenir i à laf vérité. .

a48 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Si l'on considère avec attention la ' série, des objets 4e m^me joature^ on aperçoit entre «lui, et dans leurs changemens^ de& rapports qui se manifestent de plus en plus à mesure queja- âérie se prolonge ) et qui, en s'étendant et se général* sant sans cesse , conduisent enfin au piij^cipe dioil ils dérivent. Mais souvent ces apports sont emye^ loppés.de t^nt de circonstances étrfiQgèi:eâ, qu'il fi^ut. une grande sagacité pour les démélcff eit poun rjemonter à ce principe : c'est en c^; qu^ ^ctmA $iste Iç véritable génie de& sciences, ï^'AjoalgM et la Philosophie naturelle doivent ., latu'ç - pliia importantes découvertes à ço i^apyien, dE^cqmd que l'on nommC; induction. Ij[iew|on lui. a tété ri^yable de so^ théorème du ^ippoiei* Qt du principe de la gravitation universelle. Il QStt diffî<> cile d'apprécier la probabilité des résiiiltats de l'induction ^ qui se fonde sur ce que les. rapporUi les p^us simples sont les plus communs : c'esît qe q^| sie véi^e. dans les formules de l'Analyse^ e).,jÇfS que^ l'on retrouve dans les phénomène» i]^ur€il^ , dan$, la c^st^JUsat^op . et dans les combin^MSQQS d^iwiqn^r Cette siqqUiicilé de r^qpporta i^e p^aîtI^.,poi^t étonnante, si l'on cmisidéK que t^u^ les efiets^de la. nature ne sont que les résultats matliématiques d'un petit nombi^. lie lois immuables.

SUR LCS PROBÀBILfPlÊS. ^49

Cependant rihduction, en fkisant découvrir les prineipes généraux des* sciences , hé snfflt pa^ pour les établir en rigueur. Il feut tdùjatlts' lè^ oonfirmer par des démonstrations, ou pstr^dèi expériences décisives.; car ^histoire des ^àdéncè^ nofi» montre: que IHnduction a quelquefois' cetaduit à des réisultats inexacts. Je citerai pôûY* exempley \m théorème de Fermât sur les nom^ bresjplrettilew.'ee grand: géotnètre, qui avait ph>j fondement inédite sut leur théorie , cherchait nnè (omûxilè (^i, ne renfermant que des notnbrës pWé^ miéysfdohnât directement un nombre iprémiéi* ffhis^^atidqtt'au^iun nombre assignable. L'Btfdttction'lë eoiidttfsit à penser que deux , érevë'àlafwe *puiâ9atiée ^iri était elle-même une puissaiicief de deiix, ïorinôît avec l'unité un nônibre piféU mier. Ainsi deux , élevé au carfè , jplus titi', formie'^ le nombre premier cinq : deux, élëviÔ à la ^dridef puissance dft deux , ou seize, foftiie avec Wii 1è nontbre premier dix-âept. Il ti^ôUvà-^ë ëéM^ët^^ encore vrai pour la huitièine'ët latstelzièttiè jJùi^ sance de deux , augmentées de l^UÈlîtê ; et ëèWèf induction , âppnyé€J de phisi^tirt» cbUsidératidiiS arithmétiques , lui fit^ Wgttrdfef èë l^ulttît ctotttmfè? général. Gependanfrftavmia qd'iÛné i'^Vâft pàk démontré. En eflFety Eulerâ ïiôfcotrtiu qùe-^délà' cesse d'avoir lieu pour la trente-deuxième pui*-

â5o £^AI P0XLO$OPH1QUï:

^nce de dçux , qui , augmentée de Tumibé 9 donne 4294967297 , nombre divisible par 64 1 •

Nous jugeons pstr induction ^ que si des év^ nemens divers , des mouvemens par exemple', paraissent constamment et depuis long-temp^ liés par un rapport simple , ils continueront, sans ceisse d'y être assujétis; et nous en concluons piM^Ja théorie des probabilités , que, ce rapport estiiû, non au hasard , mais à une causée régulièi^e. Ainai l'égalité des mouvemens de rotatiop et dfi révolur tion de la Lune ; celle des mouvem^os des noeuds . d^ l'orbite et^ de l'équateur lunaire ^ «t 1^ coïnoir dence de ces nœuds ; le rapport wig^lierjdfs xopitvepiens des trois premiers satejjijitesi. de, Jupiter, suivant lequel la longitude mpyeinne du prepûar satelUte, moins trois fois ^oelle du second ^ plus 4eux: fois celle du troisième , est égale à deux; angles droits; l'égalité de l'intervalle des . i^ai:ée^. ^ çplui des pasisages de la Lune au méridien ; le ^er fiçun de^p^ gx:andes marées avec lessyzygies^ et dçs plM$ petites, avec les quadratures ; toutes o^ choses ) qMi.se qos^iQtiennent depuis qu'on les qh^serve I indiq^çnt ;^v^ ime vraisemblqaice ejtptremf l'e^stençe 4^ a^^iep congelantes que les géomètres so^t Jbi^ireuseQi^ixti p^urenw 4 rattachera la loi de la pçsanjbçur im^iveriseU^^fit dont la connaii^sanoe rend certaijia^l^ perpétujlté de ces rapports.

SUR LEià PROBABILITÉS. 1l5l

Le chancelier Bacon , promotseur si éloquent de la vraie méthode philosophique , a feit de l'induction un abus bien étrange, pour prouver rîmmobilité de la Terre. Voici comme il raisonne dans le Novum Organum^ son plus bel ouvrage, ce Le mouvement des astres , d'orient en occident, est d'autant plus prompt, qu'ils sont plus éloignés delà Terre. Ce mouvement est le plus rapide pour les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne , un peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite , jusqu'à la Lune et aux comètes les moins élevées. Il est encore perceptible dans l'atmosphère, surtout entre les tropiques, à cause des grands cercles que les molécules de l'air y décrivent; enfin il est presque insensible pour l'Océan ; il est donc nul pour la Terre. » Mais cette induction prouve seulement que Saturne et les astres qui lui sont inférieurs ont des mouvemens propres , contraires au mouvement réel ou apparent qui emporte toute la sphère céleste d'orient en occident , et que ces mouvemens paraissent plus lents poàr les astres plus éloignés; ce qui est conforme aux lois de l'Optique. Bacon aurait dû être firappé de l'inconcevable vitesse qu'il foùt supposer aux astres, pour accomplir leur = révolution diùhie, si la Terre est immobUe , et de l'extrême sitnplicité avec laquée sa rotation explique comment

Stâa ESSAI PHILOSOPHIQUE

dés corps aussi distans les uns des 'adtres que les étoiles y le Soleil , les planètes et la Lune, semblent tx>us assujétis à cette révolution* Quant à rOcéfiai= et à l'atmosphère , il ne devait point assi-^ miler leur mouvement à celui des astres, qui sont détachés de la terre ; au lieu que l'air et la mer faisant partie du globe terrestre , ils doivent par^ ticiper à son moitvem^it ou à son repoi. Il est singulier que Bacon , porté aux grandes vues par son 'génie/ n'ait pas été entfÉÛné'par l'idée nlajestuëuse que le systèmie de Coijiérmc oflfrte de Fuwivérs. Il pouvait cependant trbtiVër, en faveur de ce système, de fortes 'aMlë^ii^ dàfti les découvertes de Galilée, ijui kii lêfàieht côritiutes. Il a donné , pour la reèherch^ de la vérité , le' précepte ethon l'exèto^lé: Mais éri ' insistatit avëctoutefla force de la ràîsoiïi et de Télbquence ; sur* la liécessitéd'abandoïmerles^ subtilités insi^ giiîfiitBÈte^ de Fécôle, pour selivrei* aux obsei^ vation^'et aux expériences;' et en' îddiquaiit U vrs^e" méthode dé -«^éfever aux ^uses générale de&phé^okllènélïV ^'g^^^ philosophe a contrit bué aux progrèi 'immenses que l'esprit humain a faits dans té' -beau siècle où il a terminé sa carrière.

L'analogie est fondée sur la probabilité que les choses iSemblàbtes ont des causes du même

sua !.£$ PROaiBILlTis. 253

genre, et produisent les mêmes effets. Plus la similitude est parfaite, plus cette . probabilité augix^ente» Ainsi nous jugeons saifes aucune douté que des êtres pourvus des mêmes organes , nké*- GutanjL les mêmes choses , éprouvent les mêmes sensations et sont mus par les mêmes désira; La probabilité que les animaux qui se rap4 prppbent de nou^ par leurs organes, ont des sensations analogues aux nôtres, quoiqu'un peu i^f^rie^ire à celle qui est relative aux individus de ^tre lai^pèce,, ^t encore e^^cessivement grande ;M il a^f^llu toute il'yafluence des préjugés religieujt pçjur iairi^jpçtnser à quelques philosophes que l^^ .a]ijijuQ(t^\ix , pj^njli , d^ purs automates. La pro^ b^Uté, 4q . Vç^^j^<^ ^u sentiment décroît . k mesure que l^ similitude des organes ayec: les nptres diminue; mais elle €»st toujours très, ibrtef, même pp^r les insectes* Eu voyant ceux d'un9 mçmef espèce exécuter des choses fort rOmlplî^ qiu^s,. exactement de la mémemaniQreîy^degénér r4ji;^^$en.générations et sansles atoif àpprises^^ 01^ , §st; porté . à . croire iqu'ils > a^s^pt . par | uni^ SQj^te jd'afifi^ité , analogi^e à , ftjeUft f^vi rapprocha les molécules des çristauiKy n^^ir qi^ , s^ jçdsélaaU^u sentiment attaché à toute organisation animale^ produit, avec lar^gularitaélde«c<wbipaiSAW5 chimiques^ des combinaisicws b^9wp<i[\^p. plus singu^

254 E8SAI PHIIX>SOPHIQUE

lières : on pourrail peut-être nommer affinité animale ce mélange des afiBiiités électives et du sentiment. Quoiqu'il existe beaucoup d'analogie entre l'organisation des plantes et celle des animaux , die ne me parait pas cependant suffisante poiu* étendre aux végétaux la £aunilté de sentir; mais rien n'autorise à la leur refuser.

Le Soleil Élisant éclore par l'action bienfaisante de sa lumière et de sa chaleur les animaux et les plantes qui couvrent la terre, nous jugeons par l'analogie qu'il produit des efiGots semblables sur les autres planètes; car il n*est pas naturel de penser que la matière dcmt noos voyons Tac^ tivité se développer en tant de façons j soit sté* nie sur une aussi grosse planète que Jupiter qui ^ comme le globe terrestre, a ses jours, ses nuits et ses années , et sur lequel les observations m^ diquent des changemens qui supposent des forces tr^ actives. Cependant , ce serait donner trop d'extension à l'analogie que d'en condare la similitude des habitans des planètes et de la Terre. L'homme , &it pour la température dont il jouit et pour l'élément qu'il respire 9 ne pourrait pfas, selon toute. apparence, vivre sur les antres pla^ nètes» Mais ne doit>«il pas y avoir une infinité d'^ganisatioiis. relatives aux diverses coostitn* tipn^ des^globi^ deeet univers? Si la seule difi!^

reuce des élémens et des climats met tant de variété dans les productions terrestres, combien plus doivent différer celles des diverses planètes et de leurs satellites ! L'imagination la plus active ne peut s'en former aucune idée ; mais leur existence est très vraisemblable.

Nous sommes conduits par une forte analogie à r^arder les étoiles comme autant de soleils doués, ainsi que le nôtre , d'un pouvoir attractif . proportionnel à la masse et réciproque au carré des distances; car ce pouvoir étant démontré pour tous les corps du système solaire et pour leurs plus petites molécules , il paraît appartenir à toute la matière. Déjà les mouvemens des petites étoiles que l'on a nommées doubles à cause de leur rapprochement , paraissent l'indiquer : un siècle au plus d'observations précises , en constatant leurs mouvemens de révolution les imes autour des autres 7 mettra hors de doute leurs att)*àcfiota^' réciproques. ^

L'analogie qui nous porte à faire de chaque' étoile le centre d'un système planétaire est beaucoup moins forte que la précédente; mais elle acquiert de la vraisemblance par l'hypothèse que nous avons proposée sur la ^formation des étoiles et du Soleil; car, dans cette h^otbèse, cfaaqae étoile ayant été comme le Soleil-, -primitivèmeht

environnée d'une vaste atmosphère, il est naturel d'attribuer à cette atmosphère les mêmes effets qu'à l'atmosphère solaire , et de supposer qu'elle a produit, en se condensant, des planètes et des satellites.

Un grand nombre de découvertes dans les sciences sont dues à l'analogie. Je citerai, comme une des plus remarquables, la découverte de l'électricité atmosphérique, à laquelle on a été conduit par l'analogie des phénomènes électriques avec les effets du tonnerre.

La méthode la plus sûre qui puisse nous guider dans la recherche de la vérité, consiste à s'élever, par induction, des phénomènes aux lois et des lois aux forces. Les lois sont les rapports qui lient entre eux les phénomènes particuliers : quand elles ont fait connaître le principe général des forces dont elles dérivent, on le vérifie soit par des expériences directes, lorsque cela est possible, soit en examinant s'il satisfait aux j^énomènes connus; et si par une rigoureuse analyse on les voit tous découler de ce principe jusque dans leurs moindres détails ; si d'ailleurs ils sont très variés et très nombreux, la science alors acquiert le plus haut degré de certitude et de perfection qu'elle puisse atteindre. Telle est devenue l'Astronoinie par la découverte de la pe-

SUR LES PROBABILITES. ^5'J

santeur universelle. L'histoire des sciences fait voir que cette marche lente et pénible de l'induction n'a pas toujours été celle des inventeurs. L'imagination impatiente de remonter aux causes, se plaît à créer des hypothèses; et souvent elle dénature les faits , pour les plier à son ouvrage: alors y les hypothèses sont dangereuses. Mais quand on ne les envisage que comme des moyens de lier entre eux les phénomènes pour en découvrir les lois; loi^qu'en évitant de leur attribuer de la réalité , on les rectifie sans cesse par d(& nouvelles observations , elles peuvent con*duire aux véritables '.causes , ou du moins , nous mettre à portée de conclure des phénomènes observé^, ceux qu^ des circonstances données doivent fa^e éclore .

Si r.pn, essayait toutes les hypothèses que l'on peut fqrmer sur la cause des phénomènes , on parviendrait, par voie d'exclusion, à la véritable. Ce moyen a été employé avec succès : quelquefois on est arrivé à plusieurs hypothèses qui expliqu^ent également bien tous les faits connus , et entre lesquelles les savans se sont partagés , jusqu'à ce que des observations décisives aient fait connaître la véritable. Alors il est intéressant pour l'histoire de l'esprit humain, de revenir sur ces hypothèses, de voir comment elles parve-

258 ES5iU PHILOSOPHIQUE

naient à expliquer un grand nombre de faits, et de rechercher les changemens qu'elles doivent subir pour rentrer dans celle de la nature. C'est ainsi que le système de Ptolémée, qui n'est que la réalisation des apparences célestes, se transforme dans l'hypothèse du mouvement des planètes autour du Soleil , en y rendant égaux et parallèles à l'orbe solaire , les cercles et les épicycles que Ptolémée fait décrire annuellement et dont il laisse la grandeur indéterminée. Il suffît ensuite, pour changer cette hypothèse dans le vrai système du monde , de transporter en sens contraire à la Terre , le mouvement apparent du Soleil.

Il est presque toujours impossible de soumettre au calcul la probabilité des résultats obtenus par ces divers moyens : c'est ce qui a heu pareillement pour les faits historiques. Mais l'ensemble (des phénomènes exphqués ou des témoignages est quelquefois tel , que sans pouvoir en apprécier la probabilité , on ne peut raisonnablement se permettre aucun doute à leur égard. Dans ks autres cas , il est pnident de ne les admettre^ qu'avec beaucoup de iréserve.

SUR LES PROBABILITÉS. ^Sq

Notice historique sur le Calcul des Probabilités.

Depuis long-temps on a déterminé dans les jeux les plus simples , les rapports des chances favorables ou contraires aux joueurs : les enjeux et les paris étaient réglés d'après ces rapports. Mais personne , avant Pascal et Fermât , n'avait donné des principes et des méthodes pour soumettre cet objet au calcul, et n'avait résolu des questions de ce genre un peu compliquées. C'est donc à ces deux grands géomètres qu'il faut rapporter les premiers élémens de la science des probabilités , dont la découverte peut être mise au rang des choses remarquables qui ont illustré le XVII* siècle , celui de tous qui fait le plus d'honneur à l'esprit humain. Le principal problème qu'ils résolurent par des voies difierentes , consiste, comme on l'a vu précédemment, à partager équitablement l'enjeu entre des joueurs dont les adresses sont égales, et qui conviennent de quitter ime partie avant qu'elle finisse, la condition du jeu étant que pour gagner la partie, il faut atteindre, le premier, un nombre donné de points différent pour chacun des joueurs. Il est clair que le partage doit se faire proportionnellement aux probabilités respectives des joueurs de gagner cette

partie, probabilités dépendantes des nombres de points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal est fort ingénieuse , et n'est au fond que l'équation aux difiGérences partielles de ce problème, appliquée à déterminer les probahili*tés successives des joueurs, en allant des nombres les plus petits aux suivans. Cette méthode eat limitée au cas de deux joueurs : celle de ' Fermatî, fondée sur les combinaisons, s'étend à un nombre quelconque de joueurs. Pascal crut d'abord qu'elle était, comme la sienne , restreinte à «deux joueur»; ce qui établit entre eux une discu^sioa à la fin de laquelle Pascal recoimut la ;généralité de la méthode de Fermât. ; 1

Huygens réunit les divers problèmes que l'on avait déjà résolus, et en ajouta de nouvteaux,, dans un petit Traité, le premieit qui ait paru sur cette matière, et qui a pour titre : De Eatiocimis inludo4ileœ^ Plusieurs géomètres s'en occupèrent ensuite : Hudde^ le grand pensionnaire Witti en Hollande, et Halley en Angleterre, appliquèireiit le calcul aux probabilités de la vie humaine^ et Halley publia pour cet objet, la première 1 table de mortalité* Vers le même temps y Jaeques BernouUi proposa aux géomètres divers problèmes de probabilité dont il donna depuis des solutions. Enfin il composa son bel ouvrage intitulé luirs

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conjectandi^ qui ne parut que sept ans après sa mort, arrivée en 1706. La science des probabilités est beaucoup plus approfondie dans cet ouvrage que dans celui d'Huygens : l'auteur y donne une théorie générale des combinaisons et des suites, et l'applique à plusieurs questions difficiles, concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par la justesse et la finesse des vues , par l'emploi de la formule du binôme dans ce genre de questions, et par la démonstration de ce théorème, savoir : qu'en multipliant indéfiniment les observations et les expériences , le rapport des évènemens de diverses natures approche de celui de leurs possibilités respectives, dans des limites dont l'intervalle se resserre de plus en plus, à mesure qu'ils se multiplient, et devient moindre qu'aucune quantité assignable. Ce théorème est très utile pour reconnaître par les observations , les lois et les causes des phénomènes. Beraoulli attachait avec raison une grande importance à sa démonstration qu'il dit avoir méditée pendant vingt années.

Dans l'intervalle de la mort de Jacques BernouUi à la publication de son ouvrage, Montmort et Moivre firent paraître deux traités sur le calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre : Essai sur les Jeux de hasard; il con-

Sl6^ ESSAI PHILOSOPHIQUE

tient de nombreuses applications de oe calcul aux divers jeux. L'auteur y a joint dans la se^ conde édition , quelques lettres dans lesquelles Nicolas Bernoulli donne des solutions ingénieu«ses de plusieurs problèmes difficiles. Le traité de Moivre , postérieur à celui de Montmort, parut d'abord dans les Trcaisactions philosophiques de Tannée 1 7 1 1 . Ensuite l'auteur le publia séparément^ et il l'a perfectionné successivement dans les trois éditions qu'il en a données. Cet ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme, et les problèmes qu'il contient ont^ ainsi que leurs solutions, une grande généralité. Mais ce qui le distingue , est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette tiiéorie est l'mtégration des équations linéaires fifux difiFérences finies à coefficients ^x>nstans , intégration à laquelle Moivre parvient d'une ma- Àière très heureuse.

' Moivre a repris dans son ouvrage le théorème de Jacques Bernoulli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d'obserMa" tions. Il ne se contente pas de faire voir, coitime Bernoulli, que leTÔpport des évènemens qui doivent arriver approche sans cesse de «celui de leurs possibilités respectives ; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabiKié que

SUB LES PROBABILITES. ^6Z

la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela, il détermine le rapport du plus grand terme du développement d'une puissance très élevée du binôme à la somme de tous ses termes , et le logarithme hyperbolique de l'excès de ce terme sur les termes qui en sont très voisins. Le plus grand terme étant alors le produit d'un nombre considérable de facteurs , son calcul numérique devient impraticable. Pour l'obtenir par une approximation convergente, Moivre fait usage d'un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remarquable, surtout en ce qu'il introduit la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon, dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut41 extrêmement frappé de ce résultat que âtirhing avait déduit de l'expression de la circonférence en produits ioénis, expression à laquelle Wallis était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies.

Plusieurs savans, parmi lesquels on doit distinguer Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure, Simpson, Sussmilch, Messène, Moheau^ Price, Baily et DuviUard,

ont réuni un grand nombre de données prëcieU'ses sur la population ^ les naissances, les mariages et la mortalité. Ils ont donné des formules et des tables relatives aux rentes viagères, aux tontines, aux assurances, etc. Mais dans cette courte notice , je ne puis qu'indiquer ces travaux utiles , pour m'attacher aux idées originales. De ce nombre est la distinction des espérances mathématique et morale, et le principe ingénieux qœ Daniel £er]:ioulli a donné pour soumettre celle-ci à l'analyse. Telle est encore l'application heureuse qu'il a faite du calcul des probabilités à Tinbculation . On doit surtout placer au nôtaibi^ de ces idées originales, la considération directe des possibilités des évènemens, tirées des évènemens observés. Jacques BernouUi et Moivre supposaient ces possibilités connues, et ils cherchaient la prdbaJ^ilité que le résultat des expériences à faire approchera de plus en plus de les représenter. Bayesr^^^dans les Transactions philosophiques de l'année ï 763^ a cherché directement la probabilité que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites sont comprises dans des liim*> tes données ; et il y est parvenu d'une manière fine et très ingénieuse, quoique un peu embarra»» sée. Cet objet se rattache à la théorie de la probabilité des causes et des évènemens futurs ,

SUR LES PROBABILITES. a65

conclue des évènemens observés; théorie dont j'exposai , quelques années après , les principes , avec la remarque de l'influence des inégalités qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales. Quoique l'on ignore quels sont les évènemens simples que ces inégalités favorisent , cependant cette ignorance même accroît souvent la probabilité des évènemens composés.

En généralisant l'Analyse et les problèmes concernant les probabilités , je fus conduit au calcul des diiOférences finies partielles que Lagrange à traité depuis, par une méthode fort simple, et dont il a fait d'élégantes applications à ce genre de problèmes. La théorie des fonctions génératrices, que je donnai vers le même temps, comprend ces objets parmi ceux qu'elle embrasse, et s'adapte d'elle-même et avec la plus grande généralité aux questions de probabilité le& pliis difficiles. Elle détermine encore par des appixK^imations très convergentes, les valeurs «des fonStions composées d'un grand nombre de termes dt de facteurs ; et en faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon entre le plus souvent dans ces valeurs , elle montre qu'une infinité d'autres transcendantes peuveat s'y introduire.

On a encore soumis au calcul des probabilités

les témoignages, les votes et les décisions des assemblées électorales et délibérantes , et les jugemens des tribunaux. Tant de passions , d'intérêts divers et de circonstances compliquent les questions relatives à ces objets, qu'elles sont presque toujours insolubles. Mais la solution de problèmes plus simples, et qui ont avec elles beaucoup d'analogie , peut souvent répandre sur ces questions difficUes et importantes , de grandes lumières que la sûreté du calcul rend toujours préférables aux raisonnemens les plus spécieux. L'une des plus intéressantes applications du calcul des probabilités concerne les milieux qu'il £siut choisir entre les résultats des observations. Plusieurs géomètres s'en sont occupés, et Lagrange a publié, dans les Mémoires de Turin , une belle méthode ponr déterminer ces milieux, quand la kn des erreurs des observations est con- Bue. J'ai donné pour le même objet , une méthode fondée sur un artifice singulier qui peut être emplqyé avec avantage dans d'autres que»* tions d'analyse, et qui en permettant d'étendre indéfiniment dans tout le cours d'un long calcul, des fonctions qui doivent être limitées par la na» toare du problème, indique les modifications que chaque terme du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations. On ayu précédemnieiit

SUB LES PROBABILITES. ^67

que chaque observation £>urnit une équation de condition du premier degré , qui peut toujours être disposée de manière que tous ses termes soient dans le premier membre y le second étant zéro. L'usage de ces équations est une des causes principales de la grande précision de nos tables astronomiques , parce que l'on a pu ainsi faire concourir un nombre -immense d'excellentes ob» servations à la fixation de leurs élémens. Lorsqu'il n'y a qu'un seul élément à déterminer, Côtes avait prescrit de préparer les équations de condition de sorte que le coefficient de l'élément inconnu fût positif dans chacune d'elles; et d'ajou* ter ensuite toutes ces équations, pour former une équation finale d'où l'on tire la valeur de cet élément. La règle de Cotes fut suivie par tous les calculateui^. Mai&^ quand il iiallait déterminer plu^ sieurs élémens , on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de condition de manière à obtenir les équations finales nécessaires : ; sea*lement, on choisissait pour chaque ^ment lés observations les plus propres à le déterminer^ Ce fiit pour obvier à ces tatonnemens que MM. L^ gendre et Gaiiss imaginèrent d'ajouta* les carrés des premiers ïnembres des équations de condition, et d'en rendre la somme ^un mmimum^ en y fàir saut varier chaque ilém^it . inconnu : par ce

a68 ESSAI PHILOSOPHIQUE

moyen on obtient directement autant d'équations finales qu'il y a d'élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations méritent-elles la préférence sur toutes celles que Ton peut obtenir par d'autres moyens? C'est ce que le calcul des probabilités pouvait seul apprendre. Je l'appliquai donc à cet objet important, et je parvins, par une analyse délicate, à une règle qui renferme la précédente, et qui réunit à l'avantage de donner par un procédé régulier les élémens cherchés, celui de les faire sortir avec le phis d'évidence de l'ensemble des observations , et d^ea déterminer les valeurs qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs possibles.

Oi n'a cependant encore qu'une connaissance impar&ite des résultats obtenus , tant que la loi des erreurs dont ils sont susceptibles n'est pas connue : il faut pouvoir assigner la probabilité que ces erreurs sont contenues dans des limites données ; ce qui revient à déterminer ce que j'ai nommé poùis d'un résultat. L'Analyse conduit i des formules générales et simples pour cet objet. J'ai appliqué cette Analyse aux résultats des observations géodésiques. Le problème général consiste à déterminer les probabilités que les valeurs d'une ou de plusic^urs fonctions linéaires des erreurs d'un très grand nombre d'obserra-*

SUR LES PROBABILITES. ^69

lions 9 sont renfermées dans des limites quelconques.

La loi de possibilité des erreurs des observa* tions y introduit dans les expressions de ces pro* babilités une constante dont la valeur semble exiger la connaissance de cette loi presque toù-» jours inconnue. Heureusement, cette constante peut être déterminée par les observations mêmes. Dans la recherche des élémens astronomiques , elle est donnée par la somme des carrés des dî& férences entre chaque observation et le calcul. Les erreurs également probables étant propor^ tionnelles à la racine carrée de cette somme , on peut par la comparaison de ces carrés , apprécier l'exactitude relative des diverses tables d'un même astre. Dans les opérations géodésiques, ces carrés sont remplacés par les carrés des ei^ r^urs des sommes observées des trois angles «d^^ chaque triangle. La comparaison des carrés 'i(^ ces erreurs fera donc juger de la précision^'Hdhâ^ tive des instrumens avec lesquels on a mesuré les angles. On voit par cette comparaison, Tavauf tage du cercle répét;iteur sur les instrument qu'il a remplacés dans la Géodésie. > «i^'

Il exi^ souvent dans les < observations^ piu-» sieurs sources d'erreurs.: ainsi les positions àek astres étant déterminées au moyen de la lunette

méridienne et du cercle , tous deux susceptibles d'erreurs dont la loi de probabilité ne doit pas être supposée la même , les élémens que Ton déduit de ces positions, sont afifectés de ces erreurs. Les équations de condition que Ton forme pour avoir ces élémens, contiennent les erreurs de chaque instrument et elles y ont des coefficiens différens. Le système le plus avantageux des facteurà par lesquels on doit multiplier respectivement ces équations , pour obtenir par la réunion des produits autant d'équations finales qu'il y a d'élémens à déterminer , n'est plus alors celui des coefficiens des élémens dans chaque équation de condition. L'analyse dont j'ai fait usage conduit facilement, quel que soit le nombre des sources d'erreur, au système de facteurs qui donne les résultats les plus avantageux ou dans lesquels xxoe même erreur est moins probable <{ue dans tout autre système. La même analyse détermine les lois de probabilité des erreurs de ces résultats. Ces formules renferment autant de constantes inconnues qu'il y a de sources d'erreur, et qui dépendent des lois de probabilité de ces erreur»; Ou- a vu que dans le cas d'une source umqfoe, on peut déterminer cette constante en formant la somme des carrés des résidus de chaque équation de condition ^ lorsqu'on

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y a substitué les valeurs trouvées pour les élémens. Un procédé semblable donne généralement les valeurs de ces constantes, quel que soit leur nombre ; ce qui complète l'application du calcul des probabilités aux résultats des observations. Je dois ici faire une remarque importante. La petite incertitude que les observations, quand elles ne sont pas très multipliées , laissent sur les valeurs des constantes dont je viens de parler, rend un peu incertaines les probabilités déterminées par l'analyse. Mais il suffit presque toujours de connaître si la probabilité que les erreurs des résultats o]:)j;enus sont renfermées dans d'étroites limites, approche extrêmement de l'unité; et quand cela n'est pas , il suffit de savoir jusqu'à quel point on doit multiplier les observations, pour acquérir une probabilité telle, qu'il ne reste sur la bonté des résultats aucun doute raisonnable. Les formules analytiques des probabilités remplissent parfaitement cet objet; et sous ce rapport, elles peuvent être envisagées comme le complément nécessaire des sciences fondées sur un ensemble d'observations susceptibles d'av reur. Elles sont même indispensables ^pour pé* soudre un grand nombre de questions dans les sciences naturelles et morales. Les causes régulières des phénomènes sont le plus souvent , ou

inconnues^ ou trop compliquées pour être soumises au calcul : souvent encore leur action est troublée par des causes accidentelles et irrégulières ; mais elle reste toujours empreinte dans les évènemens produits par toutes ces causes , et elle y apporte des modifications qu'une longue suite d'observations peut déterminer. L'analyse des probabilités développe ces modifications : elle assigne la probabilité de leurs causes , et elle indique les moyens d'accroître de plus en plus cette probabilité. Ainsi , au milieu des causes ir régulières qui agitent l'atmosphère ^ les changemens périodiques de la chaleur solaire ^ du jour à la nuit , et de l'hiver à l'été j produisent dans la pression de cette grande masse fluide , et dans la hauteur correspondante du baromètre, des oscillations diurnes et annuelles que de nombreuses observations barométriques ont fait connaître avec ime probabilité au moins égale à celle des faits que nous regardons comme certains.

C'est encore ainsi que la série des évènemens historiques nous montre l'action constante des grands principes de la morale , au milieu des passions et des intérêts divers qui agitent en tous sens les sociétés^ Il est remarquable qu'une science qui a commencé par la considération des

SUR LES PROBABILITES. a^S

jeux , se soit élevée aiix plus importans objets des connaissances humaines.

J'ai rassemblé toutes ces méthodes, dans ma Théorie analytique des Probabilités ^ où je me suis proposé d'exposer de la manière la plus générale , les principes et l'Analyse du Calcul des Probabilités , ainsi que les solutions des pro-r blêmes les plus intéressans et les plus difËciles que ce calcul présente.

On voit par cet Essai , que la théorie des probabilités n'est au fond , que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec exactitude ce que les esprits justes sentent par une sorte d'instinct , sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Elle ne laisse rien d'arbitraire dans le choix des opinions et des partis à prendre, toutes les fois que l'on peut , à son moyen , déterminer le choix le plus avantageux. Par là, elle devient le supplément le plus heureux à l'ignorance et à la faiblesse de l'esprit humain. Si l'on considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a donné naissance , la vérité des principes qui lui servent de base , la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des problèmes, les établissemens d'utilité publique qui s'appuient sur elle , et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore , par son

application au& questions les plus importantes de la Philosophie naturelle et des sciences morales ; si l'on observe ensuite que dans les choses mêmes . qui ne peuvent être soumises au calcul , elle donne les aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugemens, et qu'elle apprend à se garantir des illusions qui souvent nous égarent , on verra qu'il n'est point de science plus digne de nos méditations , et qu'il soit plus utile de faire entrer dans le système de l'instruction publique.