E8SAI PHILOSOPHIQUE

tralUant un pareil nombre des voix de la majorité, les douze voix restantes repfésenteraieHt runanimité d'un jury de douze membres, requise en Angleterre pour la condamnation d'ua accusé; maison serait dans une grande erpeur. Le bon sens fait voir qu'il y a difôrenee entw. la décision d'un tribunal de deux cent-dousfie juges dont centrdouae condamnent l'accusé, tandis que cent l'absolvent , et celle d\m tribunid de douze juges unanimes pour la condamnation. Dans Je premier cas , les cent voix favorables à l'aoeusé autorisent à penser que \f& preuves sont loin d'atteindre le degré de force qui entraîne la conviction ; dans le second cas, l'unanimité des juges porte à croire qu'elles ont atteint ce degré* Mais le simple bon sens ne sufiBit point pour apprécier l'extrême difSérence de la probabilité de l'erreur dans ces deux cas. U faut alors recourir au calcul, et l'on trouve un cinquième à peu près pour la probabilité de l'erreur dans le premier cas, et seulement -^^ pour eet|e probabilité dans le second cas , probabilité qui n'est pas un millième de k première. C'est «une confirmation du principe que le rapport arithméticpxe est dé- £eivorable à l'accusé quand le nombre des juges augmente. Au contrains, si l'on prend pour règle le rapport géométrique, la probabilité de l'erreur

SUR L£8 PROBABILITES. I7I

de la décision diminue quand le nombre ttes juges s'accroît. Par exemple, dans les tribunaux qui ne peuvent condamner qu'à la pluralité des deux, tiers des voix , la probabilité de l'erreur à craindre est à peu près un quart, si le nombre des juges est six : elle est au-dessous de 4^, si ce nombre s'élève à douze. Ainsi, l'on ne doit se régler, ni sur le rapport arithmétique , ni sur le rapport géométrique , si l'on veut que la probabilité de l'erreur ne soit jamais au-dessus ni au-dessous d'une fraction déterminée.

Mais à quelle fraction doit-on se fixer? c'est ici que l'arbitraire commence , et les tribunaux offrent à cet égard de grandes variétés. Dans les tribunaux spéciaux où cinq voix sur huit suffisent pour la condamnation de l'accusé , la probabilité de l'erreur à craindre sur la bonté du jugement^ est ^1^ ou au-dessus de ^. La grandeur de cette fraction est effrayante; maig ce qui doit rassurer un peu 9 est la considération que le plu^ souvent le juge qui absout un accusé ne le regarde pas comme innocent ; il pronpnce seulem&Ekt qu'il n'est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu'il soit condamné* On est surtout rassuré par la pitié que la nature a mise dans le cœnr de l'homme, et qui dispose l'esprit à voir diffidlement un coupable dans Faecusé soumis

l'J^ ESSAI PHILOSOPHIQUE

à son jugement. Ce sentiment, plus vif dans ceux qui n'ont point l'habitude des jugemens criminels , compense les inconvéniens attachés à i^inex* périence des jurés. Dans un jury de douze membres , si la pluralité exigée pour la condaintiation est de huit voix sur douze, la probabilité de l'erreur à craindre est ^flf, ou un peu plus grande qu un huitième ; elle est à pett près* Vr 7'^ cette pluraHté est de neuf voix. Dans le ea%, d& l'imanimité, la probabilité dé Terreur à fcraindi^e est ^pj^ , c'est-à-dire plus de mille fois lùiAnâ)^ que dans nos jurys. Cela suppose qtie rùnànhhTté' résulte uniquement des preuves favorables dû' contraires à l'accusé ; mais des motifs ëntièrétnénk' étrangers doivent souvent concourir à là produire, lorsqu'elle est imposée au jury comme une condition nécessaire de son jugement* Alors

s^ décisions dépendant du tempérament , du ca-

ractjère , des habitudes des jurés , et des circonstances où ils se trouvent, elles spnt quelquefois contraires aux décisions que la majorité du jury aurait prises s'il n'eût écouté cjuç les preuves; ce qui me parait etrç un grand défsiut de cette manière de juger.

La probabilité des décisions est trop fi^ibledans nos jurys, et je pense que pour donner une ga-

rantie sufifisante à Tinnocence , on doit exiger au moins là pluralité de neuf voix sur douze.

Des Tables de mortalité^ et des durées mojennes de la vie^ des mariages et des associations quelconques.

:La manière de former les Tables de mortalité est fort simple. On prend dans les registres civils UD grand nombre d'individus dont la naissance efja. mort soient indiquées* On détermine cornbi^p de . ces individus sont morts dans la pre-^ miçre ^née de leur âge , combien dans liEi seconde annéç^et fiinsi de suite. On en conclut le i^pmbi*^ d'individus vivans au CQi^miencement de chaque année 9 et. l'on écrit ce nombre dans la table à côté de celui qui indiqi^ l'annéç. Ainsi l'on écrit à côté de zéro le nombre des naissances; à côté de l'année i , le non^bre des enfanSr qui ont atteint une année; à côté de Tannée 2,, le nombre des enfans qui ont atteint deux années,^ et ainsi du reste. Mais comme dans les deux premières années de la vie, la mortalité est très rapide^, il faut, pour plus d*exactitudè , îri<lîqner dans ce premier âge le nombre des sufvîvàns à la fin de chaque demi-année.

Si l'on divise la somme dès années de là vie de

174 ESSAI PHiLOSOPHigirt:

tous les indiridus inscrits dans une table de mortalité par le nombre de ces individus , on aura la durée moyenne de la vie qui correspond à cette Table. Pour cela , on multipliera pftr une demi-année le nombre des morts dans la première année, nombre égal à la différence des nombres d'individus inscrits à côté des années o et I . Leur mortalité devant être répartie snr Tannée entière , la durée moyenne de leur vie n*est qu'une demi-année. On multipliera par une année et demie le nombre des morts dans la seconde année ; par deux années et demie , le nombre des morts dans la troisième année , et ainsi de suite. La somme de ces produits , divisée par le nombre des naissances , sera la durée moyenne de la vie. Il est facile d'en conclure que l'on aura cette durée, en formant la somme des nombres inscrits dans la Table à côté de chaque année, en la divisant par le nombre des naissances , et en retranchant un demi du quotient, l'année étant prise pour unité. La durée moyenne de ce qui reste it vivre , en partant d'un âge quelconque , se détermine de la même manière , en opérant sur le nombre des individus qui sont parvenus à cet âge , comme on vtekit de le faire sur le nombre des naissances. Ce n'est point au moment de la naissance que la durée

SUR LES PROBABILITES. lyS

moyenne de la vie est la plus grande; c'est lorsqu'on a échappé aux danger» de la première enfance , et alors elle est d'environ quarante^trois ans. La probabilité d'arriver à un âge quelconque en partant d'un âge donné , est égaie au rapport des deux nombres d'individus indiqués dans la table à ces deux âges.

La précisHon de ces résultats exige que pour la formation des tables on emploie un très grand nombre de naissances. L'analyse donne alors des formules très simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces tables ne s'écarteront de la vérité que dans d'étroites limites. On voit par ces formules , que l'intervalle des limites diminue et que la probabilité augmente à mesure que l'on considère plus de naissances ; en sorte que. les tables représenteraient exactement la vraie loi de là> mortalité si le nombre des naissances employées devenait infini.

Une table de mortalité est donc une taUe «des probabilités de la vie humaine. Le rapport ^des individus inscrits à côté de chaque année ^ au nombre des naissances , est k probabilité qu'un nouveau- né atteindra cette anhée. Gomme on estime la valeur de l'espérance, en faisant une somme des produits de chaque bien espéré par la probabilité de l'obtenir, on peut également

évaluer la duvée moyenne de la vie^ie^'ftjoulant les produijtS'de'Chaque année :^ pas la demMoniiiie' des |¥ipl>abUités d'en» atteindre le oommuoBcemetït et' la fin ; oe qui eonduît au résultat laroiiYé ck dessus.: Mais cette manière d'envisager la durée inoyenne de la vie^ a L'avantage de faire* voir qua^ dans une population stationnaire^ e'est-tàfdirè* telle quele nombre des naissances égale cekâ des > miortS:, la durée moyenne delavieestleirappart même de la population aux naissance» sinniiplles»! car la population étant suppofléei statiami^inû^ • le .nombre des individus d'uB âge oompHsientre't deiuL années consécutives de là table i est .égafl-a»notlibre des naissances annu^les, iBuki|ilîè parla demi-sooune des probabilités d'attéindue^^es) années; la somnle de tous ces pixiduitsserà donolai population e^atière: or il est aiséidenvoiinque: cette somme 9 divisée par le nombre desiuaisisanee» annueJUles r coïncide avec la durée moyenne- de hL; vie, telle que. nous venons de la définir, ^ . , niX ett ii^oilei au moyen d'une tabl^ de: mortalité^. déformer >la tal)ie correspondajite d^ilfiipo4 . pulatBon r supposée stationnaire. Pour oeU f.jcm. pvenddesmo^eiliites arithmétiques /entre Ifvi nom? t bres de .lattablei de ;mpxtalité ,correspondans: au&. ; âges.zéroet un^aa, uuiet xleuxand, deux jet trois aoB, etc. Laisonmie de toutes ces moyienoiies^

SOR' LÉS PAOBABILlTés. I «7 7

est la' population entière : où l'écrit- à côté de l'âge i!éro. On retrancha de cette somme la première moyenne^ et le reste est le nombre déft individus d'un an et au-dessus : on Técrit à cè^té de ruinée î. On retranche de ce premier reste la seconde moyenne ; ce second reste est le nombre des individus de deux années et au-dessus : on lîéèrit à coté de l'année a , et ainsi de suite.

iiTant de causes variables influent sur la mortaliîévique les tables qui la rqjjrésentent doivent clianger suivant les lieux et les temps. Les divers étatsideila, vie ofïrent à cet égard des différences sensibles relatives àuit fatigues et aux dangers ins^arbblés de ehaque état , et dont il est indis^^ pensable- de î tenir compte dans les calculs fondés' sur là durée i de la vie. Mais ces différences n'ont pas été suffisamment observées. Eflles le seront un jour-: alors on saura quel sacrifice de la vie chaque frt*bfëssio«n exige , et Ton profitera de ces connais-' sances pour en diminuer les dangé?rs. ■• . *

-'ï-ia salubrité plus ou moins grande 'du isdly ttn élévation , sa température , les mœurs' des habi- ' tans , et les opérations des gouvememens ont sur la-ttiortalité une influence considérable. Mais il faut toujours faire précéder la ' rechef clie de la canse des différences observées par eelle de la probabilité avec laquelle cette causé est indiquée i'

Ainsi le rappoit de la population aux naissances annuelles , que l'on a vu, s'élever en»France à vingt-huit et un tiers, n'est pas égal à vingt-oîjaq dans l'ancien .duché de Milan. Ces rapport» ^ établis l'un et l'autre sur un grand nombre |d^ naisr sances , ne permettent pas de révoquer eor doute l'ei^istence, dan$ le Milanès^ d'une cause ispécialè de mortalité, qu'il importe au gouveiraei^^nt de ce pays de rechercher et de feire dîspar^oitra* » .

Le rapport de la population aux naîf^sanoei^ s'accroîtrait encore si l'on parvenait à diiaîd^uet ou à éteindre quelques maladiets dangereuse et très répandues. C'est ce que l'on, a £ait heureusement pour la petite vérole , d'abord par l'inocu^^ lation de cette maladie , ensuite , d;'une manies^ beaucoup plus avantageuse , par l'inooiilatiLOii de la vaccine, découverte inestimable de J^inei^, qui par là s^'est rendu l'un des plus grands bienr faiteurs de l'humanité.

La petite vérole, a cela de particulier, savoir» t que, le même individu n'en est pas deux > fois atteint , ou du moin^ , ce cas est si rare y que l'on peut en faire abstraction dans le calcul. Cette, mâr» ladie à l^u.elle peu de monde échappait avant la découverte de la vaccine, est souvent mortelle ^et fait périr un . sep(tiçme environ de ceux qu'elle attaque. Quelquefois elle est bénigne, etl'expé-^

SUR LÈS PfiOBABILITÉS. 1 79

rience a fait connaître qu'on lui donnait ce dernier caractère en l'inoculant sur des personnes saines 7 préparées par un bon régime, et dans une saison favorable. Alors le rapport des individus qu'elle fait périr, aux inoculés, n'est pas un trois-centième. Ce grand avantage de l'inoculation j joint à ceux de ne point altérer la beauté , et de préserver des suites fâôheiises que la petite vérole liaturelle entraîné souvent après elle, la fit adopter par un grand nombre de personnes. Sa pratique fut vivement recommandée ; mais , ce qui arrive presque toujours dans les choses sujettes à des inconvéniens , elle fut vivement combattue. Au milieu de cette dispute , Daniel Bernoulli se proposa de soumettre au calcul des probabilités l'influence de l'inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant de données précises sur la mortalité produite par la petite vérole aux divers âges de la vie , il supposa que le danger d'avoir cette maladie et celui d'en périr sont les mêmes à tout âge. Au moyen de ces suppositions , il parvint par une analyse délicate à convertir une table ordinaire de mortalité dans celles qui auraient lieu si la petite vérole n'existait pas , ou si elle ne faisait périr qu'un très petit nombre de malades , et il en conclut que l'inoculation augmenterait de trois ans au moitis

l8o ESSAI PHILOSOPHIQUE

la durée moyenne de la vie; ce qui lui parut mettre hors de doute l'avantage de cette opération. D'Alembert attaqua l'analyse de BernouÇi; d'abord sur l'incertitude de ses deux hypothèses^ ensuite sur son insuffisance, en ce que l'on n'y faisait point entrer la comparaison du dafiseif prochain, quoique très petit , de périr par .l'inoculation , au danger beaucoup plus grand ,^ pais plus éloigné, de succomber à la petite yéprple naturelle. Cette considération, qui disparaît lorsque l'on considère un grand nombre d'indivi4us , est par là indifférente aux eouvernemjens , et laisse subsister pour eux les avantages de l'inoculation : mais elle est d'un grand poids poif r un père de famille qui doit craindre , en faisant inoculer &eS| enfans , de voir périr ce qu'il a de plus cher aa monde, et d'en être cause. Beaucoup de parensî étaient retenus par cette crainte que la découverte de la vaccine a heureusement dissipée. Car un de (çesî i^aysjères que la nature nous offre si fi'é^ quemment , le vaccin est un préservatif de la petite vérole y aussi sur que le virus variolique, et il n'a aupun danger : il n'expose à aucime ma-ladie et ne dejpj^iidé que très peu de soins. Aussi sa pratique s'eçt-elle jprpmptement répandue; ef pour la rendre universelle il ne reste plus à vaincre que l'ineptie natiirelle du peuple, contre la-

SUR LES PROBABILITÉS. l8l

quelle il faut lutter sans cesse , même lorsqu'il s*agît de ses plus chers intérêts.

Le moyen le plus simple de calculer l'avantage que produirait l'extinction d'une maladie, consiste à déterminer par l'observation le nombre d'individus d'un âge donné qu'elle fait périr chaque aïinée , et à le retrancher du nombre des morts au niême âge. Le rapport de la différence âù nonatre total d'individus de l'âge donné , serait la jprobabilité de périr dans l'année à cet agè , si ïa maladie n'existait pas. En faisant donc ime somme de ces probabilités depuis la naisss\nce jusqu'à un âge quelconque , et retranchant cette somme dé l'unité, le reste sera la proba- Éiïité dé vivre jusqu'à cet âge, correspondante à Texl^inction de la maladie. La série de ces pro- Éabilîtés sera la table de mortalité relative à cette hypothèse , et l'on en conclura , par ce qui précède, la durée moyenne de la vie. C'est ainsi que Duvilard a trouvé que l'accroissement de la durée moyenne de la vie , dû à l'inoculation de la vaccine , est de trois ans au moins. Un accroissement aussi considérable en produirait un fort grand dans la population , si d'ailleurs elle n'était pas restreinte par la diminution relative des subsistances.

C'est principalement par le défaut dès subsîs-

l82 ESSAI PHILOSOPHIQUE

tances , que la marche progressive de la popula* tion est arrêtée. Dans toutes les espèces d'animaux et 4e yégétau:^ , la nature tend sans cesse à augmenter le nombre des individus ^ jusqu= à^ce qu'ils soient au niveau des moyens de subsister. Dans l'espèce humaine, les causes morales < ont une grande influence sur la population. 6t> le sol , par de faciles défrichemens ^ peut feeuilnir une nourriture abondante à des générationfii încAi'^ velles , la certitude de faire vivre une nombreuse famille , encourage les mariages et les rend ^hi% précoces et plus féconds. Sur un sol pareil y H population et les naissances doivent croître à^ln fois en progression géométrique. Mais quand les défrichemens deviennent plus difficiles et joAcis rares , alors l'accroissement de la population di*^ minue : elle se rapproche continuellement de l'état variable des subsistances, en faisant autour de lui des oscillations à peu près comme un penh dule dont on promène, d^un mouvement retardé^ Le point de suspension ,, oscille autour da de point par sa .pesanteur. Il est difficile d'évaluer le mcujpimum d'iaocroissement de la population ; il parait , d'après quelques observations , que dans de favorables circonstances la population de l'espèce humaine pourrait doubler tous les quinze ans. On estime que dans l'Amérique sep-

SUR LES PROBABILITE. l83

tentrioiiale la période de ce doublement est de vingtMieuK années. Dans cet état dé (iho^s; là population i, les naissances , les tnariftgés j la mortalité , tout croît suivant la même progression géométrique dont on a le rapport don^tant des termes consécutifs, par l'observation des naisslinées annuelles à deux époqueis.

• . Une table de mortalité représentant les probabilités de la vie humaine , on peut déterminer à-âon moyen la durée des mariages. Supposons f^tnjur simplifier, que la mortalité soit la même pf3Uf les deux sexes , on aura la probabilité que le oàariage subsistera un an , ou deux , ou trois , etc . , &A formant utie suite de fractions dont le déno^^ inii^teur commun soit le produit des deux nombtes de la table torrespondans aux âges des con^ joints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondans à ces àgeà augmentés d'une, de deux, de trois, etc. aii*^ nées. La somme de ces fractions, augmentée d^uh demi, sera la diu^ moyenne du mariage ,ranL née étant prise pour unité. Il est fiacile d'étendre la même règle à la durée moyenne d'itne asso* ci«^tion formée de trois ou d'un plus grand n<mtbrc cPindividus.

l84 l^^Al. PHILOSOPHIQUE

Des bénéfices .desi établusemens ifm dépendent ile la probabilité \desévènemens^\\\^>\ * '

Rappelons iâ i:;e que npii$ avoo^)dit eaipo^ant de l'espérance.^OjQ a yu^u^ pqur o}>t£0ipr, j[,'^i^«tage qui résulta de .plusieurs, pyèsL^i^n^.l^p^s dout le$ uns p^qdui^nt uu b^ea €»( Jes^u||ifS(p/)e perte , il faut ajoutçr les, produits 4^ I3 j¥)C|bftbilité de chaque évènen^ent favoraljjf^ p^{^»lejl)Âeki qu'il procure, et retrancher de Iç^r >Qiaip0 ^ci^e des produits de la probabilité de chaque v^yèsuement défavorable , par la pert^.qui)Y e^i^^a^hée. J\I^s quel que soit l'ay^t^e ^xpfiwjé parJ^idifférence de ces .sommes^ un ^0u),éyèD^n^nfrcotitpo3é de ce3 éyèuemens simples ne garantis poii^t de la crainte. d'éprouver u^ae pert^i. .OiA. conçoit que cette crainte doit diminuer lorsqu^ l'ou-mult^pljje révènement coipposé. L'analy^ des iprobabilités conduit à ce théorème général ... . . , î

,Par ];a répétitjyon d'un événement ayimltageux ^ simple ou compç^ , le bénéfice réel deTi^Q,fi 4a plus.eUi plus probable et s'accroît san^ i:;e^ 4 , il devient ç^p^^vîK^s l'hypo^se d'ufl nonji^ infini de r^pétifiq^s^; , ^t; i^R , le divisant par. p(^ nombre j le quotient ou le bénéfice moyeo ide i^h^que évènemeipt ,îÇst..VjÇqi>éarwpe )PaftthéiWJ*^

SUR' <Li:S PROBABILITÉS. • tS5

même 9 ou l'avantage relatif à révènement. Il en est de même de 'la pa^e qui >devî«fit oe^talàe à la longue, pour peu que l'événement soit dés-

avantageux.

•^'<!fe (théorème, sur les bénéfices et lès ^èkes, «st' abâlôgue à ceux ,qué liôus aVdu^ ^ donnés -'pt^édemment sur les rappot't^ qu^indique la ^répétiôôii'- indéfinie des évènemehs simjiles ou cittiipô^s^ et, comme eux , il prouve que la régu- 'idï'ité'fitli'^ par s'établir dans les cbôseè mêmes *lès plus «subordonnée^ à ce que nous nommons hasard. '. ^

> 'lAS^rsque les évènemens sont en grand noinbrë, PAmâlyse dwntie encore une expression Tort siî6ple de ht probabilité que le bénéfice 'sera cbitiipris.dans des limiteSidéterminées ; e:fcpi*éssioiï' qfùi 'rentre dans la loi; générale de la 'probabilité',' qfifce faous avons donnée ci-dessus , en* 'parlant des plrbbabilîtés qui résultent de la mûltiplltîàtîôn il^ypêfinie des évènemens. * : > ; i j ■ u

• G'est de la vérité du théorème prééédeiit (que Aépend la stabilité des établiSseméns fondés ^ilr les probabilités. Mais poui* qûHl puisse leur étte appliqué, il faut que ces étàMisSèWeiis,''pâf Ae nombreuses affaires, mùltiplîetit leb^ étênètalëfrs aMafitageux. •■■"' '' ■'' '' ■ ^^ ''' -^ • '^ :'^*-

•J On a. fondé sur ie^ pWxbàbflltéîf^'dé^ fe' Vië^l^T

l86 ESSAI PHILOSOPHIQUE

maine divers établissemens , tels que lés rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices fet les charges de ces établissemens , consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt annuiél de l'unité est ce que l'on nomme taux de Vintérêtv A la fin de chaque année ^ tin capital acqùiei^ pour facteur l'unité ^ plus le taux de rinlîékiet? îk croît donc suivant une progression géométriquedont ce facteur est la raison. Ainsi , paf Feffèt du j temps 9 il devient immense. Si, par exemple;' le' taux de l'intérêt est -^ ou de cinq pour -cent y '1^1 capital double à fort peu près en quàtôr» ans ; quadruple en vingt*neuf ans, et dans ihoins 'de' trois siècles , il devient deux millions de fois plus ! considérable.

Un accroissement aussi prodigieux a feit naître l'idée de s'en servir pour amortir la dette pù* blique^ On forme pour cela une caisse d'amoi^l tiasemeat à laquelle on consacre im fonds an*' nuel employé au rachat des effets publicsl ', ' ef sans cesse accru de l'intérêt des effets rachetée: H ' est clair qu'à la langue , cette caisse absorbera une grande partie de la dette nationale. Si, lors^ que les besoins de l'État obligent à &ire un emprunt , on consacre une partie de cet emprunt à l'accroissement du fonds annuel d'amortissement j.

SUR LES PROBABILITES. 187

les variations des effets publics seront moindres; la confiance des prêteurs, et la probabilité de retirer sans perte le capital prêté , quand on le désire, en seront augmentées, et r^idront les conditions de l'emprunt moins onéreuses. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagemens et la stabilité , si nécessaires au succès de pareils éta]t>lissemens , ne peuvent être bien garanties que p^ ma gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs indépendans. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs , double la force de l'État; et le souverain lui-même gagne alors en puissance légale beaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.

U résulte de ce qui précède, que le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être payée qu'après un certain nombre d'années y eét égal à cette somme multipliée par là probabilité qu'elle sera payée à cette époque et divisée ^r^ r.unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.

U est facile d'appliquer ce principe aui rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes , et auxcaisseï^ d'épargne >et d'assurance d'une nature

l88 ESSAI PHILOSOPHIQUE

quelconque. Supposons que l'on se propose de former une table de rentes viagères, d'après uujb table donnée de mortalité. Une rente viagère^ payable au bout de cinq ans, par exemple , et réduite en capital actuel , est , par ce principe , égale au produit des deux quantités suivantes, savoir : la rente divisée par la cinquième puissance de l'unité augmentée du taux de rinté):'êt, et la probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse du nombre des individ^s inscrits dans la table , vis-à-vis de l'âge <ïe celui qui constitue la rente , au nombre inscrit vis-à-vis de cet âge augmenté de cinq années. En formant dpuç une suite de fractions dont les dénominateurs soient les produits du nombre de pèrsopries indiquées dan§ la table de mortalité, comme vivantes, à Tâge' de celui qui con3titue la rente , par les puissances succes3ives de l'unité augmentée du taux de l'intérêt , et dont les numérateurs soient les tirbauits de la rente, par le nombre des per-r sonnes vivantes au même âge augmenté successivement d'une année, de deux années-, etc. , la somme de ces fractions sera le capital requis pour la rente viagère à cet âge. ^

Supposons maintenant qu'une personne veuille,, au moyen d'une rente viagère , assurer à ses héritiers up capital payable à la fip de Tannée de

sa mort. Pour déterminer la valeur de cette rente, on peut imaginer que la personne emprunte en viager à une caisse ce capital , et qu'elle le place à intérêt perpétuel à la même caisse. Il est clair que ce capital sera dû par la caisse, à ses héritiers, à là fin de l'année de sa mort; mais elle n'aura payé, chaque année, que l'excès de l'intérêt viager siit* l'intérêt perpétuel. La table des rentes viagères ifera donc connaître ce que la personne doit payer annuellement à la caisse, pour assurer ce capital après sa mort.

Les assurances maritimes, celles contre les incendîes et les orages , et généralement tous les étahlissemens de ce genre , se calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux eii mer, il veut assurer leur valeur et celle de Teiir cargaison , contre les dangers qu'ils peuvent courir ; pour cela , il donne une somme à une compagnie qui lui répond de la valeur, estimée de ses cargaisons et de ses vaisseaux;. Le ^apport, de cette valeur à la somme qui doit être doniiée pour prix de l'assurance, dépend des dangers auxquels les vaisseaux sont exposés , et ne peut être "apprécié que par des observations nom-, breuses sur le sort des vaisseaux partis du port pour la même destination.

Si les personnes asisurées ne. donnaient à la

igO EàSAl PHILOSOPHIQUE

compagnie d'assurance que la somme indiquée par le calcul des probabilités, cette compagnie ne pourrait pas subvenir aux dépenses de son établissement; il faut donc qu'elles paient d'une somme plus forte le prix de leur assurance. Mais alors quel est leur avantage? C'est ici que la considération du désavantage moral attaché à l'îïï-^ certitude , devient nécessaire. On conçoit que lé jeu le plus égal devenant , comme on Fa vu pré* cédemment , désavantageux , parce qute le joueur échange une mise certaine contré tm bériéfice incertain ; l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le certain, doit être avantageuse. C'est en effet ce qui résulte de la règte que nous avons donnée ci-dëssus pour détermi-* ner l'espérance morale , et par laquelle on voit de plus jusqu'où peut s'étendre le sacrifice que Ton doit faire à la compagnie d'assurance y en conservant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc , en procurant cet avantage , faire ellB-mekne un grand bénéfice , si le nombre des assurés est très considérable, condition nécessaire à son existence durable. Alors son bénéfice devient certain^ et ses espérances mathématiques^ et morales coïncident; car l'Analyse conduit à ce théorème général, savoir, que si les expectatives sont très nombreuses , les deux espérances

sua LES PROBABILITÉS. I9I

approchent sans cesse l'une de l'autre, et finissent par coïncider dans le cas d'un nombre infini d'ex* pectatives»

Nous avons dit , en parlant des espérances mathématique et morale , qu'il y a un avantage moral à répartir les risques d'un bien que l'on attend sur plusieurs de ses parties. Ainsi, pour fair« parvenir une somme d'argent d'un port éloigné, J^l vaut mieux la répartir sur plusieurs vaisseaux 7 que de l'exposer sur un seul. C'est ce qv(e l'on fait au luoyen des assurances mutuelles. Si d^ux personnes ayant chacune la même somme sur deux vaisseaux différens, partis du même port pour la même destination, conviennent de partager également tout l'argent qui leur arrivera, il est clair que par cette convention chacune d'elles répartit également suc les deux vaisseaux la somme qu'elle attend- A la vérité, ce genre d'assurance laisse toujours de l'incertitude sur la perte que l'on peut craindre. Mais cette incertitude diminue à mesure que le nombre dès associés augmente : l'avantage moral s'accroît de plus en plus , et finit par coïncider avec l'avantage mathématique, sa limite naturelle. Gela rend l'association d'assurances mutuelles, lorsqu'elle est très nombreuse, plus avantageuse aux assur rés, que les compagnies d'assurances qui, à