SUR

Cet Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités , que je donnai en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange^ par un décret de la Convention nationale. J'ai publié depuis peu sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici , sans le secours de l'Analyse , les principes et les résultats généraux de cette théorie , en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet , pour la plupart^ que des v. problèmes /le probabilité. On peiifc même dircj' à parler en rigueur, que presque toutes nos connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons

a ES8AI PHILOSOPHIQUE

savoir avec certitude , dans les sciences mathématiques elles-mêmes , les principaux moyens de parvenir à la vérité , l'induction et l'analogie ^^^'^'^ se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines, se rattadbe^à la théorie exposée dans cet Essai. On y ^^ verra sans doute avec intérêt , qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l'humanité , qiie les chances ^heureuses qui leur sont constamment attachées , il y a un grand avantage à suivre ces principes , et de graves inconvéniens à s'en écarter : leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries , finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les réflexions répandues dans cet Essai , puissent mériter l'attention des philosophes, et la diriger vers im objet si digne de les occuper.

De la Probabilité,

Tous les événemens, ceux mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature , en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du Soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de l'univers , on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils ar-

SUR LW^PROBABILITÉS. 3

rivaient et se succédaient avec régularité , ou sans ordre apparent ; mais ces causes im^inaires ont été successivement j^eculées avec les bornes de nos connaissances^ et disparaissent entièrement devant la saine philosophie , qui ne voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.

Les événemens actuels ont , avec les précédens , une liaison fondée sur le principe évident , qu'une chose ne. peut pas commencer d'être , sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison suffis santé, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un mptif déterminant , leur donner nais- ^ c^

sance ; car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables , elle agissait dans l'une et s'abstenait d'agir dans l'autre , son choix serait un efifet sans cause : elle serait alors , dit Leibnitz, le hasard aveugle des épiciiriens. . L'opinion contraire est une illusion de l'espnt qui, perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs.

Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers , comme l'effet de son état antérieur,

et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui , pour un instant donné , connaî* trait toutes les forces dont la nature est animée , et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse , embrasserait dans la même formule les • mouvemens des plus grands corps de l'imivers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé , serait présent à ses yeux. L'esprit humain ofifre, dans /la perfection qu'il a ^u donner à l'Astronomie , une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis a portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques , les états passés et futurs du système du monde. £n appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances , il est parvenu à Vamener à des lois générales les phénomènes observés , et à prévoir ceux que des circonstances données obîvcSnt' faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité , tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infinimentNèloigné.^ Cette tendance , propre à l'espèce htimaiile, est ce qui la rend supé-

SUR L£S PROBABILITES. 5

neure aux animaux ; et ses progrès en ce genre , distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et à uuq époque qui n*est pas encore bien reculée , une pluie ou une sécheresse extrême , une comète traînant après elle une queue fort étendue , les éclipses , les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant \[e signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur ^neste influiçnce. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du Soleil : l'observation eût bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles , semblaient contrarier l'ordre de la nature, on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre , les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de i456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses évolutions , a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde , acquise dans cet intervalle , avait dissipé les craintes enfantées par l'igno-

rance des vrais rapports de l'homme avec Tunivers; et Halley ayant reconnu l'identité de cette comète, avec celles des années i53i, 1607 et 1682, annonça son retour prochaili pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience, ce retour qui devait confirmer l'une des plus grandes découvertes que l'on eût faites dans les sciences , et accomplir la prédiction de Sénèque , lorsqu'il a dit, en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : c< Le jour viendra que par une étude suivie , de » plusieurs siècles , les choses actuellement ca- » chées paraîtront avec évidence ; et la postérité » s'étonnera que des vérités si claires nous aient » échappé. » Clairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l'action des deux plus grosses planètes , Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs , il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs, est réglée d'une manière aussi certaine,

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que les orbites planétaires : il n'y a de diflférences entre elles , que celle qu'y met notre ignorance.

La probabilité est relative en partie à cette ignorance , en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'évènemens, un seul doit"^ arriver; mais rien ne porte à croire que 1 un d eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cepeîiSaiitprobabl^ qu'un de ces evenemens pris a volonté , n arrivera pas , parce que nous voyons plusieurs cas également possibles qui excluent son existence , tandis qu^un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les évènemens du même genre , à un certain nombre de cas également possibles , c'est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence , et à déterminer le nombre de cas favorâbles à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles, est la mesure de cette prohabilité qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateur est le nombre des cas favorables , et dont le dénominateur est le nombre de tous le» cas possibles.

La notion précédente de la probabilité suppose quen taisant croître dans le même rapport, le nombre des cas favorables, et celui de tous les cas possibles , la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que Ton considère deux urnes A et B , , dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne , attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre Loules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules , ne se rompent point , il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires; seulement, on tirera de l'urne deux boules à la fois; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne sera donc la même qu'aflj^raVant. Mais alors on a évidemment le cas de l'urne B, avec la seule différence , que les trois boules de cette dernière urne soient remplacées par trois systèmes de deux boules in-, yariablement unies.

Quand tous les cas sont favorables à un événement, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égale à l'unité. Sous ce rapport, la certitud^ et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une difiiérence essentielle entre les deux états \ de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçQitjencore une petite source d'erreur. ^"^^ ^^^"^ ^" " v , v W

Dans les choses qui ne |ont que vraisemblables, la diflférence des données que chaque homme a sur elles, est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A , B , C , dont ime ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches , on doit tirer une boule de l'urne C , et l'on demande la probabilitéoue cette boule sera noire. Si l'on ignore quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires , en sorte que l'on n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C qiie B ou A ; ces trois hypothèses paraîtront également possibles, et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'eitraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne

lO ESSAI PHILOSOPHIQUE

contient que des boules blanches ^ l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C , et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches. i , a,a:c>

C'est ainsi que le même fait, récité devant une nombreuse assemblée^ obtient divers degrés de croyance , ^ùivînr Tetendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rap- ^^^porte en est intimement persuadé , et si, par son état et par son caractère ,^ il inspire une grande confiance ; son récit , quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvus de lumières , le même degré de vraisemblance qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire, soit à des faits bien avérés , soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a

coutume de donner sa coniiance sur les plus importans objets de la vie, qu'est due la propagation de ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance , ont couvert la Éace du monde. La Magie et TAstrologie nous en ofifrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès Tenfande , adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très longtemps, jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés, dont ensuite Topinion les a fait disparaître chez ^ le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral , établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailIeursavecTe même empire. Quelle indulgence ne devons -nous donc pas avoir pour les opinionà différentes des nôtres, puisque cette différence ne dépend souvent que des points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous -ne jugeons pas suffisamment instruits; mais atlpa^ ravant, exammons severemenr nos propres opinions , et pesonPavec impartialité leurs probabilités respectives.

I^a différence des opinions dépend encore de

la ESSA.I PHILOSOPHIQUE

la mamère dont on détermine l'influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données , deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très compliquées. Expliquons ici les principes généraux de cette Théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

l«r Principe. ^ 1^ premier de ces principes est la définition meibe de la probabilité qui , comme on l'a vu , est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

ll« Principe. Mais Cela suppose les divers cas également possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibiUtés respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la sompie des possibilités de chaque cas favorable. Eclaîrcissons ce principe par un exemple. x ^ ^ -^"^

Supposons que l'on projette en l'air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées , que nous nommerons croix et pile^ soient parfaitement semblables. Cherchons la

SUR LES PROBABILITÉS. Ni y 1 3^

probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles , saVoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups.

Les trois premiers cas sont favorables à l'éyènement dont on cherche la probabilité, qui, par conséquent , est égale à f ; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

"^ On peut ne compter à ce jeu que trois cas différens , savoir : croix au premier coup , ce qui dispense d'en jouer un second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin /i//e au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à f, si l'on considérait, avec d'Alembert, ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au pi^emier coup est \ , tandis que celle des deux autres cas est ^ ; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux évènemens composés , croix au premier et au second coup , et croix au premier coup , pile au second. Maintenant , si , conforinément au second principe , on ajoute la possibilité \ de croix au premier coup, à la possibilité \ de pile arri-

l4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

vant au premier coup et croix au second , on aura -f pour la probabilité cherchée , ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on jo\ié tes deux coups. Cette supppsition ne change point le sort de^celui qiïi parie pour cet événement : elle sert setflèifieiit à réduire les divers cas à des cas également possibles, me Principe. Un dcs poiuts les plus important de la théorie des Probabilités , et celui qui prête* le plus aux illusions y est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les évènemens sont indépendans les uns des autres , la probabilité de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seid dé, étant un sixième; celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trente- sixième. En effet, chacune des £aces de l'un pouvant se combiner avec les six faces de l'autre, il y a trente- six cas également possibles , parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple dans les mêmes circonstances , arrivera de suite un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple , élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puis-

SUR LES PROBABILITÉS. i5

sances successives d'une fraction moindre que Funité , diminuant sans cesse , un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort graii- " de, peut '^devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troi- ' sième , et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à •—■ : celle du fait , résultante des témoignages , sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminuttou de la probabilité qu^^ rextinction de la oarfé des objets , par l'interposition de plusieurs mcJrceàux de v«rre; im nombre de morceaux peu considérable , suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir dune manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits , lorsl^ us sont vïîs à travers im grand nombre de générations successive^ : plusieurs événemens historiques, réputés certains, seraient au moins douteux , si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement . mathématiques , les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent.

l6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Dans les applications de l'Analyse à la Physique , les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales , où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède , t^e d^une manière vraisemblable ; quâque probables que 'soient ces'oéductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences très éloignées du principe.

«Priucipc. Quand deux évènemens dépendent l'un de l'autre , la probabilitér de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier, événement , par la probabilité que cet événement étant arrivé , l'autre arrivera. Ainsi , dans le cas précédent de trois urnes A , B , C , dont

,deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires , la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est f , pUîàijue sur trois urnes , deux ne contiehnent que des boules de cette couleur.

Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferment que des boules noires , ne

* portant plus que sur les urnes A et B , la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B est ^ , le produit de | par ^ , ou ^ , est donc la

probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C , deux boules blanches. En effet , il est nécessaire pour cela , que l'urne A soit celle des trois urnes qui contient des boules noires ; et la probabilité de ce cas est évidemment \.

On voit par cet exemple , l'influencé des évènemens passés sur la probabilité des évènemens futurs. C^r la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B , qui primitivement est f , devient ^ lorsqu'on a ^extrait iwie boule blanche de l'urne C : elle se changerait en certitude si l'on avait extrait .une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence , aii^ '^^oyen du principe suivant, qui est un corollaire du précédent.

Si l'on calcule à priori, la probabilité de l'évè- v« Pnnci nement arrive , et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend ; la seconde probabilité , divisée par la première , sera la probabilité de l'événement attendu , tirée de l'événement observé. z

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croiûc ou pile^ croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul , nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce , il

l8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie , le Donneur constant est une preuve d'habileté , qui doit faire employer de préférence les personnes heurèiiii^. Mais si par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue ; si , par exemple , on change de pièce à chaque coup, au jeu de croiœ ou

• . pile; le passé ne peut répandre aucune lu-

mière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte.

/Je Principe. Cliacuiie des causes auxquelles un événement observé peut être attribué , est indiquée avec ^ d'autant plus de vraiséifiÏDlance , qu'il est plus î prboable que cette cause étant supposée exister, l'événement aura lieu; la probabilité de l'existence d'une qtielconque de ces causes est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement , résultante de cette cause , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes : si ces diverses causes , considérées à priori^ sont inégalement probables , il faut , au lieu de la probabilité de l'événement , résultante de chaque cause , employer le produit de cette probabilité , par la possibilité de la cause elle-même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'ana-

SUB LES PROBABILITES. -^^ IQ

lyse des hasards , qui consiste à remonter des^ eveneiiaens aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évènemens réguliers , à une cause particulière. Quelques philosophes ont pensé que ces évènemens sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu de cwia: ou pile ^ par exemple, la combinaison dans laquelle croioc arrive Tingt fois de suite , est moins facile à la nature, que celles où croijo et pile sont entremêlés d'une façon irrégulière. Mais cette opinion suppose que les évènemens passés influent sur la possibilité des évènemens futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n arrivent plus raremeirt ^ qu^ parce qu eljes sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause, là où nous apercevons de la symétrie, ce u est pas que nous regardions un événement symétrique , comme moins possible qu^ les autres; mais cet événement^ devant être l'effet d'une cause régulière, ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable , que la seconde. Nous voyons sur une table, des caractères d'imprimerie disposés dans cet ordre , Cons tant ino pie/ et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard , non parce qu'il est moins possible que les autres,

t,Nv%y

puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue^ nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière; mais ce mot étant en usage parmi nous , il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédens , qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard.

Cj est ici le lieu de définir le mot extraordi'naire. Nous rangeons par la pensée , tous les évènemens possibles en diverses classes ; et nous regardons comme extraordinaires ceux des classes qui en comprennent un très petit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile^ l'arrivée de croix cent fois de suite nous paraît extraordinaire, parce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières, celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche , d'une urne qui , sur un million de boules , n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noires , nous parait encore extraordinaire , parce que nous ne formons que deux classes d'évènemens, relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n® 47581 3, par exemple, d'une urne qui ren-

SUR LES PROBABILITES. 21

ferme un million de numéros , nous semble un événement ordinaire ; parcç que comparant individuellement les numéros, les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n'avons aucune ^^ raison de croire que l'un d'eux sortira plutôt que les autres.

De ce qui précède , nous devons généralement conclure que tdjus un fait est éstjraordinairè , plus u a besoin d être appuyé de lort^ preuves. Car ceux qui l'attestent , pouvant ou tromi>er, ou /

avoir ete trompes , ces deux causes sont d autant plus probables, que la réalité du fait l'est moins en ' elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement , lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

La probabilité d'un événement futur est la vu« Principe, somme des produits de la probabilité de chaque cause , tirée de l'événement observé , par la probabilité que cette cause existant, l'événement futur atira lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche , ou noire. On extrait une de ces boules , que l'on remet ensuite dans l'urne , pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches; ou

demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses : ou Tune des boules est blanche , et l'autre noire ; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est j : elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi , en regardant ces hypothèses comme autant dé* causes , on aura pour le sixième principe ? -g^ et |^ pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu, la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est -^ : elle égale l'unité dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités , par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits ou -^ sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple

est inconnue, on peut lui supposer également

te

toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses , tirée de l'événement observé , est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabiUté de l'événement dans cette hypothèse , et dont le dénominateur est la somme des probabihtés semblables relatives à toutes 4e.s

SUR LES PROBABILITES.

hypothèses. Ainsi la probabiUté que la possibilité de Tévènement est comprise dans des limites données , est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant j si l'on multiplie chaque fraction par la probabilité de l'événement futur, déterminée dans l'hypothèse correspondante, la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe , la probabilité de l'événement futur, tirée de l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite un nombre quelcbriqu>j de fois , la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant , par exemple , remonter^ la plus ancienne époque de l'histoire à cinq mille ans, ou à 1 82621 3 jours, et le soleil s* étant levé constamment dans cet intervalle , à chaque révolution de vingtquatre heures, il y a 1 82621 4 à parier contre un qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui connaissant *par l'ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel ne peiit en arrêter le coiirs.

Buffon , dans son Arithmétique politique , cal-

l[\ ESSAI PHILOSOPHIQUE

cule difFéremment la probabilité précédente. II suppose qu'elle ne diffère de l'unité que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours éco'il)^''

JliLi/» ^

depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des évènemens passés a la probabilité des causes et des évènemens futurs, était inconnue à cet illustre écrivain.

De l'Espérance.

La probabilité des évènemens sert à détenuiner l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque , dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée , par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement , en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable , lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères ; parce qu'un c*gal degré de probabi-

SUA LES PROBABILITÉS. !l5

lité donne lupi droit égal sur la somme espérée. Jions nomuqberoQs cet ayantage espérance ma-

Lorsque l'avantage dépend de plusieurs évè- Vlll« Principe nemens ^ • on l'obtient en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement , par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix ou pile y Paul reçoive deux francs s'il amène croiœ au premier coup, et. cinq francs s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs par la probabilité \ du premier cas , et cinq francs par la probabilité \ du second cas, le somme des produits, ou deux francs et un quart, sera l'avantage de Paul. C*est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui a fait cet avantage ; car pour l'égalité du jeu , la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure.

Si Paul reçoit deux francs eç amenant croix au premier coup , et cinq francs en l'amenant au second coup, dans le cas même où il l'aurait amené au premier ; alors la probabilité d'amener croix au second coup étant ^, en multipliant deux francs et cinq francs par \ , la somme de ces produits donnera trois francs et demi pour

l'avantage de Paul , et par conséquent pour sa mise au jeu.

L« Principe. Daus une série d'évènemens probables ^ dont les uns produisent un bien , et les autres une perte , on aura l'avantage qui en résulte en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il procure , et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte , et l'espérance se change ' en crainte.

On doit toujours , dans la conduite de la vie , faire en sorte d'égaler au moins le produit du bien que l'on espère, par sa probabilité , au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir d'apprécier exactement les avantages , les pertes et leurs probabilités respectives. Il faut pour cela une grande justesse d'esprit , une tact délicat , et une grande expérience des choses : il faut savoir se garantir des préjugés , des illusions de la crainte et de l'espérance , et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amourpropre.

L'application des principes précédeiis à la

question suivante, a beaucoup exercé les géo* mètres- Paul joue à croix ou pile^ avec la condition de recevoir deux francs s'il amène croix au premier coup; quatre francs s'il ne l'amène qu'au second ; huit francs s'il ne l'amène qu'au troisième , et ainsi de suite. > Sa mise au jeu doit être , par le huitième principe , égale au nombre des coups ; en sorte que si la partie continue à l'infinie , la mise doit être infinie. Cependant , aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique , cinquante fi-ancs , par exemple. D'où vient cette différence entre le résultat du calcul et l'indication du sens commun? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure n'est pas proportionnel à ce bien , et qu'il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet , il est visible qu'un franc a beaucoup plus de prix pour celui n'en a que cent, que pour un millionnaire. On doit donc distinguer dans le bien espéré sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le

font désirer, au lieu que la première en est

indépendante. On ne peut donner de principe général , pour apprécier cette valeur relative.

a8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

En voici cependant un proposé par Daniel BemoulK , et qui peut servir dans beaucoup de cas. ' «

K.^ Principe. La "valeur relative d'une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Gela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la Taleur ne peut jamais être supposée nulle. £n e£fet, celui même qui ne possède rien, donne toujours au produit de son travail et à ses espérances ime valeur au moins égale' à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si l'on applique l'analyse au principe que nous venons d'ex.poser, on obtient la règle suivante. ^

En désignant par l'unité la partie de la fortune d'un individu , indépendante de ses «expectatives; si l'on détermine les diva^ses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives et leurs probabilités , le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune , prise pour unité , et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité de ce

SUR' LBS PROBAOILITl^. SQ

|>roduît9 la^dUférencQ sera raccroissemeut de la forliune «ph^i(}ue ^ du aux expectatives : nom nommerons cet accroissement, espérance mo^ raie, 11 est facile de voir qu'ielle coïncide avec Tespérancè mathématique, lorsque la fortune pris€ pQiu* unité , devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie senr sible de cette unité, les deux espérances pleui vent différer très seiisiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun , 4{ue l'on peut par ce moyen, apprécier avec quelque exacti-r Hic^. Ainsi dans la ; question précédente, on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs , il ne doit pas raisonnablement mettre îau jeu plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger sur plu* sieurs parties d'un bien que l'on attend , plutôt tjue d'exposer ce bien tout entier au même danger, H en résulte pareillement qu'au jeu le plus é^ai, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant par exemple, * qii'un joueur ayant une fortune de cent francs , en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune, après sa mise au jeu , sera réduite à quatre-vingt-sept francs , c'est-à-dire que cette der-

3o KSSAI PHILOSOPHIQUE

nière somme procurerait au joueur le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée, par sa probabilité. On peut juger par-là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et par la cupidité qu'ils fomentent , et qui portant le, peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont U est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance , sont la source d'ime infinité de maux.

Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu'on attend , et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens, subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique, diminue à mesure que celle-ci augmente.

SUR LES PROBABILITÉS. 3l

Des méthodes analytiques du Calcul des

Probabilités,

L'application des principes que nous venons d'exposer aux diverses questions de orobabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse , et spécialement à la théorie des combinaisons et au calcul des différences finies^

Si l'on forme le produit des binômes , l'unité plus une première lettre , l'unité plus une seconde lettre , l'unité plus une troisième lettre , ^^f^ et ainsi de suite, jusqu'à n lettres; en retraft-^ chant l'unité de ce produit développé ,. on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux , trois à trois, etc. , chaque combinaison ayant l'unité pour coeffi- • cient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises ^ à Sj on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles , le produit précédent devienara la puissance n du binôme, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s k s ^ sera le coefficient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binôme ; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binôme.

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison , en observant ' que si l'on joint une seconde lettre à la première , on peut la placer au premier et au se* cond rang; ce qui donne deux combinaison.

Si Ton joint à ces combinaisons une troisième lettre ^ on peut lui donner dans chaque combinaison , le premier^ le second et le troisième rang ; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres ; en tout , six combinaisons. Dç là il est facile de conclure que le nomlH'e des arrangemens dont s lettres sc^nt susceptibles , est le produit des nombres dephisTunité ji»qu'à s\ il faut donc pour avoir égard 'à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit le nombre des combinaisons des n* lettres prises ^ à j ; ce qui revient à supprimer le dénominateur, du coefficient du terme du binôme, qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage \ on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, ou des combinaisons des n numéros pris r k r^ et dont le numérateur sera le nombre de toutes ces combinaisons

qui (xmtiennent les s numéros donnés. Ce dernier nombre est éyideinment celui des combinaisons des autres numéros pris n moins s k n moins s. Cette fraction sera la probabilité de* mandée 9 et l'on trouvera facilement qu'elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pri»

s Â* Sj et dont .le dénominateur est le nombre des, combinaisons des n numéros pris semblablement .f à s. Ainsi , dans la loterie de France, formée , -comme on sait , de 90 numéros dont cinq sortent si chaque tirage >, la probabilité da la sortie d'un ex;trait donné est-^ou^; 1^ loterie devrait donc alors PQU£^ l'égalité du jei*^ rendre dix-huit fois la mise.v Le nombre total des combinaisons deux à deux , de 90 nuniiéros e6t 4oo5 ^ et celui des combinaisons deux^ à deux , de cinq numéros ... est dix. La probabilité de la sortie d'un ambe donné est donc 49o\y ^^ 1^ lotme devrait rendre alors quatre cents fois, et demie , 1^ mise : elle devrait la r^4^^. '^^748 fois pour uu terne, 5iio38 fois poyr un quaterne , et 43949^68 fois pour un quine. La loterie est loin de faire aux loueurs , ces avantages. « \ . « *

Supposons dans une urne , a boules blanches et b bouler noires , et qu'après en avoir extrait

une boule 9 on la remette dans l'urne; on de-mande la probabilité que dans le nombre . n de tirages, on amènera m boules blanches et n moins m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvenî arriver à chaque tirage est a plus 6. Chaque cas du second tirage , pouvant se combiner avec tous les cas dn premier, le nombre de cas possibles en deux tirages , est le c£urré du binôme a plus h. Dans le développement de ce carré , le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par by exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blan-> che et une boule noire sont amenées ; enfin le carré de b exprime le nombre des cas danfs les* quels on amène deux boules noires. En contî^ nnant ainsi , on voit généralement que la puis*ssmce n du binôme a plus b , exprime le noofthre de tous les cas possibles dans n tirages ; et que dans le développement de cette puissance ^ le terme multiplié par la puissance m àe Uy exprime le nombre de9 cas dans lesquels on peut amener m boules blanches , et n moins m boules noires. £n divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme , on aura la probalnlité d'amener m boules blanclies et n moins m houles noires. Le rapport des nombres a^ eia plus b ,

étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage ; et le rapport des nombres b , et a plu^ b^ étant la probabilité d'amener une boule noire ; si Ton nomme pet q ces probabilités , la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirage^ y set* a le terme multiplié par la puissance màef p^ dans le déyeAoppement de la puissance n du binôme /i plns^^ : on peut observer que la somme p pitis q est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme^ est très titile dans la théo^ rie des probabilités.

*Mqis la méthode la plus générale et la plus dirédte , pour r^^oâreles questions de proba* biKié, consiste à lesfeire dépendre d'équations aille différences. • En comparant les états successifs de < la fonction qui exprime la probabilité , loimïîe'F^m fet^T^oroitre les variables , de leurs dffiéreDces respectives ; la question proposée fourldt souvent un rapport très simple entre ces ^^tatS; Ce rapport est ce que Ton nomme équa-tion nuôâ différences ordinaires ^ ou partielles; '«ordinaires , lorsqu'il n'y a qu'une variaUe; par- -tiélles 9 lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes ^ jouent ensemble aux conditions suivantes* Celui des deux premiers joueurs, qui

gagne son adversaire , joue avec le troisième , et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres, .ce qui termine la partie : on demande la probabilité <me la ^^û^è^ sef*a nnie dans un nombre quelconque n de cpups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au œup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n moins

un , et le gagner ainsi que le coup suivante Mais . si au lieu de gagner le coup n moins ui^ , il était u «vaincu par son adversaire , celui-rci .venant -de i gagner l'autre joueur, la partie finirait à ce ; coup. • Ainsi la probabilité qu'un des joueurs, entr^çra au jeu au coup n moins un , et le gagnera , est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant , pour que la partie se termine au coup n , la probabilité de ce dernier ca^ ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une. fonction du nombre n; cette fonction est donc égale à la tooîne^de la même fonction, lorsqu'on y diminue n de l'unité. . Cette égalité forme . une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déternliner facilemept à son moyen , la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup ; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire, gagne au second: coup le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc ^. De là , en vertu de l'équation précédente», on conclut que les probabilités successives de la fitt' de la partie sont j pour le troisième cotip, -^.p^ur le quatrième, etc. ; et généralement i|- élevé' à la puissance n moins un , pour le j^^^**' coup.^ La somnie de toutes ces puissances de^^estl^unitéTncins la dernière de ces puissances; c'est la pl»obabilité que la partie sera terminée , au plus tard ', dans n coups.

ConsidéroÂs encore le premier problème un peu difficile , que l'on ait résolu sur les probabilités et que Pascal proposa de résoudre à Fermât. Deux joueurs A et B , dont les adresses sont égales jjQji^^ensemble avec la condition que celuiqur, le? premier, aui*a vaincu l'autre un nombre donné de fois , gagnera la partie , et em-'^^*^^ "^ portera la somme des mises au jeu : après quel- ^ ques coups , les joueurs convierment de se reti-^'^ rer sans avoir terminé la partie ; on demande

de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectif ves de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépem^ dent évidemment des nombres de points qui in2tlâ|uent k chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction.de ces deux nombres que nous nom»

merons indices^ ^ les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort , pourvu qu'après ce nouveau coup, le partage se Caisse toujours propor» tionndlement aux nouvdles probabilités de ga* gner la partie); alors, ou A gagnerait ce coup, et dans ce cas , le nombre des points qui lui manquent, serait diminué d'une imité; ou le joueur B le gagnerait , et dans ce cas ^ le nombre des points manquans à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est -l*; la fonction cherchée est donc égale k la moitié de cette fDnetîpn , dans laquelle on diminue de l'unité le premier indiœ ; plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

SUm LES PROBJLBILITÉS. Sq

On peut détermioer à son moyen les probabilités de A»^ en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprinae est ^ale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A , ou lorsque le premier indice est nul y et que cette fonction de* vient xniUe avecileseoond indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est ^, f , ^, etc., suivant qu'il manque à B un point , ou deux , ou trcMs, etc. Généralement, elle est alors l'unité , moins la puissance de \ égale au nom* hre des pcH»ts qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité égale a -^, |^, \-^j ete.y suivant qu'il manque à B, un point ou <leux , ou trois , etc. On supposera encore qu'il manque troès points au joueur A ^ et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité, au moyen de son équation aux difiorences, est longue et pénible. Les géomètres «ont cberché des méthodes pour avoir la fenction générale des indiœs , qui satisfait à cette équation , en sorte que l'on n'ait besoin pour chaqne cas particulier, que de substituer dans cette fonction les valeurs correspondantes deS'

4p essai i^hilosqphique

indices. Considérons cet objet d!une manière générale» Pour cela, çoncevons.une suite.de terf mes disposés sur une ligne horizontale^ et tels que chacun d'eux dérive des pr^éçien^ , suivai^t une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entr^ plusieurs termes consécutifs , et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette ^ua* tion est ce que je nomme équation aux dijfé-^ rences finies à un seul indicé. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence dû rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série, ^al au degfé de l'équation. Ces ^termes sontjes constantes arbitraires de l'exprefesion du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant , au-dessus des termes de la sériel précédente, une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons en«core au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale , et ainsi de suite à l'infini; et supposons les > termes de toutes ces séries liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs , pris tant^ dans le sens

SVBr 1£B PROBABILITES. ^î

horÛKintal vquè dacisle sens vertical ^ et les nom- ^Dtës 'qui 'indkjiieiit letlr rang dans les deux séris. Cette 'ékjtiatibb ^st ce que je notnme équation ctux 'âîjférèfïèèf finies partielles à deû± indidesir ■■" • ''■ ' '" "\^-' • ■' '"" ■■ • Goncêv'6'ïis pareillement àu-rféssus du pïàh dés séries prè(5ëdehtés', un second plan de séries sémblahles dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premiei* plan : concevons ensuite au-dessus de ce second plan , un troisième plan de séries semblables , et ainsi à Tinfini : supposons tous les termes de ces séries liés psu^ une équation gutre , plusieurs termes çonr séçutffs^;^ pris^d^s les sens de la longueur^ de la lîli:g^^r»^t; de la profondeur, et les trois juombre^ * quiTiudiqi^ent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équationaua: différences finies partielles à trois indices.

. Enfin , en considérant la chose d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace, concevons géBéralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices, et supposons enti'e ces grandeurs^ leurs différences relativepà ces indices, et les indices eux-mêmes , autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs ; ces équations seront

4l2 ESSAI PHILOSOPHIQUK

aille différences finies parlielies à uti nombre quelconque d'indîoes. ^ .. > . . »

On peut à leur moyen déterminer âucoessivement ces grandeurs. Mais de même que Téquation à un seul indice exige pour cela que l'on connaisse un ca^tain nombre de termes de la sérié; de même l'équation à deux ùidice^ etsâ^ que l'on connaisse une ou plu^ieui^ lignes* d^e séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement , l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une £c^nctien arbitraire de deux indices; ainsi de suite. Dans touâ ces cas^ on pourra^ par des éliminations successives, déterminer un ternie quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine ? étant comprises dans un même système d'équa^ tions , tx)Utes les expressions des termes successifs que l'on obtient par oes éliminations doivent être comprises dans une expression générale , fonction des indices qui déterminent le rang du térmue. Cette expression est l'îstégrale de l'équation proposée aux différences y et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui dans son ouvrage

StJR L£S PROBABILITES. 4^ *

intitulé Methodus incrementorum^ ait oonsidéré les équations linéaires aux di£férei)ces fitiiQ&. U y donne la mamère d'intégrer celles du premier ordre ^ a^rec iin coefficient et un dernier terme , fonctions de l'indice. A la vérité ^ les relations de» tiennes des progressions arithmétiques et géométriques que l'on a considérées de tout temps, sonft lei Gssles pku^ simples des équations linéaires auit difiEérences ; mais oti ne les avait ps^ envisagées sous ce point de vue , l'un de ceux qui se rattachant à des théories générales , conduisit à ces théories , et sont par là de véritables découvertes.

- Vers le même tetoipsy Moivre considéra, sous la dénomination de stdtes récurrentes^ les équations nus 'difiérences finies d'un ordre qudcon* que ^ À coeffidens cxmstans. Il parvint à les intégrer d'une manière très ingénieuse^ Gomme il est tcmjours intéressant de suivre ki marche des inventeurs , je vais exposer celle de Moivre > en Tap^iquant à Une suite récurrente dont la rekt* tion entre trois termes consécutifs esl donnée. D'abord , il considène la rdation entre Ite termes consécutifs d'une progression géométrique , ou l'équation à deux termes qui l')es|>riine. £n la rapportant aux termes inférieurs d'une tmilé, il la multiplie dans cet état par un facteur cons-

tant, et il retranche le produit de Féquation primitive. Par là, il obtient une équation entre trois termes consécutif de la progression géo«* métrique. Moivre considère ensuite une seconde progression dont la raison des termis est le facteur même qu'il vient d'employer. Il diminue pareillement d'une unité l'indice dep termes de l'équation de dette nouvelle progression : dans cet état y il la multiplie par la raison des termes de la première progression, et il retranche le pror duit de l'équation de la seconde progression j ce qui lui donne , entre trois termes ccHisécutifs de ' cette progression, une relation entièrement .rieiBhblable à celle qu'il a trouvée pour la première* {>rogression. Puis il observe que «si l'on ajoute terme à terme les deux progressions^ la même relation subsiste entre trois qudconques de ces sommes consécutives. Il compare les coefiBciens de cette relation à ceux de la relation des termes de la suite récurrente proposée , et il trouve , pour déterminer les raisons des deux progrès-' sioris géométriques , une équation du second' degré dont les racines sont ces raisons. Par là , Moivre décompose la suite récurrente en deux progressions géométriques multipliées, chacune par une constante arbitraire qu'il détermine au moyen des deux premiers termes de la suite ré-

currente. Ce«procédé ingénieux est au fond celui que d'Alemberta depuis employé' pour l'intégration des équations linéaires auK différences infiniment petites à coefficiens constans , et que Lagrangfe a transporté aux équations semblables à différences finies.

Ensuite, j'ai coïisidéré les équations linéaires aux différences partielles finies, d'abord sous la dénomination 'de ^2^^^ réourrchrécurrentes ^ et après, sous leur dénomination propre. La manière la plus générale et la plus simple d'intégrer toutes ce^ équa;tions^ me paraît être celle que j'ai fondée sur la. considération des fonctions génératrices doni ivoiqi Tddée.

Si Vonitcènçoit une fonction V d'une variable ty, .développée suivant les puissances «de cette variable, le coeffidient de l'une quelconque de ces. puissances sera une fonction de l'exposant ou indice de cette puissance , indice que je désignerai par a:. V est ce que je nomme fonction générâitrice de ce coefficient ou de la fonction dç l'indice.

Maintenant , si l'on multiplie la série du développement de V par une fonction de la même variaMe, telle, par exemple, que l'unité plus deiix fois cette variable , le produit sera une nouvelle fonction 'génératrice dans laquelle le

coefficient de la puissance x de la Variable i sera égal au coefficient de la méine puissance dans y, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice Xj dans le produit , égaiera la fonction de l'indice x dans Y, plm le douMe de cette même fonction dand laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice X est ainsi une dérivée de la fonction du même indice dans le développement de Y, fonction que je nommerai fonction primitive de l'indice. Désignons la fonction dérivée par la caractérisât tique S^ placée devant la fonction primitive. La dérivation indiquée par cette caractéristique dé* pendra du multiplicateur de Y, que nous nommerons T9 et que nous supposerons développé , comme Y, par rapport aux puissances de la variable t.

Si l'on multiplie de nouveau par T le produit de Y par T, ce qui revient à multiplier Y par la carré de T, on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient de la puissance x àet sera une dérivée semblable du coefficient correspondant du produit précédent ; on pourra donc l'exprimer par la même caracté? ristique i" , placée devant la dérivée précédente ; et alors cette caractéristique sera deux fois écrite

SUR L£S PROBABILITëS. 4?

devant la fonction primitive de x. Mais au lieu de l'écrire ainsi deux fois , on lui donne pour exposant le nombre 2.

Ën= continuant ainsi , on voit généralen^ent que si Tout multiplie Y par la puis^nce n de T, on aura le cbe£Bicient de la puisi^nce .r de ^ dan^ le produit de N par la puissance n de T, en plaçant devant la fonction primitive la caractéristique / avec n pour exposant.

Supposons^ par ejiemple, que T soit l'unité drmée par t\ alors dans le produit de V par T le coefficient de la puissance x ài^t sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans Vç ce coefSficient dans le produit de V par la puissance 71 de T sera donc la fonction primitive dans laquelle x est augmenté de n unités.

Considérons maintenant une nouvelle fonction Z de ^, développée, comme V etT, suivant les puissances de t : désignons par la caractéristique A placée devant la fonction primitive, le coefficient de la puissance x à^ t dans le produit de V par Z ; ce coefficient , dans le pro-duit de Y par la puissance /s de Z, sera exprimé par la caractéristique A affectée de l'exposant n et placée devant la fonction primitive de x:

Si, par exemple, Z.est égal à l'unité divisée

par t moins un, le co^Bcient de lapuÂs^anc^ X A^t dans le produit de Y par Z sera 1/^ /ç;oe^ cient de la puissance^o: plus ua de t dajas X^^ mpîi^ le coefficient de la puissance x. Il sera dopc-JI^ différence finie de la fonction . primitirvç' 4e Tiii? dice X. Alors la caractéristique A. ixidique un^ différence finie de la fonction. primitive, :d^MQS le cas où l'indice varie de l'unité ; et la puissance n de cette caractéristique , placée devant la foncr tion primitive , indiquera la différence finie ri*** de cette fonction. Si l'on suppose que .T soit l'unité divisée par t , on aur^ T égal au bînome Z plus un. Le produit d^ Y par la puissanoeiii de T sera donc égal au produit de Y pap la puissance de n du binôme Z plus uii. En développant cette puissance par rapport aux puissances c^e Z, les produits de Y par les divers termes de ce développement seront les fonctions» génératrices de jces mêmes termes , dans lesquels on substitue , au lieu des puissances de Z , ie& différences finies correspondantes de la fonction primitive de l'indice.

Maintenant le produit de Y par la puissance n de T est la fonction primitive, dans laquelle l'indice x est augmenté de n unités; en re^ passant donc des fonctions génératrices à leurs coeflTiciens , on aura cette fonction primirive

StîR LEïi PROBABILITÉS. 49

ainsi "augmentée , ^ale au développement de la j^mîsMneé n du binôme Z plus im; pourvu que éaXïÈ ce développem^t on substitue , au lieu des' 'puissances de Z, les diflFérences correspondantes de la fonction primitive > et que Ton multiplie le terme indépendant de ces puissances par la fcmction primitive. On aura ainsi la fonc*^ tion primitive dont l'indice est augmenté d'un nombre quelconque n, au moyen de ses différences:

En supposant toujours à T et à Z les valeurs précédentes , on aura Z égal au binôme T moins un <; )e produit de V par la puissance n de Z léra- donc égal au produit de V par le développement de la puissance n du binôme T moins im; -En» repassant des fonctions génératrices à leurs coefficiens , comme on vient de le faire , on aura la différence n*'"" de la fonction primitiVfe j exprimée par le développement de la puissance n du binôme T moins un , dans lequel on substitue veux puissances de T cette même fonction dont l'indice est augmenté de l'exposant de la puissance , et au terme indépendant de t et qui est l'unité , la fonction primitive : ce qui donne cette différence au moyen des termes consécutifs de cette fonction.

cT" placé devant la fonction primitive , expri-

5o ESSAI PHILOSOPHIQUE

mant la dérivée de cette fonction^ qui multiplie }a puissance x de t dans le produit de V par T^ -et À exprimant la même dériTée dftors le produit de Y par Z y on est conduit, par ce qui précède^ à ce résiliât général : quelles que soient les fonctions de la variable t , rq)résentées par T et Z^ on peut, dans le développement de toutes les équations identiques susceptibles d'étne formées ^tre ces fonctions, substituer les caractéristîques J^ et A, au lieu de T et de Z, pourvu que Ton écrive la fonction primitive de l'indice à la suite des puissances et des produits de pui»> sances des caractéristiques, et que Ton multiplie par cette fonction les teimes indépendans de « ces caractéristiques.

On peut, au moyen de ce résultat général, traii^oi«mer une puissance quelconque d'une dififérence de la fonction primitive de Tindice iCi> dans laquelle œ varie d'une imité , en «me sévie de différences de la même fonction , dans «le»* quelles :t varie d'un nombre quelconque d'unirtés, et réciproquement. Supposons en effet qiie T soit la puissance / de l'unité divisée par t moins un , et que Z soit toujours FunitJé divisée par t moins un; alors le coefficient de la pui^ sance x àe tj dans le produit de V par T,'9em le coefficient de la ipuissance x phis / de t dans

SUR LES PROBABILITÉS. 5l

V, niwDS le coefficient de la puissance oc de t; il sera donc la différence finie de la fonction primitive de Ti^dice «r , dans laquelle on fait varier cet indice du nomj^re /. Il est facile de voir ique T est égal à la différence entre la puissance / du binôme Z plus un et l'unité; la puissance n de T est donc égale à la puissauce n de cette diôerence. Si , dans cette égalité, on substitue au lieu de T et.de Z les caractéristiques ^ et A , et qu'après le dévelo{^ment OQ f4aoe à la fin de chaque terme la fonction priifiitii^e de l'iiidice a:^ on aura la diiOférence jif'^' de cette £opction , dans laquelle jc varie de i unités, exprimée par une suite de di£6érences de la même fonction, dans laquelle a: varie d'unie imité., Cette suite n'est qu'une transformation de la. dififérence qu'elle exprime et qui lui est idêtitique ; mais c'est dans de semblables jtRaBsfonpoatiQns que réside le pouyoir de l'ajudyae.

La. généralité de l'analyse permet de supposer dans .cette expression n négatif. Alors les puissaoïces négatives de i^ et de A indiquent des intéi^aleis. En «flfet , la différence «*'"" de la fonction primitive ayant pour fonction génératrice le f^roduit de V par la puissance n du binôme , un divisé par t , moins l'unité ; la fonction primitive

Sa ESSAI PHILOSOPHIQUE

qui est l'intégrale n*'"" de cette différence,' a ptmt fonction génératrice celle de la tnêmé dififerônce> multipliée par la puissance "n' prise eti itioid^'du binôme, un divisé par t^ m'ôikis'riiilitê, ■j)tlbsance à laquelle répond la gieifne^ ]|[itiissa!Acé > de la caractéristique A; c^ttle ^is^cè^indit]^ donc lîne intégrale du iriêttè'bMrëV l'îrtdSee'jr variant de Tunïté; él lés' piiiâsaiîcëé 'tiégttt^vés de <:r indiqtièht! ëgàliemeht de«s inté^ràlfesy'tt?'variant de i unités. On voit ainsi de la inaïïièi^e la plus claire et la plus simple, la râisoft de^Ftoàlogie observée entre les puissances pofsitivéi' 'et les diflPérences, et entre les puissanceB tilégdtiVés et les intégrales. ' "' ' '

Si la. fonction indiquée par la Caractéristique cT placée devant la fonction primitive est htdte, on aura une équation aux difiKrences finve^ , fet V sera la fonction génératrice de sofn itilégralë. Pour avoir cette fonction génératrice, on'VMDlàet^ vera que dans le produit de V par T totit^ 'les puissances de t doivent dispàraîti-e, excepté les puissances inférieures à l'ordre de l'équation *ax différences; V est donc égal a une fraction dont T est le dénominateur, et dont le niiméi*dteur est un polynôme dans lequel la puissance la plus élevée de t est moindre d'une imité que l'ordre de l'équation aux différences. I^es cocffi-

SUR LES PaOBABILIT£S. 53

cinas.4irl4^rairçs des diverses puissances de t dans

.cei!lP9I5t^P^>fi, ep y cpmprenant la puissance

i9a^rQ,j,;»^9^t di^terminés par autant de valeurs

€)e 4a fonction, prjgçpitive de l'indice , lorsqu'on y

iliti^iV^^q^^ve^qi^eiiit or égal à zéro, à l'unité, à

4çus^;,:etç, Qi^^ij^d l'éqiiation aux di£férences est

donnée 9; OQ idj^terxaine T en mettant tous ses

t^mes^dan^J^premier membre,, et zéro dans le

. second ; en substituant, d^gas Iç premier membre ,

.l'imité ^u lieu de la. fonction qui a le plus grand

ijodice; \^ première puissance de t au lieu de la

•fonction, primitive dans laquelle cet indice est

>^pqtinué d',u]:}e unité; la seconde puissance.de t^

à la fonction primitive où cet indice est dimi-

>ffj9^ dQi4ei|:(x, unités, ^t ainsi de suite. Le coeffi-

,4;jimi\ 4^ l£^ ^^>uissance .r dç /, dans le développe-

i^meni^rr^V^P^^^^^o^ Précédente de V, sera la

.^^€tj|^^ pi^itive de j:, ou l'intégrale de l'é-

.«m^oi^.au^ différences finies. L'analyse fournit

^•you^)^ déy^pppement , divers moyens parmi

;rjl)e$quels pn.peut choisir celui qui est le plus

ï^lpjropriQ. à. la question proposée; ce qui est un

i (avantage de cette méthode d'intégration.

, : iCpniceyons maintenant que V soit une fonc-

'tiqn 4^ deux variables iî et ^, développée sui-

) : v^t les puissances et les produits de ces variables ;

le coefficient d'un. produit quelconque des puis-

54 ESSAf PHILOSOPHIQUE

^nces œetaf de t et de 1% ûera une fonction dé» txpcfSAti^ on indices ^ et j::' de ces ipoissilEitice^ ftmcfion ^ue je nonmieraî Jonction pHrHitwe^ et dont V est la fonction généfâtricè.

Multiplions V par utie foriétion T dés deti^ Variables t et t% développée , do<ritrte V, par *feipport fitttx puissances et aui produits de Ces ' Srah riables; le produit iëra là fonction génémtricè d'une dérivée de la fonction primitive : si T , par exemple , est égal à la variable t , plus à la Variable f moins deux , cette dérivée sera la fcttifction primitive dont on diminue de Tuilité l'indice ^, plus cette mêtoe fonction primitive dbïrt on diminue de Tunité l'indice af^ moins deux fois la fonction primitive. En désignant, quel qtie sôît T, par la caractéristique cT placée devant ' la fonction primitive cette dérivée, le produit de V par la puisssinee w de T sera la fonction gé* nératrice de la dérivée de la fonction priihitivfe, devant laquelle on place la puistôncé n de la caractéristique cT. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs aux fonctions d'une seule variable.

Supposons que là fonctioti itidiquée par la baractéristique cT soit zéro ; on aura une équation aux différences partielles : si, par exemple, on fait, comme ci-dessus, T égal à la variable t^

plias à la/variâble t moins deux, on a zéro égal à.la (onction primitive dont on diminue de Tunité Vil>dice Xy plus la même fonction dont on diminue de Fuuité l'indice a/, moins deux fois la fonctiiw primitive. La fonction génératrice V de cette fonction primitive ou de Tintégralç de celte équation , doit donc être telle que son produit par T ne renferme point les produits de t pai: t^ mais V peut renfermer séparément les puissaniCes de <, et celles de ^, c'est-à-dire une fofic^pli .arbitraire de t et une fonction arbitraire. de ^} V est donc une fraction dont le nu- ^^érateur e3t la somme de ces deux fonctions arbitraîrei^^ et dont T est le dénominateur. Le coefficient du produit de la puissance x de ^ par la puissance af de H ^ dans le développement de cette fraction , sera donc l'intégrale de l'équatiop précédente aux dififérences partielles. Cette méthode d'intégrer ce genre d'équations me paraît être la plus simple et la plus facile , par l'emploi des divers procédés analytiques pour le développement des fractions rationnelles.

De plus amples détails sur cette matière seraient difficilement entendus sans le secours du calcul.

En considérant les équations aux différences partielles infiniment petites comme des équations

56 ESSAI. PHILOSPPHIQIJE ,

aux difféi^jices partielles finies dane^ lesqueile» rien o'est négligé, oi^.peut épls^irçir les^plninl» obscurs de leur calcul, qui,po|t ^té le sujet, de grandes discussipns parmi le^igéomètreSh^. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introdtiisè des fonctions discontinues, ^aijiSt leuiis intégralesv pourvu quQ la discontinuité ^'jait .lieu que ipoixp les différentielles de l'ordre, dei,^;es équations o» d'qp. ordre supérieur. XiCs résultat^ transcendâns du calcul sont, comme toutes les abstractionfi.de l'entendement , des signes généraux dont - oa qepeut connaître la véritable étendue qu'en semon^ tant, par l'analyse métaphysique, aux idées élé* mentaires qui y ont conduit : ce qui présentésouvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant qu'à se replier sur lui-même.

La comparaison des différences infiniment pe» ' tites avec les di£férences finies peut semblablement rép^dre un grand jour sur la métaphy-^ sique du calcul infinitésimal.

On prouve facilement que la diiiBEèrence finie; ^ième ^'m^iç fonction , dans laquelle l'accroissement de la variable est £, étant divisée par la puissance n de E; le quotient réduit en série par rapport aux puissances de l'accroissement £ , est formé d'un premier terme indépendant de £. A

SÛR -tlià^ iPKOBÀBILITlés. ^7

n6biirp''X{be'Kidiinintie; là série approché de plus enpkis dé ce pif^mîér iémne, dont elle peut ainsi ne dii^rep'qûe iSé quantités moîùdrés que toute graûideur d^^^i^lê. Ce terine'ést donc là limite dei la série i et 4l ^èi^^tbÀé / dâii^ le calcul ^difféçentici^ kdifFét^ôéè'irffthltiiëùtpeti^^ la

fonc^oo^' divisée 'ppàr1j^'j[ittîésance n de ra&rôîs-; sctneo»! intiment' petit. ''

>£h' icoiiiùdérànt ' soù$ ce poihtî ' de vue les dîtfé- * renées isâfitliment petite^ ,* 'on %lt que les diverses opéiraticlns ^\i calcul différehtîél reviennent a conaipapep séparément dans le développement d'éxpresBicN^ identiqueis, les termes finis ou indépendant- des accroissemens des variables que l'on regarde comme infiniment petits ; ce qui est rigovureusement exact, ces accroissemens étant indéterminés. Ainsi lé calcul différentiel a toute r^KfLCtxtude des autres opérations algébriques.

La nieme exactitude a lieu dans les applicationS| 4u Calcul différentiel à la Géométrie et à la Mécanique. Si l'on conçoit une courbe coupée par iine sécante dans deux points voisins; en nommant E rintérvallé des ordonnées de ces deux points , E sera l'accroissement de l'abscisse depuis la première jusqu'à lasedonde ordonnée. Il- est facile de voir que Taccroissement correspondant de l'ordonnée sera le produit de È par

la première ordonnée divisée par sa sous-sécante: en augmentant donc dans l'équation de la *0E>ufbe/ la première ordonnée de cet accrcMSseai^Ql;^ on aura l'équation relative à la seconde ordonnée : la différence de ces deux équations sera uafie trol^ sième équation qui, développée par rapport^ aux puissances de £^ et divisée par £, aura son premier terme indépendant de E, et qui sera la limite de ce développement* Ce terme, ^alé à* zéro, donnera donc la limite des sous-sécantes , limite qui est évidemment la sous-tangente^ /*

Cette manière singulièrement heupeusC; d^0b«tenir les sous>tangentes est due à Fermât , qui 'Xm étendue aux courbes transcendantes, Ce-^gmnd^ géç^nètre exprime par la caractéristique £ > ^'accroissement, de l'abscisse; et en ne considérant que La première puissante de cet accroiss^ftient / il détermine exactement, comme on le fait parle calcul différentiel , les sous-tangentes des courbes , leurs points d'inflexion , les maxima et minima de leurs ordonnées, et généralement ceux des fonctions rationnelles. On voit même, par sa belle solution du problème de la réfraction de la hunière , insérée dans le Recueil des Lettres de Descartes y qu'il savait étendre sa méthode aux fonctions irrationnelles , en se débarrassant des irrationnalités, par l'élévation des radicaux aux

SUR LES pttOBABi Lires. 5g

puisscMicesi On doit donc regarder Fermât comine le^^ti^fiâDfk ihventetrt du Calcul différentiel. Newton -A i^êpoi» r^ttdu ce cafctd plus analytique, daik iSSe^Mëih&de 'de^ Muœions} et il en a sim- {difié €K^ g^éraliàé les pfcicédés par son beau âiéèi^ètfle du bihcmè. Enfin , presqu'en métnê tetnps i * 'Ldbïiit^ a «oirichi !e Calcul différentiel d'une HQitatt^im qui y en indiquant le passage du fini à^'infihilnent petit, réunit à l'avantage d'ex^ primer tes^ résultats généraux de ce calcid, celui de donner te» premières valeurs appi*ochées des diflfêrence^et dès tommes des quantités ; notation qui s^est adaptée d'elle-même au calcul des différattfielles partielles.

On ës^ 'Souvent conduit à des expressions qui contietiâdm tant de termes et de facteurs , que led sttfe^itiatloï» numériques y sont impraticables. C'est jbe qui a. lieu dans les questions de probabîiité',^!drsqiie*ron Cbnâdère un grand nombre d'évèÉièintos. Cependant 8 importe alors d'avoir là valeur numérique des forinules, pour connaître aveô quelle {)robabilité les résultats que k» évèneteens développetlt en se multipliant,, srtht indiqués. Il importé surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité apptx)che sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre , si le nombre des évènemens devenait infini. Pour

6o E^SAt ^PHILOSOPHIQUE

y parvenir, je considérai iqpîë' lèi Intimâtes ^é* finies' de difFérehtielle^ mûltit^Uéek "par'dësfei^ teùris élevés à de grandes {J^ùi^sàncéiS^dôtinàiëht par Tintégf ation , dés fonntilês tôhipbséès ' (dTtÀi grand lïoiàibre de téi^més et dè^ ferétourt. Cette remarque mè fit lïàîto^è fîcïéë de triaA^foïWb datts de seniblables intégrales V* les exjii^ssiôfas' tfôii^ piiqtiées de rà'iidlyàe, et les'liifê^àlës des ét{âàti^ns aux diflférénces. Tai rekhpli cet'objët^"][)à!r line méthode qiii donne 'à' la fois la fonctibn comprise sous le signe intégral , et les limites de FîHtégration. Elle ofii^ë cela' de remarquable, ÈA^tfk i^ue cette fonction est! là fëiictîon même gérté!ratrice des' eiprëssidiiis' èïdës équations prôpoàééfe*; ùé (^ rattache cette iWéth'odé à la théorie' das 'fonctions généràtricies dont elle est ainsi le conipléniérit .' îl né s'agissait |)lus ëirâuite q)!ic de ' réduire rintégrale définie en série coîîVèrgénte. Ceçt ce que j'ai obtenu par un. procédé* qui fait converger la série avec d'autant plus ' 'de i^âpidité, que la formule qu'elle représente eit plus compliquée ; en sorte qu'il est d'autant plus exact, qu'il devient plus nédessaire. Le plus souvent , la série a pour facteur la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre : quelquefois elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

SUR XES. PROBABILITÉS. 6l

. f jLTn^^fiimi^qiie |im{K>i*tante qui tient à la grande ffi^érai\\téi!^e y Analyse f et qui permet d'étendre <^t|[^.][)[^^Qd,e,au^J[ormu)i^ et aux équations à àf^^rfa?4;i^9,q^pl^\t^ dçs probabilités, pré- ^nte k pjijsj ÉrpqijieiBiiïj^ijit^ .^t.quç^Jes séries m^Lqai^ïk^ çj^ p^iiTfiejj^t ,^ ^iflpppswt réeUçs et posiliyiBs> |p$, liijaitçsj,. (des . iptj^g]cales , ^^^e^ , ont

.^}içmç«t^4îW: 4ftP? i^ cas c)ù|réqua,t|on qui déjljçipniTie cpç limites ^'a que , ,4çs .racines néga- .^i]ççs puj ; i^wagii^aires. Çes^p^^çsage^ du positif au qéga|îf^ let^/^.. réel à l'imagi^^re, dont j'^i le fur^inier {fait us^ge, m'ont conduit (encore aux va- Jçprs.de plusieurs intégrales définies singulières^ .qw j'ai ensuite . démpptréçs directemen,t,^ Q^i .pput. donc cpnsidérçr ces passages , comme un .ippyen de découverte, pareil à l'induction et à l'an^ogie employées depuis long- temps par les géçmètres, d'abord avec une extrême réjsçrve, Qpsmjte >av€^ une entière copfiançp^ un graixd : nombre d!6x,emples . en ayant- jusjtifié ^ Jf'em^oi. Cependant il esl toujours nécessaire de, confirmer^, par d»e& démonstrations directes, les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai pommé Calcul des fonctions génératrices l'fmsemble des méthodes précédentes; ce calcid iSeirt d^, jfondement à l'ouvrage que j'ai publié sous ce titre : Théorie analytique des Probabi-

62 E^Al PnjLU;>$OPHIQU£.

Utés. 11 se rattache à l'idée i^mple rd'/ua^i^uer: les multiplicatÎQiis répétées d'une qu^ivtpyté fi^ff^ter même 9 ou ses puissances i^atiè^ies e) jpoaitp^e^^/eo é^criv^nl; vers le haut de la iettxe qpi^'iei^ijiie» les noinbi:«i$ qui marqufoit les d^^és. ,de .c^ pui^sances^ . Cfejtte ^dotation ^mplojr^ ' par J)e^ jc^rtes, dans sa Géam^tfie^ et génér^ei]|i9tit iMio|>lée depuis U pt^bliçaiÂpn de icet iinpo^tant; jom^ j^r^e, est peu .de chose, sq^rtomt qjo^nd ffm ^ compare à la théorie des courbes. et des fonctions variables, par laquelle ce grand géomètre. $i po^ les fondemens des calculs moder^^,. Alais 1^ JUuo^ gue de l'Analyse, la (Jus par&ita de pcmtfàà^ tétant par elle-mémç un puissant in^triuaent^ 4f^ .découvertes, ses notations, lorsqu'^1^ ^qnt i^ cessaires .et .heureus^ruent imaginées., sQnti^ntwl; Â^ germer de nouveaux qalculs. C'^ pe qm^ici^ exemple r^nd sensible. ^ ; ' v

. WalUs qui, dans son ouvxageiQtitulé^ri^li^n^ ticainfinitorum^ V\Uà de ceux quifontle {d^S;Qo^ £ribué aux progrès de l'Analyse ,: s'esit att^u^hé spécialement à suivre le , fil de l'indiiijCtion etrde Tanalogie , considéra que si l'on divise l'exposai^ d'une lettre «par deujc, trois, etc.; le quotient sera suivit la cotation cartésienne, et lorsque la division est possible , l'exposant de la racine carrée, cubique, etc., de la quantité que repré-

SUR iiES PROBABILITE. 63

sente la lettre élevée à l'exposant dmdende. En étendoâll; 1^ âfDalo^e ce résultat au cas où la dmitoU' ift'est pas possible , il considéra une quai]ftitë<éleTéeà un exposant éractionnairecomme la racine 'du tiegré indiqué par le dénominateur dek^ette frafction ^ de la quantité éàevée à la pui^ sin'ce indiquée par le numérateuà*; Il observa ensuite que ' suiHnant la notation icartésicfnne , '' la multiplieatiôn de deux puissances d'une même lettre révient à ajouter leurs expbsans, et que leur division revient à soustraire l'exposant de la p«issanee diviseuf de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposans sur- ^kâste 'lè^ preinier. WàUis étendit ce résultât au caft dù le premier exposant égale ou surpasi^ le see&nd^iee qui rend la différence nulle où négsttiveû' li^ supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité diiôsée par la quantité ^evée au triâtiié éitposalitpris positivement. €es Temlslrques le conduisirent *JL intégrer généralement leé dif- ^réétielies 'monômes ; d'où il conclût ' les ' înt^ graîei^ définies d'un genre particulier' de dtfSik^totidleis binoiùés dbnt l'exposant est un nombre eiftier |)oâilif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment t;es intégrales, une série d'interpolations et d'inductions heureuses «où l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales

définies, qui a tant exercé les géomètres, et Funé des bases de ma nouvelle Théorie des Probabilités ^ lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre , exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus en plus rapprochées; résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les exposans fraé* tionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. Newton , si je ne me trompe , employa, le premier, dans ses Lettres à Oldembourg^ Ik notation de ces puissances par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binôme avec les coefiiciens des termes de son développement, dans le cas où- cet exposant est entier et positif, il détermina la loi de ces coefficiens , et il retendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'Analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet que les exposans d'une grandeur dont les puissances suc-

cijessives, en croissant par degrés infiniment petits, . peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation, ait reçue , est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, Tune des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables, et par-là, il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être composée ; car toute.fonction finie explicite d'une variable se réduit, en dernière analyse , à des grandeurs simples , combinées par voie d'addition , de soustraction , de ip^ltiplication et de division, et élevées à des pmissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, sont des fQnctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable en est une fonction imphcite.

. Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les dilFérentiations répétées

d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à Tanalogie des puissances positives avec les dififérentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière dans tous ses dévelc^pemens ; et par une suite d'inductioos , qui peut être regardée comme ime des plus bdles applications que l'on ait ËEutes de la méthode d'induction , il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu^utiles ^ sur les transformations des différences et des iutégrsdes les unes dans les autres^ lorsque les variables ont des aecroissetnais finis divers ,< et lorsque ces accroissemans sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné lesdémonstrations qu'il jugeait ^difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques , la notation cartésienne : elle montre avec évidence , l'analogie des puissances et des opératicoos iiMliquées par .ces caractéristiques; en soFte qu'elle «peut .encore être envisagée comme le calcul exponentiel deS;CaractériAtiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences , en .découle avec une extrême f£K$iKté.

SUR LES PROBABILITES. 67