I(CATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS

Des jeux,

Les^'dcnnbinâisons que les jeux présentent ont été l'objet des premières recherches sur les probâd^ilités; Dans l'infinie variété de ces combiilàitoifts^ plusieurs d'entre elles se prêtent aTéc ftidlité au calcul : d'autres exigent des calculs ptus' difficiles ; et les difficultés croissant à meswte que les combinaisons deviennent plus compliquées , le désir de les surmonter et la curiosité

■ ont excité les géomètres à perfectionner dé plus

neti plus eei genre d'analyse* On a vu précédem-

mpnt que 'l'on pouvait facilement détermirier,

par la- théorie des combinaisons ^ les bénéfices

; d'i^H» léteirie. Mais il est plus difiEicile de savoir en cxHnbieu; de (tirages on peut parier un contre nn^'paf 'exemple, que tous les numéros s^oiit sortis^ n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, ^ i le nombre inconnu des tirages /l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros dépend de la différence finie ^^^'"* de la puissance / d'un produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable , la recherche de la valeur de /, qui rend cette probabilité égale à |-,

devient impossible , à moins qu'on ne convertisse cette différence dans une série trëk convergeilteJ C'est ce que l'on fait heureusement par là méthode ci-dessus indiquée pôurléë approximations des fonctions de très grà'ndà horiitrès. On trouve ainsi que la loterie étant composée dé dix mille numéros dont iin seul sort à chaque tirage ; il y a du désaVahtage â pariei* tin éontrê Un , que tous

les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de

l'avantage à faire le même pari pouir 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile , de manière qu'à chaque .cQup , si croijc arrive , A donne un jeton à-B , qui lui en donne un si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité , celui des jetons de A est illimité , et la partie né doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups on peut parier un contre un que la par- . tie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre / de coups , est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable, la recherche de la valeur de Tinconnue 1 , qui rend

SUR LES PROBABILITES. 69

celte suite égale à \ , serait donc alors impossible si l'on ne parventait pas à réduire la suite' dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue , de laquelle il résulte que si , par exemple , B a cent jetons , il y a im peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en a 37 80 coups , et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans îiSySi coups.

Ges deux exemples, joints à ceux que nous avons déjà donnés , suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues quipeus^ent exister entre les chances que Von suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile^ et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est |^, et celle de l'amener deux fois de suite est -^. Mais sHl existe dans la pièce une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la

face favorisée par cette inégalité , la- probabilité d'amener croix au premier coup sera toi]^cfurfir-| ; parce que dans l'ignorance où Ton f si de la £sk^ que cette inégalité favorise , autant la ^probabilité de Tévènement simple est augmentée si cette inégalité lui est favorable , autant elle est diminuée si rinégalité lui est contraire. Mais dans cette igno* rsmce même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite est augmentée. En effet, cette proba* bilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif dé croire que l'inégalité de la pièce le favorise; «l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup ; elle accrok par conséquent le produit des deux probabilités. Ppur soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d^un vingtième la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix j sa probabilité sera ^ plus -sV ^^ io » ^ ^^ probabilité de l'amener deox fois de suite sera le carré de ^ ou \^. Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera \ moins ^ ou -5^ , et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera -^. Ck>mme on n'a d'avance aucune raison de croire que l'inégalité fa-

sua LES PBOBABILIT£S. 7I

vorise Tun de ces évènemens plutôt que l'autre^ il est claû? que pour avoir la probabilité de l'évè^ n^neot composé croix croùx:^ il faut ajouter les deux^robabilités^pfécédentes et prendre la moitié de leur sommes ce qui donne ^^ pour cette probabilité qui suidasse \ , ^^ toô ^^ ^^ carré- de racçroissemeat ^ que l'inégalité ajoute à ia po^ Milité de révènemexit qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement ^^ ; mais les probabilités d'amener croix pïh^ Qu^le croix ne âont chacune que ^^; car la somme de Ces quatre probabilités doit égaler la certitude ou Tunité. On trouve ainsi généralement ; que les causes constiantes. çt incoimues qui ÊivQ^sepf: les évènemens simples que l'on juge également postales >, accroissent toujoiu:*s la probabilité de la jp^tition d'un même événement simple.

Dans im nombre pair de coups , croix et pile doivent arriver tous deuxy ou^un nombre pair ou im nombre ifenpair- de Ibk». La probabilité de chacun de ces- cas est -^ si les possibilités des deux faces sont égales; tùsàs s'il existe entre elles yne inégalité inconnue y cette inégaUté est ^toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs dont on suppôt les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup , celuiqui perd donne un jeton à son adver-

saire, et que la partie dure jusqu'à 'ee que Ttin des joueurs n'ait plus de jetons, ht calctiâ*'rffes probabilités nous montre que 'poilr' l'égalité 'Uu jeu, les mises des joueurs doivent être etir^rïsorl inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre- ktir^ adresses pne petite inégalité inconnue , elle fMo- ' rise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons; et elle serait \ ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas * où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'uifluence de ces inégalités ■ inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croia: on pile, si l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première , et que l'on convienne * de nommer constamment croix la face amenée par cette seconde pièce , la probabilité d'amener croix deux fois de suite avec la première pièce , approchera beaucoup plus d'un quart que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce qu'elle favorise : dans l'autre cas, cette différence est le quadruple pi^o-

SUB: UBS' PROBABILITES. 73

duit d^.ç^ €tf^rré^<par le carré correspondant relatif à la ^oogh^ pièce.

QuQilian'jetta dans une urne, cent numéros depui^fiUi^jusquîà cent, dans l'ordre delà nùmératiyw ^ «et qu'après avoiri agité l'urne, pour mêler f^ oiHnéros, oo en tire un; il est clair qilè si Jke ifli^lange a été bien fait, les- probabilités dé ' sortie des numéros seront les mêmes. Madfs si l'ctn craint qu'ii n'y ait entre elles de petites dif-^ fér€^Eices d^>endantes de Tordre stûvant lequel leç.jqiuméros ont été jetés dans l'urne; on diminuera /considérablement ces différences , en jetant dans, une seconde urne, ces numéros suivant leur ordr? de sortie de la première urne , et en agitât ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne , une quatrième ^ etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne.

Des lois de la Probabilité ^ qui résultent de la ^multiplication indéfinie des évèneméns.

Au milieu des causes variables et inconnues ' que nous comprenons sous le nom de hasard ^ et qui rendent incertaine et irrégulière, la marche des évènemens; on voit naître à mesure qu'ils se multiplien^k^.'une régularité frappante qui semble

tenir à un dessein, et que l'on a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y r^téchi^* sant, on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le dévelo[^ment des possibilités ite*' pectives des évènemens simples qui doivent se< présenter plus souvent , lorsqu'ils sont pli|$ pro* bables. Concevons, par exemple, un^unnequi renferme des boules blanches et des boules noi* res ; et supposons qu'à chaque fœs que l'on; ea\ tire une bo^le, on la remette dans l'umerpoiul procéder à un nouveau tirage. Le rapporldu nombre des hoiries blanches extraites, au «Mkbi^ des boules noires extraites ^ sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité produiseoi des effets alternativement favorables et contraire^ à la marche régulière des évènemens, et qm 8^ détruisant mutuellement dans l'ensemble d*un grand nombre de tirages, laissent de plus en plus apercevoir le rapport des boules blanches aux boules noires contenues dans l'urne, ou les possibilités respectives d'en extraire une boule blanche ou une boule noire à chaque tirage. De là résulte le théorème suivant.

La probabiUté que le rapport du nombre des boules blanches extraites , au nombre total des boules sorties , ne s'écarte pas au-delà d'un i

SUR LES PROBABILITÉS. 'j5

tervalle domiéf du rapport du nombre des boules blanckèa^ atu^ nombre total des boules contenues dans l'urne 9 'approche indéfiniment de la certitude 9 pdf far multiplication indéfinie des évènemeds^y quelque petit que l'on suppose cet intervaUeJ

Ce> théorème indiqué par le bon sens, était difficile à démontrer par l'analyse. Aussi l'illustre géomètre Jacques Bernouilli qui s'en est occupé le pFemief 9 attachait-il une grande importance à la démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions géïiératrices , appliqué à cet objet, non^-seulesEiefit démontre avec facilité ce théorème f tna^de plus il donne la probabilité que le rapporti dés évènemens observés ne s'écarte que dans certaines limites, du vrai rapport de leurs» fto^ibihtés respectives.

• On peut tirer du théorème précédent cette conséquence qui doit être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des effets de la nature sont à fort peu près constans, quand ces effets sont considérés en grand nombre, Ainsi^ malgré la variété des années, la spmme des productions pendant un nombre d'knnées omsidérable est sensiblement la même; en sorte que l'homme , par une utile prévoyance, peut se mettre à l'abri de l'irrégularité des saisons , en

répandant également sur tons lés temps, les biens que la nature distribue d'une manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente , les efifets dus aux causes morales. Le rapport des naissances antiuellesà la population y et celui des mariages aiïx naissances 9 n'éprouvent que de très petites variations : à Paris, le nombre des naissances an-, nuelles est à peu près le même ; et j'ai ouï dire qu'à la poste , dans les temps ordinaires , le nom^ bre des lettres mises au rebut par les défauts des adresses, change peu, chaque année; ce qui a été pareillement observé à Londres.

H suit encore de ce théorème, que dans une série d'évènemens , indéfiniment prolongée, l'action des causes régulières et constantes doit l'emporter à la longue , sur celle des causes irrégulières. C'est ce qui rend les gains des loteries aussi certains que les produits de l'agriculture; les chances qu'elles se réservent , leur assurant un bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi des chances favorables et nombreuses étant constamment attachées à l'observation des principes éternels de raison , de justice et d'humanité, qui fondent et maintiennent les sociétés , il y a grand avantage à se conformer à ces principes , et de graves inconvéniens à s'en écarter. Que l'on consulte les histoires et sa propre ex-

périence; on y verra tous les faits venir à l'appui de c^ résultat du calcul. Considérez les heureux effets des insjtitutioqs fondées sur la raison et sur les droits naturels de l'homme, chez les peuples qui ont su les établir et les conserver. Considérez encore les avantages que la bonne foi a procurés aux gôuvernemens qui en ont fait^ la base de leur conduite, et comme ils ont été dédommagés des sacrifices qu'une scrupuleuse exactitude à tei^ir ses engagemens, leur a coûtés. Quel immense crédit au dedans ! quelle prépondérance au dehors ! Voyez au contraire , dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été souvent précipités par l'ambition et par la perfidie de leurs chefs. Toutes les fois qu'une grande puissance enivrée de l'amour des conquêtes , aspire à la domination universelle; le sentiment de l'indépendance produit entre les nations menacées, une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareillement , au milieu des causes variables qui étendent ou qui resserrent les divers états j les limites naturelles, en agissant comme causes constantes , doivent finir par prévaloir. Il importe donc à la stabilité comme au bonheur des empires , de ne pas les étendre audelà de ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans cesse par l'action de ces causes; ainsi

que les eaux des mers^ soulevées par de vio^ lentes tempêtes , retombent dans Jeurs bassins par la pesanteur. C'est encore isn t^ultat- du calcul des probabilités , confirmé par de nondbreuses et funestes expériences. L'histoire traitée sous le point de vue de l'influence des causes constantes 9 unirait à l'intérêt de la curiosité , celui d'offrir aux hommes les plus utiles leçonb. Quelquefois on attribue les effets inévitables de ces causes , à des circonstances accidentelles qui n'ont fait que développer leur action. Il est, par exemple, contre la nature des choses, qu'un peuple soit à jamais gouverné par un autre qu'une vaste mer ou une grande distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue, cette cause constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent dans le même sens , et que la suite des temps développe , finira par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumis, son indépendance naturelle , ou pour le réunir à un état puissant qui lui soit contigu.

Dans un grand nombre de cas , et ce sont les plus importans de l'analyse des hasards , les possibilités des évènemens simples sont inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les évènemens passés , des indices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur les causes dont ils

SUH LES PROBABILITÉS. 79

dépendent. En appliquant l'analyse des fonctions i génératrices, au principe exposé ci-devant, sur la:prd[)ai»lité'des causes, tirée des événement c^Meryés^on est conduit au théorème suivant.

Lorsqu'on événement simple ou composé de plusieurs évènemens simples , tel qu'une partie

> de jeu 9 a été répété un grand nombre de fois; les possibilités des évènemens simples qui rendent ce que l'on a observé, le plus probable, sont celles que l'observation indique avec le plus de vraisemblance : à mesure que l'évènemait observé se r^>ète, cette vraisemblance augmente et finirait par se confondre avec la certitude, si le nombre des répétitions devenait infini.

Il y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles^ est relative aux limites prises de part et d!autre,'des possibilités qui donnent au passé le plus de vraisemblance : l'autre approximation se

r rapporte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites. La répétition de l'événement composé accroît de plus en plus cette

• probabilité , les limites restant les mêmes : elle ressseirede plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité restant la même : dans l'infini , cet intervalle devient nul , et la probabilité se change

encertitude.

Si Ton' applique ce théorème, au rapport dés

8o ESSAI PHILOSOPHIQUE

naissances des garçons à celles des filles^ observé daos les diverses contrées de rEuropet oq tarôuve que ce rapport , partout à. peu près égal axdui. de 22 à 21 , indique, avec une extréma probable* lité une plus grande facilité dans lea . naissances d^s. garçons. En considérant ensuite qu'il est le: in^o^e à Naples eji à Pétersbourg , on verra qu'à cet égard , l'influence du climat est insensible. On pouvait donc soupçonner contre l'opinion, commune y que cette supériorité desi naissances masculines subsiste dans l'Orient méme^ J'avais en conséquence invité les savans français envoyés eu Egypte, à, s'occuper de cette question inlé" ressante ; mais la difficulté d'obtenir des renseignemens précis sur les naissances , ne leur a pas^ permis de la résoudre. Heureusement^ M. de.

Humboldt n'a point négligé cet objet dans l'im* mensité des choses nouvelles qu'il a observée» -et recueillies en Amérique, avec tant de sagacité, de constance et de courage. Il a retrouvé entre les tropiques, le même rapport des naissances des garçons à celles des filles , que l'on observe à Paiûs ; ce qui doit faire regarder la supériorité des naissances masculines comme une loi gêné* raie de l'espèce humaine. Les lois que suivent à cet égard, les diverses espèces d'animaux, me paraissent dignes de l'attention des naturalistes.

SUR LES PROÈABILIT^. 8l

l^e rapport des naissances des garçons à celles des filles , différant très peu de l'unité , des nombres mémei- assez grands de naissances observées dans un liéo , pourraient ofirir à cet égard un résultat contraire à la loi générale ^ sans que l'on fût en droit d'en conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence , il faut employer de très grands nombres, et s'assurer qu'elle est indiquée avec une grande probabilité. Buffon cite , par exemple , dans son Arithmétique politique , plusieurs commîmes de Bour^ gogne où les naissances des filles ont surpassé celles des garçons. Parmi ces communes , celle de Carcelle-le-Grignon présente , sur ^009 naissances pendant cinq années, 1026 filles et 988 garçons. Quoique ces nombres soient considérables , cependant ils n'indiquent une plus grande possibilité dans les naissances des filles, qu'avec la probabilité ^ ; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas amener croiœ quatre fois de suite , au jeu de croix ou pile^ n'est pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomalie qui , selon toute vraisemblance , disparaîtrait si l'on suivait, pendant un siècle, les naissances dans cette commune.

I>es registres des naissances , que l'on tient avec soin pour gssurer l'état des citoyens, peuvent

8a ESSAI PHILOSOPHIQUE

servir à déterminer la population d'un grand empire,' sans recourir au dénombrettient de ses habitans, opération pénible et difficile à faire avec exactitude. Mais il faut pour cela connaître le rapport de la population aux naissances annuelles. Le moyen d'y parvenir, le plus précis, consiste i® à choisir dans l'empire, des départemens distribués d'une manière à peu près égale sur toute sa surface, afin de rendre le résultat général , indépendant des circonstances locales ; a® à dénombrer avec soin, pour une époque donnée, les habitans de plusieurs communes dans chacun de ces départemens; 3® à déterminer par le relevé des naissances durant plusieurs années qui précèdent et suivent cettîe époque , le nombre moyen correspondant des naissances annuelles. Ce nombre , divisé par celui des habitans , donnera le rapport des naissances annuelles à la population , d'une manière d'autant plus sûre , que le dénombrement sera plus considérable. Le gouvernement, convaincu de l'utilité d'un semblable dénombrement, a bien voidu en ordonner l'exécution , à ma prière. Dans trente départemens répandus également sur toute la France , on a fait choix des communes qui pouvaient fournir les renseignemens les plus précis. Leurs dénombremens ont donné io^'j6v5 individus

SUR LES PAOBABILITÉS. 83

pour la somme totale de leurs habitans au 23 septembre 1802. Le relevé des naissances dans ces commune» pendant les années 1800, 1801 et 1 802 j a donné

Naissances.

Mariages.

Décès.

iio3ia garçons.

10,5 287 filles.

io3659 hommes.

99443 femmes.

Le rapport de la popidation aux naissances annuelles est donc 28 iVoVoVo • ^ ^^t plus grand qu'on ne l'avait estimé jusqu'ici. En multipliant par ce rapport le nombre des naissances annuelles en France, on aura la population de ce royaume. Mais quelle est la probabilité que la population ainsi déterminée , ne s'écartera pas de la véritable au-delà d'une limite donnée ? En résolvant ce problème , et appliquant à sa solution les données précédentes , j'ai trouvé que le nombre desr naissances annuelles en France, étant supposé d'un nullion , ce qui porte sa population à a8 352 845 habitans , il y a près de trois cent mille à parier contre un que l'erreur de ce résidtat n'est pas d'un demi-million.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu'ofFre le relevé précédent, est celui

de 22 à 21 ; et les mariages sont aux naissances comme trois est à quatorze.

A Paris , les baptêmes des enfans ée» deux sexes s'écartent un peu du rapport de aa à a i • Depuis 1 745 9 époque à laquelle on a commencé à distinguer les sexes sur les registres des naissances 9 jusqu'à la fin de 1 784 9 on a baptisé , dans cette capitale, 393386 garçons et 377555 filles. Le rapport de ces deux nombres est à peu près celui de 25 à 24 ; il parait donc qu'à Paris une cause particulière rapproche de l'égalité les baptêmes des deux sexes. Si l'on apf^que' à cet objet le calcul des probabilités^ on troitre qu'il y a 238 à parier contre un en faveur de l'existence de cette cause j ce qui sufiBt pour en autoriser la recherche. En y réflédiissant , il m*SL paru que la différence observée tient à ce. que les parens de la campagne et des provinces trourànt quelque avantage à retenir près d'eux les garçons,' en avaient envoyé à l'Hospice des Enfans-Trotivés de Paris , moins relativement aux filles , que bcék vant le rapport des naissances des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres de cet hds^ pice m'a prouvé. Depuis le commencement Ae* 1 745 jusqu'à la fin de 1 809 , il y est entré 163499 garçons et iSg 4^5 filles. Le premier de ces nombres n'excède que d'un trente -huitième le

SUA LES PAOBABILITES. 85

second qu'il aurait dû surpasser au moins d'im vingt-quatrième. Ce qui confirme l'existence de lacauaea^sigoée , c'est qu'en n'ayant point égard aux enfans trouvés ) le rapport des naissances des garçons .à celles des filles est à Paris celui de

Les résultats précédons supposent que l'on peut assimiler les naissances aux tirages des boules d'un^ urne qui renferme une infinité de boules blanph^ et de boules noires mêlées de manière qu'à» chaque tirage les chances de sortie soient les mémies pour qhaque boule ; mais il est possible qu^Jes variations, des mêmes saisons dans les diyei:8es années , aient quelque influence sur le rappp^tt ) ^]?iuel des naissances des garçons à celles 4<^ fiUes. Le Bureau des Longitudes de Francç. p^bAie. chaque année , dans son Annuaire , Lç tableau du mouvement annuel de la populatiou du royaume. Les tableaux déjà publiés commençant à 1817 : dans cette année et dans les cinq suivantes, il est né 2962361 garçons et ^781997 filles; ce qui donne à fort peu près yf pour 1^ rapport des naissances des garçons à cellcn^ des filles. Les rapports de chaque année s^éloignent peu de ce résultat moyen : le plus petit rapport est celui de 1822 , où il n'a été que 1^; le plus grand est de l'année Ï817, où il o^

égalé yf. Ces rapports s'écartent sensiblement du rapport -ff trouvé ci-dessus. En appliquant à cet écart l'analyse des probabilités, dans Thjrpothèse de Tassirailation des naissances aux tirages des boules d'une urne , on trouve qu'il serait très peu probable. Il paraît donc indiquer que cette hypothèse , quoique fort approchée , n'est pas rigoureusement exacte. Dans le nombre des nai^ sances que nous venons d'énoncer, il y a en enfans naturels 200494 garçons et 190 698 filles. Le rapport des naissances masculines et féminines a donc été à leur égard yf , plus petit que le .rapport moyen f|. Ce résultat est dans le même sens que celui des naissances des enfans trouvés ; et il semble prouver que dans la classe des enfans naturels , les naissances des deux sexes approchent plus d'être égales que dans la classe des enjfiuis légitimes. La différence des climats du nord au midi de la France ne paraît pas influer sensiblement sur le rapport des naissances des garçons et des filles. Les trente départemens les plus méridionaux ont donné -fl pour ce rapport , comme pour la France entière.

La constance de la supériorité des naissances des garçons sur celles des filles , à Paris et à Lon^dres, depuis qu'on les observe, a paru à quelques savans être une preuve de la providence,

sans laquelle ils ont pensé que les causes irrégulières, qui troublent sans cesse la marche des évèiiemens , auraient dû plusieurs fois rendre les naissances annuelles des filles supérieures à celles de$ garçons.

Mais cette preuve est un nouvel exemple de l'abus que l'on a fait si souvent des causes finales , qui disparaissent toujours par un examen approfondi des questions, lorsqu'on a les données nécessaires pour les résoudre. La constance dont il s'agit est un résultat des causes régulières qui donnent Ja supériorité aux naissances des garçons , et qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard, lorsque le nombre des naissances annuelles est considérable. La recherche de la probabilité que cette constance se maintiendra pendant un long espace de temps , appartient à cette branche de l'Analyse des hasards qui remonte des évènemens passés à la probabilité des évènemens futurs; et il en résulte qu'en partant des naissances observées depuis 1745 jusqu'en 1 784 > il y a près de quatre à parier contre un , qu'à Paris les naissances annuelles des garçons surpasseront constamment, pendant un siècle, les naissances des filles ; il n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu lieu pendant un demi-siècle.

Donnons encore un exemple du dévelo{^)enient des rapports constans que les érèn^nens pré* sentent à mesure qu'ils se multijrfient. Concevons une série d'urnes disposées circulairement, et renfermant , chacune y un très grand nombre de boules blanches et de boules noires : lesrap» ports des boules blanches aux noires , djtns ces urnes , pouvant être très difierens à Forigine , et tels y par exemple , que l'une de ces urnes ne renferme que des boides blanches , tandis qu'une autre ne contient que des boules noires. £^ Ton tire une boule de la première lune ^ pour la mettre dans la seconde ; qu'après avoir agité o^te seconde urne , afin de bien mêler la boule ajou- • tée avec les autres, on en tire une boule pour la mettre dans la troisième urne, et ainsi de suite jusqu'à la dernière urne dont on entrait une boule pour la mettre dans la premi^} et que l'on recommence indéfiniment cette série de tirages , l'Analyse des probabilités nous montre que les rapports des boules blanches aux noires , dans ces urnes , finiront par être les mêmes et égaux au rapport de la somme de toutes les boucles blanches à la somme de toutes les boules noires contenues dans les urnes. Ainsi par ce mode régulier de changement , l'irrégularité primitive de ces rapports disparait à la longue pour

SUA LKS PROBABILITÉS. 89

faire place k 1 : ordre le plus simple. Maintenant si entre oea limes on en intercale de nouvelles dans lesqiidles Jle rapport de k somme des boules blanches à la somme des boules noires qu'elles contiennent y diffère du précédent; en continuant indéfiniment , sur l'ensemble de ces umèfS', les extractions que nous venoni^ dHndiquer^ Tordfe simple établi dans les anciennes urnes sera d'abord troublé j et les rapports des. boules blanches aux boules noires deviendront irfégulifers; mais peu à peu cette irrégularité disparaîtra pour fait^ place à un nouvel ordre qui sera enfin celui de l'égalité des rapports dés boules blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut étendre ces résultats à toutes les combinaisons de la nature 9 dans lesquelles les forces constantes dont leurs élémens sont animés , établissent des modes réguliers d'action , propres à faire éclore du sein même du chaos ^ des systèmes régis par des lois admirables.

Les phénomènes qui semblent le plus dépendre du hasard présentent donc, en se multipliant, une tendance à se rapprocher sans cesse de rapports fixes; de manière que si l'on conçoit de part et d'autre de chacun de ces rapports , un intervalle aussi petit que l'on voudra , la probabilité que le résultat moyen des observations tombe