FIN DR LA TABLE

SIJI

Cet Essai philosophique est le développement d'une leçon sur les probabilités , que je donnai en 1795, aux écoles normales où je fus appelé comme professeur de Mathématiques avec Lagrange, par un décret de la Convention nationale. J'ai publié depuis peu sur le même sujet, un ouvrage ayant pour titre : Théorie analytique des Probabilités. Je présente ici , sans le secours de l'Analyse , les principes et les résultats généraux de cette tliéorie , en les appliquant aux questions les plus importantes de la vie, qui ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité. On peut même dire , à parler en rigueur, que presque toutes nos ï connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre des choses que nous pouvons

savoir avec certitude, dans les sciences mathématiques elles-mêmes , les principaux moyens de parvenir à la vérité , l'induction et l'analogie se fondent sur les probabilités ; en sorte que le système entier des connaissances humaines se rattache à la théorie exposée dans cet Essai. On y verra sans doute avec intérêt , qu'en ne considérant même dans les principes éternels de la raison, de la justice et de l'humanité , que les chances heureuses qui leur sont «constamment attachées , il y a un grand avantage à suivre ces principes , et de graves inconvéniens à s'en écarter : leurs chances, comme celles qui sont favorables aux loteries, finissant toujours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire que les réflexions répandues dans cet Essai, puissent mériter l'attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne de les occuper.

De la Probabilité,

Tous les événemens, ceux mêmes qui par leur petitesse, semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature , en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions du Soleil. Dans l'ignorance des liens qui les unissent au système entier de Tunivers , on les a fait dépendre des causes finales, ou du hasard, suivant qu'ils ar-

rivaient cl se succédaient avec régulariUî , ou sans ordre apparent ; mais ces causes imaginaires oui ( i( MK cessivement reculées avec les bornes de nos connaissances, et disparaissent entièrement devant la saine philosophie, qui ne voit en elles que l'expression de l'ignorance où nous sommes des véritables causes.

L( > evénemens actuels ont, avec les précédens, luie liaison fondée sur le principe évident , qu'une chose ne peut pas commencer d'être , sans une cause qui la produise. Cet axiome, connu sous le nom de principe de la raison siiffisanté, s'étend aux actions mêmes que l'on juge indi£Pérentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif déterminant, leiu* donner naissance ; car si toutes les circonstances de deux positions étant exactement semblables , elle agissait dans l'ime et s'abstenait d'agir dans l'autre , son choix serait un effet sans cause : elle serait alors , dit Leibnitz , le hasard aveugle des épicuriens. L'opinion contraire est une illusion de l'esprit qui , perdant de vue les raisons fugitives du choix de la volonté dans les choses indifférentes , se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-même et sans motifs. ,î ■. >♦

Nous devons donc envisager l'état présent de Fin il vers , comme l'effet de son état antérieur,

et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui , pour un instant donné , connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse , embrasserait dans la même formule les mouvemens des plus grands corps de l'imivers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé , serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre , dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie , ime faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques , les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances , il est parvenu à ramener à des lois générales les phénomènes observés , et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efiforts dans la recherche de la vérité , tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance , propre à l'espèce humaine, est ce qui la rend supé-

rieure aux animaux; et ses progrès en ce genre , distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire.

Rappelons-nous qu'autrefois, et aune époque qui n'est pas encore bien reculée , une pluie ou une sécheresse extrême , une comète traînant après elle une queue fort étendue , les éclipses , les aurores boréales et généralement tous les phénomènes extraordinaires étaient regardés comme autant de signes de la colère céleste. On invoquait le ciel pour détourner leur funeste influence. On ne le priait point de suspendre le cours des planètes et du Soleil : l'observation eut bientôt fait sentir l'inutilité de ces prières. Mais comme ces phénomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles , semblaient contrarier l'ordre de la nature, on supposait que le ciel irrité par les crimes de la terre , les faisait naître pour annoncer ses vengeances. Ainsi la longue queue de la comète de i456 répandit la terreur dans l'Europe, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qui venaient de renverser le Bas-Empire. Cet astre, après quatre de ses révolutions , a excité parmi nous un intérêt bien différent. La connaissance des lois du système du monde , acquise dans cet intervalle , avait dissipé les craintes enfantées par l'igno-

6 l>s\l Pli lio^oi'lf IQUE

rance des vrais rapport (l( iliomme avec T univers ; et Halley ayant reconnu l'identité de cette comète, avec celles des années !53i, 1607 et 1682, annonça son retour prochain pour la fin de 1758 ou le commencement de 1759. Le monde savant attendit avec impatience, ce retour qui devait confirmer Tune des plus grandes découvertes que Ton eût faites dans les sciences , et accomplir la prédiction de Sénèque , lorsqu'il a dit , en parlant de la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance : a Le jour viendra que par une étude suivie, de » plusieurs siècles , les choses actuellement ca- » chées paraîtront avec évidence ; et la postérité » s'étonnera que des vérités si claires nous aient » échappé. » Clairaut entreprit alors de soumettre à l'analyse les perturbations que la comète avait éprouvées par l'action des <l(uix plus grosses planètes , Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs, il fixa son prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1759, ce que l'observation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'Astronomie nous montre dans le mouvement des comètes, a lieu sans aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par une simple molécule d'air ou de vapeurs, est réglée d'iuie manière aussi certaine,

SUR LES PHOBABiLITÉS. 7

que les orbites planétaires : il n'y a de différences entre elles, que celle qu'y met notre ignorance.

I^a probabilité est relative en partie à cette ignorance , en partie à nos connaissances. Nous savons que sur trois ou un plus grand nombre d'évènemens, un seul doit arriver; mais rien ne porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans cet état d'indécision, il nous est impossible de prononcer avec certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ces évènemens pris à volonté , n'arrivera pas , parce que nous voyons plusieurs cas également possi* blés qui excluent son existence, tandis qu'un seul la favorise.

La théorie des hasards consiste à réduire tous les évènemens du même genre , à un certain nombre de cas également possibles , c'est-à-dire tels que nous soyons également indécis sur leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les cas possibles , est la mesure de cette pro» habilité qui n'est ainsi qu'une fraction dont le numérateiu- est le nombre des cas favorables , et dont le dénominateur est le nombre de tous le» cas possibles. / ni» i

La notion précédente de la probabilité suppose qu'en faisant croître dans le même rapport, le nombre des cas favorables, et celui de tous les cas possibles , la probabilité reste la même. Pour s'en convaincre, que l'on considère deux urnes A et B, dont la première contienne quatre boules blanches et deux noires, et dont la seconde ne renferme que deux boules blanches et une noire. On peut imaginer les deux boules noires de la première urne , attachées à un fil qui se rompt au moment où l'on saisit l'une d'elles pour l'extraire, et les quatre boules blanches formant deux systèmes semblables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit maintenant que les fils qui unissent les boules , ne se rompent point , il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas, non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules noires; seulement, on tirera de l'urne deux boules à la fois; la probabilité d'extraire une boule noire de l'urne sera donc la même qu'auparavant. Mais alors on a évidemment le cas de l'urne B, avec la seule différence, que les trois boules de cette dernière urne soient remplacées par trois systèmes de deux boules in* variablement unies.

SUR LES PROBADILITÉS. 9

Quand tous les cas sont favorables à un évèiiciiunt, sa probabilité se change en certitude, et son expression devient égale à Tunité. Sous ce rapport, la certitude et la probabilité sont comparables, quoiqu'il y ait une dififérence essentielle entre les deux états de l'esprit, lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démontrée, ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur.

Dans les choses qui ne sont que vraisemblables, la différence des données que chaque homme a sur elles, est une des causes principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur les mêmes objets. Supposons, par exemple, que l'on ait trois urnes A, B, C, dont une ne contienne que des boules noires, tandis que les deux autres ne renferment que des boules blanches , on doit tirer une boule de l'urne C , et l'on demande la probabilité que cette boule sera noire. Si l'on ignore quelle est celle des trois urnes qui ne renferme que des boules noires, en sorte que l'on n'ait aucune raison de croire qu'elle est plutôt C que B ou A; ces trois hypothèses paraîtront également possibles, et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première hypothèse, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne

ÏO ESSAI PHILOSOPHIQUE

contient que des boules blanches , l'indécision ne porte plus alors que sur les urnes B et C , et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noii^e est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude , si l'on est assuré que les urnes A et B ne contiennent que des boules blanches.

C'est ainsi que le même fait , récité devant une nombreuse assemblée , obtient divers degrés de croyance , suivant l'étendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte en est intimement persuadé , et si , par son état et par son caractère , il inspire une grande confiance ; son récit, quelque extraordinaire qu'il soit, aura, pour les auditeurs dépourvus de lumières , le même degré de vraisemblance qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux sait que le même fait est rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute, et le fait sera jugé faux par les auditeurs éclairés qui»' le trouveront contraire , soit à des faits bien avérés , soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a

SOR LES pnOBABILITÉS. I I

coiituine de douner sa conliance sur les plus iin- |)()i laiis objets de la vie, qu'est due la propagation tic ces erreurs qui, dans les temps d'ignorance , ont couvert la face du inonde. La Magie et l'Astrologie nous en offrent deux grands exemples. Ces erreurs inculquées dès l'enfance , adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance univei'selle, se sont maintenues pendant très longtemps, jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés, dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qiii les avait si généralement i^pandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral , établit et conserve dans toute une nation des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le« même empire. Quelle indulgence ne devons -nous donc |).»s avoir pour les opinions différentes des nôtres, piiisf^iie cette différence ne dépend souvent que (les j)()ints de vue divei's où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas sufQsamment instruits; mais auparavant, examinons sévèrement nos propres opinions , et pesons avec impartialité leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de

la manière dont on détermine F influence des données qui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données , deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très compliquées. Expliquons ici les principes généraux de cette Théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

1er Principe. Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui , comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

!!• Principe. Mais Cela suppose les divers cas également possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que l'on projette en l'air une pièce large et très mince dont les deux grandes faces opposées , que nous nommerons croix et pile^ soient parfaitement semblables. Cherchons la

probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles , savoir, cwix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à Tévènement dont on cherche la probabilité, qui, par conséquent , est égale à f ; en sorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins luie fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu que trois cas différens , savoir : croix au premier coup , ce qui dispense d'en jouer un second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à I, si l'on considérait, avec d'Alembert, ces trois cas comme également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est ^, tandis que celle des deux autres cas est | ; le premier cas étant un événement simple qui correspond aux deux évènemens composés , croix au premier et au second coup , et croix au premier coup , pile au second. Maintenant , si , conformément au second principe , on ajoute la possibilité \ de croix au premier coup, à la possibilité { de pile arri-

l4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

vant au premier coup et croix au second , on aura \ pour la probabilité cherchée , ce qui s'accorde avec ce que Von trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change point le sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas à des cas également possibles. lll« Principe. Un dcs poiuts les plus importans de la théorie des Probabilités , et celui qui prête le plus aux illusions , est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leui^ combinaisons mutuelles. Si les évènemens sont indépendans les uns des autres , la probabilité de l'existence de leur ensemble est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé , étant un sixième ; celle d'amener deux as en projetant deux dés à la fois est un trente- sixième. En efiet , chacune des faces de l'un pouvant se combiner avec les six faces de l'autre , il y a trente- six cas également possibles , parmi les^ quels im seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple dans les mêmes circonstances , arrivera de suite un nombre donné de fois, est égale à la piobabilité de cet événement simple , élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puis-

SUK LES PAOBABILITES. I ! »

sances successives d'une fraction uioincirtî qxw Tunité , diminuant sans cesse , un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grande , peut devenir extrêmement peu vraiseml^lable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins ^ de manière que le premier l'ait transmis au second , le second au troisième , et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à — • celle du fait , résultante des témoignages , sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité qu'à l'extinction de la clarté des objets , par l'interposition de plusieurs morceaux de verre; im nombre de morceaux peu considérable , suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers im grand nombre de générations successives : plusieurs événemens historiques, réputés certains, seraient au moins douteux , si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques , les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent.

l6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

Dans les applications de l'Analyse à la Physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales , où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède , que d'une manière vraisemblable ; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences très éloignées du principe.

IV« Principe. Quaud dcux évènemens dépendent l'un de l'autre, la probabilité de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement , par la probabilité que cet événement étant arrivé , l'autre arrivera. Ainsi , dans le cas précédent de trois urnes A , B , C , dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boides noires , la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est | , puisque sur trois urnes , deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne G, l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferment que des boules noires , ne portant plus que sur les urnes A et B , la probabilité d'extraire une boule blanche de l'urne B est ^, le produit de | par ^, ou |, est donc la

SUR LFS PROBABILITES. I7

probabilité d'extraire à la fois des urnes B et C , deux boules blanches. En effet , il est nécessaire pour cela , que Turne A soit telle des trois urnes qui contient des boules noires ; et la probabilité de ce cas est évidemment ^.

On voit par cet exemple, l'influence des évènemens passés sur la probabilité des évènemens futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche de Turne B , qui primitivement est 1 , devient ^ lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne G : elle se changerait en certitude si l'on avait extrait une boule noire de la même urne. On déterminera cette influence , au moyen du principe suivant, qui est un corollaire du précédent.

Si l'on calcule à priori, la probabilité de Tévè- v« Principe, nement arrivé , et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend ; la seconde probabilité , divisée par la première , sera la probabilité de l'événement attendu , tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croijc ou pile^ croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela seul , nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce , il

l8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie , le bonheur constant est une preuve d'habileté , qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue ; si , par exemple , on change de pièce à chaque coup , au jeu de croix ou pile; le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte.

Vie princinc. Chacuiic des causes auxquelles un événement observé peut être attribué , est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance , qu'il est plus probable que cette cause étant supposée exister, l'événement aura lieu ; la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes est donc une fraction dont le numératein^ est la probabilité de l'événement , résultante de cette cause , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes : si ces diverses causes , considérées à priori^ sont inégalement probables , il faut , au lieu de la probabilité de l'événement , résultante de chaque cause , employer le produit de cette probabilité , par la possibilité de la cause elle-même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'ana-

M Ix i-lN l'HOBAniLITÉS. 19

lyse des hasards , qui consiste à remonter des évènemens aux causes.

Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évènemens réguliers , à une cause jiarticulière. Quelques philosophes ont pensé que ("OS évènemens sont moins possibles que les autres, et qu'au jeu de croix ou pile, par exemple, la combinaison dans laquelle croix arrive vingt fois de suite , est moins facile à la nature , que celles où croix et pile sont entremêlés d'une fa^on irrégulière. Mais cette opinion suppose que les évènemens passés influent sur la possibilité des évènemens futurs, ce qui n'est point admissible. Les combinaisons régulières n'arrivent plus rarement , que parce qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause , là où nous apercevons de la symétrie , ce n'est pas que nous regardions un événement symétrique , comme moins possible que les autres; mais cet événement devant être l'effet d'une cause régulière, ou celui du hasard, la première de ces suppositions est plus probable que la seconde. Nous voyons sur une table, des caractères d'imprimerie disposés dans cet or- <lre , Cons tant ino pie; et nous jugeons que cet arrangement n'est pas l'effet du hasard , non parce qu'il est moins possible que les autres,

aO KSSAI PHILOSOPHIQUE

puisque si ce mot n'était employé dans aucune langue , nous ne lui soupçonnerions point de cause particulière; mais ce mot étant en usage parmi nous , il est incomparablement plus probable qu'une personne aura disposé ainsi les caractères précédens , qu'il ne l'est que cet arrangement est dû au hasard.

C'est ici le lieu de définir le mot extraordinaire. Nous rangeons par la pensée , tous les évènemens possibles en diverses classes ; et nous regardons comme extraordinaires ceux des classes qui en comprennent un très petit nombre. Ainsi, au jeu de croix ou pile^ l'arrivée de croix cent fois de suite nous paraît extraordinaire, parce que le nombre presque infini des combinaisons qui peuvent arriver en cent coups , étant partagé en séries régulières ou dans lesquelles nous voyons régner un ordre facile à saisir, et en séries irrégulières, celles-ci sont incomparablement plus nombreuses. La sortie d'une boule blanche , d'une urne qui , sur un million de boules , n'en contient qu'une seule de cette couleur, les autres étant noires , nous paraît encore extraordinaire , parce que nous ne formons que deux classes d'évènemens , relatives aux deux couleurs. Mais la sortie du n** 47^813, par exemple, d'une urne qui ren-

SUR LES PROBABILITES. 2 1

ferme un million de numéros , nous semble un rstiitiiu'iit ordinaire; parce que comparant individuellement les numéros, les uns aux autres, sans les partager en classes, nous n*avons aucune raison de croire que Tun d'eux sortira plutôt qiu' Ks autres.

De ce qui précède , nous devons généralement conclure que plus un fait est extraordinaire , plus il a besoin d'être appuyé de fortes preuves. Car ceux qui l'attestent , pouvant ou tromper, ou avoir été trompés , ces deux causes sont d'autant plus probables, que la réalité du fait l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra particulièrement , lorsque nous parlerons de la probabilité des témoignages.

La probabilité d'un événement futur est la Vii« Principe, somme des produits de la probabilité de chaque cause, tirée de l'événement observé, par la probabilité que cette cause existant , l'événement futur aura lieu. L'exemple suivant éclaircira ce principe.

Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont chacune soit ou blanche , ou noire. On extrait une de ces boules , que l'on remet ensuite dans l'urne , pour procéder à un nouveau tirage. Supposons que dans les deux premiers tirages, on ait amené des boules blanches; on

demande la probabilité d'amener encore une boule blanche au troisième tirage.

On ne peut faire ici que ces deux hypothèses : ou l'une des boules est blanche , et l'autre noire ; ou toutes deux sont blanches. Dans la première hypothèse, la probabilité de l'événement observé est ^ : elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi , en regardant ces hypothèses comme autant de causes , on aura pour le sixième principe , ^ et ^ pour leurs probabilités respectives. Or, si la première hypothèse a lieu , la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage est -| : elle égale l'unité dans la seconde hypothèse; en multipliant donc ces dernières probabilités, par celles des hypothèses correspondantes, la somme des produits ou yô sera la probabilité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.

Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue , on peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses , tirée de l'événement observé , est par le sixième principe, une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement dans cette hypothèse , et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les

hypothèse». Ainsi la prohahilité que la possibilité de révènenient est comprise dans des limites données, est la somme des fractions comprises dans ces limites. Maintenant , si Ton multiplie chaque fraction par la probabilité de Tévènement futur, déterminée dans Thypothèse correspondante , la somme des produits relatifs à toutes les hypothèses sera par le septième principe , la probabilité de Févènement futur, tirée de Tévènement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé de suite un nombre quelconque de fois , la probabilité qu'il arrivera encore la fois suivante est égale à ce nombre augmenté de l'unité, divisé par le même nombre augmenté de deux unités. En faisant , par exemple , remonter la plus ancienne époque de l'histoire à cinq mille ans, ou à 1 82621 3 jours, et le soleil s'étant levé constamment dans cet intervalle , à chaque révolution de vingtquatre heures, il y a 182621/» à parier contre un qu'il se lèvera encore demain. Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui connaissant par l'ensemble des phénomènes le principe régulateur des jours et des saisons, voit que rien dans le moment actuel ne peut en arrêter le cours.

Bufibn , dans son Arithmétique politique , cal-

a4 ESSAI PHILOSOPHIQUE

cule différemment la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne diffère de l'unité que d'une fraction dont le numérateur est l'unité, et dont le dénominateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de remonter des évènemens passés à la probabilité des causes et des évènemens futurs , était inconnue à cet illustre écrivain.

De r Espérance.

La probabilité des évènemens sert à déterminer l'espérance ou la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot espérance a diverses acceptions : il exprime généralement l'avantage de celui qui attend un bien quelconque , dans des suppositions qui ne sont que probables. Cet avantage, dans la théorie des hasards, est le produit de la somme espérée , par la probabilité de l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir lorsqu'on ne veut pas courir les risques de l'événement , en supposant que la répartition se fasse proportionnellement aux probabilités. Cette répartition est la seule équitable , lorsqu'on fait abstraction de toutes circonstances étrangères ; parce qu'un égal degré de probabi-

lité donne un droit égal sur la somme espérée. Xoiis nommerons cet avantage espérance morthématique.

Lorsque l'avantage dépend de plusieurs évè- Viiie Principe, nemens , on l'obtient en prenant la somme des produits de la probabilité de chaque événement , par le bien attaché à son arrivée.

Appliquons ce principe à des exemples. Supposons qu'au jeu de croix ou pile, Paul reçoive deux francs s'il amène croix au premier coup, et cinq francs s'il ne l'amène qu'au second. En multipliant deux francs par la probabilité \ du premier cas, et cinq francs par la probabilité \ du second cas, le somme des produits, ou deux francs et un quart, sera l'avantage de Paul. C'est la somme qu'il doit donner d'avance à celui qui lui a fait cet avantage ; car pour l'égalité du jeu , la mise doit être égale à l'avantage qu'il procure.

Si Paul reçoit deux francs en amenant croix au premier coup , et cinq francs en l'amenant au second coup , dans le cas même où il l'aurait amené au premier; alors la probabilité d'amener croix au second coup étant -j, en multipliant deux francs et cinq francs par \ , la somme de ces produits donnera trois francs et demi pour

l6 ESSAI PHILOSOPHIQUE

l'avantage de Paul, et par conséquent pour sa mise au jeu.

IX« Principe. Daus uue série d'évènemens probables , dont les uns produisent un bien , et les autres une perte , on aura l'avantage qui en résulte en faisant une somme des produits de la probabilité de chaque événement favorable par le bien qu'il procure , et en retranchant de cette somme celle des produits de la probabilité de chaque événement défavorable par la perte qui y est attachée. Si la seconde somme l'emporte sur la première, le bénéfice devient perte , et l'espérance se change en crainte.

On doit toujours, dans la conduite de la vie , faire en sorte d'égaler au moins le produit du bien que l'on espère , par sa probabilité , au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour y parvenir d'apprécier exactement les avantages , les pertes et leurs probabilités respectives. Tl faut pour cela une grande justesse d'esprit , une tact délicat , et une grande expérience des choses : il faut savoir se garantir des préjugés , des illusions de la crainte et de l'espérance , et de ces fausses idées de fortune et de bonheur, dont la plupart des hommes bercent leur amourpropre.

L'application des principes précédens à la

SUR LC8 PROBABILITI^. 27

question suivante, a beaucoup exercé les géoinètns. P.uil joue à croix ou pile, avec la condition lie recevoir deux francs s'il amène croia: an premier coup; quatre francs s'il ne l'amène qu'au second ; huit francs s'il ne l'amène qu'au troisième , et ainsi de suite. Sa mise au jeu doit être , par le huitième principe , égale au nombre des coups ; en sorte que si la partie continue à l'infinie , la mise doit être infinie. Cependant , aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce jeu une somme même modique , cinquante francs , par exemple. D'où vient cette différence entre le résultat du calcul et l'indication du sens commun? On reconnut bientôt qu'elle tenait à ce que l'avantage moral qu'un bien nous procure n'est pas proportionnel à ce bien , et qu'il dépend de mille circonstances souvent très difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus importante est celle de la fortune. En effet , il est visible qu'un franc a beaucoup plus de prix pour celui n'en a que cent, que pour un millionnaire. On doit donc distinguer dans le bien espéré sa valeur absolue de sa valeur relative : celle-ci se règle sur les motifs qui le font désirer, au lieu que la première en est indépendante. On ne peut donner de principe général , pour apprécier cette valeur relative.

i8 ESSAI PHILOSOPHIQUE

En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli , et qui peut servir clans beaucoup de cas.

X« Principe. La valeur relative d'une somme infiniment petite est égale à sa valeur absolue divisée par le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet , celui même qui ne possède rien , donne toujours au produit de son travail et à ses espérances une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si l'on applique l'analyse au principe que nous venons d'exposer, on obtient la règle suivante.

En désignant par l'unité la partie de la fortune d'un individu , indépendante de ses expectatives ; si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives et leurs probabilités , le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités , sera la fortune physique qui procurerait à l'individu le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune , prise pour unité , et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité de ce

SUR LES PROItABILITléS. ^9

produit, la différence sera l*accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement, espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coïncide avec Tespérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité, devient infmie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles.

Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun, que Ton peut par ce moyen, apprécier avec quelque exactitude. Ainsi dans la question précédente, on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs , il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger sur plusieurs parties d'un bien que l'on attend , pltitôt que d'exposer ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant par exemple, qu'un joueur ayant une fortune de cent francs , en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune, après sa mise au jeu , sera réduite à quatre-vingt-sept francs , c'est-à-dire que cette der-

3o ESSAI PHILOSOPHIQUE

nière somme procurerait au joueur le mémo avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée , par sa probabilité. On peut juger par-là de l'immortilité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Us ne subsistent que par les faux raisonnemens et par la cupidité qu'ils fomentent , et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance , sont la source d'une infinité de maux.

Le désavantage des jeux , l'avantage de ne pas exposer au même danger tout le bien qu'on attend , et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens, subsistent", quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffît que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique, diminue à mesure que celle-ci augmente.

sua LS8 PROBABIMTIÉS. 3l

Des méthodes a?uiljtiques du Calcul des Prohabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse , et spécialement à la théorie des combinaisons et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binômes , l'unité plus ime première lettre , l'unité plus une seconde lettre , l'unité plus une troisième lettre , et ainsi de suite, jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité de ce produit développé , on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux , trois à trois, etc. , chaque combinaison ayant l'unité pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises ^ à ^, on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binôme, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises ^ à ^ , sera le coe£Bcient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binôme ; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binôme.

3l ESSAI PHILOSOPHIQUE

On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison , en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première , on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si Ton joint à ces combinaisons une troisième lettre , on peut lui donner dans chaque combinaison , le premier, le second et le troisième rang ; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangemens dont s lettres sont susceptibles , est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à S', il faut donc pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit le nombre des combinaisons des n lettres prises ^ à s; ce qui revient à supprimer le dénominateur, du coefficient du terme du binôme, qui exprime ce nombre.

Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage : on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés dans un tirage. Pour y parvenir, on formera une fraction dont le dénominateur sera le nombre de tous les cas possibles, ou des combinaisons des n numéros pris r k r, et dont le numérateur sera le nombre de toutes ces combinaisons

qui contiennent les s numéros donnés. Ce dernier nombre est évidemment celui des combinaisons des autres numéros pris n moins s k n moins .<^. Cette fraction sera la probabilité demandée, et Ton trouvera facilement qu'elle se réduit à une fraction dont le numérateur est le nombre des combinaisons de r numéros pris s k Sj et dont le dénominateur est le nombre des combinaisons des ii numéros pris semblablement ^ à ^. Ainsi , dans la loterie de France, formée , comme on sait , de 90- numéros dont cinq sortent à chaque tirage , la probabilité de la sortie d'un extrait donné est ^ ou ~ ; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu , rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux , de 90 numéros est 4oo5 , et celui des combinaisons deux à deux, de cinq numéros, est dix. La prol»abilité de la sortie d'un ambe donné est donc j7~^ et la loterie devrait rendre alors quatre cents fois et demie , la mise : elle devrait la rendre 11 748 fois pour un terne, 5iio38 fois pour un quateme , et 43949268 fois pour un quine. I^ loterie est loin de faire aux joueurs , ces avantages.

Supposons dans une urne , a boules blanches i'[ b boules noires , et qu'après e;i avoir extrait

une boule , on la reinette dans F urne; on demande la probabilité que dans le nombre n de tirages, on amènera m boules blanches et n moins m boules noires. Il est clair que le nombre de cas qui peuvent arriver à chaque tirage est a plus h. Chaque cas du second tirage , pouvant se combiner avec tous les cas du premier, le nombre de cas possibles en deux tirages , est le carré du binôme a plus h. Dans le développement de ce carré , le carré de a exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux fois une boule blanche; le double produit de a par h ^ exprime le nombre des cas dans lesquels une boule blanche et une boule noire sont amenées ; enfin le carré de h exprime le nombre des cas dans lesquels on amène deux boules noires. En continuant ainsi, on voit généralement que la puissance n du binôme a plus h , exprime le nombre de. tous les cas possibles dans n tirages ; et que dans le développement de cette puissance , le terme multiplié par la puissance /w de fl , exprime le nombre des cas dans lesquels on peut amener ni boules blanches , et n moins m boules noires. En divisant donc ce terme par la puissance entière du binôme , on aura la probabilité d'amener m boules blanches et n moins m boules noires. Le rapport des nombres a , et ri plus h ,

étant la probabilité d'amener une boule blanche dans un tirage ; et le rapport des nombres h , et a plus b, étaut la probabilité d'amener une boule noire ; si Ton nomme p et q ces probabilités , la probabilité d'amener m boules blanches dans n tirages , sera le terme multiplié par la puissance m de /? , dans le développement de la puissance n du binôme p plus q : on peut observer que la somme p plus q est l'unité. Cette propriété remarquable du binôme, est très utile dans la théorie des probabilités.

Mais la méthode la plus générale et la plus directe , pour résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d'équations aux différences. En comparant les états successifs de la fonction qui exprime la probabilité , lorsque l'on fait croître les varial:)les , de leurs différences respectives ; la question proposée fournit souvent un rapport très simple entre ces états. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux différences ordinaires j, ou partielles; ordinaires, lorsqu'il n'y a qu'une variable; partielles , lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons-en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes , jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs, qui

gagne son adversaire , joue avec le troisième , et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre , et ainsi de suite , jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres , ce qui termine la partie : on demande la probabijité que la partie sera finie dans un nombre quelconque n de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément au coup n. Pour cela, le joueur qui gagne doit entrer au jeu au coup n moins un , et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si au lieu de gagner le coup n moins un , il était vaincu par son adversaire , celui-ci venant de gagner l'autre joueur, la partie finirait à ce coup. Ainsi la probabilité qu'un des joueurs entrera au jeu au coup « moins un , et le gagnera , est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au coup n , la probabilité de ce dernier cas ne sera qu'un demi de la précédente. Cette probabilité est évidemment une fonction du nombre w; cette fonction est donc égale à la moitié de la même fonction, lorsqu'on y diminue n de l'unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement à son moyen , la prohabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plus tôt qu'au second coup ; et pour cela, il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui a gagné son adversaire, gagne au second coup le troisième joueur ; la probabilité que la partie finira à ce coup est donc ~. De là , en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie sont j pour le troisième coup, ^ pour le quatrième, etc.; et généralement ^ élevé à la puissance n moins un , pour le w''"' coup. La somme de toutes ces puissances de I est l'unité moins la dernière de ces puissances; c'est la probabilité que la partie sera terminée , au plus tard , dans n coups.

Considérons encore le premier problème un peu difficile , que l'on ait résolu sur les probabilités et que Pascal proposa de résoudre à Fermat. Deux joueurs A et B , dont les adresses sont égales , jouent ensemble avec la condition que celui qui, le premier, aura vaincu l'autre un nombre donné de fois , gagnera la partie , et emportera la somme des mises au jeu : après quelques coups , les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande

de quelle manière cette somme doit être partagée entre eux. Il est visible que les parts doivent être proportionnelles aux probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dépendent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur pour atteindre le nombre donné. Ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous nommerons indices. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus (convention qui ne change point leur sort , pourvu qu'après ce nouveau coup, le partage se fasse toujours proportionnellement aux nouvelles probabilités de gagner la partie) ; alors , ou A gagnerait ce coup , et dans ce cas , le nombre des points qui lui manquent, serait diminué d'une unité; ou le joueur B le gagnerait , et dans ce cas , le nombre des points manquans à ce dernier joueur deviendrait moindre d'une unité. Mais la probabilité de chacun de ces cas est \ ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction , dans laquelle on diminue de l'unité le premier indice ; plus à la moitié de la même fonction dans laquelle le second indice est diminué de l'unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

M l: 1 I ^^ IMIOBABILITÉS. 39

On peut déterminer à son moyen les probabilités de A , en partant des plus petits nombres , et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à Tunité , lorsqu'il ne manque aucim point au joueur A , ou lorsque le premier indice est nul , et que cette fonction devient nulle avec le second indice. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est |, f , |, etc., suivant qu'il manque à B un point, ou deux, ou trois , etc. Généralement , elle est alors l'imité , moins la puissance de \ égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A , et Ton trouvera sa probabilité égale à j , ^ ? ^, etc., suivant qu'il manque à B, un point ou deux , ou trois , etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A , et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité, au moyen de son équation aux différences, est longue et j>énible. Les géomètres ont dierché des méthodes pour avoir la fonction générale des indices , qui satisfait à cette équation , en sorte que l'on n'ait besoin pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette foncticMi les valeurs correspondantes des

4o ESSAI PHILOSOPHIQUE

indices. Considérons cet objet d'une manière générale. Pour cela , concevons une suite de termes disposés sur une ligne horizontale, et tels que chacun d'eux dérive des précédens , suivant une loi donnée. Supposons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes consécutifs , et leur indice ou le nombre qui indique le rang qu'ils occupent dans la série. Cette équation est ce que je nomme équation aux dijférences finies à un seul indice. L'ordre ou le degré de cette équation est la différence du rang de ses deux termes extrêmes. On peut, à son moyen, déterminer successivement les termes de la série et la continuer indéfiniment ; mais il faut pour cela connaître un nombre de termes de la série, égal au degré de l'équation. Ces termes sont les constantes arbitraires de l'expression du terme général de la série, ou de l'intégrale de l'équation aux différences.

Concevons maintenant , au-dessus des termes de la série précédente , une seconde série de termes disposés horizontalement; concevons encore au-dessus des termes de la seconde série, une troisième série horizontale , et ainsi de suite à l'infini; et supposons les termes de toutes ces séries liés par une équation générale entre plusieurs termes consécutifs , pris tant dans le sens

SUR L£» PROBABILITES. 4'

horizontal que dans le sens vertical , et les noml)r(s qui indiquent leur rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à deux indices.

Concevons pareillement au-dessus du plan des séries précédentes , un second plan de séries sem^ l)lal>Ies dont les termes soient placés respectivement au-dessus de ceux du premier plan : concevons ensuite au-dessus de ce second plan , un troisième plan de séries semblables , et ainsi à l'infini : supposons tous les termes de ces séries liés par une équation entre plusieurs termes consécutifs, pris dans les sens de la longueur, de la largeur et de la profondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces trois sens. Cette équation est ce que je nomme équation aux différences finies partielles à trois indices.

Enfin, (Ml considérant la chose d'une manière abstraite et indépendante des dimensions de l'espace , concevons généralement un système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque d'indices, et supposons entre ces grandeurs, leurs différences relatives à ces indices, et les indices eux-mêmes , autant d'équations qu'il y a de ces grandeurs; ces équations seront

aux difFérences finies partielles à un nombre quelconque d'indices.

On peut à leur moyen déterminer successivement ces grandeurs. Mais de même que Téquation à un seul indice exige pour cela que Ton connaisse un certain nombre de termes de la série ; de même l'équation à deux indices exige que l'on connaisse une ou plusieurs lignes de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement , l'équation à trois indices exige que l'on connaisse un ou plusieurs plans de séries dont les termes généraux puissent être exprimés chacun par une fonction arbitraire de deux indices ; ainsi de suite. Dans tous ces cas, on pourra , par des éliminations successives , déterminer un terme quelconque des séries. Mais toutes les équations entre lesquelles on élimine, étant comprises dans un même système d'équations , toutes les expressions des termes successifs que l'on obtient par ces éliminations doivent être comprises dans une expression générale, fonction des indices qui déterminent le rang du terme. Cette expression est l'intégrale de l'équation proposée aux difFérences , et sa recherche est l'objet du Calcul intégral.

Taylor est le premier qui dans son ouvrage

SUR LES PROBABILITES. 4^

intitulé Methodiis inc rement or um, ait considéré les équations linéaires aux différences finies. U \ donne la manière d'intégrer celles du premier ordre, avec un coefficient et un dernier terme, fonctions de l'indice. A la vérité, les relations des termes des progressions arithmétiques et géométriques que Ton a considérées de tout temps, sniii les cas les plus simples des équations linéaires aux différences ; mais on ne les avait pas envisagées sous ce point de vue, l'un de ceux qui se rattachant à des théones générales , conduisent à ces théories, et sont par là de véritables découvertes.

Vers le même temps , Moivre considéra , sous la dénomination de suites récurrentes, les équations aux différences finies d'un"^ordre quelconque , à coefficiens constans. Il parvint à les intégrer d'une manière très ingénieuse. Comme il est toujours intéressant de suivre la marche des inventeurs , je vais exposer celle de Moivre , en l'appliquant à une suite récurreïite dont la relation entre trois termes consécutifs est donnée. D'abord , il considère la relation entre les termes consécutifs d'tme progression géométrique , ^m Téquation à deux termes qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'ime imité, il la multiplie dans cet état par un facteur cons-